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Krümmung

lokale Abweichung einer Kurve von einer Geraden
(Weitergeleitet von Gekrümmt)

Krümmung ist ein Begriff aus der Mathematik, der in seiner einfachsten Bedeutung die lokale Abweichung einer Kurve von einer Geraden bezeichnet. Der gleiche Begriff steht auch für das Krümmungsmaß, welches für jeden Punkt der Kurve quantitativ angibt, wie stark diese lokale Abweichung ist.

Aufbauend auf dem Krümmungsbegriff für Kurven lässt sich die Krümmung einer Fläche im dreidimensionalen Raum beschreiben, indem man die Krümmung von Kurven in dieser Fläche untersucht. Ein gewisser Teil der Krümmungsinformation einer Fläche, die gaußsche Krümmung, hängt nur von der inneren Geometrie der Fläche ab, d. h. von der ersten Fundamentalform (bzw. dem metrischem Tensor), die festlegt, wie die Bogenlänge von Kurven berechnet wird.

Dieser intrinsische Krümmungsbegriff lässt sich verallgemeinern auf Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension mit einem metrischen Tensor. Auf solchen Mannigfaltigkeiten ist der Paralleltransport längs Kurven erklärt und die Krümmungsgrößen geben an, wie groß die Richtungsänderung von Vektoren beim Paralleltransport längs geschlossener Kurven nach einem Umlauf ist. Eine Anwendung ist die Allgemeine Relativitätstheorie, welche Gravitation als eine Krümmung der Raumzeit beschreibt. Noch allgemeiner lässt sich dieser Begriff auf Hauptfaserbündel mit Zusammenhang übertragen. Diese finden Anwendung in der Eichtheorie, in welcher die Krümmungsgrößen die Stärke der fundamentalen Wechselwirkungen (z. B. des elektromagnetischen Feldes) beschreiben.

Krümmung einer KurveBearbeiten

 
Krümmung am Kreis:  
 
Kurve und ihr Krümmungskreis im Kurvenpunkt P

Unter der Krümmung einer ebenen Kurve versteht man in der Geometrie die Richtungsänderung beim Durchlaufen der Kurve. Die Krümmung einer Geraden ist überall gleich null, weil sich ihre Richtung nicht ändert. Ein Kreis(bogen) mit dem Radius   hat überall die gleiche Krümmung, denn seine Richtung ändert sich überall gleich stark. Je kleiner der Radius des Kreises ist, desto größer ist seine Krümmung. Als Maß für die Krümmung eines Kreises dient die Größe  , das Verhältnis von Zentriwinkel und Länge eines Kreisbogens. Der Zentriwinkel ist gleich dem Außenwinkel zwischen den Kreistangenten in den Endpunkten des Kreisbogens. Um die Krümmung einer beliebigen Kurve in einem Punkt zu definieren, betrachtet man entsprechend ein Kurvenstück der Länge  , das den fraglichen Punkt enthält und dessen Tangenten in den Endpunkten sich im Winkel   schneiden. Damit wird die Krümmung   in dem Punkt durch

 

definiert, falls dieser Differentialquotient existiert. Ist die Krümmung in einem Punkt ungleich null, dann bezeichnet man den Kehrwert der Krümmung als Krümmungsradius; dies ist der Radius des Krümmungskreises durch diesen Punkt, also des Kreises, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Der Mittelpunkt dieses Kreises heißt Krümmungsmittelpunkt und kann konstruiert werden, indem der Krümmungsradius senkrecht zur Tangente der Kurve abgetragen wird, und zwar in die Richtung, in die sich die Kurve krümmt.

Ist die Kurve als Graph einer Funktion   gegeben, dann gilt für den Anstiegswinkel   der Kurve  , also mit der Kettenregel  . Für die Bogenlänge   gilt   bzw.   . Damit erhält man für die Krümmung

 

Hierbei kann die Krümmung positiv oder negativ sein, abhängig davon, ob der Anstiegswinkel   der Kurve bei zunehmender Abszisse   wachsend oder fallend ist, d. h. ob die Funktion konvex oder konkav ist.

DefinitionenBearbeiten

Animationen der Krümmung und des „Beschleunigungsvektors“  

  sei der Ortsvektor eines Punktes auf der Kurve als Funktion der Bogenlänge  . Die Krümmung   der Kurve ist dann definiert als

 

Die Krümmung ist also durch den Betrag der Ableitung des Einheitstangentenvektors   nach der Bogenlänge gegeben und gibt damit an, wie schnell sich beim Durchlaufen der Kurve die Tangentenrichtung in Abhängigkeit von der Bogenlänge ändert. Die Krümmung in einem Punkt der Kurve ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung nach der Bogenlänge.

Für ebene Kurven kann man die Krümmung mit Vorzeichen bezüglich einer Orientierung des Normalenbündels der Kurve definieren. Eine solche Orientierung ist gegeben durch ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld   längs der Kurve. Es existiert stets, da jede ebene Kurve orientierbar ist. Ist die Krümmung ungleich null, dann ist die Krümmung mit Vorzeichen durch das Skalarprodukt

 

definiert. Die Krümmung ist also positiv, wenn sie sich in Richtung von   krümmt (d. h. wenn   gleich dem Hauptnormaleneinheitsvektor   mit   ist) und negativ, wenn sie sich in die entgegengesetzte Richtung krümmt (d. h. wenn   gilt). Die Definition ist wieder unabhängig von der Parametrisierung nach der Bogenlänge, aber das Vorzeichen ist abhängig von der Wahl von   längs der Kurve. Der Betrag   liefert die oben gegebene Definition der Krümmung ohne Vorzeichen.

Einer regulär parametrisierten Kurve in der Ebene lässt sich über die Durchlaufrichtung eine Orientierung zuordnen. Ist zusätzlich eine Orientierung der Ebene vorgegeben, so wird dadurch eine Orientierung auf dem Normalenbündel induziert. Dazu sei   der Einheitsnormalenvektor, so dass die geordnete Basis   positiv orientiert ist. Damit wird das Vorzeichen der Krümmung einer parametrisierten Kurve abhängig von der Orientierung der Ebene und dem Durchlaufsinn der parametrisierten Kurve. In einer Linkskurve ist   positiv und in einer Rechtskurve negativ.

Einer Kurve  , die als Nullstellenmenge einer Funktion   mit regulärem Wert   gegeben ist, kann die Krümmung mit Vorzeichen bezüglich des auf die Kurve eingeschränkten normierten Gradientenfeldes   zugeordnet werden.

EigenschaftenBearbeiten

Der Krümmungskreis ist der eindeutig bestimmte Kreis, dessen Kontaktordnung mit der Kurve im Berührungspunkt   ist. Die Krümmung in einem Punkt ist genau dann gleich null, wenn dort die Kontaktordnung mit der Tangente   ist. Die Evolute einer Kurve ist die Ortskurve ihrer Krümmungsmittelpunkte. Man erhält einen Krümmungsmittelpunkt als den Grenzwert von Schnittpunkten zweier Normalen, die sich einander annähern. Nach Cauchy kann damit die Krümmung einer ebenen Kurve definiert werden.[1]

Die Krümmung einer Raumkurve ist wie die Windung eine bewegungsinvariante Größe, die den lokalen Verlauf einer Kurve beschreibt. Beide Größen kommen als Koeffizienten in den frenetschen Formeln vor.

Ist   die Krümmung mit Vorzeichen für eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve in der orientierten Ebene, dann gelten die folgenden Gleichungen:

 

Jede der beiden Gleichungen ist äquivalent zur Definition der Krümmung mit Vorzeichen für parametrisierte Kurven. In kartesischen Koordinaten bedeuten die Gleichungen, dass   und   ein Fundamentalsystem von Lösungen für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

 

bilden, deren Lösung durch

 

mit

 

gegeben ist. Aus der Abbildung   wiederum erhält man durch Integration die Parametrisierung   der Kurve nach der Bogenlänge. Die Vorgabe eines Startpunktes  , einer Startrichtung   und der Krümmung   als Funktion der Bogenlänge bestimmt also die Kurve eindeutig. Da   durch eine Drehung von   um den Winkel   gegeben ist, folgt weiterhin, dass sich zwei Kurven mit derselben Krümmungsfunktion nur durch eine eigentliche Bewegung in der Ebene unterscheiden. Außerdem folgt aus diesen Betrachtungen, dass die Krümmung mit Vorzeichen durch

 

gegeben ist, wobei   der Winkel des Tangentenvektors zu einer festen Richtung ist und wachsend im positiven Drehsinn gemessen wird.

Schränkt man die Parametrisierung einer ebenen Kurve in der Umgebung eines Kurvenpunktes   so ein, dass sie injektiv ist, dann kann man jedem Kurvenpunkt   eindeutig den Normalenvektor   zuordnen. Diese Zuordnung kann man als Abbildung von der Kurve in den Einheitskreis auffassen, indem man den Normalenvektor an den Ursprung des Koordinatensystems anheftet. Zu einem Kurvenstück der Länge  , das den Punkt   enthält, gehört dann ein Kurvenstück auf dem Einheitskreis der Länge  . Für die Krümmung im Punkt   gilt dann

 

Diese Idee kann auf Flächen im Raum übertragen werden, indem man ein Einheitsnormalenvektorfeld auf der Fläche als Abbildung in die Einheitskugel auffasst. Diese Abbildung bezeichnet man als Gauß-Abbildung. Betrachtet man das Verhältnis von Flächeninhalten anstelle der Bogenlängen und versieht dabei das Flächenstück in der Einheitskugel mit einem Vorzeichen, abhängig davon, ob die Gauß-Abbildung den Umlaufsinn der Randkurve bewahrt oder umkehrt, dann liefert das die ursprüngliche Definition der gaußschen Krümmung durch Gauß. Allerdings ist die gaußsche Krümmung eine Größe der intrinsischen Geometrie, während eine Kurve keine intrinsische Krümmung besitzt, denn jede Parametrisierung nach der Bogenlänge ist eine lokale Isometrie zwischen einer Teilmenge der reellen Zahlen und der Kurve.

Betrachtet man eine normale Variation  ,  , einer parametrisierten ebenen Kurve auf einem Parameterintervall   und bezeichnet mit   die Bogenlänge des variierten Kurvenstücks, dann gilt für die Krümmung mit Vorzeichen bezüglich  :

 

Die Krümmung in einem Punkt gibt also an, wie schnell sich die Bogenlänge eines infinitesimalen Kurvenstückes in diesem Punkt bei einer normalen Variation ändert. Auf Flächen im Raum übertragen führt dies auf den Begriff der mittleren Krümmung. Der entsprechende Grenzwert mit Flächeninhalten anstelle von Kurvenlängen liefert dann die zweifache mittlere Krümmung.

Diese Charakterisierung der Krümmung einer ebenen Kurve gilt auch dann, wenn man allgemeiner die Variation   durch den lokalen Fluss   eines Vektorfeldes   (d. h.  ) mit   betrachtet. Man erhält

 

mit der Jacobi-Matrix   und der Divergenz   des Vektorfeldes. Als Anwendung erhält man die folgende Formel für die Krümmung mit Vorzeichen bezüglich des normierten Gradientenfeldes   längs einer Kurve, die als Nullstellenmenge   einer Funktion   gegeben ist (der Beitrag zweiter Ordnung in Richtung   verschwindet):

 

wobei   mit der Hesse-Matrix  ,   die Spur und   die Einheitsmatrix ist. Für Abbildungen   liefert diese Formel die zweifache mittlere Krümmung von Flächen als Nullstellenmengen im Raum und wird als Formel von Bonnet bezeichnet. Ausgeschrieben und in eine andere Form gebracht lautet die Formel im Fall ebener Kurven:

 

Dabei bezeichnet z. B.   die partielle Ableitung von   nach dem ersten Argument und   die Adjunkte von  . Für Abbildungen   liefert der zweite Ausdruck die Gaußsche Krümmung für Flächen als Nullstellenmengen im Raum.

Berechnung der Krümmung für parametrisierte KurvenBearbeiten

Die oben gegebene Definition setzt eine Parametrisierung der Kurve nach der Bogenlänge voraus. Durch Umparametrisierung erhält man daraus eine Formel für beliebige reguläre Parametrisierungen  . Fasst man die ersten beiden Ableitungen von   als Spalten einer Matrix   zusammen, dann lautet die Formel

 .

Für ebene Kurven ist   eine quadratische Matrix und die Formel vereinfacht sich mit Hilfe der Produktregel für Determinanten zu

 .

Ist die Ebene durch den   mit der Standardorientierung gegeben, dann erhält man die Formel für die Krümmung mit Vorzeichen durch Weglassen der Betragsstriche im Zähler.

Ebene KurvenBearbeiten

Ist die Parametrisierung durch die Komponentenfunktionen   und   gegeben, dann liefert die Formel für die Krümmung mit Vorzeichen im Punkt   den Ausdruck

 .

(Die Punkte bezeichnen dabei Ableitungen nach  .)

Das liefert die folgenden Spezialfälle:

Fall 1
Die Kurve ist der Graph einer Funktion  . Die Krümmung im Punkt   ergibt sich aus
 .
Fall 2
Die Kurve ist in Polarkoordinaten gegeben, also durch eine Gleichung  . In diesem Fall erhält man für die Krümmung im Punkt   die Formel
 .

RaumkurvenBearbeiten

Für Kurven im dreidimensionalen Raum   kann man die allgemeine Formel mit Hilfe des Kreuzproduktes folgendermaßen ausdrücken:

 

Krümmung einer FlächeBearbeiten

Einer gewölbten regulären Fläche merkt man ihre Krümmung an einer nach außen quadratisch zunehmenden Abweichung der Fläche von ihrer Tangentialebene an. Eine verstärkte Krümmung macht sich dann als stärkere Abweichung von der Ebene bemerkbar.

In der Differentialgeometrie betrachtet man an jedem Punkt   die Krümmungsradien der Schnittkurven mit den in   errichteten Normalebenen (d. h. die Fläche senkrecht schneidenden Ebenen). Dabei wird den Krümmungsradien und Krümmungen das Vorzeichen bezüglich eines Einheitsnormalenvektorfeldes auf der Fläche, eingeschränkt auf die ebene Schnittkurve, zugeordnet. Unter diesen Krümmungsradien gibt es einen maximalen ( ) und einen minimalen ( ). Die Kehrwerte   und   werden als Hauptkrümmungen bezeichnet. Die entsprechenden Krümmungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander.

Die gaußsche Krümmung   und die mittlere Krümmung   einer regulären Fläche in einem Punkt   berechnen sich wie folgt:

 
 

Die Gesamtkrümmung oder auch totale Krümmung einer Fläche ist das Integral der gaußschen Krümmung über diese Fläche:

 

Krümmung in der riemannschen GeometrieBearbeiten

Da riemannsche Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen in keinen Raum eingebettet sind, wird in diesem Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Krümmungsgröße gebraucht, die unabhängig von einem umgebenden Raum ist. Dazu wurde der riemannsche Krümmungstensor eingeführt. Dieser misst, inwieweit die lokale Geometrie der Mannigfaltigkeit von den Gesetzen der euklidischen Geometrie abweicht. Aus dem Krümmungstensor werden weitere Krümmungsgrößen abgeleitet. Die wichtigste Krümmung der riemannschen Geometrie ist die Schnittkrümmung. Diese abgeleitete Größe enthält alle Informationen, die auch im riemannschen Krümmungstensor enthalten sind. Andere einfachere abgeleitete Größen sind die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung.

Eine Krümmung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit zeigt sich beispielsweise, wenn man das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Radius innerhalb der Mannigfaltigkeit ermittelt und zu dem Wert  , den man in einem euklidischen Raum erhält, in Verhältnis setzt.

Bemerkenswert ist, dass man zum Beispiel auf der Oberfläche eines Torus eine Metrik definieren kann, die keine Krümmung aufweist. Dies lässt sich aus der Tatsache ableiten, dass man einen Torus als Quotientenraum aus einer ebenen Fläche bilden kann.

Anwendung in der RelativitätstheorieBearbeiten

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation durch eine Krümmung der Raum-Zeit beschrieben, die von den Massen der Himmelskörper verursacht wird. Körper und Lichtstrahlen bewegen sich auf den durch diese Krümmung bestimmten geodätischen Bahnen. Diese Bahnen erwecken den Anschein, dass eine Kraft auf die entsprechenden Körper ausgeübt werde.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Alexandre Borovik, Mikhail G Katz: Who gave you the Cauchy-Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus. In: Foundations of Science. 2011, ISSN 1233-1821, S. 1–32, doi:10.1007/s10699-011-9235-x, arxiv:1108.2885.