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Konvexe und konkave Funktionen

mathematische Funktionen
(Weitergeleitet von Konvexe Funktion)
Beispiel einer konvexen Funktion
Beispiel einer konkaven Funktion

In der Analysis heißt eine reellwertige Funktion konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass der Epigraph der Funktion, also die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.

Eine reellwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass der Hypograph der Funktion, also die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.

Einer der ersten, der sich mit den Eigenschaften konvexer und konkaver Funktionen beschäftigte, war der dänische Mathematiker Johan Ludwig Jensen. Die nach ihm benannte Jensensche Ungleichung ist Grundlage wichtiger Resultate in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Maßtheorie und Analysis.

Die besondere Bedeutung konvexer bzw. konkaver Funktionen liegt darin, dass sie eine weitaus größere Gruppe als die linearen Funktionen bilden, aber ebenfalls viele einfach zu untersuchende Eigenschaften haben, welche Aussagen über nichtlineare Systeme ermöglichen. Da beispielsweise jedes lokale Minimum einer konvexen Funktionen auch ein globales Minimum ist, sind sie bei vielen Optimierungsproblemen von Bedeutung (siehe auch: Konvexe Optimierung). Selbst für konvexe Funktionale, die auf unendlichdimensionalen Räumen definiert sind, lassen sich unter bestimmten Voraussetzungen ähnliche Aussagen treffen. Daher spielt Konvexität auch eine wichtige Rolle in der Variationsrechnung.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

 
Auf einem Intervall definierte strikt konvexe Funktion

Es gibt zwei äquivalente Definitionen, einerseits kann man Konvexität anhand einer Ungleichung über die Funktionswerte definieren (analytische Definition), andererseits über die Konvexität von Mengen (geometrische Definition).

Analytische DefinitionBearbeiten

Eine Funktion  , wobei   eine konvexe Teilmenge des   ist, heißt konvex, wenn für alle   aus   und für alle   gilt, dass

 

Geometrische DefinitionBearbeiten

 
Der Epigraph einer konvexen Funktion ist eine konvexe Menge

Eine Funktion   heißt konvex, wenn ihr Epigraph eine konvexe Menge ist. Diese Definition hat gewisse Vorteile für erweiterte reelle Funktionen welche auch die Werte   annehmen können, und bei denen mit der analytischen Definition der undefinierte Term   auftreten kann.[1] Aus der Konvexität des Epigraph ergibt sich außerdem, dass die Definitionsmenge   eine konvexe Menge ist. Eine konvexe Funktion hat also immer eine konvexe Definitionsmenge, umgekehrt ist eine Funktion nicht konvex, wenn ihre Definitionsmenge nicht konvex ist.

Konkave FunktionenBearbeiten

Ist   eine konvexe Funktion, so heißt   konkav. Für konkave Funktionen drehen sich die Definitionen jeweils um, die analytische Definition einer konkaven Funktion lautet also

 

die geometrische Definition einer konkaven Funktion fordert, dass der Hypograph eine konvexe Menge ist.

Weitere KlassifizierungenBearbeiten

Eine Funktion heißt streng konvex oder strikt konvex, wenn die Ungleichung der analytischen Definition im strengen Sinn gilt; das heißt, für je zwei Elemente   aus dem konvexen Definitionsbereich   und alle   gilt, dass

 .

Eine Funktion heißt stark konvex mit Parameter   bzw.  -konvex, wenn für alle   und   gilt, dass

 .

Stark konvexe Funktionen sind auch strikt konvex, die Umkehrung gilt jedoch nicht.

Des Weiteren gibt es den Begriff der gleichmäßig konvexen Funktion, welcher das Konzept der starken Konvexität verallgemeinert. Eine Funktion heißt gleichmäßig konvex mit Modulus  , wobei   wachsend ist und nur bei 0 verschwindet, wenn für alle   und   gilt:[2]

 .

Wählt man   mit  , so erhält man die Ungleichung für starke Konvexität.

Für die Begriffe strikt konvex, stark konvex und gleichmäßig konvex lassen sich die entsprechenden Gegenstücke strikt konkav, stark konkav und gleichmäßig konkav definieren, indem die jeweiligen Ungleichungen umgedreht werden.

BeispieleBearbeiten

 
Die Normparabel ist konvex
  • Lineare Funktionen sind auf ganz   konvex und konkav, jedoch nicht strikt.
  • Die quadratische Funktion   ist streng konvex.
  • Die Funktion   ist streng konvex.
  • Die Funktion   ist nicht konvex, da die Definitionsmenge keine konvexe Menge ist.
  • Die Funktion   ist streng konkav.
  • Die Wurzelfunktion ist im Intervall   streng konkav.
  • Die Betragsfunktion   ist konvex, jedoch nicht streng konvex.
  • Die Exponentialfunktion ist streng konvex auf ganz  .
  • Der natürliche Logarithmus ist streng konkav auf dem Intervall der positiven reellen Zahlen.
  • Die kubische Funktion   ist streng konkav auf dem Intervall   und streng konvex auf dem Intervall  .
  • Die Funktion, welche einen Punkt   der euklidischen Ebene auf seinen Abstand vom Ursprung, abbildet, also
 
ist ein Beispiel für eine konvexe Funktion auf einem mehrdimensionalen reellen Vektorraum.

GeschichteBearbeiten

Wesentliche Aussagen zu konvexen und konkaven Funktionen finden sich bereits 1889 bei Otto Hölder, wobei er aber noch nicht die heute üblichen Bezeichnungen verwendete.[3] Die Begriffe konvexe und konkave Funktion wurden 1905 von Johan Ludwig Jensen eingeführt.[4] Jensen verwendete allerdings eine schwächere Definition, die noch gelegentlich, vor allem in älteren Werken,[5] zu finden ist. In dieser Definition wird nur die Ungleichung

 

vorausgesetzt. Wie Jensen aber zeigte, folgt dann für stetige Funktionen bereits die in der heute üblichen Definition verwendete Ungleichung

 

für alle   zwischen 0 und 1.[6] (siehe auch: Abschnitt Konvexität und Stetigkeit)

Reellwertige Funktion, welche der oben genannten schwächeren Ungleichung ( ) genügen, nennt man zu Ehren von Johan Ludwig Jensen Jensen-konvex oder kurz J-konvex.[7]

Elementare EigenschaftenBearbeiten

 
x³ ist auf der positiven Halbachse konvex, auf der negativen konkav

Verhältnis konvex und konkavBearbeiten

Die Funktion   ist genau dann (streng) konvex, wenn die Funktion   (streng) konkav ist. Eine nicht-konvexe Funktion muss jedoch nicht notwendigerweise konkav sein. Konvexität und Konkavität sind somit keine komplementären Eigenschaften.

Lineare Funktionen sind die einzigen Funktionen, die sowohl konkav als auch konvex sind.

Beispiel

Die kubische Funktion   ist auf ganz   betrachtet weder konvex, noch konkav. Im Intervall aller positiven reellen Zahlen ist   streng konvex. Die zu ihr additiv inverse Funktion   ist dort somit streng konkav.

Da   eine ungerade Funktion ist, also   gilt, folgt daraus, dass sie im Bereich aller negativen Zahlen streng konkav ist.

NiveaumengenBearbeiten

Bei einer konvexen Funktion sind alle Subniveaumengen, also Mengen der Form

 

konvex. Bei einer konkaven Funktion sind alle Superniveaumengen konvex.

Jensensche UngleichungBearbeiten

Die Jensensche Ungleichung ist eine Verallgemeinerung der analytischen Definition auf eine endliche Anzahl von Stützstellen. Sie besagt, dass der Funktionswert einer konvexen Funktion   an einer endlichen Konvexkombination von Stützstellen kleiner oder gleich der Konvexkombination von den Funktionswerten an den Stützstellen ist. Für eine konvexe Funktion   und für nichtnegative   mit   gilt also:

 

Für konkave Funktionen gilt die Ungleichung in umgekehrte Richtung.

Reduktion auf Konvexität reeller FunktionenBearbeiten

Der Urbildraum einer konvexen Funktion kann ein beliebiger reeller Vektorraum sein, wie zum Beispiel der Vektorraum der reellen Matrizen oder der stetigen Funktionen. Die Konvexität einer Funktion   ist aber äquivalent zur Konvexität der Funktion   definiert durch   für alle  , wobei   ist und   eine beliebige Richtung aus   ist. Es ist dann  . Dies macht es möglich, die Dimension des Vektorraumes zu verringern, was die Überprüfung der Konvexität erleichtert.

Ungleichungen für   und  Bearbeiten

Für   oder   drehen sich die Ungleichungen aus den Definitionen von (strikter) Konvexität bzw. Konkavität um. Sei   beispielsweise eine auf   konvexe Funktion. Für Punkte   und   aus   gilt dann

 

sofern auch der Punkt   im Definitionsbereich   liegt. Wenn   eine reelle konvexe Funktion ist, bedeutet die Ungleichung anschaulich, dass die Funktionswerte von   außerhalb des Intervalls   stets oberhalb der Verbindungsgeraden durch die Funktionswerte   liegen.

RechenregelnBearbeiten

PositivkombinationenBearbeiten

Die Summe zweier (gegebenenfalls erweiterter) konvexer Funktionen ist wieder eine konvexe Funktion. Außerdem bleibt Konvexität beim Multiplizieren mit einer positiven reellen Zahl erhalten. Zusammenfassend gilt also, dass jede Positivkombination von konvexen Funktionen wiederum konvex ist. Sie ist sogar streng konvex, falls einer der auftretenden Summanden streng konvex ist. Analog dazu ist auch jede Positivkombination von konkaven Funktionen konkav. Somit bilden die konvexen Funktionen einen konvexen Kegel. Das Produkt konvexer Funktionen ist jedoch nicht notwendigerweise konvex.

Beispiel

Die Funktionen

 

sind konvex auf ganz  , die Normparabel   ist sogar strikt konvex. Daraus folgt, dass auch alle Funktionen der Form

 

mit   strikt konvex auf ganz   sind. Dies ist auch anschaulich klar, es handelt sich um nach oben gekrümmte Parabeln. Das Produkt der Funktionen   und   ist die kubische Funktion  , welche (über ganz   betrachtet) nicht konvex ist.

GrenzfunktionenBearbeiten

Die Grenzfunktion einer punktweise konvergenten Folge konvexer Funktionen ist eine konvexe Funktion. Ebenso ist die Grenzfunktion einer punktweise konvergenten Reihe konvexer Funktionen wieder eine konvexe Funktion. Analoges gilt klarerweise für konkave Funktionen. Strikte Konvexität bleibt unter der Grenzwertbildung jedoch nicht notwendigerweise erhalten, wie man anhand des ersten der beiden folgenden Beispiele erkennt.

Beispiele
  • Die Funktionenfolge   mit   ist eine Folge von auf ganz   strikt konvexen Funktionen. Ihre punktweise Grenzfunktion ist die konstante Nullfunktion. Diese ist als lineare Funktion zwar konvex, aber nicht strikt konvex.
  • Der Cosinus hyperbolicus lässt sich auf   folgendermaßen als Potenzreihe entwickeln:
 
Alle Summanden, die vorkommen, sind konvexe Funktionen. Daraus folgt, dass auch der Cosinus hyperbolicus eine konvexe Funktion ist.

Supremum und InfimumBearbeiten

Ist   eine Menge konvexer Funktionen und existiert punktweise das Supremum

 

für alle  , so ist auch   eine konvexe Funktion. Der Übergang zur Funktion   zeigt, dass das Infimum einer Menge konkaver Funktionen (falls es existiert) ebenfalls wieder eine konkave Funktion ist. Das Bilden des Infimums erhält jedoch nicht notwendigerweise Konvexität (und umgekehrt erhält das Bilden des Supremums nicht notwendigerweise Konkavität), wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Die reellen Funktionen

 

sind linear und deshalb sowohl konvex als auch konkav. Das Supremum von   und   ist die Betragsfunktion  . Diese ist zwar konvex, jedoch nicht konkav. Das Infimum von   und   ist die negative Betragsfunktion  . Diese ist konkav, aber nicht konvex.

KompositionBearbeiten

Über die Komposition   zweier konvexer Funktionen   und   lässt sich im Allgemeinen keine Aussage treffen. Gilt jedoch zusätzlich, dass   monoton steigend ist, so ist die Komposition ebenfalls konvex.

Des Weiteren ist die Komposition   einer konkaven Funktion   mit einer konvexen, monoton fallenden reellen Funktion   wiederum eine konvexe Funktion.

Beispiel

Jede Komposition einer konvexen Funktion   mit der Exponentialfunktion   liefert wieder eine konvexe Funktion. Dies funktioniert auch im allgemeinen Fall, in dem   auf einem reellen Vektorraum definiert ist. So ist beispielsweise für

 

wiederum eine konvexe Funktion. Insbesondere ist also jede logarithmisch konvexe Funktion eine konvexe Funktion.

UmkehrfunktionenBearbeiten

Ist   eine auf einem Intervall definierte, invertierbare und konvexe Funktion, so folgt aus der Konvexitätsungleichung

 

Sei   eine monoton steigende Funktion. Dann dreht sich obige Ungleichung beim Anwenden von   um. Es gilt somit:

 

Also ist die Umkehrfunktion   eine konkave (und monoton wachsende) Funktion. Für eine invertierbare, monoton steigende und konvexe bzw. konkave Funktion hat daher die Umkehrfunktion die umgekehrte Art der Konvexität.

Für eine monoton fallende und konvexe Funktion   gilt hingegen

 

Für eine invertierbare monoton fallende und konvexe bzw. konkave Funktion hat daher die Umkehrfunktion die gleiche Art der Konvexität.

Beispiele
  • Die Normparabel   ist monoton steigend und streng konvex auf  . Ihre Umkehrfunktion, die Wurzelfunktion   ist streng konkav auf ihrem Definitionsintervall  
  • Die Funktion   ist monoton fallend und streng konvex auf ganz  . Ihre Umkehrfunktion   ist streng konvex auf dem Intervall  

ExtremwerteBearbeiten

 
  hat kein globales Minimum

Wenn der Ausgangsraum einer konvexen/konkaven Funktion ein topologischer Vektorraum ist (was insbesondere auf alle endlichdimensionalen reellen Vektorräume und somit auch auf   zutrifft), können Aussagen über das Verhältnis von lokalen und globalen Extremalstellen getroffen werden. Es gilt dann, dass jede lokale Extremalstelle auch eine globale Extremalstelle ist. Strikte Konvexität bzw. Konkavität erlaubt außerdem Aussagen über die Eindeutigkeit von Extremwerten.

Existenz und EindeutigkeitBearbeiten

Eine stetige konvexe oder konkave Funktion   nimmt auf der kompakten Menge   ein Minimum und ein Maximum an. Die Kompaktheit von   ist auf   äquivalent dazu, dass   beschränkt und abgeschlossen ist. Dies ist der Satz vom Minimum und Maximum angewendet auf konvexe und konkave Funktionen. Ist die Funktion strikt konvex, so ist das Minimum eindeutig bestimmt, ist sie strikt konkav, so ist das Maximum eindeutig bestimmt. Der Umkehrschluss gilt jedoch nicht: die Funktion   hat kein globales Minimum in  , ist aber strikt konvex.

Für eine stetige Funktion   auf einem reflexiven Banachraum gibt es analoge Aussagen: Ein stetiges konvexes Funktional auf der kompakten Menge   nimmt dort ein Minimum an. Ist das Funktional strikt konvex, so ist das Minimum eindeutig.

Geometrie der OptimalwertmengenBearbeiten

In topologischen Vektorräumen (welche fast immer gegeben sind) kann man auch lokale Minima untersuchen. Es gilt:

  • Ist die Funktion konvex, so ist jedes lokale Minimum auch ein globales Minimum.
  • Ist die Funktion konkav, so ist jedes lokale Maximum auch ein globales Maximum.

Dies lässt sich direkt mit den definierenden Ungleichungen von konvexen und konkaven Funktionen zeigen.

Außerdem ist die Menge der Minimalstellen einer konvexen Funktion konvex und die Menge der Maximalstellen einer konkaven Funktion konvex. Dies folgt aus der Konvexität der Subniveaumengen bzw. Superniveaumengen.

Kriterien für ExtremwerteBearbeiten

Für differenzierbare konvexe Funktionen nutzt man zur Bestimmung der Extremalwerte aus, dass konvexe Funktionen in jedem Punkt von der Tangente an diesem Punkt global unterschätzt werden. Es gilt  , wobei   das Standardskalarprodukt bezeichnet. Ist nun der Gradient in einem Punkt   gleich null, so ist   für alle   und damit ist   ein lokales (und damit globales) Minimum. Analog liegt bei konkaven Funktionen in einem Punkt immer ein lokales (und damit globales) Maximum vor, wenn der Gradient bzw. die Ableitung an diesem Punkt verschwindet.

Konvexität und StetigkeitBearbeiten

Setzt man die Stetigkeit einer reellen Funktion   voraus, so reicht, um ihre Konvexität zu zeigen, bereits die Bedingung, dass für alle   aus dem Definitionsintervall folgende Ungleichung gilt:

 

Dies entspricht der Konvexitätsdefinition nach Jensen. Umgekehrt gilt, dass jede auf einem Intervall definierte Funktion, die die obige Ungleichung erfüllt, in den inneren Punkten stetig ist. Unstetigkeitsstellen können höchstens in Randpunkten auftreten, wie das Beispiel der Funktion   mit

 

zeigt, die zwar konvex ist, aber am Randpunkt   eine Unstetigkeit aufweist.

Somit sind die beiden Möglichkeiten, Konvexität zu definieren, zumindest für offene Intervalle äquivalent. Inwiefern dieses Resultat auf allgemeine topologische Räume übertragen werden kann, wird in den beiden folgenden Abschnitten behandelt.

In diesem Zusammenhang ist der Satz von Bernstein-Doetsch zu erwähnen, aus dem allgemein das folgende Resultat zu gewinnen ist:[8]

Ist   eine reellwertige Funktion für eine konvexe offene Teilmenge   des  , so ist   sowohl Jensen-konvex als auch stetig genau dann, wenn für je zwei Punkte   und jede reelle Zahl   stets die Ungleichung
 
erfüllt ist.

Eine schwächere Definition der KonvexitätBearbeiten

Eine stetige Funktion   auf einer konvexen Teilmenge   eines reellen topologischen Vektorraums ist konvex, wenn ein festes   mit   existiert, sodass für alle  ,  aus   gilt:

 

Dies kann man mittels geeigneter Intervallschachtelung zeigen. Ein vollständig ausgeführter Beweis befindet sich im Beweisarchiv.

Dass in dieser schwächeren Definition von Konvexität Stetigkeit benötigt wird, lässt sich anhand des folgenden Gegenbeispiels erkennen.

Gegenbeispiel

Sei   eine Hamelbasis des Vektorraums der reellen Zahlen über dem Körper der rationalen Zahlen, also eine über den rationalen Zahlen linear unabhängige Menge reeller Zahlen, in der jede reelle Zahl   eine eindeutige Darstellung der Art   mit nur endlich vielen rationalen   hat. Dann erfüllt bei beliebiger Wahl von   die Funktion   zwar   ist aber nicht notwendigerweise konvex.

Beschränktheit und Stetigkeit in normierten RäumenBearbeiten

Setzt man für eine Funktion   zusätzlich zur Bedingung, dass für ein fixes   die Beziehung

 

für alle  ,  aus einer konvexen Teilmenge   eines normierten Vektorraums gilt, noch voraus, dass   nach oben beschränkt ist, so folgt daraus bereits die Stetigkeit von   in den inneren Punkten von  . Anschaulich wird dies daraus klar, dass man an einer Unstetigkeitsstelle eine beliebig steile Verbindungsgerade zwischen zwei Funktionswerten ziehen kann, wobei die Funktion zwischen den beiden Werten unterhalb der Verbindungsgeraden und außerhalb der beiden Werte oberhalb der Verbindungsgerade liegen muss. Kann die Verbindungsgerade nun beliebig steil werden, so stößt man irgendwann über die obere Schranke der Funktion.

Formal ist der Beweis allerdings etwas komplizierter. Eine vollständige Ausführung befindet sich im Beweisarchiv.

Die Aussage, dass eine konvexe beschränkte Funktion stetig in den inneren Punkten ist, ist auch bedeutsam für das Lösen der cauchyschen Funktionalgleichung

 
 

Aus dieser Aussage folgt nämlich, dass diese Funktionalgleichung eine eindeutige Lösung hat, wenn zusätzlich gefordert wird, dass   beschränkt ist.

In endlichdimensionalen RäumenBearbeiten

Konvexe Funktionen  , die auf einer Teilmenge   eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums   definiert sind, sind stetig in den inneren Punkten. Um das zu sehen, betrachte man einen inneren Punkt  . Für diesen existiert ein Simplex   mit den Eckpunkten  , der   wieder als inneren Punkt enthält. Jeder Punkt   ist aber in der Form

    mit   

und   für alle   darstellbar. Nach der jensenschen Ungleichung gilt nun

 .

  ist daher nach oben beschränkt auf   und somit, wie oben gezeigt wurde, stetig im inneren Punkt  .

In unendlichdimensionalen RäumenBearbeiten

Im unendlichdimensionalen Fall sind konvexe Funktionen nicht notwendigerweise stetig, da es insbesondere lineare (und somit auch konvexe) Funktionale gibt, die nicht stetig sind.

Konvexität und DifferenzierbarkeitBearbeiten

Konvexität und erste AbleitungBearbeiten

Eine auf einem offenen Intervall definierte, konvexe bzw. konkave Funktion ist lokal lipschitz-stetig und somit nach dem Satz von Rademacher fast überall differenzierbar. Sie ist in jedem Punkt links- und rechtsseitig differenzierbar.

Die Ableitung als KonvexitätskriteriumBearbeiten

Die erste Ableitung lässt sich auf zweierlei Arten als Konvexitätskriterium verwenden. Eine stetig differenzierbare reelle Funktion   ist

  • genau dann konvex auf  , wenn ihre Ableitung dort monoton wachsend ist.
  • genau dann streng konvex auf  , wenn ihre Ableitung dort streng monoton wachsend ist.
  • genau dann konkav auf  , wenn ihre Ableitung dort monoton fallend ist.
  • genau dann streng konkav auf  , wenn ihre Ableitung dort streng monoton fallend ist.

Dieses Resultat findet sich im Wesentlichen schon 1889 bei Otto Hölder.[3] Mit dem erweiterten Monotoniebegriff für vektorwertige Funktionen lässt sich dies auch für Funktionen   erweitern. Dann ist   genau dann (strikt/gleichmäßig) konvex, wenn   (strikt/gleichmäßig) monoton ist.

Alternativ ist eine differenzierbare Funktion   genau dann

  • konvex, wenn   ist für alle  .
  • strikt konvex, wenn   ist für alle  .
  • konkav, wenn   ist für alle  .
  • strikt konkav, wenn   ist für alle  .

Im Falle einer Funktion   vereinfacht sich   zu  .

BeispielBearbeiten

Betrachtet man als Beispiel den Logarithmus  . Er ist auf dem Intervall   stetig differenzierbar mit Ableitung  .

Nach dem ersten Konvexitätskriterium muss jetzt die Ableitung auf Monotonie untersucht werden. Ist   und  , so ist  , da Zähler und Nenner echt positiv sind. Somit ist   streng monoton fallend und folglich ist   streng konkav auf  .

Nach dem zweiten Monotoniekriterium überprüft man für  

 .

Da aber   für   ist, gilt die Ungleichung, wenn   ist und   sind. Also ist der Logarithmus streng konkav auf  .

Betrachtet man die Funktion

 ,

so sind alle partiellen Ableitungen stetig und für den Gradient gilt

 

Zur Überprüfung des ersten Konvexitätskriteriums bildet man für  

 ,

da die quadratischen Terme immer echt positiv sind, die Positivität der Terme mit   folgt aus der Monotonie der e-Funktion. Somit ist die Funktion strikt monoton, also auch strikt konvex.

TangentenBearbeiten

Die Graphen differenzierbarer konvexer Funktionen liegen oberhalb jeder ihrer Tangenten. Analog dazu liegen konkave Funktionen stets unterhalb ihrer Tangenten. Dies folgt direkt aus dem zweiten Konvexitätskriterium. Dieses lässt sich auch so interpretieren, dass die Taylor-Entwicklung ersten Grades eine konvexe Funktion stets global unterschätzt. Aus diesen Eigenschaften folgt beispielsweise die Verallgemeinerung der bernoullischen Ungleichung:

  für   oder  
  für  .

Konvexität und zweite AbleitungBearbeiten

Konvexitätskriterien und zweimalige DifferenzierbarkeitBearbeiten

Für eine zweimal differenzierbare Funktion   lassen sich weitere Aussagen treffen.   ist genau dann konvex, wenn ihre zweite Ableitung nicht negativ ist. Ist   durchweg positiv,   also stets linksgekrümmt, dann folgt daraus, dass   streng konvex ist. Analog dazu ist   genau dann konkav, wenn   gilt. Ist   durchweg negativ,   also stets rechtsgekrümmt, so ist   streng konkav.

Ist die mehrdimensionale Funktion   zweimal stetig differenzierbar, dann gilt, dass   genau dann konvex ist, wenn die Hesse-Matrix von   positiv semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix von   positiv definit, so ist   strikt konvex. Umgekehrt ist   genau dann konkav, wenn die Hesse-Matrix von   negativ semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix von   negativ definit, so ist   strikt konkav.

Im Kern basieren die Konvexitätskriterien zweiter Ordnung auf der Überprüfung der Monotonie der Ableitung durch Monotoniekriterien, die wiederum auf Differenzierbarkeit basieren.

BeispieleBearbeiten

Die Funktion   mit   ist konvex, da   für alle  . Sie ist sogar streng konvex, was beweist, dass strenge Konvexität nicht impliziert, dass die zweite Ableitung positiv ist (  hat bei 0 eine Nullstelle).

Die oben betrachtete Funktion   ist zweimal stetig differenzierbar auf   mit zweiter Ableitung   für alle  . Also ist die Funktion streng konkav.

Betrachtet man die Funktion

 ,

so ist ihre Hesse-Matrix

 .

Sie ist positiv definit, da alle ihre Eigenwerte echt positiv sind. Also ist   strikt konvex.

Konvexe Funktionen in der GeometrieBearbeiten

Eine Teilmenge   ist eine konvexe Menge genau dann, wenn die durch

 

definierte Abstandsfunktion eine konvexe Funktion   ist.

Dieselbe Eigenschaft gilt nicht nur für Teilmengen des  , sondern auch allgemein für Teilmengen von CAT(0)-Räumen, insbesondere von Riemannschen Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung. Die Konvexität der Abstandsfunktion ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung nichtpositiv gekrümmter Räume.[9]

VerallgemeinerungenBearbeiten

Für reellwertige FunktionenBearbeiten

 ,
konvex sind. Eine Funktion ist quasikonvex, wenn jede Subniveaumenge konvex ist. Jede konvexe Funktion ist quasikonvex, die Umkehrung gilt nicht.
  • Eine pseudokonvexe Funktion ist eine differenzierbare Funktion, für die gilt: Wenn   gilt, so folgt  . Diese Funktionen verallgemeinern die Eigenschaft konvexer Funktionen, dass an einer Stelle mit verschwindendem Gradienten ein globales Minimum vorliegt. Jede differenzierbare konvexe Funktion ist pseudokonvex.
  • Logarithmische Konvexität einer Funktion   liegt vor, wenn   konvex ist. Streng genommen sind logarithmisch konvexe Funktionen keine Verallgemeinerung, sondern ein Spezialfall von konvexen Funktionen.

Für Funktionen in endlichdimensionalen VektorräumenBearbeiten

Für Abbildungen in allgemeinen reellen VektorräumenBearbeiten

  • Die fast konvexen Funktionen verallgemeinern die Konvexität so, dass für sie möglichst gute Regularitätsvoraussetzungen in der Optimierung gelten.
  • Eine konvexe Abbildung ist eine Abbildung   zwischen zwei reellen Vektorräumen, für die
 
für alle   und   aus der konvexen Menge   gilt. Hierbei ist   ein Ordnungskegel auf  .

Im Bezug auf ReferenzsystemeBearbeiten

  • Verallgemeinerte Konvexität definiert die Konvexität einer Funktion im Bezug auf eine Menge von Abbildungen, das sogenannte Referenzsystem.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ralph Tyrell Rockafellar: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton 1970, ISBN 978-1-4008-7317-3, Section 4.
  2. Heinz H. Bauschke, Patrick L. Combettes: Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces. In: CMS Books in Mathematics. 2011, ISSN 1613-5237, doi:10.1007/978-1-4419-9467-7.
  3. a b Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Aus dem Jahre 1889., Nr. 1-21. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, S. 38 ff. (in Wikisource [abgerufen am 24. März 2012]).
  4. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, 28. Juli 2006: A. Guerraggio and E. Molho write, „The first modern formalization of the concept of convex function appears in J. L. W. V. Jensen Om konvexe funktioner og uligheder mellem midelvaerdier, Nyt Tidsskr. Math. B 16 (1905), S. 49–69. Since then, at first referring to Jensen’s convex functions, then more openly, without needing any explicit reference, the definition of convex function becomes a standard element in calculus handbooks.“ („The Origins of Quasi-concavity: a Development between Mathematics and Economics“, Historia Mathematica, 31, (2004), 62–75.)
  5. z. B. in I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, 4. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Thun, 1981, ISBN 3-87144-217-8.
  6. Jensen, J. L. W. V.: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In Acta Math. 30, 175–193, 1906.
  7. Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. 2009, S. 130 (Fußnote)
  8. Kuczma. op. cit., S. 161–162
  9. Ballmann, Werner; Gromov, Mikhael; Schroeder, Viktor: Manifolds of nonpositive curvature. Progress in Mathematics, 61. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985. ISBN 0-8176-3181-X

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten