Ky-Fan-Ungleichung

mathematische Formel

In der Mathematik wird als Ky-Fan-Ungleichung eine von Ky Fan entdeckte und erstmals von (Lit.: Beckenbach und Bellman, 1983) publizierte Ungleichung bezeichnet. Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, dass sie durch ihre Ähnlichkeit mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Ausgangspunkt für weitere Verallgemeinerungen ist.

Formulierung

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In der einfachsten Form lautet die Ky-Fan-Ungleichung folgendermaßen:

Falls   für   Zahlen mit   sind, dann gilt

 .

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn  .

Bezeichnet man mit   das arithmetische Mittel und mit   das geometrische Mittel der Zahlen   sowie mit   das arithmetische Mittel und mit   das geometrische Mittel der Zahlen  , so nimmt die Ky-Fan-Ungleichung die Form

 

an; die Ähnlichkeit zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel   wird damit deutlich.

Ein einfacher Beweis für die Ky-Fan-Ungleichung ergibt sich, wenn man die Jensensche Ungleichung auf die Funktion   anwendet, die für   konkav ist. Dieser Beweis liefert unmittelbar eine Verallgemeinerung der Ky-Fan-Ungleichung mit gewichteten Mittelwerten:

 ,

wobei für die Gewichte   und   gelten muss.

Verwandte Ungleichungen

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(Lit.: Wang und Wang, 1984) haben die Ky-Fan-Ungleichung auf die harmonischen Mittelwerte   und   erweitert:

 .

Literatur

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