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Hauptkrümmung ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie. Jedem Punkt einer Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum werden zwei Hauptkrümmungen zugeordnet.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein Punkt einer regulären Fläche im  . Jeder Tangentialrichtung, also jeder Richtung, die ein Tangentialvektor in diesem Punkt annehmen kann, wird die Normalkrümmung zugeordnet: Man versteht darunter die Krümmung der ebenen Kurve, die sich durch einen Normalschnitt ergibt, also durch einen Schnitt der gegebenen Fläche mit der durch den Flächennormalenvektor und die gegebene Tangentialrichtung bestimmten Ebene. Den Minimalwert und den Maximalwert dieser Krümmungen bezeichnet man als die beiden Hauptkrümmungen   und  . Die zugehörigen Tangentialrichtungen nennt man Hauptkrümmungsrichtungen.

BeispieleBearbeiten

 
Sattelfläche mit den Normalenebenen in Richtung der Hauptkrümmungen
  • Bei einer Kugel mit Radius   stimmen in jedem Punkt die beiden Hauptkrümmungen überein:  
  • Gegeben sei die gekrümmte Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders mit Grundkreisradius  . In diesem Fall haben die Hauptkrümmungen in jedem Punkt der Mantelfläche die Werte 0 (Tangentialrichtung parallel zur Achse des Zylinders) und   (Tangentialrichtung senkrecht zur Achse des Zylinders).
  • Entsprechendes gilt für Kegel und allgemeiner für abwickelbare Flächen (Torsen).
  • Gegeben sei ein Ellipsoid mit den Halbachsen  ,   und  . In den Endpunkten (Scheitelpunkten) der Halbachse   sind die Hauptkrümmungen gleich   und  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Die beiden Hauptkrümmungen sind die Eigenwerte der Weingartenabbildung.
  • Stimmen die beiden Hauptkrümmungen überein, so ist jede Tangentialrichtung Hauptkrümmungsrichtung. Andernfalls gibt es zu jeder der beiden Hauptkrümmungen genau eine Hauptkrümmungsrichtung. Die beiden sind zueinander senkrecht.
  • Schränkt man die zweite Fundamentalform auf den Einheitskreis in der Tangentialebene ein, dann hat die resultierende Funktion die Hauptkrümmungen als Extremwerte.
  • Die gaußsche Krümmung   ist das Produkt der Hauptkrümmungen:  
  • Die mittlere Krümmung   ist das arithmetische Mittel der Hauptkrümmungen:  
  • Sind die gaußsche Krümmung   und die mittlere Krümmung   bekannt, so ergeben sich die Hauptkrümmungen als Lösungen der quadratischen Gleichung
 .
  • Für jede Tangentialrichtung lässt sich die Normalkrümmung   durch die beiden Hauptkrümmungen ausdrücken:
    (Satz von Euler)
Hierbei bezeichnet   den Winkel zwischen der gegebenen Tangentialrichtung und der zu   gehörigen Tangentialrichtung.

Klassifizierung von FlächenpunktenBearbeiten

Ein Punkt einer Fläche heißt[K 1]

  • elliptischer Punkt, wenn   ist, also wenn beide Hauptkrümmungen dasselbe Vorzeichen haben;
  • hyperbolischer Punkt, wenn   ist, also die Vorzeichen entgegengesetzt sind;
  • parabolischer Punkt, wenn genau eine der beiden Hauptkrümmungen Null ist;
  • Flachpunkt, wenn   gilt;
  • Nabelpunkt, wenn   gilt.

Nabelpunkte, die zugleich elliptische Punkte sind, werden dabei auch als eigentliche Nabelpunkte bezeichnet, die verbleibenden nicht elliptischen Nabelpunkte dagegen als Flachpunkte.

In elliptischen Punkten ist die gaußsche Krümmung positiv ( ). Dies ist der Fall, wenn die Mittelpunkte der Krümmungskreise der Normalschnitte durch beide Hauptrichtungen auf derselben Seite der Fläche liegen, z. B. auf der Oberfläche eines Ellipsoids oder anschaulicher bei doppelt gekrümmten Flächentragwerken wie Kuppeln. In hyperbolischen Punkten liegen die Mittelpunkte der beiden (Haupt-)Krümmungskreise dagegen auf unterschiedlichen Seiten der Fläche wie bei einer Sattelfläche. Die gaußsche Krümmung ist dort negativ ( ). In parabolischen Punkten, wie z. B. auf einer Zylinderoberfläche, oder in Flachpunkten ist die gaußsche Krümmung gleich Null.

Die Dupinsche Indikatrix in einem elliptischen Punkt ist eine Ellipse (in einem elliptischen Nabelpunkt ein Kreis), in einem hyperbolischen Punkt eine Hyperbel und in einem parabolischen Punkt ein Paar paralleler Geraden.

Zusammenhängende reguläre Flächen, die ganz aus Nabelpunkten bestehen, sind Teilmengen einer Ebene oder einer Kugeloberfläche.[K 2][dC 1]

Sind auf einer offenen Umgebung   eines Punktes   zwei Vektorfelder gegeben, die in   linear unabhängig sind, so gibt es eine Parametrisierung einer Umgebung   von  , so dass die Vektorfelder tangential zu den Koordinatenlinien sind.[dC 2] Ist   kein Nabelpunkt, so gibt es also eine Parametrisierung einer Umgebung, so dass die Koordinatenlinien Krümmungslinien sind, d. h. tangential zu den orthogonalen Hauptrichtungen sind. (In einem Nabelpunkt ist jede Richtung Hauptrichtung.) In der Umgebung eines hyperbolischen Punktes gibt es stets eine Parametrisierung, so dass die Koordinatenlinien Asymptotenlinien sind, also verschwindende Normalkrümmung haben.

EinzelnachweiseBearbeiten

Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.

  1. Abschnitt 3B, 3.13 Definition, S. 49.
  2. Abschnitt 3B, 3.14 Satz, S. 51.

Manfredo Perdigão do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1976, ISBN 0-13-212589-7.

  1. Abschnitt 3-2, Proposition 4, S. 147.
  2. Abschnitt 3–4, Theorem, S. 182. Anwendung auf Krümmungslinien in Corollary 4 und auf Asymptotenlinien in Corollary 3, S. 184–185.