L-Funktionen werden in der analytischen Zahlentheorie und darauf aufbauenden mathematischen Gebieten untersucht. Das prototypische Beispiel einer L-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion. L-Funktionen haben fundamentale Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam. Sie sind also Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion. Zu den fundamentalen Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion zählen:
die zunächst nur in jenem Teilbereich definierte Riemannsche Zeta-Funktion lässt sich analytisch fortsetzen zu einer auf der komplexen Zahlenebene meromorphen Funktion;
die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion genügt einer Funktionalgleichung eines bestimmten Typs.
Der Prototyp aller L-Funktionen: die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene. Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Verschiedene Farben kodieren verschiedene Argumente der komplexen Funktionswerte. Helle Farbtöne zeigen Funktionswerte mit großem Absolutbetrag an, dunkle einen niedrigen nahe Null.
Basierend auf den grundlegenden Arbeiten von Leonhard Euler (1707–1783) zur heute so bezeichneten Riemannschen Zeta-Funktion, untersuchten die Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866), Peter Gustav Dirichlet (1805–1859), Richard Dedekind (1831–1916), Erich Hecke (1887–1947) und Emil Artin (1898–1962) grundlegende Unterklassen von L-Funktionen, die heute deren jeweiligen Namen tragen.
Die forschende Suche nach einer allgemeinen und eindeutigen Definition des Begriffs „L-Funktion“, welche die gewünschten und zum Teil noch unbewiesenen Eigenschaften von L-Funktionen beweisbar macht, ist noch nicht abgeschlossen. Vielmehr handelt es sich um ein wichtiges Ziel der analytischen Zahlentheorie, Klarheit über die sinnvollste Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu gewinnen. In dieser Richtung hat Atle Selberg (1917–2007) im Jahr 1989 eine axiomatische Definition der Klasse aller L-Funktionen vorgeschlagen, die heute den Namen „Selberg-Klasse“ trägt.[1] Ob diese oder andere Definitionsvorschläge schon alle wünschenswerten Eigenschaften von L-Funktionen umfassen und unerwünschte ausschließen, ist noch nicht abschließend geklärt. Nach wie vor prägen mathematische Vermutungen (d. h. unbewiesene, aber für plausibel oder zumindest wünschenswert gehaltene Aussagen über Eigenschaften von L-Funktionen) die Theorie der L-Funktionen. Diese zählt somit weiterhin zu den Gebieten intensiver mathematischer Forschung.
Die beiden Begriffe „L-Funktion“ und „Zeta-Funktion“ werden häufig synonym verwendet. Trotzdem zählen nicht alle mathematischen Funktionen, deren Namen den Begriff „Zeta-Funktion“ enthalten, zu den L-Funktionen. Beispielsweise gehört die Primzetafunktion nicht zu den L-Funktionen, da sie analytisch nicht auf die ganze komplexe Ebene fortgesetzt werden kann.
Wie in der Einleitung erwähnt, gibt es noch keine allgemeine, eindeutige und weithin anerkannte Definition des Begriffs „L-Funktion“. Der nachfolgende Definitionsansatz folgt dem Ansatz, den die beiden Mathematiker Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski in ihrem Lehrbuch zur analytischen Zahlentheorie angegeben haben.[2]
Dieser Definitionsansatz ist zwar stellenweise abstrakt und unvollständig in dem Sinne, dass er die „arithmetischen Objekte“, denen er eine „L-Funktion“ zuordnet, sowie den genauen Mechanismus dieser Zuordnung nicht näher spezifiziert. Er umfasst aber die Eigenschaften, die von L-Funktionen im Allgemeinen erwartet werden, und ermöglicht es somit, die entscheidenden Merkmale dieser Funktionen zu erläutern. Nebenbei werden auch noch weitere Grundbegriffe der Theorie der L-Funktionen eingeführt:
Es sei ein – im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziertes – arithmetisches Objekt, z. B. ein Dirichlet-Charakter oder ein algebraischer Zahlkörper. Diesem arithmetischen Objekt zugeordnet ist eine Funktion , die komplexe Argumente auf komplexe Funktionswerte abbildet. Iwaniec und Kowalski nennen eine solche Funktion eine L-Funktion, wenn die nachfolgenden, mathematischen Objekte zugeordnet sind (siehe D-1 bis D-6), die die anschließend genannten Bedingungen erfüllen (siehe B-1 bis B-9):
D-1: Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt
Dem arithmetischen Objekt zugeordnet sind eine Dirichlet-Reihe
,
welche man auch eine L-Reihe nennt, und ein Euler-Produkt
.
Dabei ist für alle natürlichen Zahlen und . symbolisiert die Menge aller Primzahlen. Die natürliche Zahl heißt der Grad des Euler-Produkts oder auch der Grad der L-Funktion. Für jede Primzahl und jedes ist . Die komplexen Zahlen werden Lokale Wurzeln oder auch Lokale Parameter vonbei genannt. Für ein gegebenes heißt der Ausdruck
,
also der -te Faktor im Euler-Produkt, der Euler-Faktor vonbei.
D-2: Gamma-Faktor
Daneben ist dem Objekt ein so genannter Gamma-Faktor
zugeordnet, wobei die Gamma-Funktion, die Kreiszahl und den oben genannten Grad der L-Funktion bezeichnen. Die Parameter sind komplexe Zahlen. Sie heißen die Lokalen Parameter vonim Unendlichen oder an der unendlichen Primstelle.
D-3: Führer (Konduktor)
Ebenfalls zugeordnet ist dem Objekt eine natürliche Zahl
,
der so genannte Führer oder Konduktor von . Primzahlen , die nicht teilen, heißen unverzweigt bzgl..
D-4: Vollständige L-Funktion
Mit Hilfe der Dirichlet-Reihe, des Gamma-Faktors und des Führers, die zugeordnet sind, definiert man jetzt die so genannte vollständige L-Funktion von :
D-5: Wurzelzahl
Des Weiteren ist dem Objekt eine komplexe Zahl
zugeordnet. Diese komplexe Zahl heißt die Wurzelzahl von.
D-6: Duales, arithmetisches Objekt
Schließlich ist noch ein weiteres, arithmetisches Objekt zugeordnet, das im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziert wird. Es wird das Dual von genannt und mit bezeichnet. Wie im Fall von sind auch eine Dirichlet-Reihe
,
ein Euler-Produkt
mit , ein Gamma-Faktor und ein Führer sowie eine vollständige L-Funktion zugeordnet. Ist , so nennt man selbstdual, was nichts anderes bedeutet als für alle .[3]
Die oben genannten, dem arithmetischen Objekt zugeordneten Objekte müssen nun die folgenden Bedingungen erfüllen, damit die Definition einer L-Funktion nach Iwaniec und Kowalski erfüllt:
B-1: Absolutbetrag von lokalen Parametern bei
Für jede Primzahl und jedes ist .
B-2: Werte von lokalen Parametern bei unverzweigtem
Für alle Primzahlen , die bzgl. unverzweigt sind, und alle ist .
B-3: Anforderungen an die lokalen Parameter im Unendlichen
Die Parameter sind entweder reell oder kommen in Form komplex konjugierter Paare im Gamma-Faktor vor. Außerdem ist für jedes . Diese letzte Bedingungen sorgt dafür, dass keine Nullstellen in und keine Polstellen mit besitzt. bezeichnet den Realteil einer komplexen Zahl.
B-4: Absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe und des Euler-Produkts
Sowohl die Dirichlet-Reihe als auch das Euler-Produkt, die zugeordnet sind, konvergieren für absolut.
B-5: Übereinstimmung von L-Funktion, Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt in einer komplexen Halbebene
Die L-Funktion, die Dirichlet-Reihe und das Euler-Produkt, die zugeordnet sind, stimmen in der komplexen Halbebene überein:
B-6: Analytische Fortsetzbarkeit und Polstellen
Schon aus den Bedingungen, die die zugeordnete Dirichlet-Reihe erfüllen muss, folgt die Holomorphie der vollständigen L-Funktion in der Halbebene. Diese muss aber auch analytisch fortsetzbar sein zu einer meromorphen Funktion der Ordnung 1 auf ganz , welche Polstellen höchstens in und besitzt.
B-8: Anforderungen an die Objekte, die dem Dual von zugeordnet sind
Was das Dual von angeht, so muss gelten:
für alle , sowie
und . Das bedeutet: In der Dirichlet-Reihe, die zugeordnet ist, sind die -Koeffizienten gerade die komplex konjugierten Zahlen der -Koeffizienten in der Dirichlet-Reihe, die zugeordnet ist. Die Gamma-Faktoren und Führer, die bzw. zugeordnet sind, stimmen überein.
B-9: Funktionalgleichung
Die beiden vollständigen L-Funktionen, die bzw. zugeordnet sind, erfüllen die Funktionalgleichung
für alle .
Atle Selberg (1917–2007)
Der Definitionsansatz von Iwaniec und Kowalski spiegelt die Tatsache wider, dass eine Funktion, die als L-Funktion angesehen wird, typischerweise als Zuordnung der L-Funktion zu einem mathematischen Objekt (z. B. Dirichlet-Charakter, algebraischer Zahlkörper) auftritt. Ihr Definitionsansatz ist abstrakt und unvollständig, da er die Frage offen lässt, was denn jene mathematischen Objekte genau sind und wie jene Zuordnung stattzufinden hat.
Ohne Bezug zu anderen, mathematischen Objekten kommt der Definitionsansatz des norwegisch-US-amerikanischen Mathematikers Atle Selberg von 1989 aus. In einer nicht-abstrakten, eindeutigen Definition spezifiziert er eine Teilmenge der Menge aller Dirichlet-Reihen, deren Elemente bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen: absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe, analytische Fortsetzbarkeit, Funktionalgleichung, Ramanujan-Vermutung[Anm. 1] und Euler-Produkt. Diese Teilmenge wird heute als Selberg-Klasse bezeichnet.[4]
Die alles überragende Hypothese und der motivierende Hintergrund für die Definition der Selberg-Klasse ist die so genannte Große Riemannsche Vermutung. Auf die Selberg-Klasse angewandt besagt diese Vermutung: keine Nullstelle einer analytischen Fortsetzung einer Dirichlet-Reihe in der Selberg-Klasse besitzt einen Realteil größer als 1/2. Diese Vermutung entspricht im Fall des (vermeintlich) einfachsten Elements der Selberg-Klasse (Riemannsche Dirichlet-Reihe samt ihrer analytischen Fortsetzung zur Riemannschen Zeta-Funktion) der Riemannschen Vermutung, welche bis heute weder bewiesen noch widerlegt ist. Die Große Riemannsche Vermutung konnte bislang für kein einziges Element der Selberg-Klasse bewiesen oder widerlegt werden.
Vor diesem Hintergrund sind auch die noch existierenden Unzulänglichkeiten bei der Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu sehen: man möchte den Begriff „L-Funktion“ so definieren, dass L-Funktionen die Große Riemannsche Vermutung beweisbar erfüllen – andererseits konnte man bislang noch nicht einmal den einfachsten Fall (Riemannsche Vermutung für die Riemannsche Zeta-Funktion) beweisen, was ein Zeichen für mangelndes Verständnis der Riemannschen Zeta-Funktion sein könnte und damit eine eindeutige Definition des verallgemeinernden Begriffs der „L-Funktion“ erschwert.
Das einfachste Beispiel einer L-Funktion und gleichzeitig Ausgangspunkt für jede Definition des Begriffs „L-Funktion“ ist die Riemannsche Zeta-Funktion .[5]
Eines der möglichen „arithmetischen Objekte“ im Sinne des Definitionsansatzes von Iwaniec und Kowalski, welchem diese L-Funktion zugeordnet werden kann, ist der Körper der rationalen Zahlen. Ihre Dirichlet-Reihe
also
für alle , konvergiert für absolut. Zusammen mit ihrem ebenfalls absolut konvergenten Euler-Produkt gilt für :[6]
Riemannsche Zeta-Funktion : Konturlinien Realteil((s))=0, blau, und Imaginärteil((s))=0, fliederfarben, für −5<Re(s)<3 und −25<Im(s)<65, sowie die „kritische Gerade“ Re(s)=1/2, braun. Für Re(s)<1 sind die Schnittpunkte der blauen und fliederfarbenen Konturlinien Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion.
Da alle reell sind, nämlich gleich 1, ist selbstdual. Das zu duale Objekt ist also ebenfalls , somit .
Der Grad des Euler-Produktes der Riemannschen Zeta-Funktion ist
.
Für ihre lokalen Parameter bei gilt:
für alle .
Üblicherweise wird für die Riemannsche Zeta-Funktion der folgende Gamma-Faktor verwendet:
Der lokale Parameter im Unendlichen ist dann also 0.
Der Führer von ist
,
so dass die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion die Gestalt
annimmt. Diese Definition ist nur für gültig, da nur in dieser Halbebene die Riemannsche Zeta-Funktion über ihre Dirichlet-Reihe oder ihr Euler-Produkt definiert werden kann. Allerdings besitzt die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene. Diese Fortsetzung ist holomorph bis auf zwei einfache Polstellen in und mit den Residuen −1 bzw. 1.[7]
Bezeichnet man auch die fortgesetzte, vollständige Riemannsche Zeta-Funktion mit , so erfüllt sie mit der Wurzelzahl
Damit besitzt auch die zunächst nur für durch ihre Dirichlet-Reihe oder Euler-Produkt definierte Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf , welche einzig in nicht definiert ist, da sie dort über eine einfache Polstelle mit Residuum 1 verfügt. Behält man die Bezeichnung auch für die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion bei, so erfüllt sie die Funktionalgleichung[9]
Die (analytisch fortgesetzte) Riemannsche Zeta-Funktion birgt eine der wichtigsten Fragen der analytischen Zahlentheorie, nämlich die Frage nach der genauen Lage ihrer sogenannten nicht-trivialen Nullstellen. Diese liegen im kritischen Streifen. Die Riemannsche Vermutung aus dem Jahr 1859 – bis heute weder bewiesen noch widerlegt – stellt die These auf, alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besäßen den Realteil 1/2. Ein Beweis dieser Vermutung würde besonders gute Abschätzungen über die Verteilung der Primzahlen gestatten.
Die nächsten Verwandten der Riemannschen Zeta-Funktion sind die Dirichletschen L-Funktionen, welche die Riemannsche Zeta-Funktion als Spezialfall enthalten. Sind in der zur Riemannschen Zeta-Funktion gehörenden Dirichlet-Reihe noch alle - Koeffizienten gleich 1, so werden diese bei Dirichletschen L-Funktionen mit Hilfe eines Dirichlet-Charakters definiert. Sie nehmen somit komplexe Werte mit dem Absolutbetrag 1 an oder sind gleich 0. Sei also für ein ein Dirichlet-Charakter modulo
aus einem Dirichlet-Charakter modulo mit einem echten Teiler von hervorgeht. Mit Hilfe eines solchen Dirichlet-Charakters definiert man die nachfolgende Abbildung, welche ebenfalls mit und als Dirichlet-Charakter modulo bezeichnet wird:[10]
Dirichletsche L-Funktion zum Dirichlet-Charakter modulo 7 mit für komplexe s mit −7 < Re(s) < 8 und −20 < Im(s) < 20: Die Verwandtschaft mit der Riemannschen Zeta-Funktion ist augenfällig. Trotzdem gibt es deutliche Unterschiede: Da es sich bei um einen nicht-trivialen Dirichlet-Charakter handelt, ist die abgebildete Funktion ganz. Sie besitzt also keine Polstelle wie die Riemannsche Zeta-Funktion in . Im Vergleich zur Riemannschen Zeta-Funktion sind die reellen (trivialen) Nullstellen um eine Einheit nach rechts verschoben. Sie sind als schwarze Punkte in −1, −3, −5 usw. im Schaubild erkennbar.[11] Die schwarzen Punkte im vertikalen Streifen 0<Re(s)<1 gehören zu den unendlich vielen, nicht-reellen (nicht-trivialen) Nullstellen dieser Dirichletschen L-Funktion. Die Große Riemannsche Vermutung erwartet jede dieser nicht-trivialen Nullstellen auf der vertikalen Geraden Re(s)=1/2.
Die trivialen Dirichlet-Charaktere modulo besitzen den Funktionswert 1, falls , andernfalls 0. Der triviale Dirichlet-Charakter modulo 1 heißt der Hauptcharakter. Er erfüllt für alle .
Ist nun ein primitiver Dirichlet-Charakter modulo , so ordnet man diesem arithmetischen Objekt folgendermaßen eine L-Funktion zu: Mit
konvergiert die Dirichlet-Reihe (auch Dirichletsche L-Reihe genannt)
gilt dies auch für das zugehörende Euler-Produkt, und man hat die Identität[13]
für . Wie bei der Riemannschen Zeta-Funktion ist
der Grad des Euler-Produkts. Setzt man , falls (in diesem Fall heißt gerade), und , falls (in diesem Fall heißt ungerade), so ist
der zugeordnete Gamma-Faktor. Jenes ist also der lokale Parameter an der unendlichen Primstelle.
Der Führer des primitiven Dirichlet-Charakters ist auch der Führer der Dirichletschen L-Funktion:
.
Die vollständige Dirichletsche L-Funktion besitzt somit die Form[14]
eine Definition, die nur für gilt, da nur dort die verwendete Dirichlet-Reihe konvergiert. Eine solche vollständige Dirichletsche L-Funktion kann aber analytisch auf fortgesetzt werden. Dabei entsteht eine ganze Funktion, falls ein nicht-trivialer Dirichlet-Charakter ist.[15]
Andernfalls hat die fortgesetzte Funktion einen einfachen Pol in mit Residuum 1.[16] Das zu duale Objekt ist , also derjenige Dirichlet-Charakter, der aus durch komplexe Konjugation der Funktionswerte von hervorgeht, d. h.
berechnet werden, in der sich die Summation über alle Restklassen modulo des Führers erstreckt sowie die Kreiszahl, die imaginäre Einheit und die Exponentialfunktion bezeichnen. Mit
erfüllt dann die fortgesetzte, vollständige Dirichletsche L-Funktion die Funktionalgleichung[18]
Wie von Wurzelzahlen gefordert, ist , da .[19]
Die Dirichletschen L-Funktionen umfassen die Riemannsche Zeta-Funktion, da diese aus dem trivialen Dirichlet-Charakter modulo 1, also dem Hauptcharakter, entsteht.[20]
Der deutsche Mathematiker Peter Gustav Dirichlet verwendete 1837 die nach ihm benannten Dirichletschen L-Funktionen, um den Dirichletschen Primzahlsatz zu beweisen, wonach in jeder arithmetischen Folge (auch arithmetische Progression genannt)
d. h. in jeder Restklasse , unendlich viele Primzahlen liegen.[21][22]
Das entscheidende Argument im Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes ist die Erkenntnis, dass gilt für jeden nicht-trivialen Dirichlet-Charakter .[23]
Die Riemannsche Zeta-Funktion bezieht sich auf den Körper der rationalen Zahlen, dem einfachsten algebraischen Zahlkörper. Dedekindsche L-Funktionen verallgemeinern diesen Bezug auf beliebige algebraische Zahlkörper, also endlichen Körpererweiterungen von wie zum Beispiel . Sei also ein algebraischer Zahlkörper und sein Erweiterungsgrad über . Sei sein Ganzheitsring und seine Diskriminante. Weiter seien die Anzahl der reellen Einbettungen und die Anzahl der Paare komplexer Einbettungen von . Es ist also .
Sie geben zu jedem die Anzahl der ganzen Ideale von mit Absolutnorm an. Insbesondere sind alle Koeffizienten reell und deshalb selbstdual. Jene Dirichlet-Reihe konvergiert für absolut, ebenso wie das zugehörende Euler-Produkt
Dabei erstreckt sich das Produkt über alle vom Nullideal verschiedenen Primideale von . Es gilt für die Identität[26]
Diese Gestalt des Euler-Produkts zeigt noch nicht die einzelnen Euler-Faktoren
.
Der Grad des Euler-Produkts ist jedenfalls gleich dem Grad der Körpererweiterung :
[27]
Die lokalen Parameter hängen vom Zerlegungsverhalten der Ideale
ab: jedes Ideal besitzt eine, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutige Primidealzerlegung
in Primideale , in der gilt: und für nur endlich viele Primideale . Für höchstens viele Primideale kann gelten. Solche teilen und man schreibt dafür . Der Exponent in der Primidealzerlegung von heißt der Verzweigungsindex von über . Ist , so gilt
für ein , welches der Trägheitsindex von über genannt wird. Für jedes erfüllen die zum Ideal gehörenden Verzweigungs- und Trägheitsindizes die folgende Beziehung zum Grad von :
Mit Hilfe der Kenntnis der Trägheitsindizes für jedes lassen sich nun die lokalen Parameter bestimmen, nämlich über die Faktoren in der Identität[28]
indem man die Polynome im Polynomring faktorisiert.
Der Betrag der Diskriminante von ist der Konduktor von :
[30]
Damit ist die vollständige L-Funktion von für gegeben durch
Diese besitzt eine analytische Fortsetzung auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polen bei und und den dortigen Residuen bzw. . Dabei ist die Anzahl der unendlichen Stellen, die Klassenzahl und der Regulator von sowie die Anzahl der Einheitswurzeln, die in liegen.[31]
Dedekindsche L-Funktionen haben stets die Wurzelzahl 1:
[32]
Somit genügt die analytisch fortgesetzte, vollständige L-Funktion von der Funktionalgleichung[33]
Die analytisch fortgesetzte Funktion gestattet nun auch die analytische Fortsetzung von , nämlich durch die Definition[34]
Dadurch wird zu einer meromorphen Funktion auf mit einem einfachen Pol in . Eine ihrer faszinierenden Eigenschaften ist die sogenannte analytische Klassenzahlformel, wonach das Residuum von in die folgende Gestalt annimmt:
[35]
Heckesche L-Funktionen sind gemeinsame Verallgemeinerungen der Dirichletschen und der Dedekindschen L-Funktionen. Sie beziehen sich also einerseits auf beliebige algebraische Zahlkörper (wie die Dedekindschen L-Funktionen) und hängen andererseits von geeigneten Charakteren ab (wie die Dirichletschen L-Funktionen). Der deutsche Mathematiker Erich Hecke definierte die nach ihm benannten L-Funktionen mit Hilfe sogenannter Größencharaktere und konnte die bei L-Funktionen gewünschten Eigenschaften beweisen. Der modernere Zugang zu L-Funktionen mit Bezug zu beliebigen algebraischen Zahlkörpern und geeigneten Charakteren, der auch noch weitreichend verallgemeinert werden kann, verwendet Idelklassencharaktere.
Heckesche L-Reihen zu Größencharakteren besitzen die Form[36]
Erich Hecke (1887–1947)
Wie bei Dedekindschen L-Funktionen bezeichnet einen algebraischen Zahlkörper mit Ganzheitsring und Erweiterungsgrad . Die Summe durchläuft wieder alle vom Nullideal verschiedenen, ganzen Ideale von und bezeichnet die Absolutnorm von . Die komplexen Werte beruhen auf einem Charakter (d. h. Gruppenhomomorphismus)
Dabei ist ein ganzes Ideal von und symbolisiert die Gruppe der zu teilerfremden, gebrochenen Ideale von . Das bedeutet: ein gebrochenes Ideal von liegt genau dann in , wenn der Exponent von in der Primidealzerlegung von gleich 0 ist für alle Primideale von , die das ganze Ideal teilen (d. h. ). Die Gruppe verallgemeinert die bei Dirichletschen L-Funktionen verwendeten Gruppen .
Ist nun ein beliebiger, solcher Charakter und setzt man für alle Ideale , die nicht teilerfremd zu sind, so konvergiert die oben angegebene L-Reihe in der Halbebene absolut. Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung von Idealen in gilt die nachfolgende Gleichheit mit dem zugehörenden Euler-Produkt, welches alle von Null verschiedenen Primideale von durchläuft:[37]
Die eigentliche Herausforderung liegt nun aber in einer geeigneten Auswahl der Charaktere , so dass die für L-Funktionen typischen Eigenschaften bewiesen werden können. Die Charaktere mit diesen wünschenswerten Eigenschaften heißen Größencharaktere: Ein Größencharakter modulo eines ganzen Ideals des algebraischen Zahlkörpers ist ein Gruppenhomomorphismus[38]
zu dem es zwei Charaktere
gibt, so dass für alle zu teilerfremden Zahlen gilt:
Zur Erläuterung dieser Definition:
symbolisiert die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo , besteht also aus allen Elementen von , die invertierbar sind.
bezeichnet den Minkowski-Raum bzgl. . Ist die Menge aller Einbettungen , so besteht aus allen -Tupeln , , mit für alle .[39] Addition und Multiplikation in der -dimensionale -Algebra sind komponentenweise definiert. Das Bild der Einbettungsfunktion liegt in .[40] Die multiplikative Gruppe besteht aus allen Elemente von , bei denen sämtliche Komponenten von Null verschieden sind. Ist , so ist für alle , denn die Einbettungen sind Körperhomomorphismen. Der Gruppenhomomorphismus , bettet also die multiplikative Gruppe in die multiplikative Gruppe ein.
Ein Element heißt teilerfremd zum ganzen Ideal , wenn das Hauptideal teilerfremd zu ist. Bezeichnet die Gruppe der zu teilerfremden Elemente und ist mit zwei zu teilerfremden , so hat man den wohldefinierten Gruppenhomomorphismus , , der auf den Quotienten der Restklassen von und modulo abbildet.[41]
Entsprechend seiner Definition zerfällt auf den zu teilerfremden Hauptidealen in einen „endlichen“ Charakter und einen „unendlichen“ Charakter . Korrekterweise müssten in dieser Zerlegungsbedingung durch und durch ersetzt werden, worauf der Kürze halber stets verzichtet wird. und sind durch eindeutig bestimmt.[42]
Ein Größencharakter modulo heißt primitiv, wenn er nicht als Einschränkung
eines Größencharakters modulo dargestellt werden kann, in der das ganze Ideal ein echter Teiler des ganzen Ideals ist. ist genau dann nicht primitiv, wenn sein „endlicher“ Charakter über faktorisiert, d. h. wenn als Kompositum
geschrieben werden kann, in der der „endliche“ Charakter eines Größencharakters modulo ist mit einem echten Teiler von . Der Führer eines Größencharakters modulo ist der kleinste Teiler von , so dass als Einschränkung eines Größencharakters dargestellt werden kann. Der Führer von lässt sich auch mit Hilfe des „endlichen“ Charakters von definieren: ist der kleinste Teiler von , so dass über faktorisiert.[43]
Mit Hilfe des Begriffs eines primitiven Größencharakters lassen sich nun alle für L-Funktionen typischen Objekte definieren und die gewünschten Aussagen nachweisen: vervollständigte Heckesche L-Funktion, analytische Fortsetzung, Führer, Wurzelzahl und Funktionalgleichung. Dies ist der Weg, den Erich Hecke beschritten hat und im Lehrbuch von Neukirch detailliert beschrieben wird.[44] Dieser Zugang verwendet allerdings mathematische Objekte (ideale Zahlen), die aus heutiger Sicht als überholt gelten können und das eigentliche Wesen der vervollständigten Heckeschen L-Funktionen verschleiern.[45]
Die modernere Theorie zur Behandlung von Heckeschen L-Funktionen, die auch noch weitreichend verallgemeinert werden kann, ist unter dem Namen Tate's Thesis (Doktorarbeit des US-amerikanischen Mathematikers John T. Tate) bekannt. Diese Theorie verwendet Idelklassencharaktere anstelle primitiver Größencharaktere[46], zu deren Definition die Begriffe Adel und Idel benötigt werden: Sei weiterhin ein algebraischer Zahlkörper und
John T. Tate (1925–2019)
der Adelring von . Dabei durchläuft die unendliche Menge aller Stellen, d. h. die Menge aller Äquivalenzklassen nicht-trivialer Absolutbeträge von . bezeichnet die komplette Hülle (Vervollständigung) von bzgl. .[Anm. 2] Das Auslassungszeichen am Produktsymbol zeigt die Einschränkung im Vergleich zum direkten Produkt an, dass in jedem Adel für fast alle (d. h. für alle bis auf höchstens endlich viele) Stellen die Komponente im Ring der -ganzen Elemente von liegen muss. Der kanonische Einbettungshomomorphismus , für alle , ist wohldefiniert, da jedes für fast alle Stellen ganz ist.[47]
Die Elemente der multiplikativen Gruppe der Einheiten (invertierbaren Elemente) von heißen die Idele von . Auch lässt sich als eingeschränktes Produkt schreiben:
.
Hier bedeutet das Auslassungszeichen, dass ein Element des direkten Produkts genau dann ein Idel ist, wenn für fast alle Stellen gilt. Vermöge , , für alle , lässt sich die Einheitengruppe von in die Gruppe der Idele einbetten, so dass man als Untergruppe der Idelgruppe auffassen kann, deren Elemente die Hauptidele von genannt werden. Die Quotientengruppe heißt die Idelklassengruppe von . Idelgruppe und Idelklassengruppe werden mit geeigneten Topologien versehen, so dass man anschließend von stetigen Abbildungen sprechen kann.[48] Ein Idelklassencharakter von ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus
,
der auf trivial ist, also dort ausschließlich den Wert 1 annimmt. Insofern kann man auch als Charakter der Idelklassengruppe auffassen, was den Namen „Idelklassencharakter“ rechtfertigt. Ein solcher Charakter besitzt stets eine Zerlegung
in lokale Charaktere , die für fast alle Stellen von unverzweigt sind. Dies wird durch das Auslassungszeichen am Produktsymbol angezeigt. Dabei heißt ein lokaler Charakter unverzweigt, wenn seine Einschränkung auf trivial ist, andernfalls verzweigt.[49]
Der Führer eines Idelklassencharakters ist ein ganzes Ideal in , nämlich
Das Produkt durchläuft alle endlichen Stellen von . ist das durch bestimmte Primideal. Die Exponenten liegen in . Ist unverzweigt, so ist und trägt nichts zum Führer bei. Ist verzweigt, so ist die kleinste natürliche Zahl , so dass auf trivial ist. Dabei bezeichnet ein uniformisierendes Element.[50]
Die (nicht vervollständigte) L-Funktion zum Idelklassencharakter ist definiert durch
.
Das Produkt wird über alle endlichen Stellen von gebildet, für die unverzweigt ist. bezeichnet die Ordnung des Restklassenkörpers. Da unverzweigt ist, hängt der Wert von nicht von der Wahl des uniformisierenden Elements ab. Das Produkt auf der rechten Seite der Definition von konvergiert in einer rechten Halbebene der komplexen Zahlenebene absolut.[51]
Zur Vervollständigung von werden noch L-Faktoren an den unendlichen Stellen benötigt:[52]
.
Ist dabei eine reelle, unendliche Stelle, so ist die Vervollständigung gleich . Der lokale Charakter kann also mit einem Charakter identifiziert werden. Letzterer besitzt notwendig die Form mit eindeutig bestimmten Zahlen und . Der L-Faktor an der reellen, unendlichen Stelle ist dann definiert durch
Ist eine nicht-reelle, unendliche, also komplexe Stelle, so ist isomorph zu , und es gibt zwei Möglichkeiten der Identifikation von mit . Man wählt eine davon und kann dann als Charakter auffassen. Ein solcher Charakter von hat stets die Form mit eindeutig bestimmten Zahlen und . Der zu gehörende L-Faktor ist dann gegeben durch
Die vollständige L-Funktion zum Idelklassencharakter ist nun definiert als[54]
,
mit dem Absolutbetrag der Diskriminante von und der Norm des Führers von . Der Führer der L-Funktion setzt sich also zusammen aus dem Absolutbetrag der Diskriminante des Zahlkörpers und der Norm des Führers des Idelklassencharakters :[55]
.
Der Grad von ist der Grad der Körpererweiterung :[56]
.
Was die Funktionalgleichung der vollständigen L-Funktion angeht, so gibt es eine relle Zahl und eine Wurzelzahl mit , so dass gilt:[57]
Ist ein unitärer Idelklassencharakter, liegt also sein Bild auf dem Einheitskreis , so ist .[58]
Die bislang aufgeführten Beispiele von L-Funktionen beziehen sich direkt auf einzelne algebraische Zahlkörper und zugehörende Charaktere. Dem gegenüber sind Artinsche L-Funktionen den Darstellungen der Galoisgruppe einer galoisschen Körpererweiterung zugeordnet. Sie stehen in einer engen Beziehung zu den oben genannten L-Funktionen, verallgemeinern jene jedoch erheblich. Die initiale Beobachtung, welche zur Definition von Artinschen L-Funktionen motiviert, betrachtet den Isomorphismus
zwischen der Gruppe der invertierbaren Restklassen des Restklassenrings , , und der Galoisgruppe des Kreisteilungskörpers der -ten Einheitswurzeln. Dieser Gruppenisomorphismus ordnet der Restklasse einer Primzahl mit den Frobeniusautomorphismus zu, der jede -te Einheitswurzel auf abbildet und dadurch festgelegt ist. Mit Hilfe dieser Isomorphie lässt sich ein Dirichlet-Charakter auch als ein Charakter auffassen. kann als die allgemeine, lineare Gruppe des eindimensionalen -Vektorraums interpretiert werden. So erhält man aus dem ursprünglichen Dirichlet-Charakter eine eindimensionale Darstellung
,
mit deren Hilfe sich die dem Dirichlet-Charakter zugeordnete L-Reihe auch in der Form schreiben lässt:[59]
.
Emil Artin (1898–1962)
Ausgehend von dieser initialen Beobachtung sind Artinsche L-Reihen folgendermaßen definiert: Es sei eine endliche, galoissche Erweiterung von Zahlkörpern mit Galoisgruppe , ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und
eine Darstellung von , also ein Gruppenhomomorphismus der Galoisgruppe in die allgemeine, lineare Gruppe der Vektorraumautomorphismen von . Sei nun ein von Null verschiedenes Primideal von und ein Primideal von , das über liegt, d. h. ist ein Faktor in der Primidealzerlegung des Ideals des Ganzheitsrings von . Die Zerlegungsgruppe von über ist die Untergruppe der Galoisgruppe . Man hat einen kanonischen, surjektiven Gruppenhomomorphismus