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Der Prototyp aller L-Funktionen: die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene. Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Verschiedene Farben kodieren verschiedene Argumente der komplexen Funktionswerte. Helle Farbtöne zeigen Funktionswerte mit großem Absolutbetrag an, dunkle einen niedrigen nahe Null.

L-Funktionen werden in der analytischen Zahlentheorie und darauf aufbauenden, mathematischen Gebieten untersucht. Das prototypische Beispiel einer L-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion. L-Funktionen haben fundamentale Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam. Sie sind also Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion. Zu den fundamentalen Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion zählen:

Basierend auf den grundlegenden Arbeiten von Leonhard Euler (1707–1783) zur heute so bezeichneten Riemannschen Zeta-Funktion, untersuchten die Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866), Peter Gustav Dirichlet (1805–1859), Richard Dedekind (1831–1916), Erich Hecke (1887–1947) und Emil Artin (1898–1962) grundlegende Unterklassen von L-Funktionen, die heute deren jeweiligen Namen tragen.

Die forschende Suche nach einer allgemeinen und eindeutigen Definition des Begriffs „L-Funktion“, welche die gewünschten und zum Teil noch unbewiesenen Eigenschaften von L-Funktionen beweisbar macht, ist noch nicht abgeschlossen. Vielmehr handelt es sich um ein wichtiges Ziel der analytischen Zahlentheorie, Klarheit über die sinnvollste Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu gewinnen. In dieser Richtung hat Atle Selberg (1917–2007) im Jahr 1992 eine axiomatische Definition der Klasse aller L-Funktionen vorgeschlagen. Ob diese oder andere Definitionsvorschläge schon alle wünschenswerten Eigenschaften von L-Funktionen umfassen und unerwünschte ausschließen, ist noch nicht abschließend geklärt. Nach wie vor prägen mathematische Vermutungen (d. h. unbewiesene, aber für plausibel oder zumindest wünschenswert gehaltene Aussagen über Eigenschaften von L-Funktionen) die Theorie der L-Funktionen. Diese zählt somit weiterhin zu den Gebieten intensiver, mathematischer Forschung.

Die beiden Begriffe „L-Funktion“ und „Zeta-Funktion“ werden häufig synonym verwendet. Trotzdem zählen nicht alle mathematischen Funktionen, deren Namen den Begriff „Zeta-Funktion“ enthalten, zu den L-Funktionen. Beispielsweise gehört die Primzetafunktion nicht zu den L-Funktionen, da sie analytisch nicht auf die ganze komplexe Ebene fortgesetzt werden kann.

Ein erstes Verständnis des Themenbereichs der L-Funktionen erfordert mathematische Kenntnisse im Bereich der komplexen Zahlen, der Funktionentheorie, der analytischen und algebraischen Zahlentheorie sowie der Darstellungstheorie von Gruppen. Solche Vorkenntnisse können in diesem Artikel zwar teilweise erläutert, aber nicht umfassend dargestellt werden.

DefinitionBearbeiten

Wie in der Einleitung erwähnt, gibt es noch keine allgemeine, eindeutige und weithin anerkannte Definition des Begriffs „L-Funktion“. Der nachfolgende Definitionsansatz folgt dem Ansatz, den die beiden Mathematiker Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski in ihrem Lehrbuch zur analytischen Zahlentheorie angegeben haben.[1] Dieser Definitionsansatz ist zwar stellenweise abstrakt und unvollständig in dem Sinne, dass er die „arithmetischen Objekte“, denen er eine „L-Funktion“ zuordnet, sowie den genauen Mechanismus dieser Zuordnung nicht näher spezifiziert. Er umfasst aber die Eigenschaften, die von L-Funktionen im Allgemeinen erwartet werden, und ermöglicht es somit, die entscheidenden Merkmale dieser Funktionen zu erläutern. Nebenbei werden auch noch weitere Grundbegriffe der Theorie der L-Funktionen eingeführt:

Es sei   ein – im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziertes – arithmetisches Objekt, z. B. ein Dirichlet-Charakter oder ein algebraischer Zahlkörper. Diesem arithmetischen Objekt   zugeordnet ist eine Funktion  , die komplexe Argumente   auf komplexe Funktionswerte abbildet. Iwaniec und Kowalski nennen eine solche Funktion   eine L-Funktion, wenn   die nachfolgenden, mathematischen Objekte zugeordnet sind (siehe D-1 bis D-6), die die anschließend genannten Bedingungen erfüllen (siehe B-1 bis B-9):

D-1: Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt

Dem arithmetischen Objekt   zugeordnet sind eine Dirichlet-Reihe

 ,

welche man auch eine L-Reihe nennt, und ein Euler-Produkt

 .

Dabei ist   für alle natürlichen Zahlen   und  .   symbolisiert die Menge aller Primzahlen. Die natürliche Zahl   heißt der Grad des Euler-Produkts oder auch der Grad der L-Funktion  . Für jede Primzahl   und jedes   ist  . Die komplexen Zahlen   werden Lokale Wurzeln oder auch Lokale Parameter von   bei   genannt. Für ein gegebenes   heißt der Ausdruck

 ,

also der  -te Faktor im Euler-Produkt, der Euler-Faktor von   bei  .

D-2: Gamma-Faktor

Daneben ist dem Objekt   ein so genannter Gamma-Faktor

 

zugeordnet, wobei   die Gamma-Funktion,   die Kreiszahl und   den oben genannten Grad der L-Funktion bezeichnen. Die Parameter   sind komplexe Zahlen. Sie heißen die Lokalen Parameter von   im Unendlichen oder an der unendlichen Primstelle.

D-3: Führer (Konduktor)

Ebenfalls zugeordnet ist dem Objekt   eine natürliche Zahl

 ,

der so genannte Führer oder Konduktor von  . Primzahlen  , die   nicht teilen, heißen unverzweigt bzgl.  .

D-4: Vollständige L-Funktion

Mit Hilfe der Dirichlet-Reihe, des Gamma-Faktors und des Führers, die   zugeordnet sind, definiert man jetzt die so genannte vollständige L-Funktion von  :

 

D-5: Wurzelzahl

Des Weiteren ist dem Objekt   eine komplexe Zahl

 

zugeordnet. Diese komplexe Zahl heißt die Wurzelzahl von  .

D-6: Duales, arithmetisches Objekt

Schließlich ist   noch ein weiteres, arithmetisches Objekt zugeordnet, das im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziert wird. Es wird das Dual von   genannt und mit   bezeichnet. Wie im Fall von   sind auch   eine Dirichlet-Reihe

 ,

ein Euler-Produkt

 

mit  , ein Gamma-Faktor   und ein Führer   sowie eine vollständige L-Funktion   zugeordnet. Ist  , so nennt man   selbstdual, was nichts anderes bedeutet als   für alle  .[2]

Die oben genannten, dem arithmetischen Objekt   zugeordneten Objekte müssen nun die folgenden Bedingungen erfüllen, damit   die Definition einer L-Funktion nach Iwaniec und Kowalski erfüllt:

B-1: Absolutbetrag von lokalen Parametern bei  

Für jede Primzahl   und jedes   ist  .

B-2: Werte von lokalen Parametern bei unverzweigtem  

Für alle Primzahlen  , die bzgl.   unverzweigt sind, und alle   ist  .

B-3: Anforderungen an die lokalen Parameter im Unendlichen

Die Parameter   sind entweder reell oder kommen in Form komplex konjugierter Paare im Gamma-Faktor   vor. Außerdem ist   für jedes  . Diese letzte Bedingungen sorgt dafür, dass   keine Nullstellen in   und keine Polstellen mit   besitzt.   bezeichnet den Realteil einer komplexen Zahl.

B-4: Absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe und des Euler-Produkts

Sowohl die Dirichlet-Reihe als auch das Euler-Produkt, die   zugeordnet sind, konvergieren für   absolut.

B-5: Übereinstimmung von L-Funktion, Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt in einer komplexen Halbebene

Die L-Funktion, die Dirichlet-Reihe und das Euler-Produkt, die   zugeordnet sind, stimmen in der komplexen Halbebene   überein:

 

B-6: Analytische Fortsetzbarkeit und Polstellen

Schon aus den Bedingungen, die die   zugeordnete Dirichlet-Reihe erfüllen muss, folgt die Holomorphie der vollständigen L-Funktion   in der Halbebene  . Diese muss aber auch analytisch fortsetzbar sein zu einer meromorphen Funktion der Ordnung 1 auf ganz  , welche Polstellen höchstens in   und   besitzt.

B-7: Absolutbetrag der Wurzelzahl

Die Wurzelzahl   besitzt den Absolutbetrag 1. Also:  .

B-8: Anforderungen an die Objekte, die dem Dual von   zugeordnet sind

Was das Dual   von   angeht, so muss gelten:   für alle  , sowie   und  . Das bedeutet: In der Dirichlet-Reihe, die   zugeordnet ist, sind die  -Koeffizienten gerade die komplex konjugierten Zahlen der  -Koeffizienten in der Dirichlet-Reihe, die   zugeordnet ist. Die Gamma-Faktoren und Führer, die   bzw.   zugeordnet sind, stimmen überein.

B-9: Funktionalgleichung

Die beiden vollständigen L-Funktionen, die   bzw.   zugeordnet sind, erfüllen die Funktionalgleichung

 

für alle  .

 
Atle Selberg (1917–2007)

Der Definitionsansatz von Iwaniec und Kowalski spiegelt die Tatsache wider, dass eine Funktion, die als L-Funktion angesehen wird, typischerweise als Zuordnung der L-Funktion zu einem mathematischen Objekt (z. B. Dirichlet-Charakter, algebraischer Zahlkörper) auftritt. Ihr Definitionsansatz ist abstrakt und unvollständig, da er die Frage offen lässt, was denn jene mathematischen Objekte genau sind und wie jene Zuordnung stattzufinden hat.

Ohne Bezug zu anderen, mathematischen Objekten kommt der Definitionsansatz des norwegisch-US-amerikanischen Mathematikers Atle Selberg von 1992 aus. In einer nicht-abstrakten, eindeutigen Definition spezifiziert er eine Teilmenge der Menge aller Dirichlet-Reihen, deren Elemente bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen: absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe, analytische Fortsetzbarkeit, Funktionalgleichung, Ramanujan-Vermutung[Anm. 1] und Euler-Produkt. Diese Teilmenge wird heute als Selberg-Klasse bezeichnet.[3]

Die alles überragende Hypothese und der motivierende Hintergrund für die Definition der Selberg-Klasse ist die so genannte Große Riemannsche Vermutung. Auf die Selberg-Klasse angewandt besagt diese Vermutung: keine Nullstelle einer analytischen Fortsetzung einer Dirichlet-Reihe in der Selberg-Klasse besitzt einen Realteil größer als 1/2. Diese Vermutung entspricht im Fall des (vermeintlich) einfachsten Elements der Selberg-Klasse (Riemannsche Dirichlet-Reihe samt ihrer analytischen Fortsetzung zur Riemannschen Zeta-Funktion) der Riemannschen Vermutung, welche bis heute weder bewiesen noch widerlegt ist. Die Große Riemannsche Vermutung konnte bislang für kein einziges Element der Selberg-Klasse bewiesen oder widerlegt werden.

Vor diesem Hintergrund sind auch die noch existierenden Unzulänglichkeiten bei der Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu sehen: man möchte den Begriff „L-Funktion“ so definieren, dass L-Funktionen die Große Riemannsche Vermutung beweisbar erfüllen – andererseits konnte man bislang noch nicht einmal den einfachsten Fall (Riemannsche Vermutung für die Riemannsche Zeta-Funktion) beweisen, was ein Zeichen für mangelndes Verständnis der Riemannschen Zeta-Funktion sein könnte und damit eine eindeutige Definition des verallgemeinernden Begriffs der „L-Funktion“ erschwert.

Beispiele von L-FunktionenBearbeiten

Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über grundlegende Beispiele von L-Funktionen.

Riemannsche Zeta-FunktionBearbeiten

 
Bernhard Riemann (1826–1866)

Das einfachste Beispiel einer L-Funktion und gleichzeitig Ausgangspunkt für jede Definition des Begriffs „L-Funktion“ ist die Riemannsche Zeta-Funktion  .[4] Eines der möglichen „arithmetischen Objekte“   im Sinne des Definitionsansatzes von Iwaniec und Kowalski, welchem diese L-Funktion zugeordnet werden kann, ist der Körper   der rationalen Zahlen. Ihre Dirichlet-Reihe

 

also

 

für alle  , konvergiert für   absolut. Zusammen mit ihrem ebenfalls absolut konvergenten Euler-Produkt gilt für  :[5]

 
 
Riemannsche Zeta-Funktion  : Konturlinien Realteil( (s))=0, blau, und Imaginärteil( (s))=0, fliederfarben, für −5<Re(s)<3 und −25<Im(s)<65, sowie die "kritische Gerade" Re(s)=1/2, braun. Für Re(s)<1 sind die Schnittpunkte der blauen und fliederfarbenen Konturlinien Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion.

Da alle   reell sind, nämlich gleich 1, ist   selbstdual. Das zu   duale Objekt ist also ebenfalls  , somit  .

Der Grad des Euler-Produktes der Riemannschen Zeta-Funktion ist

 .

Für ihre lokalen Parameter bei   gilt:

 

für alle  . Üblicherweise wird für die Riemannsche Zeta-Funktion der folgende Gamma-Faktor verwendet:

 

Der lokale Parameter   im Unendlichen ist dann also 0. Der Führer von   ist

 ,

so dass die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion die Gestalt

 

annimmt. Diese Definition ist nur für   gültig, da nur in dieser Halbebene die Riemannsche Zeta-Funktion über ihre Dirichlet-Reihe oder ihr Euler-Produkt definiert werden kann. Allerdings besitzt die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene. Diese Fortsetzung ist holomorph bis auf zwei einfache Polstellen in   und   mit den Residuen −1 bzw. 1.[6] Bezeichnet man auch die fortgesetzte, vollständige Riemannsche Zeta-Funktion mit  , so erfüllt sie mit der Wurzelzahl

 

die Funktionalgleichung[7]

 

Damit besitzt auch die zunächst nur für   durch ihre Dirichlet-Reihe oder Euler-Produkt definierte Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf  , welche einzig in   nicht definiert ist, da sie dort über eine einfache Polstelle mit Residuum 1 verfügt. Behält man die Bezeichnung   auch für die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion bei, so erfüllt sie die Funktionalgleichung[8]

 

Die (analytisch fortgesetzte) Riemannsche Zeta-Funktion birgt eine der wichtigsten Fragen der analytischen Zahlentheorie, nämlich die Frage nach der genauen Lage ihrer sogenannten nicht-trivialen Nullstellen. Diese liegen im kritischen Streifen  . Die Riemannsche Vermutung aus dem Jahr 1859 – bis heute weder bewiesen noch widerlegt – stellt die These auf, alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besäßen den Realteil 1/2. Ein Beweis dieser Vermutung würde besonders gute Abschätzungen über die Verteilung der Primzahlen gestatten.

Dirichletsche L-FunktionenBearbeiten

Die nächsten Verwandten der Riemannschen Zeta-Funktion sind die Dirichletschen L-Funktionen, welche die Riemannsche Zeta-Funktion als Spezialfall enthalten. Sind in der zur Riemannschen Zeta-Funktion gehörenden Dirichlet-Reihe noch alle  - Koeffizienten gleich 1, so werden diese bei Dirichletschen L-Funktionen mit Hilfe eines Dirichlet-Charakters definiert. Sie nehmen somit komplexe Werte mit dem Absolutbetrag 1 an oder sind gleich 0. Sei also für ein   ein Dirichlet-Charakter modulo  

 
 
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)

gegeben, d. h. ein Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der bzgl. der Multiplikation invertierbaren Elemente des Restklassenrings   in die Kreisgruppe   der komplexen Zahlen mit Absolutbetrag 1. Ein solcher Dirichlet-Charakter   heißt primitiv und   der Führer von  , wenn er nicht schon durch eine Komposition

 

aus einem Dirichlet-Charakter   modulo   mit einem echten Teiler   von   hervorgeht. Mit Hilfe eines solchen Dirichlet-Charakters   definiert man die nachfolgende Abbildung, welche ebenfalls mit   und als Dirichlet-Charakter modulo   bezeichnet wird:[9]

 
 
Dirichletsche L-Funktion zum Dirichlet-Charakter   modulo 7 mit   für komplexe s mit −7 < Re(s) < 8 und −20 < Im(s) < 20: Die Verwandtschaft mit der Riemannschen Zeta-Funktion ist augenfällig. Trotzdem gibt es deutliche Unterschiede: Da es sich bei   um einen nicht-trivialen Dirichlet-Charakter handelt, ist die abgebildete Funktion ganz. Sie besitzt also keine Polstelle wie die Riemannsche Zeta-Funktion in  . Im Vergleich zur Riemannschen Zeta-Funktion sind die reellen (trivialen) Nullstellen um eine Einheit nach rechts verschoben. Sie sind als schwarze Punkte in −1, −3, −5 usw. im Schaubild erkennbar.[10] Die schwarzen Punkte im vertikalen Streifen 0<Re(s)<1 gehören zu den unendlich vielen, nicht-reellen (nicht-trivialen) Nullstellen dieser Dirichletschen L-Funktion. Die Große Riemannsche Vermutung erwartet jede dieser nicht-trivialen Nullstellen auf der vertikalen Geraden Re(s)=1/2.

Die trivialen Dirichlet-Charaktere   modulo   besitzen den Funktionswert 1, falls  , andernfalls 0. Der triviale Dirichlet-Charakter modulo 1 heißt der Hauptcharakter. Er erfüllt   für alle  .

Ist nun   ein primitiver Dirichlet-Charakter modulo  , so ordnet man diesem arithmetischen Objekt   folgendermaßen eine L-Funktion zu: Mit

 

konvergiert die Dirichlet-Reihe (auch Dirichletsche L-Reihe genannt)

 

für   absolut.[11] Mit den lokalen Parametern bei  

 

gilt dies auch für das zugehörende Euler-Produkt, und man hat die Identität[12]

 

für  . Wie bei der Riemannschen Zeta-Funktion ist

 

der Grad des Euler-Produkts. Setzt man  , falls   (in diesem Fall heißt   gerade), und  , falls   (in diesem Fall heißt   ungerade), so ist

 

der   zugeordnete Gamma-Faktor. Jenes   ist also der lokale Parameter an der unendlichen Primstelle. Der Führer   des primitiven Dirichlet-Charakters   ist auch der Führer der Dirichletschen L-Funktion:

 .

Die vollständige Dirichletsche L-Funktion besitzt somit die Form[13]

 

eine Definition, die nur für   gilt, da nur dort die verwendete Dirichlet-Reihe konvergiert. Eine solche vollständige Dirichletsche L-Funktion kann aber analytisch auf   fortgesetzt werden. Dabei entsteht eine ganze Funktion, falls   ein nicht-trivialer Dirichlet-Charakter ist.[14] Andernfalls hat die fortgesetzte Funktion einen einfachen Pol in   mit Residuum 1. Das zu   duale Objekt ist  , also derjenige Dirichlet-Charakter, der aus   durch komplexe Konjugation der Funktionswerte von   hervorgeht, d. h.

 

für alle  . Die Wurzelzahl   kann mit Hilfe der Gaußschen Summe[15]

 

berechnet werden, in der sich die Summation über alle Restklassen modulo des Führers   erstreckt sowie   die Kreiszahl,   die imaginäre Einheit und   die Exponentialfunktion bezeichnen. Mit

 

erfüllt dann die fortgesetzte, vollständige Dirichletsche L-Funktion die Funktionalgleichung[16]

 

Wie von Wurzelzahlen gefordert, ist  , da  .[17] Die Dirichletschen L-Funktionen umfassen die Riemannsche Zeta-Funktion, da diese aus dem trivialen Dirichlet-Charakter modulo 1, also dem Hauptcharakter, entsteht.[18]

Der deutsche Mathematiker Peter Gustav Dirichlet verwendete 1837 die nach ihm benannten Dirichletschen L-Funktionen, um den Dirichletschen Primzahlsatz zu beweisen, wonach in jeder arithmetischen Folge (auch arithmetische Progression genannt)

 

d. h. in jeder Restklasse  , unendlich viele Primzahlen liegen.[19][20] Das entscheidende Argument im Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes ist die Erkenntnis, dass   gilt für jeden nicht-trivialen Dirichlet-Charakter  .[21]

Dedekindsche L-FunktionenBearbeiten

Die Riemannsche Zeta-Funktion bezieht sich auf den Körper   der rationalen Zahlen, dem einfachsten algebraischen Zahlkörper. Dedekindsche L-Funktionen verallgemeinern diesen Bezug auf beliebige algebraische Zahlkörper, also endlichen Körpererweiterungen von   wie zum Beispiel  . Sei also   ein algebraischer Zahlkörper und   sein Erweiterungsgrad über  . Sei   sein Ganzheitsring und   seine Diskriminante. Weiter seien   die Anzahl der reellen Einbettungen und   die Anzahl der Paare komplexer Einbettungen von  . Es ist also  .

 
Richard Dedekind (1831–1916)

Die Dedekindsche L-Funktion (auch Dedekindsche Zeta-Funktion genannt) bzgl.   ist für   definiert durch[22]

 

In der Summe durchläuft   alle vom Nullideal   verschiedenen, ganzen Ideale von  .   bezeichnet die Absolutnorm von  . Die Koeffizienten der Dirichlet-Reihe

 

sind also[23]

 

Sie geben zu jedem   die Anzahl der ganzen Ideale von   mit Absolutnorm   an. Insbesondere sind alle Koeffizienten   reell und deshalb   selbstdual. Jene Dirichlet-Reihe konvergiert für   absolut, ebenso wie das zugehörende Euler-Produkt

 

Dabei erstreckt sich das Produkt über alle vom Nullideal verschiedenen Primideale   von  . Es gilt für   die Identität[24]

 

Diese Gestalt des Euler-Produkts zeigt noch nicht die einzelnen Euler-Faktoren  . Der Grad des Euler-Produkts ist jedenfalls gleich dem Grad der Körpererweiterung  : [25]

 

Die lokalen Parameter   hängen vom Zerlegungsverhalten der Ideale   ab: jedes Ideal   besitzt eine, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutige Primidealzerlegung

 

in Primideale  , in der gilt:   und   für nur endlich viele Primideale  . Für höchstens   viele Primideale   kann   gelten. Solche   teilen   und man schreibt dafür  . Der Exponent   in der Primidealzerlegung von   heißt der Verzweigungsindex von   über  . Ist  , so gilt   für ein  , welches der Trägheitsindex von   über   genannt wird. Für jedes   erfüllen die zum Ideal   gehörenden Verzweigungs- und Trägheitsindizes die folgende Beziehung zum Grad von  :

 

Mit Hilfe der Kenntnis der Trägheitsindizes für jedes   lassen sich nun die lokalen Parameter   bestimmen, nämlich über die Faktoren   in der Identität[26]

 

indem man die Polynome   im Polynomring   faktorisiert.

Der Gamma-Faktor bzgl.   ist[27]

 

Der Betrag der Diskriminante von   ist der Konduktor von  : [28]

 

Damit ist die vollständige L-Funktion von   für   gegeben durch

 

Diese besitzt eine analytische Fortsetzung auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polen bei   und   und den dortigen Residuen   bzw.  . Dabei ist   die Anzahl der unendlichen Stellen,   die Klassenzahl und   der Regulator von   sowie   die Anzahl der Einheitswurzeln, die in   liegen.[29]

Dedekindsche L-Funktionen haben stets die Wurzelzahl 1: [30]

 

Somit genügt die analytisch fortgesetzte, vollständige L-Funktion von   der Funktionalgleichung[31]

 

Die analytisch fortgesetzte Funktion   gestattet nun auch die analytische Fortsetzung von  , nämlich durch die Definition[32]

 

Dadurch wird   zu einer meromorphen Funktion auf   mit einem einfachen Pol in  . Eine ihrer faszinierenden Eigenschaften ist die sogenannte analytische Klassenzahlformel, wonach das Residuum von   in   die folgende Gestalt annimmt: [33]

 

Heckesche L-FunktionenBearbeiten

Heckesche L-Funktionen sind gemeinsame Verallgemeinerungen der Dirichletschen und der Dedekindschen L-Funktionen. Sie beziehen sich also einerseits auf beliebige algebraische Zahlkörper (wie die Dedekindschen L-Funktionen) und hängen andererseits von geeigneten Charakteren ab (wie die Dirichletschen L-Funktionen). Der deutsche Mathematiker Erich Hecke definierte die nach ihm benannten L-Funktionen mit Hilfe sogenannter Größencharaktere und konnte die bei L-Funktionen gewünschten Eigenschaften beweisen. Der modernere Zugang zu L-Funktionen mit Bezug zu beliebigen algebraischen Zahlkörpern und geeigneten Charakteren, der auch noch weitreichend verallgemeinert werden kann, verwendet Idelklassencharaktere.

L-Funktionen zu GrößencharakterenBearbeiten

Heckesche L-Reihen zu Größencharakteren besitzen die Form[34]

 
Erich Hecke (1887–1947)
 

Wie bei Dedekindschen L-Funktionen bezeichnet   einen algebraischen Zahlkörper mit Ganzheitsring   und Erweiterungsgrad  . Die Summe durchläuft wieder alle vom Nullideal verschiedenen, ganzen Ideale   von   und   bezeichnet die Absolutnorm von  . Die komplexen Werte   beruhen auf einem Charakter (d. h. Gruppenhomomorphismus)

 

Dabei ist   ein ganzes Ideal von   und   symbolisiert die Gruppe der zu   teilerfremden, gebrochenen Ideale von  . Das bedeutet: ein gebrochenes Ideal   von   liegt genau dann in  , wenn der Exponent von   in der Primidealzerlegung von   gleich 0 ist für alle Primideale   von  , die das ganze Ideal   teilen (d. h.  ). Die Gruppe   verallgemeinert die bei Dirichletschen L-Funktionen verwendeten Gruppen  .

Ist nun   ein beliebiger, solcher Charakter und setzt man   für alle Ideale  , die nicht teilerfremd zu   sind, so konvergiert die oben angegebene L-Reihe   in der Halbebene   absolut. Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung von Idealen in   gilt die nachfolgende Gleichheit mit dem zugehörenden Euler-Produkt, welches alle von Null verschiedenen Primideale   von   durchläuft:[35]

 

Die eigentliche Herausforderung liegt nun aber in einer geeigneten Auswahl der Charaktere  , so dass die für L-Funktionen typischen Eigenschaften bewiesen werden können. Die Charaktere mit diesen wünschenswerten Eigenschaften heißen Größencharaktere: Ein Größencharakter modulo eines ganzen Ideals   des algebraischen Zahlkörpers   ist ein Gruppenhomomorphismus[36]

 

zu dem es zwei Charaktere

 

gibt, so dass für alle zu   teilerfremden Zahlen   gilt:

 

Zur Erläuterung dieser Definition:

  •   symbolisiert die Einheitengruppe des Restklassenrings   modulo  , besteht also aus allen Elementen von  , die invertierbar sind.
  •   bezeichnet den Minkowski-Raum bzgl.  . Ist   die Menge aller Einbettungen  , so besteht   aus allen  -Tupeln  ,  , mit   für alle  .[37] Addition und Multiplikation in der  -dimensionale  -Algebra   sind komponentenweise definiert. Das Bild der Einbettungsfunktion   liegt in  .[38] Die multiplikative Gruppe   besteht aus allen Elemente von  , bei denen sämtliche Komponenten von Null verschieden sind. Ist  , so ist   für alle  , denn die Einbettungen   sind Körperhomomorphismen. Der Gruppenhomomorphismus  , bettet also die multiplikative Gruppe   in die multiplikative Gruppe   ein.
  • Ein Element   heißt teilerfremd zum ganzen Ideal  , wenn das Hauptideal   teilerfremd zu   ist. Bezeichnet   die Gruppe der zu   teilerfremden Elemente   und ist   mit zwei zu   teilerfremden  , so hat man den wohldefinierten Gruppenhomomorphismus  ,  , der   auf den Quotienten der Restklassen von   und   modulo   abbildet.[39]
  • Entsprechend seiner Definition zerfällt   auf den zu   teilerfremden Hauptidealen   in einen "endlichen" Charakter   und einen "unendlichen" Charakter  . Korrekterweise müssten in dieser Zerlegungsbedingung   durch   und   durch   ersetzt werden, worauf der Kürze halber stets verzichtet wird.   und   sind durch   eindeutig bestimmt.[40]

Ein Größencharakter modulo   heißt primitiv, wenn er nicht als Einschränkung

 

eines Größencharakters   modulo   dargestellt werden kann, in der das ganze Ideal   ein echter Teiler des ganzen Ideals   ist.   ist genau dann nicht primitiv, wenn sein "endlicher" Charakter   über   faktorisiert, d. h. wenn   als Kompositum

 

geschrieben werden kann, in der   der "endliche" Charakter eines Größencharakters   modulo   ist mit einem echten Teiler   von  . Der Führer eines Größencharakters   modulo   ist der kleinste Teiler   von  , so dass   als Einschränkung   eines Größencharakters   dargestellt werden kann. Der Führer von   lässt sich auch mit Hilfe des "endlichen" Charakters   von   definieren:   ist der kleinste Teiler von  , so dass   über   faktorisiert.[41]

Mit Hilfe des Begriffs eines primitiven Größencharakters lassen sich nun alle für L-Funktionen typischen Objekte definieren und die gewünschten Aussagen nachweisen: vervollständigte Heckesche L-Funktion, analytische Fortsetzung, Führer, Wurzelzahl und Funktionalgleichung. Dies ist der Weg, den Erich Hecke beschritten hat und im Lehrbuch von Neukirch detailliert beschrieben wird.[42] Dieser Zugang verwendet allerdings mathematische Objekte (ideale Zahlen), die aus heutiger Sicht als überholt gelten können und das eigentliche Wesen der vervollständigten Heckeschen L-Funktionen verschleiern.[43]

L-Funktionen zu IdelklassencharakterenBearbeiten

Die modernere Theorie zur Behandlung von Heckeschen L-Funktionen, die auch noch weitreichend verallgemeinert werden kann, ist unter dem Namen Tate's Thesis (Doktorarbeit des US-amerikanischen Mathematikers John T. Tate) bekannt. Diese Theorie verwendet Idelklassencharaktere anstelle primitiver Größencharaktere[44], zu deren Definition die Begriffe Adel und Idel benötigt werden: Sei weiterhin   ein algebraischer Zahlkörper und

 
John T. Tate (1925–2019)
 

der Adelring von  . Dabei durchläuft   die unendliche Menge aller Stellen, d. h. die Menge aller Äquivalenzklassen nicht-trivialer Absolutbeträge von  .   bezeichnet die komplette Hülle (Vervollständigung) von   bzgl.  .[Anm. 2] Das Auslassungszeichen am Produktsymbol zeigt die Einschränkung im Vergleich zum direkten Produkt   an, dass in jedem Adel   für fast alle (d. h. für alle bis auf höchstens endlich viele) Stellen   die Komponente   im Ring   der  -ganzen Elemente von   liegen muss. Der kanonische Einbettungshomomorphismus  ,   für alle  , ist wohldefiniert, da jedes   für fast alle Stellen   ganz ist.[45] Die Elemente der multiplikativen Gruppe   der Einheiten (invertierbaren Elemente) von   heißen die Idele von  . Auch   lässt sich als eingeschränktes Produkt schreiben:

 .

Hier bedeutet das Auslassungszeichen, dass ein Element   des direkten Produkts   genau dann ein Idel ist, wenn   für fast alle Stellen   gilt. Vermöge  ,  ,   für alle  , lässt sich die Einheitengruppe von   in die Gruppe der Idele einbetten, so dass man   als Untergruppe der Idelgruppe   auffassen kann, deren Elemente die Hauptidele von   genannt werden. Die Quotientengruppe   heißt die Idelklassengruppe von  . Idelgruppe und Idelklassengruppe werden mit geeigneten Topologien versehen, so dass man anschließend von stetigen Abbildungen sprechen kann.[46] Ein Idelklassencharakter von   ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus

 ,

der auf   trivial ist, also dort ausschließlich den Wert 1 annimmt. Insofern kann man   auch als Charakter   der Idelklassengruppe auffassen, was den Namen "Idelklassencharakter" rechtfertigt. Ein solcher Charakter besitzt stets eine Zerlegung

 

in lokale Charaktere  , die für fast alle Stellen   von   unverzweigt sind. Dies wird durch das Auslassungszeichen am Produktsymbol angezeigt. Dabei heißt ein lokaler Charakter   unverzweigt, wenn seine Einschränkung auf   trivial ist, andernfalls verzweigt.[47]

Der Führer   eines Idelklassencharakters ist ein ganzes Ideal in  , nämlich

 

Das Produkt durchläuft alle endlichen Stellen von  .   ist das durch   bestimmte Primideal. Die Exponenten   liegen in  . Ist   unverzweigt, so ist   und   trägt nichts zum Führer bei. Ist   verzweigt, so ist   die kleinste natürliche Zahl  , so dass   auf   trivial ist. Dabei bezeichnet   ein uniformisierendes Element.[48]

Die (nicht vervollständigte) L-Funktion zum Idelklassencharakter   ist definiert durch

 .

Das Produkt wird über alle endlichen Stellen   von   gebildet, für die   unverzweigt ist.   bezeichnet die Ordnung des Restklassenkörpers  . Da   unverzweigt ist, hängt der Wert von   nicht von der Wahl des uniformisierenden Elements   ab. Das Produkt auf der rechten Seite der Definition von   konvergiert in einer rechten Halbebene der komplexen Zahlenebene absolut.[49]

Zur Vervollständigung von   werden noch L-Faktoren an den unendlichen Stellen benötigt:[50]

 .

Ist dabei   eine reelle, unendliche Stelle, so ist die Vervollständigung   gleich  . Der lokale Charakter   kann also mit einem Charakter   identifiziert werden. Letzterer besitzt notwendig die Form   mit eindeutig bestimmten Zahlen   und  . Der L-Faktor an der reellen, unendlichen Stelle   ist dann definiert durch

 

Ist   eine nicht-reelle, unendliche, also komplexe Stelle, so ist   isomorph zu  , und es gibt zwei Möglichkeiten der Identifikation von   mit  . Man wählt eine davon und kann dann   als Charakter   auffassen. Ein solcher Charakter von   hat stets die Form   mit eindeutig bestimmten Zahlen   und  . Der zu   gehörende L-Faktor ist dann gegeben durch

 [51]

Die vollständige L-Funktion zum Idelklassencharakter   ist nun definiert als[52]

 ,

mit dem Absolutbetrag   der Diskriminante von   und der Norm   des Führers von  . Der Führer der L-Funktion   setzt sich also zusammen aus dem Absolutbetrag der Diskriminante des Zahlkörpers   und der Norm des Führers des Idelklassencharakters  :[53]

 .

Der Grad von   ist der Grad der Körpererweiterung  :[54]

 .

Was die Funktionalgleichung der vollständigen L-Funktion   angeht, so gibt es eine relle Zahl   und eine Wurzelzahl   mit  , so dass gilt:[55]

 

Ist   ein unitärer Idelklassencharakter, liegt also sein Bild auf dem Einheitskreis  , so ist  .[56]

Artinsche L-FunktionenBearbeiten

Die bislang aufgeführten Beispiele von L-Funktionen beziehen sich direkt auf einzelne algebraische Zahlkörper und zugehörende Charaktere. Dem gegenüber sind Artinsche L-Funktionen den Darstellungen der Galoisgruppe einer galoisschen Körpererweiterung zugeordnet. Sie stehen in einer engen Beziehung zu den oben genannten L-Funktionen, verallgemeinern jene jedoch erheblich. Die initiale Beobachtung, welche zur Definition von Artinschen L-Funktionen motiviert, betrachtet den Isomorphismus

 

zwischen der Gruppe der invertierbaren Restklassen des Restklassenrings  ,  , und der Galoisgruppe des Kreisteilungskörpers   der  -ten Einheitswurzeln. Dieser Gruppenisomorphismus ordnet der Restklasse   einer Primzahl   mit   den Frobeniusautomorphismus   zu, der jede  -te Einheitswurzel   auf   abbildet und dadurch festgelegt ist. Mit Hilfe dieser Isomorphie lässt sich ein Dirichlet-Charakter   auch als ein Charakter   auffassen.   kann als die allgemeine, lineare Gruppe   des eindimensionalen  -Vektorraums   interpretiert werden. So erhält man aus dem ursprünglichen Dirichlet-Charakter eine eindimensionale Darstellung

 ,

mit deren Hilfe sich die dem Dirichlet-Charakter zugeordnete L-Reihe auch in der Form schreiben lässt:[57]

 .
 
Emil Artin (1898–1962)

Ausgehend von dieser initialen Beobachtung sind Artinsche L-Reihen folgendermaßen definiert: Es sei   eine endliche, galoissche Erweiterung von Zahlkörpern mit Galoisgruppe  ,   ein endlich-dimensionaler  -Vektorraum und

 

eine Darstellung   von  , also ein Gruppenhomomorphismus der Galoisgruppe   in die allgemeine, lineare Gruppe   der Vektorraumautomorphismen von  . Sei nun   ein von Null verschiedenes Primideal von   und   ein Primideal von  , das über   liegt, d. h.   ist ein Faktor in der Primidealzerlegung des Ideals   des Ganzheitsrings   von  . Die Zerlegungsgruppe   von   über   ist die Untergruppe   der Galoisgruppe  . Man hat einen kanonischen, surjektiven Gruppenhomomorphismus

 

von der Zerlegungsgruppe   auf die Galoisgruppe der Erweiterung   endlicher Restkörper   und  . Dabei ist   der Körperautomorphismus  . Der Kern   dieses surjektiven Gruppenhomomorphismus heißt die Trägheitsgruppe von   über   und liefert den kanonischen Gruppenisomorphismus

 .

Als Galoisgruppe einer Erweiterung endlicher Körper ist   zyklisch und wird vom Frobeniusautomorphismus

 

erzeugt. Jedes seiner Urbilder in   unter dem kanonischen Gruppenisomorphismus erzeugt die Faktorgruppe   und wird ein Frobeniusautomorphismus   von   über   genannt. Ist die Trägheitsgruppe nicht-trivial, so gibt es mehrere, solche Urbilder. Beschränkt man aber ein   auf den Fixmodul  , einen Untervektorraum von  , so entsteht unabhängig von der Wahl von   ein wohldefinierter Automorphismus  . Es bezeichne   die Dimension des Untervektorraums   und   die  -dimensionale Einheitsmatrix.[58]

Die Artinsche L-Reihe zur Darstellung   der Galoisgruppe   ist nun definiert durch[59]

 

in der das Produkt alle von Null verschiedenen Primideale des Ganzheitsrings von   durchläuft. Das erste Produkt ist die Kurzschreibweise dieser Definition, welche durch das zweite Produkt erläutert werden soll: Der Ausdruck   liefert ein Polynom vom Grad   in  . Im Vergleich zum charakteristischen Polynom   von   ist in diesem Polynom die Reihenfolge der Koeffizienten umgekehrt. Die Schreibweise   bedeutet, dass   an die Stelle von   in das Polynom   eingesetzt werden soll. Die einzelnen Euler-Faktoren   hängen nicht von der Wahl des über   gelegenen Primideals   ab, da eine andere Wahl lediglich zu einem bzgl.   konjugierten Frobeniusautomorphismus führt, welcher das Polynom   nicht ändert. Artinsche L-Reihen sind somit wohldefiniert. Sie konvergieren in der Halbebene   absolut und für jedes   gleichmäßig in  . Sie stellen dort also analytische (holomorphe) Funktionen dar.[60]

Der Charakter einer Darstellung   der Galoisgruppe   wird definiert als die Funktion

 

Zwei Darstellungen   und   der Galoisgruppe   heißen äquivalent, wenn die  -Moduln   und  , also die abelschen Gruppen   und  , auf denen die   als Automorphismengruppe operiert, isomorph sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Charaktere   und   gleich sind.[61] Deshalb bezeichnet man die Artinsche L-Reihe   in der Regel mit  .[62] Entsprechend ihrer Definition durchläuft sie nur die endlichen Stellen von  , nämlich die von Null verschiedenen Primideale von  . Es fehlt noch der Gamma-Faktor an den unendlichen Stellen: