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Klassenzahl

Wikimedia-Begriffsklärungsseite

Sei ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist seine Klassenzahl die Ordnung der (stets endlichen) Idealklassengruppe von .

Eine Primzahl heißt regulär, wenn , wobei eine -te Einheitswurzel ist.

Zahlentheoretische BedeutungBearbeiten

Möchte man eine Gleichung   über einem Zahlkörper lösen, so ist eine mögliche Strategie, die Gleichung über der Idealgruppe   und der Idealklassengruppe   zu lösen. Ist 1 die einzige Lösung über der Idealklassengruppe, so ist jedes Ideal   mit   ein Hauptideal:  . Diese Zahl   löst die ursprüngliche Gleichung modulo Einheiten.

Um die Gleichung über   zu lösen, genügt es, die Struktur von   als abelsche Gruppe zu kennen. In den meisten Fällen genügt sogar die Kenntnis der Primfaktorzerlegung von  . (z. B.   für  , oder:   falls   .)

Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Idealklassenzahl eine der zentralen Aufgaben der Zahlentheorie.

Beispiel (Spezialfall von Fermats letztem Satz)Bearbeiten

Sei   eine ungerade reguläre Primzahl. Dann hat die Gleichung   keine ganzzahligen Lösungen.

Beweisskizze: Die Gleichung lässt sich umschreiben zu  . Geht man jetzt zu den Idealen von   über, erhält man, da die Ideale auf der linken Seite teilerfremd sind, die Gleichungen  . Da die Abbildung   auf der Idealklassengruppe von   injektiv ist, erhalten wird daraus die Gleichungen   mit einer Einheit  , die man zum Widerspruch führen kann.

EigenschaftenBearbeiten

 
Dabei ist   die Anzahl der Einheitswurzeln in  ,   die Diskriminante der Erweiterung   und   der Regulator von  .
Die Klassenzahlformel eignet sich zur praktischen Berechnung der Klassenzahl.
  • Sei   eine  -Erweiterung, d. h.   und  . Sei   der  -Anteil der Klassenzahl  . Dann gibt es von   unabhängige natürliche Zahlen  ,  ,  , so dass   für hinreichend großes  . (Siehe: Iwasawa-Theorie)
  • Vermutung von Vandiver (nicht allgemein bewiesen, für   verifiziert):
Sei  . Dann ist   kein Teiler von  .
  • Für   gilt:   für ein  
  • Sei  . Dann gilt:  

BeispielBearbeiten

Es gibt genau 9 sogenannte Heegner-Zahlen  , für die   die Klassenzahl   hat:   und  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten