(Algebraische) Funktionenkörper sind in der Mathematik algebraische Entsprechungen geometrischer Objekte. Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.
Algebraische Definition Bearbeiten
Es sei ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.
Der algebraische Abschluss von in heißt Konstantenkörper.
Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.
Geometrische Definition Bearbeiten
Ist ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper , so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von . Er ist ein Funktionenkörper über im algebraischen Sinne.
Beispiel Bearbeiten
Die rationalen Funktionen auf einer (irreduziblen) Varietät bilden einen Funktionenkörper.
Literatur Bearbeiten
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, 2006, ISBN 9783540376637, S. 99 ff.