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Die jensensche Ungleichung ist eine elementare Ungleichung für konvexe und konkave Funktionen. Sie ist wegen ihrer Allgemeinheit Grundlage vieler bedeutender Ungleichungen, vor allem in der Analysis und Informationstheorie. Die Ungleichung ist nach dem dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen benannt, der sie am 17. Januar 1905 bei einer Konferenz der Dänischen Mathematischen Gesellschaft präsentierte.[1] Unter etwas anderen Voraussetzungen findet sie sich bereits 1889 bei Otto Hölder.[2]

Die jensensche Ungleichung besagt, dass der Funktionswert einer konvexen Funktion an einer endlichen Konvexkombination von Stützstellen stets kleiner oder gleich einer endlichen Konvexkombination von den Funktionswerten der Stützstellen ist. Dies bedeutet insbesondere, dass das gewichtete arithmetische Mittel der Funktionswerte an n Stellen größer oder gleich dem Funktionswert am Mittel dieser n Stellen ist. Für lineare Funktionen gilt stets Gleichheit.

Inhaltsverzeichnis

SatzBearbeiten

Für eine konvexe Funktion   und für nichtnegative   mit   gilt:

 

Beweis per InduktionBearbeiten

Verwendet man die heute übliche Definition von konvex, dass

 

für alle reellen   zwischen 0 und 1 gelte, so ergibt sich die jensensche Ungleichung einfach durch vollständige Induktion über die Anzahl der Stützstellen.

Beweis von HölderBearbeiten

Hölder verwendete den Begriff konvex noch nicht und zeigte, dass aus   bzw.   monoton steigend die Ungleichung

 

für positive   folgt, wobei er dies im Wesentlichen mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung bewies.[2]

Beweis von JensenBearbeiten

Jensen ging von der schwächeren Definition

 

aus und zeigte unter ausdrücklichem Verweis auf den cauchyschen Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel mit Vorwärts-Rückwärts-Induktion, dass daraus die Beziehung

 

für beliebige natürliche Zahlen   folgt. Daraus folgerte er dann weiter, dass

 

für natürliche Zahlen   und somit

 

für beliebige rationale und, sofern   stetig ist, auch reelle Zahlen   zwischen 0 und 1 mit   gilt.[1]

VariantenBearbeiten

  • Da für konkave Funktionen   die Funktion   konvex ist, gilt für konkave Funktionen die jensensche Ungleichung in umgekehrter Richtung, d. h., für jede konkave Funktion   und für positive   mit   gilt:
 
  • Die stetige Variante der jensenschen Ungleichung für eine im Bild von   konvexe Funktion   lautet
 
  • Die stetige und die diskrete Variante lässt sich in der maßtheoretischen Variante zusammenfassen: Ist   Maßraum mit   und ist   eine μ-integrierbare reellwertige Funktion, so gilt für jede im Bild von   konvexe Funktion  
 
  • Die jensensche Ungleichung ist z. B. für Erwartungswerte anwendbar. Ist   konvex und   eine integrierbare Zufallsvariable, dann gilt
 
Analoge Aussagen gelten für den bedingten Erwartungswert.

AnwendungenBearbeiten

Die jensensche Ungleichung lässt sich beispielsweise zum Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel und der Ky-Fan-Ungleichung verwenden. Die Variante für Erwartungswerte dient in der Stochastik zur Abschätzung von bestimmten Zufallsgrößen.

UmkehrungBearbeiten

Die Aussage der maßtheoretischen Variante der jensenschen Ungleichung lässt sich im folgenden Sinne umkehren:[3]

Sei   eine reelle Funktion derart, dass für jede beschränkte (Lebesgue-)messbare Funktion   gilt

 ,

dann ist   konvex.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Johan Ludwig William Valdemar Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In: Acta Math. Band 30, 1906, S. 175–193, doi:10.1007/BF02418571.
  2. a b Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Aus dem Jahre 1889., Nr. 1-21. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, S. 38 ff. (in Wikisource [abgerufen am 24. März 2012]).
  3. Walter Rudin: Real and Complex Analysis. 3. Auflage. McGraw-Hill, New York 1987, S. 74 (englisch).