Abwickelbare Fläche

zweidimensionale Fläche, die sich ohne innere Formverzerrung in die euklidische Ebene transformieren lässt

Eine abwickelbare Fläche bezeichnet in der Geometrie bzw. in der Differentialgeometrie, der Kartografie und der Topologie eine Fläche, die sich ohne innere Formverzerrung aus dem Euklidischen Raum in die Euklidische Ebene transformieren/"abwickeln" lässt. Die sich ergebende Fläche wird dann Abwicklung genannt. Anschaulich gesprochen: Ohne Stauchen und Zerren muss sich die abwickelbare Fläche glatt auf eine flache Ebene legen lassen. Bekannteste Beispiele sind die Mantelflächen bestimmter dreidimensionaler Körper wie Zylinder oder Kegel.

Die mathematische Definition nutzt die Begriffe innere Metrik und Krümmung und ist unabhängig von einer möglichen Einbettung. In höherdimensionalen euklidischen Räumen gilt die Aussage zur Flächeneinbettungen nicht mehr. Jedoch gilt für den Spezialfall des dreidimensionalen euklidischen Raumes mit induzierter Metrik, dass dort jede abwickelbare Fläche auch eine Regelfläche ist, obwohl Regelflächen ganz anders definiert werden. Die Umkehrung gilt nicht, so sind beispielsweise das einschalige Hyperboloid oder das hyperbolische Paraboloid zwar Regelflächen, aber keine abwickelbaren Flächen. Eine abwickelbare Regelfläche nennt man auch Torse.

DefinitionBearbeiten

Eine Fläche oder beziehungsweise eine zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit wird abwickelbar genannt, wenn ihre gaußsche Krümmung in jedem Punkt der Fläche gleich Null ist, was genau dann passiert, wenn mindestens eine der beiden Hauptkrümmungen gleich Null ist.

Die Abbildung, die die abwickelbare Fläche auf die Ebene projiziert, wird auch Abwicklung genannt.[1] Diese Abbildungen wurden als erstes von Leonhard Euler im Jahr 1772 eingeführt.[2]

EigenschaftenBearbeiten

  • Die abwickelbaren Flächen (außer der Ebene) sind Einhüllende (Enveloppen) von einparametrigen Ebenenscharen.

BeispieleBearbeiten

Abwickelbare FlächenBearbeiten

 
Zylinderoberflächen sind abwickelbare Flächen

MantelflächenBearbeiten

Wichtige abwickelbare Mantelflächen sind unter anderem die Oberflächen von Zylindern und Kegeln.

Das Merkmal der formtreuen Abwicklung gilt unabhängig vom Querschnitt der originalen Fläche, also z. B. auch für elliptische Zylinder.

OloidBearbeiten

Das Oloid ist einer der wenigen bekannten Körper, dessen gesamte Oberfläche in einem Stück abwickelbar ist. Im Unterschied zum Kegel oder Zylinder lässt sich die komplette Oberfläche des Oloids (und nicht nur eine Mantelfläche) abwickeln.

Nicht abwickelbare FlächenBearbeiten

Nicht abwickelbare Flächen sind solche, die in zwei Dimensionen gekrümmt sind ("doppeltgekrümmte Flächen"), wie die Kugel, das Erdellipsoid oder verschiedene Sattelflächen. Hier kommt es bei jeder Abbildung auf eine Ebene (Landkarte, optische Abbildung usw.) zu kleinen oder größeren Formänderungen, den sog. Verzerrungen.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Abwicklung. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. John Ratcliffe: Foundations on Hyperbolic Manifolds. Springer, New York 1994, ISBN 978-1-4757-4013-4, S. 374.