Lévy-Verteilung

Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
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Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft eines jeweils unendlichen Erwartungswerts.

Definition

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Lévy-Dichtefunktionen verschiedener Skalierung und μ=0

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

 ., mit den beiden Parametern  .
  •   ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der  -Achse;
  •   ist ein Skalenparameter (Stauchung für  ; Streckung für  ).

Standard-Lévy-Verteilung

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Die Standard-Lévy-Verteilung ist die Lévy-Verteilung mit den Parameterwerten  ; ihre Dichtefunktion lautet damit:

 .

Eigenschaften

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Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h., sie erfüllt die Bedingung:

 

(hier mit  ) für alle unabhängigen Standard-Lévy-verteilten Zufallsgrößen  . Da die Theorie der  -stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Die Lévy-Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert, denn es gilt  . Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den Verteilungen mit schweren Rändern, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z. B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Anwendung

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Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene insbesondere in der Natur beschreiben:

Einzelnachweise

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  1. Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes. (PDF; 282 kB) University of Sheffield, 22. Juli 2010, S. 37–53, abgerufen am 13. Juni 2014.
  2. Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all. In: physicsworld.com. 21. März 2006, abgerufen am 13. Juni 2014.
  3. Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).
  4. Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).
  5. Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).