Hilbert-Kurve

Raumfüllende Kurve
Abb. 1: Hilbert-Polygone in sieben Iterationen, dazu die Hilbert-Kurve

In der Mathematik ist die Hilbert-Kurve eine (stetige) Kurve, die, wie in der nebenstehenden animierten Abb. 1 veranschaulicht, als Grenzkurve von Polygonzügen die Fläche eines Quadrats vollständig ausfüllt. Sie ist eine sogenannte FASS-Kurve, somit eine raumfüllende Kurve (engl. space-filling curve, abgekürzt SFC) und wurde 1891 von dem deutschen Mathematiker David Hilbert entdeckt.[1] Die Möglichkeit, mit einer stetigen eindimensionalen Kurve ein zweidimensionales Gebiet komplett abdecken zu können, war den Mathematikern des neunzehnten Jahrhunderts neu (siehe auch Monsterkurve).

Die Hilbert-Kurve wird durch rekursive Iteration definiert und konstruiert. Die -te Rekursionsstufe wird Hilbert-Kurve der -ten Iteration[2], , und der die Teilquadrate verbindende Polygonzug Hilbert-Polygon der -ten Iteration genannt. Die Hilbert-Kurven und die Hilbert-Polygone endlicher Iterationen haben denselben Grenzwert, nämlich die Hilbert-Kurve im engeren Sinn. Die euklidische Länge des Hilbert-Polygons ist , das heißt, sie wächst mit der Nummer der Iteration über alle Grenzen. Der Limes Hilbert-Kurve hat wie das Quadrat eine Hausdorff-Dimension von exakt 2.

Mithilfe der Hilbert-Kurve endlicher Iteration kann man die Teilquadrate und mithilfe des Limes die Punkte im Quadrat in eine lineare Reihenfolge bringen, die Hilbert-Ordnung genannt wird. Mit ihr lassen sich (effiziente) Verfahren, die auf einer linearen Ordnung beruhen, ins Mehrdimensionale übertragen. Dazu gehört binäres Suchen, binärer Suchbaum, Skip-Liste und andere.

Abb. 2: Farbkodierte Entfernungstabelle von Orten auf der Hilbert-Kurve der 4. Iteration

Beim direkten Zugriff steht die Hilbert-Ordnung in Konkurrenz zu einem Zugriff, bei dem die linearen Ordnungen der Dimensionen in unterschiedlicher Rangigkeit zu einer lexikographischen Ordnung hintereinander geschaltet sind – im internen Speicher über ein mehrfach indiziertes Feld resp. im externen Speicher per wahlfreien Zugriff (Random Access). Wenn sich dies gut organisieren lässt, schneidet sie etwas schlechter ab. Sie ist aber überlegen, wenn es sich um eine ungefähre Suche handelt, an die sich eine sequentielle Suche anschließt, bei der Nachbarschaftsbeziehungen (engl. clustering) vorteilhaft ausgenutzt werden können. Dies ist bei -dimensionalen Räumen , bei denen Nachbarschaft durch die euklidische Metrik definiert ist, häufig der Fall – beispielsweise, wenn auf geographische Merkmale eines Objekts über die Schlüssel Länge und Breite zugegriffen werden soll. Die Hilbert-Kurve ist beliebt aufgrund ihrer guten Nachbarschaftserhaltung.[3][4] Bei der Z-Kurve ist die Rechnung geringfügig einfacher, aber die Nachbarschaftserhaltung deutlich schlechter.[5]

Die Zuordnung der Hilbert-Kurve einer (endlichen) -ten Iteration ist umkehrbar und kann zu beliebiger Feinheit gesteigert werden. Dieses und die gute Nachbarschaftserhaltung hat eine Vielfalt von Anwendungen der Hilbert-Kurve in der Informatik eröffnet, so in der Bildverarbeitung, Datendarstellung, im Hochleistungsrechnen[6] und in anderen Gebieten.[7]

KonstruktionBearbeiten

Die Abb. 3a bis 3c aus dem definierenden Artikel[1] zeigen die drei ersten Iterationen der Hilbert-Kurve. Bei der  -ten Iteration bringen   Nummern die   Intervalle (Teilstrecken der Linie oben in den Grafiken) und die   Quadrate mit gleichen Nummern zur Entsprechung. Die verstärkten polygonalen Linien   bringen genau diese Reihenfolge der Quadrate heraus.[8]

Eine nachfolgende Iteration verfeinert – bei Intervallen wie bei Quadraten – die Schachtelung um den Faktor 4.

IterationsschrittBearbeiten

Die Konstruktion der Hilbert-Kurve als einer raumfüllenden Kurve

 

beruht auf einem rekursiven Verfahren:

  1. Das Verfahren beginnt mit dem (mehrdimensionalen Einheits-Intervall)   als dem zu füllenden  -dimensionalen Gebiet.
  2. Jedes Gebiet wird aufgeteilt in   kongruente Teilgebiete ( -dimensionale Intervalle) der halben Seitenlänge und auf der Eingabeseite ein Intervall in   gleichlange Teilintervalle. Das Verfahren überführt damit 1D-Schachtelungen von Intervallen in 2D-Schachtelungen von Quadraten (oder in 3D-Schachtelungen von Würfeln), ist also inklusionserhaltend.[8]
  3. Für jedes Teilgebiet ist eine raumfüllende Kurve zu finden, die durch verkleinerte Verschiebung, Spiegelung und/oder Rotation der Vorgängerkurve gebildet wird.   (Prinzip der Selbstähnlichkeit)[9]
  4. Die Spiegelungs- und Rotationsoperationen lassen sich so wählen, dass sich die   Teilkurven zu einer einzigen gerichteten Kurve zusammenfügen.

Eine Hilbert-Kurve wird wesentlich durch die Reihenfolge charakterisiert, in der die Teilgebiete hintereinander aufgesucht (traversiert) werden. Mit wachsender Dimensionszahl   wächst die Anzahl der unterschiedlichen Hilbert-Kurven, die sich dann auch in ihrer Nachbarschaftserhaltung stark unterscheiden können.

Dieser Artikel beschränkt sich fast ausschließlich auf die Dimensionszahl  , also auf die Abbildung des Einheitsintervalls   auf das Einheitsquadrat  . Bei dieser Dimensionszahl treten alle einschlägigen mathematischen Phänomene bereits in Erscheinung.

Während die Hilbert-Kurve (auf der Ausgabeseite) ein „Teilquadrat“ durchläuft (füllt), soll auch der Parameter   auf der Eingabeseite das ihm entsprechende Teilintervall durchlaufen. Dies entspricht der Vorgabe, dass die Hilbert-Kurve in allen Bereichen »gleich schnell« voranschreitet.

Um dies sicherzustellen, wird als Intervallschachtelung auf der Parameterseite die („4-adische“) Darstellung von   im Quaternärsystem mit   gewählt.[10] Es sei   gesetzt, so dass

      [11]

ein Intervall in der  -ten Schachtelung des Parameters   ist. Auf der Seite des Quadrats (Ausgabeseite) werden die Koordinaten   und   im Binärsystem („2-adisch“) dargestellt mit  . Die (abbrechenden) Koordinaten   mit   und   stehen dabei für das Teilquadrat, das diese Koordinaten zur linken unteren Ecke hat. Und die Folge der durch   spezifizierten Quadrate, die die Seitenlänge   und die Fläche   haben, macht eine 2D-Intervallschachtelung in der Ebene aus. Diese  D-Schachtelungen seien als die „Rasterschachtelung“   (der Hilbert-Kurve) bezeichnet.

Die  -te Iteration   der „Hilbert-Kurve“ ist eine geordnete Folge von   an genau einer Quadratseite mit dem Folgequadrat zusammenstoßenden Quadraten (oder deren linken unteren Eckpunkten resp. deren Mittelpunkten). Diese Folge wird am besten durch einen gerichteten Polygonzug von Quadratmittelpunkt

 

zu Quadratmittelpunkt (Parameter  ) verdeutlicht. Dieser Polygonzug   enthält alles Wichtige und wird häufig als das Hilbert-Polygon (engl. auch approximating curve[12] und Hilbert pseudo curve) der  -ten Iteration bezeichnet (Beispiele finden sich in den Hilbert-Kurven der 1. bis 3. Iteration der obigen Abbildungen).

PolygonzugBearbeiten

Im Folgenden wird gezeigt, wie die   Quadrate eines Rasters   sämtlich in eine Reihenfolge   gebracht werden, derart, dass sie bei wachsendem   immer kleiner werden, einander näher rücken und im Limes eine Kurve bilden.

Im Sinn des obigen Programms sei rekursiv angenommen, dass in einem Teilquadrat   ein Kurvenpunkt der selbstähnlichen Hilbert-Kurve berechnet ist. Es geht nun darum, diesen Punkt (resp. dieses Teilquadrat) so zu den anderen drei Teilquadraten in das Quadrat   zu holen, dass alle solche Punkte zusammen genommen eine zusammenhängende Kurve (resp. eine zusammenhängende Folge von Teilquadraten des Rasters  ) ergeben. Eine solche Transformation lässt sich zerlegen in:

die Verkleinerung des Quadrats linear um den Faktor  , (Skal)
eine (die Hilbert-Kurve charakterisierende) Parallelverschiebung und (Parv)
eine Isometrie (= orthogonale Abbildung = Drehung und/oder Spiegelung). (Ausr)

Für die Wahl der passenden Drehungen und/oder Spiegelungen ist die Festlegung hilfreich, wo ein Quadrat einer Rasterschachtelung   von der Kurve betreten und wo es verlassen wird. Bei der Hilbert-Kurve sind dies die Ecken genau einer Quadratseite.[13] Da es auch auf die Richtung und Orientierung ankommt, werde dieses Charakteristikum eines Quadrats im Raster mit dem Begriff „Ausrichtung“ (engl. orientation[3], state[14]) versehen und die Ausrichtung „hoch—rechts—runter“ (in Koordinaten   resp. die Strecke   für „Eintritt links unten—Austritt rechts unten“) mit dem Buchstaben   gekennzeichnet.[15]

Aber auch die bloße Platzierung des Teilquadrats hängt von der Ausrichtung ab. Ist das große Quadrat   (links in der Abbildung 4) gemäß   ausgerichtet, dann wird bei der Hilbert-Kurve das Quadrat   abhängig von der Quaternärziffer   in eines der vier Teilquadrate platziert, und zwar platziert die Quaternärstelle   nach links unten,   nach links oben,   nach rechts oben und   nach rechts unten, also nach dem „Grundmuster“ (engl. base pattern[12] oder basic pattern[16])  .[17][18] Ein Grundmuster für die 3-dimensionale Hilbert-Kurve ist   (s. a. den Abschnitt Ausblick auf 3 Dimensionen).

Andere Ausrichtungen (als  , und auch Platzierungsmuster) lassen sich durch eine vorgeschaltete Isometrie aus der Diëdergruppe   des Quadrats darstellen.

Die zur Herstellung des einfachen Zusammenhangs (und damit der Stetigkeit im Limes) erforderlichen Drehungen und/oder Spiegelungen sind ebenfalls Isometrien aus   und zusammen mit der Platzierung auszuführen. Diese Kombination wird im folgenden Abschnitt unter dem Begriff „Transformation“ beschrieben.

Transformation der rekursiven Teilquadrate auf das EinheitsquadratBearbeiten

 
Abb. 4: Die Einbettung des Teilquadrats der  -ten Iteration rechts resp. eines seiner Punkte   in das 4 mal so große Quadrat links – in welches Teilquadrat und wie, wird von der Quaternärziffer   abhängig gemacht.

Um den Wechsel der Ausrichtung von einer Iteration zur nächsten präzise zu erfassen, sei angenommen, dass beide Quadrate, das große (links in der Abbildung 4) wie das Teilquadrat (rechts) gleich, bspw. gemäß  , ausgerichtet sind.

Die benötigten vier Transformationen[19][20] hängen von der Quaternärziffer   ab und seien mit   und   bezeichnet:

 

 

 

 

Alle Transformationen skalieren zunächst die übergebenen Koordinaten   des Punktes mit dem Faktor  , da die Teilquadrate die halbe Seitenlänge haben, und enthalten eine Verschiebung in das durch   (s. o.) bestimmte Teilquadrat. Zudem ist von einer Transformation je nach Lage ggf. eine (von   abhängige) Viertelrotation, Spiegelung, d. h. eine Kongruenzabbildung   durchzuführen:

  • Bei   kommt die Transformation   zum Zuge. Sie spiegelt ihr Argument an der »Hauptdiagonalen« (strichpunktiert in Abbildung 4), wodurch sich der Drehsinn des Quadrats ändert. Die Eintrittsecke ins Teilquadrat (links unten) bleibt erhalten.
    (Alle Übertritte von einem Quadrat zum nächsten sind in der Abbildung 7 als kurze blaugrüne Pfeile vom Grundmuster des einen Quadrats diagonal zur Austrittsecke und von der Eintrittsecke des anderen Quadrats diagonal zu dessen Grundmuster dargestellt.)
    Die Austrittsecke dieses Teilquadrats ist nachher links oben und führt zum nächsten Teilquadrat mit  .
  • Die Zielquadrate bei den Transformationen   und   haben dieselbe Ausrichtung   mit Eintrittsecke links unten und Austrittsecke rechts unten, daher ist keine Spiegelung (und keine Drehung) erforderlich. Jedoch wird die Kurve skaliert in je eines der oberen Teilquadrate verschoben.
      verschiebt bei   die Kurve um   in  -Richtung, also ins linke obere Teilquadrat.   verschiebt für   die Kurve diagonal ins rechte obere Teilquadrat.
    Die Eintrittsecke des Teilquadrats mit   fällt mit der Austrittsecke von   und die Austrittsecke von   mit der Eintrittsecke von   zusammen.
  • Die Transformation   spiegelt für   ihr Argument an der »Nebendiagonalen« (strichpunktiert in Abbildung 4), wodurch sich der Drehsinn des Quadrats ändert. Danach wird das gespiegelte Ergebnis um   in  -Richtung, also ins rechte untere Teilquadrat verschoben, so dass die Eintrittsecke rechts oben liegt – an der Stelle der Austrittsecke des vorangehenden Teilquadrats mit   – und die Austrittsecke mit der Austrittsecke des Ausgangsquadrates übereinstimmt (rechts unten).

Ersichtlich sind die Punkte   über die sie enthaltenden Quadrate in eine Reihenfolge gebracht, die der Reihenfolge der Intervalle des Parameters   entspricht – sowohl bezüglich der 4 Teilquadrate   als auch bei den Anschlüssen zwischen zwei Quadraten  .

Dabei findet der Übertritt von einem Quadrat zum nachfolgenden Nachbarquadrat immer nur über eine gemeinsame Quadratseite statt (s. kurze blaugrüne Pfeile in der Abbildung 7), sodass sich beim Polygonzug   von Quadratmittelpunkt zu Quadratmittelpunkt ausschließlich Teilstrecken gleicher Länge, der Seitenlänge, ergeben, die alle zu den Koordinatenachsen parallel und miteinander in einer linearen Kette verbunden sind – mit der offensichtlichen Konsequenz, dass die Hilbert-Kurve im Limes stetig ist. Die Teilstrecken des Polygons erfahren dabei nur Richtungswechsel  .

Die Abbildung 4 zeigt darüber hinaus, dass ausgehend von der Ausrichtung   zwei neue (absolute) Ausrichtungen   (:= „rechts—hoch—links“) und   (:= „links—runter—rechts“) hinzukommen, und die Abbildungen 7 und 5, dass nur noch eine weitere Ausrichtung (:= „runter—links—hoch“), genannt  , fehlt, so dass es bei insgesamt vier Ausrichtungen bleibt. Sie seien im Folgenden in der Menge   zusammengefasst. Die zugehörige Gruppe   der benötigten Isometrien ist eine Untergruppe der Diedergruppe   des Quadrats, wird erzeugt von der Drehung um 180° (Spiegelung am Quadratmittelpunkt) und einer Spiegelung an einer Diagonalen, hat also die Gruppenordnung vier, den Exponenten zwei und ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.

 
Abb. 5: Hilbert-Polygone der ersten bis dritten Iteration.
Die Quadratmittelpunkte sind in der Reihenfolge des Hilbert-Index (Schrift gedreht) miteinander verbunden.
Der Hilbert-Index eines Teilquadrates mit Mittelpunkt   findet sich am Schnittpunkt von  -Spalte mit  -Zeile.
(Alle Angaben im Binärsystem)
Blass in den Quadratmitten die „absolute Ausrichtung“.
Bei 8 Punkten der finalen Hilbert-Kurve sind zugehörige Werte des Parameters   angegeben (grün).
Der Mittelpunkt   des großen (und jedes) Quadrats ist ein Tripelpunkt. Er hat  .

In der Abbildung 5 ist das große Quadrat, das Quadrat der  -ten Iteration (= Quadrat des Rasters  ), gemäß   ausgerichtet – und dementsprechend in seiner Mitte gekennzeichnet. Die relativen Ausrichtungen der Quadrate höherer Iterationen sind rekursiv von Iteration zu Iteration den Regeln dieses Abschnitts entsprechend entwickelt und die Ergebnisse als absolute Ausrichtungen im Zentrum der Quadrate eingetragen. Als solche sind sie auf die initiale (absolute) Ausrichtung, hier  , des Ausgangsquadrates bezogen. Die absolute Ausrichtung eines Quadrats ist also die Akkumulation (Komposition, Verkettung) der relativen Ausrichtungen aller seiner rekursiven Vorgänger mit der initialen Ausrichtung am Rekursionsanfang.[21]

Bemerkung 1

Weil im vorstehenden Abschnitt das Quadrat der Iteration   »zeitlich« vor dem großen Quadrat   als »vorhanden« angesehen wird, könnte man anzunehmen versucht sein, dass die (Ausrichtungen der) großen Quadrate (links) der höherwertigen Ziffern durch diejenigen späterer Iterationen (rechts) beeinflusst würden. Das Gegenteil ist jedoch der Fall:

  • Die absolute Ausrichtung des großen Quadrats beeinflusst (zusammen mit der Quaternärziffer  ) direkt die absolute Ausrichtung des Teilquadrats.

Das kann man übrigens schon beim Zeichnen von Hilbert-Polygonen zweier aufeinander folgender Iterationen feststellen, spielt für die Umkehrbarkeit der   (s. Abschnitt #Hilbert-Polygon) eine große Rolle und wirkt sich auf die (Art der) Stetigkeit von   (s. Abschnitt #Hilbert-Kurve) aus. Diese Abhängigkeit ist in der tabellarischen Abbildung 7 und im gleichwertigen Übergangsdiagramm der Abbildung 8 für alle vier vorkommenden Varianten (= Ausrichtungen) herausgearbeitet. Eine darauf basierende explizite Rekursionsformel für   wird im entsprechenden Abschnitt vorgestellt.

Diskrete MathematikBearbeiten

In diesem Kapitel wird mit   die endliche Iterationsstufe bezeichnet, die Einheitsintervalle   und   sind oben halboffen, und für  , bspw.   oder  , ist

 

eine diskrete Menge von   Elementen.

Hilbert-PolygonBearbeiten

Die Zuordnung der Hilbert-Kurve   der  -ten Iteration ist

 

Das Bild   ist eine diskrete Menge, und zwar ist

 .

Die Koordinaten   stehen dabei für linke untere Ecken von Quadraten des Rasters  . In graphischen Darstellungen wird die Reihenfolge der Quadrate, deretwegen ja der ganze Aufwand getrieben wird, am einfachsten durch Verbindungsstrecken zwischen den Quadraten sichtbar gemacht. Am deutlichsten wird diese Reihenfolge, wenn man statt der   Ecken die   Quadratmittelpunkte

 

nimmt, weil die Verbindungsstrecken verschiedener Iterationsstufen dann getrennt bleiben und Symmetrien klarer herauskommen. Dieser Polygonzug in der Ebene von Quadratmittelpunkt zu Quadratmittelpunkt wird häufig als das Hilbert-Polygon   der  -ten Iteration bezeichnet.[22]

Die diskrete Funktion  , d. i. die Einschränkung von   auf die diskrete Menge  , ist umkehrbar und hat die Umkehrfunktion  , die im Abschnitt Hilbert-Index behandelt wird. Nach Konstruktion ist ferner

 

woraus die Implikation

 

(und im Limes die gleichmäßige Stetigkeit) folgt.

Abb. 6: Hilbert-Polygon der 6. Iteration

Das Hilbert-Polygon   ist eine einfache Kurve mit Anfang, Ende und ohne Berührungen oder Überschneidungen. Wie in der Einleitung erwähnt, hat es die euklidische Länge  , die also mit   über alle Grenzen wächst. Alle Hilbert-Polygone derselben Iteration   sind einander ähnlich.

Die Animation der nebenstehenden Abb. 6 gibt einen Eindruck, wie lang die Wege in höheren Iterationen werden. Sie deutet auch an, wie das Hilbert-Polygon nach und nach den ganzen Ersten Quadranten der  -Ebene ausfüllen könnte: Wenn ein Quadrat fertig ist, dann ist der Polygonzug in der Richtung weg vom Ursprung fortzusetzen.

Die Bild- und die Definitionsmenge von   lassen sich aufgrund ihrer Diskretheit in einfacher Weise so skalieren, dass sie ganzzahlig werden.

Bei den beiden folgenden Algorithmen t2xyR und t2xyI und beim Algorithmus xy2tR erfolgt die Auswertung (Hintereinanderausführung) der verketteten Transformationen wie bei Operatoren üblich rechts-assoziativ, also von rechts nach links.[23] Innerhalb des Programms findet die Auswertung im rekursiven Aufstieg – also »auf dem Rückweg« (im hinteren Abschnitt) – statt, weshalb die Auswertungsrichtung als »fein zu grob« zu charakterisieren ist. Damit sich bei dieser Auswertungsrichtung überhaupt etwas ergibt, muss der »Hinweg« abgebrochen werden. Beim wie immer gearteten Abbruchkriterium (im Pseudocode t2xyR formuliert mit der Genauigkeitsvariablen eps) wird der Punkt  , wie in der Abb. 4 dargestellt, in dasjenige Rasterquadrat gebracht, das dem eingegebenen Teilintervall von   entspricht, und dieses Vorgehen wird wiederholt bei jedem iterativen Schritt zurück.

Bemerkung 2

Wie weiter oben schon bemerkt, suggeriert die Abb. 4 eine solche Auswertungsrichtung. Gleichwohl existiert eine Abhängigkeit des  -ten Quadrats von Teilen der  -sten oder höherer Iterationsstufe überhaupt nicht, weder hinsichtlich der Ziffern   (mit  ) des Parameters   noch hinsichtlich der Ziffern   der Koordinaten   noch hinsichtlich der Ausrichtung der Quadrate. Wenn es eine Rekursion gibt, dann kann sie in der Richtung von »grob zu fein« aufgesetzt werden, bei der die Auswertung im rekursiven Abstieg erfolgt. Die hieraus hervorgehende Rekursionsformel hat den Vorteil, dass ein »Abbruchkriterium« nicht gebraucht wird. (Ein Ergebnis liegt bei einem Abbruch unmittelbar vor – einschließlich einer Angabe über die möglicherweise eingegangene Ungenauigkeit.) Sie zählt damit zu den potentiell unendlichen Verfahren und wird im Abschnitt #Explizite Rekursionsformel beispielhaft vorgestellt. Der einzige erkennbare Nachteil ist, dass die Eigenschaft der Ausrichtung eines Quadrats explizit gemacht werden muss und nicht in den Formeln für die Transformationen versteckt werden kann.

Rekursiver AlgorithmusBearbeiten

Der nachfolgende Pseudocode t2xyR[24] implementiert rekursiv die Abb. 4 mit   als Ausrichtung für Zwischen- wie Endergebnis. Er nimmt als Argument einen Parameter   und eine Begrenzung eps  der Iterationstiefe. Zurückgegeben werden die Koordinaten der linken unteren Ecke eines Quadrates der  -ten Iteration.

Eingabe: Parameter  
Ausgabe: Koordinaten  
Auswertungsrichtung:   fein zu grob
 function t2xyR(t, eps) begin
   if eps > 1 then
     return (0, 0); // im Ergebnisquadrat die linke untere Ecke
   else
     q = floor(4*t);
     // Die Quaternärstelle q ∈ {0, 1, 2, 3} bestimmt,
     //   in welches Teilquadrat der Punkt gehört
     //   und wie er zu transformieren ist.
     r = 4*t  q;
     (x,y) = t2xyR(r, eps*2); // r ∈ I ↦ (x,y) ∈ Q
     switch q do
       case 0: return (y/2,         x/2);
       case 1: return (x/2,         y/2 + 1/2);
       case 2: return (x/2 + 1/2,   y/2 + 1/2);
       case 3: return (1eps  y/2, 1/2eps  x/2);
     end switch
   end if
 end function

 
Abb. 7: Die 4 Übersetzungs-
tabellen vom 4-adischen Parameter   zu den zwei 2-adischen Koordinaten  
– und zurück.
Pro „Ausrichtung“ eine Tabelle.

Iterativer Algorithmus mit ganzzahligen Ein-/AusgabewertenBearbeiten

Bei der folgenden iterativen Lösung ist   die Nummer der Iteration und   die Anzahl der 1D-Teilintervalle. Zurückgegeben wird die linke untere Ecke eines Quadrats. Der folgende Pseudocode t2xyI hat ganzzahlige Ein-/Ausgabe (d. h. es wird nicht auf Einheitsintervall oder -quadrat skaliert).

Eingabe: Parameter  
Ausgabe: Koordinaten  
Auswertungsrichtung:   fein zu grob

 function t2xyI(t, p) begin
   (x, y) = (0, 0); // im Ergebnisquadrat die linke untere Ecke
   for (m = 1; m < p; m *= 2) do // m wächst exponentiell
     rx = 1 & t/2;      // Binärziffer[1]: 0=links/1=rechts
     ry = 1 & (t ^ rx); // Binärziffer[0]
     (x, y) = rot(x, y, rx, ry, m);
     x += m * rx;
     y += m * ry;
     t /= 4; // zur nächsten Quaternärziffer
   end for
 return (x, y);
 end function

// Drehspiegelung eines Quadrates
 function rot(x, y, rx, ry, p) begin
   if (ry == 0) then
     if (rx == 1) then
       x = p1  x;
       y = p1  y;
     end if
     // vertausche x und y
     z = x;
     x = y;
     y = z;
   end if
 return (x, y);
 end function

Hierbei kommen die C-Operatoren ^ für bitweises XOR, & für bitweises UND, += für Inkrementieren, *=2 für Verdoppeln und /=2 für Halbieren zum Einsatz.

In der Funktion t2xyI bedeutet die Variable rx das Übereinstimmen des vorletzten Bits bei x und t; analog für ry und y mit dem letzten Bit.

Die Funktion (und ihre Umkehrung s. u.) benutzen die Funktion rot, um die Koordinaten x und y in einem Teilquadrat so zu spiegeln und zu drehen, dass die Teilstücke konsekutiv (stetig) zusammengefügt werden.

Explizite RekursionsformelBearbeiten

Eingabe: Parameter  
Ausgabe: Koordinaten  
Auswertungsrichtung:   grob zu fein

Ist   eine 4-adische Darstellung des Parameters, dann lässt sich die (unendliche) Folge   auch als Rekursion[25] über die Quadratmittelpunkte

 

und die „absolute“ Ausrichtung   mit dem Rekursionsanfang

  und
  und
  Ausrichtung am Rekursionsanfang (= initiale Ausrichtung)[26][27]

und dem Rekursionsschritt

    (RFh_ξ),
    (RFh_η)[28] und
    (RFh_a)

für   schreiben. Die drei (4×4)-Matrizen

 

sind äquivalent zu den vier Übersetzungstabellen der Abbildung 7. Sie werden an ihrem ersten Index, dem Zeilenindex, durch die absolute Ausrichtung   indiziert. Das Ergebnis ist bei  ,   und   jeweils eine vierstellige Zeile, die zusammen genommen eine der Übersetzungstabellen darstellen. Jede Stelle (Spalte) einer solchen Zeile wird durch die Quaternärziffer   indiziert. Daraus resultiert (Gl.n RFh_ξ und RFh_η) das neue Ziffernpaar   für den Punkt   und (Gl. RFh_a) die neue absolute Ausrichtung.

Die Folge   der Quadratmittelpunkte mit   und  , steht für die 2D-Intervallschachtelung

 

die   zum Limes hat.

Beweis der Rekursionsformel  

Die Gleichung RFh_a akkumuliert – wie in der Erläuterung zur Abb. 7 ausgeführt – die relativen Ausrichtungen[29] (Teil Ausr) zwischen Viertelquadrat und großem Quadrat und implementiert damit (zusammen mit der 2D-Intervallschachtelung (Teil Skal) der Gl.n RFh_ξ und RFh_η) die Transformationen   und   (Teil Parv) des Abschnitts #Transformation der rekursiven Teilquadrate auf das Einheitsquadrat.

Erläuterungen zu den Abbildungen 7 und 8  

Die oberste der vier Graphiken der Abb. 7, die für die Ausrichtung  , ist ein Auszug aus der Abb. 4.

Aus der Abb. 5 kann man die Daten zur zweiten und vierten Ausrichtung   und   direkt ablesen; für die dritte Ausrichtung   ergeben sie sich durch Übergang zum 4. Iterationsschritt in der Abb. 5.

Da die Abb. 5 anhand der Regeln des Abschnitts #Transformation der rekursiven Teilquadrate auf das Einheitsquadrat erstellt ist, werden diese Regeln auch von der Abb. 7 (und von den Matrizen   (s. o.) und den Hypermatrizen   (s. u.)) eingehalten.

Die vier Graphiken unterscheiden sich hinsichtlich des Charakteristikums Ausrichtung durch eine der Isometrien aus der Gruppe  .

Anmerkungen

  • Die Abbildung zeigt bei jeder der vier Ausrichtungen nur einen einzigen Rekursionsschritt. Das Zusammenfassen mehrerer Rekursionsschritte zu einem Schritt, also das Verbreitern der Ein- und Ausgabe auf mehr als eine Ziffer (bei beiden, 4-adischem Parameter und 2-adischen Koordinaten), ist eine reine Fleißaufgabe,[30] durch die die Matrizen entsprechend vergrößert werden. Es bleibt aber bei der Anzahl vier hinsichtlich der Übersetzungstabellen, die der Anzahl   der Ausrichtungen entspricht. Das Verfahren bezeichnet M. Bader[31] als recursion unrolling (dt. etwa Ab/Entrollen der Schleife). Es kann die Algorithmen wesentlich beschleunigen, weil weniger Schleifenkontrollanweisungen, Speicherzugriffe und/oder Programmaufrufe zu absolvieren sind. (Abgesehen davon können Bit-Shift-Operationen, die auf vielen Maschinen erforderlich wären, durch geschickte Wahl der Ziffernzahl eingespart werden.)
    Exemplarisch für 2 Iterationen:
      00 01 01 00 00 00 01 01 10 10 11 11 11 10 10 11   ←      
    11 11 10 10 01 00 00 01 01 00 00 01 10 10 11 11 ←    
    11 10 10 11 11 11 10 10 01 01 00 00 00 01 01 00 ←    
    00 00 01 01 10 11 11 10 10 11 11 10 01 01 00 002 ←    
      00 00 01 01 10 11 11 10 10 11 11 10 01 01 00 00   ←      
    11 10 10 11 11 11 10 10 01 01 00 00 00 01 01 00 ←    
    11 11 10 10 01 00 00 01 01 00 00 01 10 10 11 11 ←    
    00 01 01 00 00 00 01 01 10 10 11 11 11 10 10 112 ←    
                                        ←      
                                    ←    
                                    ←    
                                    ←    
    00 01 02 03 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 334        
  • Die Abbildung 8 ist eine leichte Abwandlung der Fig. 4.1 aus J. Lawder[32]. Sie zeigt im Wesentlichen dieselbe Information wie die Abbildung 7 – in der Art eines Zustandsübergangsdiagramms, bei dem der Übergang in die nächste Iterationsstufe (zum nächsten Viertelquadrat) als »Zustandsänderung« aufgefasst wird.
  • Zum besseren Rechnen werden die Ausrichtungen als Restklassen   modulo 8 geschrieben, und zwar
     
    Nur die primen Restklassen   kommen als Ausrichtung vor. Zum Rechnen werden auch hier beide Verknüpfungen   sowie   des Rings   gebraucht.
  • Die Gruppe   lässt sich als Matrizengruppe mit
      als Identität   ( ),
      als Punktspiegelung   ( ),
      als Spiegelung an der Hauptdiagonalen   ( ) und
      als Spiegelung an der Nebendiagonalen   ( )

    schreiben. Rechts vom  -Zeichen ist die Multiplikation mit einer primen Restklasse aufgeführt, die offensichtlich ein Ergebnis liefert, das der Anwendung der Matrix gemäß (Ausr) auf die Ausrichtung entspricht.

  • Ferner ergibt sich
                   
             
             
             
           
             

    als neues Erscheinungsbild der Matrix  . Die (Gl. RFh_a) ist dann gleichbedeutend mit der Formel

          für    
        für    
        für    
        für    

    was bedeutet, dass die Ausrichtung   des dem Parameter   in der  -ten Iteration zugeordneten Quadrates nur

    1. von der Ausrichtung   und
    2. von der Quaternärziffer  

    abhängt, und dass es keine weitere, insbesondere keine umgekehrte Abhängigkeit gibt, also dass   von   abhinge, wie man aus der Herleitung in Abschnitt #Transformation der rekursiven Teilquadrate auf das Einheitsquadrat schließen könnte.

  • Anhand der neuen Darstellung der Matrix   verifiziert man leicht, dass
      (Sym1)

    für   und   gilt. Daraus folgt für   und   mit  :

      (Sym2).[33]

    Denn der Induktionsanfang ist   und  . Ferner ist nach der Induktionsannahme   und nach (Sym1)

      .

    Aus (Sym2) und durch Inspektion der Matrix   ergibt sich

     

    und genauso bei  

     .
  • Symmetrieeigenschaft: Für jedes   ist     und    .
    Induktionsanfang:     und    .
    Induktionsschritt:
     
     

Hilbert-IndexBearbeiten

Die Funktion   hat die Definitionsmenge  , die Einschränkung   die Definitionsmenge  , beide haben die Bildmenge  , die eine diskrete Menge ist. Die Funktion   ist umkehrbar mit der Umkehrfunktion

 

welche Hilbert-Index genannt wird. Sie hat ihrerseits die Bildmenge  . Unter den Einschränkungen auf die diskreten Mengen   resp.   sind die Funktionen   wie   umkehrbar eindeutig und es gilt   und  .[34]

Werden ihre Argumente   und   gleichermaßen als Binärbrüche entwickelt, dann kann man auch beliebige ( -stellige) Koordinaten   und   zulassen, in der zu definierenden Funktion   als erstes die Stellen rechts ab der  -ten Stelle abschneiden,[35] sodann   ausführen, die Einschränkung auf die diskrete Menge   wieder aufheben und somit das ganze Einheitsquadrat   zur Definitionsmenge der Funktion

 

erklären, so dass deren Einschränkung   der Funktion   vom Eingang des Abschnitts entspricht. Somit ergibt sich für alle   sowohl

 

wie

 

Die Rückabwicklung der Transformationen   und   ist in den nachfolgenden Algorithmen im Einzelnen ausgeführt.

Rekursiver AlgorithmusBearbeiten

Die Auswertungsrichtung des Algorithmus xy2tR[36] ist entgegen der Intervallschachtelung.

Eingabe: Koordinaten  
Ausgabe: Parameter  
Auswertungsrichtung:   fein zu grob
 function xy2tR(x, y, eps) begin
   if eps > 1 then
     return 0; // im Ergebnisintervall der linke Rand
   end if
   eps *= 2;
   if x < 1/2 then
     if y < 1/2 then
       return ( 0 + xy2tR(2*y, 2*x, eps) )/4;
     else
       return ( 1 + xy2tR(2*x, 2*y  1, eps) )/4;
     end if
   else
     if y >= 1/2 then
       return ( 2 + xy2tR(2*x  1, 2*y  1, eps) )/4;
     else
       return ( 3 + xy2tR(1eps  2*y, 2eps  2*x, eps) )/4;
     end if
   end if
 end function

Iterativer Algorithmus mit ganzzahligen Ein-/AusgabewertenBearbeiten

Auch diese Aufgabe lässt sich iterativ programmieren. Die iterative Funktion xy2tI arbeitet in Richtung Schachtelung, in der Binär- oder Quaternärdarstellung also von hochrangigen Ziffern zu niedrigrangigen, geometrisch von einem großen Quadrat zu einem der 4 Teilquadrate. Sie benutzt die bei t2xyI eingeführte Unterfunktion rot.

Ist   die Nummer der Iteration, dann ist   die Anzahl der 1D-Teilintervalle.

Eingabe: Koordinaten  
Ausgabe: Parameter  
Auswertungsrichtung:   grob zu fein
 function xy2tI(x, y, p) begin
   t = 0; // Summationsanfang
   for (p /= 2; p >= 1; p /= 2) do
     rx = (x & p) > 0;
     ry = (y & p) > 0;
     t += p * p * ((3 * rx) ^ ry);
     (x, y) = rot(x, y, rx, ry, p);
   end for
   return t;
 end function

 
Abb. 8: Die Ausrichtung   bestimmt den großen Kasten. In jedem 4 kleine Kästen, wo sich Quaternärziffer   des Parameters und Binärziffern   der 2 Koordinaten gegen­über­stehen; eines ist Schlüssel, das andere Wert. Der Schlüssel bestimmt den kleinen Kasten und damit den Wert und die nächste Ausrichtung.
Die runden Pfeile verweisen auf den großen Kasten mit dieser Ausrichtung.

Rekursionsformel für den Hilbert-IndexBearbeiten

Eingabe: Koordinaten  
Ausgabe: Parameter  
Auswertungsrichtung:   grob zu fein

Sind   und   Darstellungen der Koordinaten   im Binärsystem, dann lässt sich die (unendliche) Folge   auch als Rekursion mit dem Rekursionsanfang

  und
  (Start mit der initialen Ausrichtung  )[37]

und dem Rekursionsschritt

    (RFk_τ)
    (RFk_a)

für   schreiben. Die zwei (4×2×2)-Hypermatrizen

 

sind zusammen genommen äquivalent zu den vier Übersetzungstabellen der Abbildung 7. Sie werden an ihrem ersten Index durch die absolute Ausrichtung   indiziert. Das Ergebnis ist bei   wie bei   eine (2×2)-Untermatrix. Jedes solche Paar von Untermatrizen stellt eine Übersetzungstabelle dar. Eine Untermatrix wird durch das Binärziffernpaar   indiziert. Daraus resultiert (Gl. RFk_τ) die neue Quaternärziffer   für den Parameter   und (Gl. RFk_a) die neue absolute Ausrichtung  .

Beweis der Rekursionsformel für die Umkehrfunktion Hilbert-Index  

Das kleine Quadrat (rechts in der Abb. 4) bekommt gemäß (Gl. RFk_τ) im großen Quadrat eine Nummer  , die der (absoluten) Ausrichtung   des großen Quadrats sowie der Lage des kleinen Quadrats im großen Quadrat, nämlich den Ziffern  , entspricht. Erstere legt fest, welche der 4 Übersetzungstabellen in Abb. 7 anzuwenden ist, und letztere legen fest, ob das kleine Quadrat ins linke untere (bei  ), ins linke obere (bei  ) etc. Teilquadrat gehört, woraus die Ziffer   resultiert.
Dies geschieht in Einklang mit den Transformationen   bis   aus dem Abschnitt #Transformation der rekursiven Teilquadrate auf das Einheitsquadrat, denn die Gleichung (RFk_a), die die absolute Ausrichtung rekursiv festlegt, ist eine Akkumulation[38] der relativen Ausrichtungen, die durch jene Transformationen bewirkt werden.

AnalysisBearbeiten

Im Limes, also bei exakt  , kommt – wie ein Blitz aus heiterem Himmel – ein neues Problem auf, nämlich der plötzliche Verlust der umkehrbaren Eindeutigkeit sowohl bei der 4- wie bei der 2-adischen Darstellung.

Darüber hinaus müssen wegen der Limites       anstelle der halboffenen Intervalle   und   ihre abgeschlossenen Hüllen   und   betrachtet werden.

Hilbert-KurveBearbeiten

Mit den Hilbert-Kurven   (und den Hilbert-Polygonen  ) lässt sich zu jedem positiven Abstand   eine Iterationsstufe   angeben, so dass es zu jedem Punkt   des Einheitsquadrats einen Punkt   des Rasters   gibt, der einen kleineren Abstand   hat. Das bedeutet aber nicht die vollständige Füllung des Quadrats. Diese kann nur durch den Übergang zum Limes erreicht werden. Der Limes

 

existiert immerhin, da er aus der 2D-Intervallschachtelung

 

hervorgeht. Die Konvergenz ist eine gleichmäßige im folgenden Sinn: Für jedes   ist   so, dass für alle Parameter   und alle   mit  

 

gilt.

EigenschaftenBearbeiten

  1.   ist rechtseindeutig, somit wohldefiniert und eine Funktion.
  2.   ist surjektiv.
  3.   ist nicht injektiv.
  4.   ist stetig, definiert also eine Kurve. Die Stetigkeit ist eine gleichmäßige.
  5. Die Bilder des durch 3 geteilten Rasters   sind genau die Eckpunkte   der entsprechenden Rasterquadrate.
  6.   .
  7. Ist   die initiale Ausrichtung, dann ist   symmetrisch zur Geraden  :
          Für jedes   ist     und    .
    Bei   als initialer Ausrichtung wäre es die Gerade  
          und     und    .
  8. Ist  , dann ist
           .
  9. Ist   rational, dann ist seine 4-adische Darstellung periodisch, bspw.   mit der Periodenlänge  . Die Koordinaten   von   sind dann beide ebenfalls rational mit einer 2-adischen Periodenlänge  , wobei   die Mächtigkeit der Menge   der Ausrichtungen ist.[39]
  10.   ist nirgends differenzierbar.[1][8]
  11.   ist Maß-erhaltend: Für jede Punktmenge   mit ein-dimensionalem Lebesgue-Maß   hat das Bild   das  -dimensionale Lebesgue-Maß  .[12] Das bedeutet auch, dass jedes Intervall   in eine zusammenhängende (möglicherweise unendliche) Folge   von Quadraten der Rasterschachtelung abgebildet wird.
Beweise der Eigenschaften  
Zu Eigsch. 1:     ist Funktion.

In der Tat ist   nicht von vorne herein wohldefiniert, weil beim Übergang von einer reellen Zahl zu ihrer Quaternärentwicklung eine Weggabelung existiert: Zu einem gekürzten Bruch mit Zweierpotenz im Nenner, also zu einem Element  [40], gibt es zwei Möglichkeiten der Darstellung. Beispielsweise hat der Bruch   die Darstellung mit einem periodischen 04. …0-Ende

 

(die als die »abbrechende Darstellung« bezeichnet wird, weil sie auch als endliche 4-adische Summe geschrieben werden kann) und die mit einem 04. …3-Ende

  .

Diese Wahlmöglichkeit (Gleichheit) ist bei endlicher Stellenzahl (entspricht hier der Iterationsstufe) nicht gegeben, wo zwei verschiedene Ziffernfolgen immer verschiedene Werte haben; sie stellt aber im Fall   die Forderung der Rechtseindeutigkeit an die Relation   in Frage. Im Folgenden wird aber gezeigt, dass sie sich nicht auf das Ergebnis von   auswirkt.[41]

  1. Wegen   muss gelten:
           .
    In der Tat ist   wegen   eine 2D-Intervallschachtelung mit dem für alle   existierenden Limes  .
  2. Für   muss wegen   (mit   als der Ziffer mit dem Wert  ) gelten:
           ,
    damit   sein kann.
    Zunächst ist   wegen