Klassenzahl

misst Ideale modulo Hauptideale

Sei ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist seine Klassenzahl die Ordnung der (stets endlichen) Idealklassengruppe von .

Zahlentheoretische Bedeutung

Bearbeiten

Möchte man eine Gleichung   über einem Zahlkörper lösen, so ist eine mögliche Strategie, die Gleichung über der Idealgruppe   und der Idealklassengruppe   zu lösen. Ist 1 die einzige Lösung über der Idealklassengruppe, so ist jedes Ideal   mit   ein Hauptideal:  . Diese Zahl   löst die ursprüngliche Gleichung modulo Einheiten.

Um die Gleichung über   zu lösen, genügt es, die Struktur von   als abelsche Gruppe zu kennen. In den meisten Fällen genügt sogar die Kenntnis der Primfaktorzerlegung von   (z. B.   für   oder:  , falls  ).

Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Idealklassenzahl eine der zentralen Aufgaben der Zahlentheorie.

Beispiel Kreisteilungskörper und fermatsche Vermutung

Bearbeiten

In den frühen Beweisversuchen zur Fermatschen Vermutung ging man stillschweigend davon aus, dass die für dieses Problem wichtigen Kreisteilungskörper   (mit   dem jeweiligen Exponenten in der Fermatgleichung und   einer primitiven  -ten Einheitswurzel) eine eindeutige Primfaktorzerlegung hatten (Klassenzahl 1), was durch Ernst Eduard Kummer widerlegt wurde. Kummer führte neue algebraische Objekte ein, die Ideale, und konnte so die Beweise für eine große Klasse von Kreisteilungskörper retten, indem er vom Rechnen mit den algebraischen Zahlen selbst zum Rechnen mit denjenigen Teilmengen der Zahlen des algebraischen Zahlkörpers überging, die die Ideale bilden. Die Kreisteilungskörper, für die er die Fermatsche Vermutung beweisen konnte, hatten ein  , das eine reguläre Primzahl darstellte, das heißt, sie teilte die Klassenzahl des Kreisteilungskörpers nicht:  .

Der Spezialfall der fermatschen Vermutung lautete dann: Sei   eine ungerade reguläre Primzahl. Dann hat die Gleichung   keine ganzzahligen Lösungen.

Beweisskizze: Die Gleichung lässt sich umschreiben zu  . Geht man jetzt zu den Idealen von   über, erhält man, da die Ideale auf der linken Seite teilerfremd sind, die Gleichungen  . Da die Abbildung   auf der Idealklassengruppe von   injektiv ist, erhalten wird daraus die Gleichungen   mit einer Einheit  , die man zum Widerspruch führen kann.

Eine reguläre Primzahl lässt sich auch über Bernoullizahlen definieren:

  für ein  

Sei  . Dann gilt:  

Beispiel imaginärquadratischer Zahlkörper und Gaußsches Klassenzahlproblem

Bearbeiten

Es gibt genau 9 sogenannte Heegner-Zahlen  , für die   die Klassenzahl   hat:   und  . Sie stellen die Lösung des Gaußschen Klassenzahlproblems für imaginärquadratische Zahlkörper dar – der Frage, welche imaginär-quadratischen Zahlkörper die Klassenzahl 1 haben, das heißt eindeutige Primfaktorzerlegung. Die Lösung stammt von Kurt Heegner.

Eigenschaften

Bearbeiten
 
Dabei ist   die Anzahl der Einheitswurzeln in  ,   die Diskriminante der Erweiterung  ,   der Regulator von   und   die Dedekindsche Zeta-Funktion von  .
Die Klassenzahlformel eignet sich zur praktischen Berechnung der Klassenzahl.
  • Sei   eine  -Erweiterung, d. h.,   und  . Sei ferner   der  -Anteil der Klassenzahl  . Dann gibt es von   unabhängige natürliche Zahlen  ,  ,  , sodass   für hinreichend großes  . (Siehe: Iwasawa-Theorie)
  • Vermutung von Vandiver (nicht allgemein bewiesen, für   verifiziert):
Sei  . Dann ist   kein Teiler von  .

Siehe auch

Bearbeiten

Literatur

Bearbeiten