Abwickelbare Fläche

zweidimensionale Fläche, die sich ohne innere Formverzerrung in die euklidische Ebene transformieren lässt

Eine abwickelbare Fläche bezeichnet in der Geometrie bzw. in der Differentialgeometrie, der Kartografie und der Topologie eine dreidimensionale Fläche, die sich ohne innere Formverzerrung aus dem Euklidischen Raum in die Euklidische Ebene transformieren/"abwickeln" lässt. Die sich ergebende zweidimensionale Fläche wird dann Abwicklung genannt. Anschaulich gesprochen: Ohne Stauchen und Zerren muss sich die abwickelbare Fläche glatt auf eine flache Ebene legen lassen. Bekannteste Beispiele sind die Mantelflächen bestimmter dreidimensionaler Körper wie Zylinder oder Kegel.

Die mathematische Definition läuft allgemeiner über die innere Metrik und Krümmung und ist unabhängig von einer möglichen Einbettung. In höherdimensionalen euklidischen Räumen gilt die Aussage zur Flächeneinbettungen nicht mehr. Jedoch gilt für den Spezialfall des anschaulichen, dreidimensionalen, euklidischen Raumes mit induzierter Metrik, dass dort jede abwickelbare Fläche auch eine Regelfläche ist, obwohl Regelflächen ganz anders definiert werden. Die Umkehrung gilt nicht, so sind beispielsweise das einschalige Hyperboloid oder das hyperbolische Paraboloid zwar Regelflächen, aber keine abwickelbaren Flächen. Eine abwickelbare Regelfläche nennt man auch Torse.

Definition und EigenschaftenBearbeiten

Eine Fläche oder genauer gesagt eine drei-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit wird abwickelbar genannt, wenn ihre gaußsche Krümmung in jedem Punkt der Fläche gleich Null ist, was genau dann passiert, wenn eine der beiden (oder auch beide) Hauptkrümmungen gleich Null ist.

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension  , deren riemannscher Krümmungstensor überall gleich Null ist, nennt man flache Mannigfaltigkeit. Also kann man eine abwickelbare Fläche auch als zwei-dimensionale flache Mannigfaltigkeit verstehen.

Die auf der abwickelbaren Fläche befindlichen Strukturen, Punkte, Koordinatenlinien usw. ändern ihre gegenseitige Lage nicht, wenn die Fläche in die Ebene „ausgebreitet“ wird. Diese Eigenschaft ist für die Kartografie und die Geodäsie wichtig, beispielsweise bei Kegelprojektionen oder der pseudo-zylindrischen Gauß-Krüger-Abbildung.

BeispieleBearbeiten

Abwickelbare FlächenBearbeiten

MantelflächenBearbeiten

Wichtige abwickelbare Mantelflächen sind u. a. die Oberflächen von Zylindern und Kegeln.

Das Merkmal der formtreuen Abwicklung gilt unabhängig vom Querschnitt der originalen Fläche, also z. B. auch für elliptische Zylinder.

Nicht abwickelbare FlächenBearbeiten

Nicht abwickelbare Flächen sind solche, die in zwei Dimensionen gekrümmt sind ("doppeltgekrümmte Flächen"), wie die Kugel, das Erdellipsoid oder verschiedene Sattelflächen. Hier kommt es bei jeder Abbildung auf eine Ebene (Landkarte, optische Abbildung usw.) zu kleinen oder größeren Formänderungen, den sog. Verzerrungen.

Abwickelbare KörperBearbeiten

Das Oloid ist einer der sehr wenigen bekannten Körper, dessen gesamte Oberfläche knickfrei und in einem Stück abwickelbar ist. Auch eckige Körper wie Prismen, Pyramiden oder Polyeder haben abwickelbare Oberflächen, die Kanten beeinflussen dies nicht: Eine geodätische Linie kann ohne seitlichen „Knick“ über die Kante eines Prismas laufen und hat nach Ausbreitung in die Ebene einen geradlinigen Verlauf.

WeiteresBearbeiten

  • Längentreue; d. h. jeder Bogen geht in einen gleich langen über. Insbesondere gehen geodätische Linien in Geraden bzw. Geradenstücke über.
  • Die abwickelbaren Flächen (außer der Ebene) sind Einhüllende (Enveloppen) von einparametrigen Ebenenscharen.

WeblinksBearbeiten