Satz von Rademacher

mathematischer Satz

Der Satz von Rademacher, benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans Rademacher, ist ein Satz der Analysis über Lipschitz-stetige Funktionen.

AussageBearbeiten

Seien   natürliche Zahlen,   eine offene Teilmenge eines euklidischen Raumes und schließlich   eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist   fast überall (total) differenzierbar.[1]

Das heißt, die Menge aller Punkte, in denen   nicht differenzierbar ist, ist eine Lebesgue-Nullmenge.

VerallgemeinerungBearbeiten

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen  , wobei   nun einen beliebigen metrischen Raum bezeichne.

Zunächst ist jedoch nicht klar, wie sich obiger Satz auf diesen Fall übertragen lässt, denn ein metrischer Raum trägt nicht a priori auch eine lineare Struktur.

Fasst man   als Funktion zwischen normierten Räumen auf und legt die Fréchet-Differenzierbarkeit zu Grunde, dann wird der Satz sogar falsch:

Als Gegenbeispiel dient hier klassisch die Funktion  . Wobei   die charakteristische Funktion des Teilintervalls   bezeichne.
Es gilt für beliebige  :
 
Dabei bezeichne   die L1-Norm. Das heißt   ist eine Isometrie und damit erst recht Lipschitz-stetig, es lässt sich aber zeigen, dass   nirgendwo Fréchet-differenzierbar ist.

Der deutsche Mathematiker Bernd Kirchheim hat nun aber den Satz von Rademacher in einem anderen Sinne verallgemeinern können:[2]

Ist eine Funktion von einem euklidischen in einen metrischen Raum Lipschitz-stetig, so ist sie fast überall metrisch differenzierbar.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis (PDF; 481 kB), Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (Satz von Rademacher inklusive eines Beweises: S. 18ff.) Abgerufen am 12. Juni 2012.
  2. Bernd Kirchheim: Rectifiable metric spaces: Local structure and regularity of the Hausdorff measure; zitiert nach: Proceedings of the American Mathematical Society: Volume 121, Number 1, May 1994. Abgerufen am 12. Juni 2012.