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Pseudokonvexe Funktion

mathematische Funktion

Pseudokonvexe Funktionen spielen in der nichtlinearen Optimierung eine entscheidende Rolle. Die starke Voraussetzung der Konvexität an Zielfunktionen oder Nebenbedingungen ist in vielen Fällen nicht erfüllt. Mit abschwächenden Konvexitätsbegriffen wie Quasikonvexität oder Pseudokonvexität versucht man dann gewisse Eigenschaften zu retten, um sie in der Algorithmik einzusetzen. Im Folgenden sei eine reellwertige Funktion auf einer offenen Teilmenge differenzierbar. Falls die Funktion die folgende Eigenschaft erfüllt, so heißt sie pseudokonvex: Für alle gilt:

Aus folgt .

Gilt sogar

Aus und folgt .

so nennt man die Funktion strikt pseudokonvex.[1] Dabei bezeichnet den Gradienten von an der Stelle .

Ist (also ) so lautet die Bedingung zur Pseudokonvexität einfach:

Aus folgt .

Eine Funktion heißt pseudokonkav, wenn das Negative der Funktion pseudokonvex ist.

Beispiele und EigenschaftenBearbeiten

 
blau:  , rot:  

Differenzierbare konvexe Funktionen sind pseudokonvex. Die Funktionen

  und
 

sind Beispiele für pseudokonvexe Funktionen  , die nicht konvex sind.[2]

Pseudokonvexe Funktionen auf konvexen Bereichen sind strikt quasikonvex.[3][4]

Bedeutung für die OptimierungBearbeiten

Verschwindet die Ableitung einer pseudokonvexen Funktion im Punkt  , so liegt dort ein Minimum vor. Das folgt sofort aus der Definition, denn in diesem Fall ist die Prämisse unabhängig von   erfüllt und es folgt  . Die Definition der Pseudokonvexität ist gerade so angelegt, dass das gilt.[5]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Karl-Heinz Borgwardt, Optimierung, Operations Research, Spieltheorie, Birkhäuser, Basel 2001, ISBN 3-7643-6519-6, Definition 12.14
  2. L. Collatz, W. Wetterling: Optimierungsaufgaben, Springer-Verlag (1966), ISBN 0-387-05616-5, Absatz 6.4
  3. L. Collatz, W. Wetterling: Optimierungsaufgaben, Springer-Verlag (1966), ISBN 0-387-05616-5, §6, Satz 10
  4. D. Jungnickel: Optimierungsmethoden, Springer-Verlag (2008), ISBN 3-540-76789-4, Korollar 3.4.14
  5. D. Jungnickel: Optimierungsmethoden, Springer-Verlag (2008), ISBN 3-540-76789-4, Satz 3.4.15