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In Physik und Mathematik ist die Gruppe die einfachste kompakte Lie-Gruppe. Mathematisch handelt sich um den Einheitskreis der komplexen Zahlenebene mit der durch die Multiplikation der komplexen Zahlen gegebenen Gruppenoperation.

Sie findet unter anderem im Standardmodell der Elementarteilchenphysik Verwendung.

Das Produkt von und ist .

DefinitionBearbeiten

  ist die Menge der komplexen Zahlen der Form

 

(also genau der komplexen Zahlen vom Betrag  ; man beachte, dass   und   für   demselben Element entsprechen)

mit den Gruppenoperationen

 

und

 

Die Gruppe   ist der Spezialfall der unitären Gruppe   für  .

EigenschaftenBearbeiten

  •   ist isomorph zur Drehgruppe   und zur Kreisgruppe  .
  •   ist eine abelsche Gruppe.
  •   ist kompakt.

DarstellungstheorieBearbeiten

  • Alle Darstellungen über   sind unitär.
  • Alle irreduziblen Darstellungen über   sind 1-dimensional und sind von der Form
 
für ein  .
  • Es folgt, dass jede  -dimensionale Darstellung über   von der Form
 
mit   ist, wobei   auf   ( ) durch Multiplikation mit   wirkt.

LadungsoperatorBearbeiten

Der Ladungsoperator   für die Darstellung   ist durch die Matrix

 

gegeben,

PhysikBearbeiten

In der Quantenmechanik werden Teilchen durch komplex-wertige Wellenfunktionen beschrieben und   wirkt auf diesen Wellenfunktionen durch punktweise Phasentransformation   des Funktionswerts. Das ist eine globale Eichinvarianz. Als lokale Eichtheorie, in der die Phase   eine Funktion von Raum und Zeit ist, entspricht die Eichgruppe U(1) der Quantenelektrodynamik (und der klassischen Elektrodynamik). Die Eigenwerte von   entsprechen der elektrischen Ladung der Teilchen, wobei für die Phase   angesetzt wurde. In der Quantenelektrodynamik ist der zugrundeliegende Raum der Minkowskiraum und der Formalismus der Relativitätstheorie wird zur Beschreibung benutzt. Das (relativistische) Vektorpotential entspricht hier dem Zusammenhang auf einem U(1)-Prinzipalbündel, der Feldstärketensor der Krümmungs-2-Form des Bündels.

Die Drehungen um eine feste Achse können mit der Gruppe   identifiziert werden. Die Eigenwerte des Ladungsoperators   werden als quantisierte Drehimpulse in Richtung der gegebenen Achse interpretiert.

Der eindimensionale harmonische Oszillator hat  -Symmetrie durch Drehungen in der Ort-Impuls-Ebene. In diesem Fall ist   ein skalares Vielfaches des Hamilton-Operators.

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird die Wechselwirkung der Materiefelder durch abstrakte (mathematische) Eichsymmetrien mit den Eichgruppen  , SU(2) und SU(3) beschrieben. Die letzten beiden Eichgruppen sind nicht-abelsch und die zugehörigen Feldtheorien heißen Yang-Mills-Theorien. Auch in GUTs spielen U(1)-Komponenten als Eichgruppen eine Rolle. Sie tauchen nicht unbedingt in der vollen Eichgruppe auf, sondern wenn diese durch spontanen Symmetriebruch zerfällt. Es gibt aber auch subtilere Anwendungen einer U(1)-Symmetrie (global und lokal) in der Elementarteilchentheorie (siehe Axion).

Ein Beispiel der Anwendung in der Festkörperphysik ist der ganzzahlige Quanten-Hall-Effekt, dessen ganzzahlige Quantenzahlen der elektrischen Leitfähigkeit durch eine topologische Invariante gegeben sind, die der ersten Chernklasse eines U(1)-Faserbündels entspricht (für die Identifizierung solcher und anderer topologischer Phasen in der Festkörperphysik erhielt David J. Thouless 2016 den Nobelpreis für Physik).

WeblinksBearbeiten