Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

Die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung[1] ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde.[2] Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.

Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter p – Dimension der Zufallsvariablen
m – verknüpft mit der Stichprobengröße
Träger if
otherwise.

Definition

Bearbeiten

Die quadratische Form

 

folgt einer Hotellingschen T-Quadrat-Verteilung mit

  •   einer Anzahl von Punkten
  •   ist ein Spaltenvektor mit   Elementen
  •   ist eine  -Kovarianzmatrix

Eigenschaften

Bearbeiten

Es sei   eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und   (unabhängig von  ) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Kovarianzmatrix   und mit  . Dann ist die Verteilung von  :  , Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung mit Parametern   und  .

Für die F-Verteilung   gilt:

 .

Unter der Annahme, dass

 

 -Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.

 

sei der Mittelwert. Die positiv definite  -Matrix

 

sei ihre Stichproben-Kovarianzmatrix. (Die Transponierte einer Matrix   sei mit   bezeichnet).   sei ein  -Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

 

  hat eine enge Beziehung zum quadrierten Mahalanobis-Abstand.

Wenn   unabhängig sind und   und   wie oben definiert sind, dann hat   eine Wishart-Verteilung mit   Freiheitsgraden, so dass[3]

 

und ist unabhängig von   und

 .

Daraus folgt

 

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Hotelling's T². Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 25. September 2020 (englisch).
  2. H. Hotelling (1931). The generalization of Student’s ratio, Ann. Math. Statist., 2(3), S. 360–378, doi:10.1214/aoms/1177732979 JSTOR:2957535.
  3. K.V. Mardia, J.T. Kent, and J.M. Bibby (1979) Multivariate Analysis, Academic Press, ISBN 0-12-471250-9.