Mittlere Krümmung

In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum , einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die mittlere Krümmung neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff.

DefinitionBearbeiten

Gegeben seien eine reguläre Fläche im   und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung   der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen   und  . Das heißt, die mittlere Krümmung ist definiert als

 

Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche   bzw.   gilt.

Allgemeiner kann man die mittlere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des   durch   definieren. Dabei ist   die Weingarten-Abbildung und   bezeichnet die Spur einer Matrix.

BerechnungBearbeiten

  • Sind  ,  ,   bzw.  ,  ,   die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform der Fläche, so gilt die Formel
 
Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, das heißt, wenn für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform   und   gilt, dann vereinfacht sich diese Formel zu
 
  • Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion   über dem Parameterbereich  , also   für alle  , so gilt für die mittlere Krümmung:
 .
Hierbei bezeichnen   und   die ersten und  ,   und   die zweiten partiellen Ableitungen von  .

BeispieleBearbeiten

  • Die Oberfläche einer Kugel mit Radius   hat die mittlere Krümmung  .
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius   ist die mittlere Krümmung gleich  

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  • Für eine Fläche   gilt die Gleichung
 
mit der Einheitsnormale  ,   als erster Fundamentalform und   der kovarianten Ableitung.
  • Wenn eine Fläche   isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem
 
  • Ist die Fläche als Niveaufläche einer Funktion   gegeben, so gilt
 
Dabei ist   die Divergenz und   das Einheitsnormalenfeld   Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.

LiteraturBearbeiten