Das Lemma von Schur, benannt nach Issai Schur, beschreibt die Homomorphismen zwischen einfachen Moduln. Es besagt, dass jeder solche Homomorphismus außer dem Nullhomomorphismus ein Isomorphismus ist.

Formulierungen des LemmasBearbeiten

Das Lemma von Schur in der modultheoretischen Fassung lautet (  sei ein Ring mit 1):

Es seien  ,   einfache  -Linksmoduln. Dann gilt:

  1.  
  2.   ist ein Schiefkörper.

In der darstellungstheoretischen Fassung lautet das Lemma von Schur (  sei eine endliche Gruppe,   ein Körper):

Es seien   irreduzible Darstellungen von  . Dann gilt:

  1. Es sei   mit  . Dann gilt:   oder   ist bijektiv (und in diesem Fall sind   und   äquivalent).
  2.   ist ein Schiefkörper.

Die zweite Aussage gilt auch in der Umkehrung, sodass   genau dann ein Schiefkörper ist, wenn die Darstellung   irreduzibel ist.

Aufgrund des Zusammenhangs von Darstellungen von   über   und KG-Moduln besagen beide Fassungen das gleiche.

BeweisBearbeiten

Der Beweis (der darstellungstheoretischen Fassung) benötigt nur elementare lineare Algebra[1]. Es seien   invertierbare  -Matrizen,   invertierbare  -Matrizen, und es sei   eine  -Matrix. Für die Matrizenprodukte gelte

 

Dann ist der Kern von   ein invarianter Teilraum für die Darstellung  , denn aus   folgt  . Wegen der Irreduzibilität von   kann   nur der Nullvektorraum oder der ganze Vektorraum sein. Im ersten Fall ist   invertierbar und vermittelt eine Ähnlichkeitstransformation zwischen den Darstellungsmatrizen   und  . Im zweiten Fall ist   die Nullmatrix.

AnwendungenBearbeiten

Für praktische Zwecke (Tabellierung) werden die Matrizen einer irreduziblen Darstellung gelegentlich standardisiert. Z. B. dienen bei der Drehgruppe die gemeinsamen Eigenvektoren von Drehungen um eine ausgewählte Achse als Standardbasis. In solchen Fällen sind die Matrizen von irreduziblen Darstellungen   und   entweder inäquivalent oder identisch. Damit wird folgender Zusatz zum Schurschen Lemma relevant:

Aus   für alle   folgt  , d. h.   ist ein komplexes Vielfaches der Einheitsmatrix.

Beweis: Es sei   ein (komplexer) Eigenwert von  , und   sei ein zugehöriger Eigenvektor. Mit der vorausgesetzten Gleichung gilt auch

 

Daher ist der Kern von   ein invarianter Teilraum der Darstellung   und kann wegen Irreduzibilität nur der Nullraum oder der ganze Raum sein. Da der Eigenvektor   zum Kern gehört, bleibt nur die zweite Möglichkeit. Also gilt  .

Ein einfaches Korollar des Lemmas von Schur ist, dass jede komplexe irreduzible Darstellung einer abelschen Gruppe eindimensional sein muss.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. M. Chaichian, R. Hagedorn, Symmetries in quantum mechanics: from angular momentum to supersymmetry, Institute of Physics Publishing, Bristol 1998