Satz von Dirichlet (Primzahlen)

mathematischer Satz

Der Satz von Dirichlet, gelegentlich auch Dirichletscher Primzahlsatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er besagt, dass eine aufsteigende arithmetische Progression unendlich viele Primzahlen enthält, wenn dies nicht aus trivialen Gründen, etwa bei , unmöglich ist. Eine arithmetische Progression ist dabei eine Folge ganzer Zahlen, sodass zwei aufeinanderfolgende Glieder stets dieselbe Differenz haben, wie zum Beispiel Ganz allgemein ist eine solche Folge für eine ganze Zahl und natürliche Zahl gegeben durch

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Die Folge ist dann im Sinne des Satzes von Dirichlet „trivial“, wenn und einen gemeinsamen Teiler haben, der größer als ist. Den ersten vollständigen Beweis der Aussage lieferte Dirichlet im Jahr 1837. Dabei wurden erstmals rein analytische Methoden für die Gewinnung eines zahlentheoretischen Satzes verwendet. Die Vermutung über Primzahlen in arithmetischen Folgen stammt von Adrien-Marie Legendre aus dem Jahr 1798, der in seinem Lehrbuch der Zahlentheorie einen fehlerhaften Beweis gab, wie Dirichlet darlegte. Anwendung findet der Satz innerhalb der Zahlentheorie, etwa im Beweis des Satzes von Hasse-Minkowski.

Bezogen auf das Dezimalsystem sagt der Satz aus, dass es jeweils unendlich viele Primzahlen gibt, die auf eine 1, auf eine 3, auf eine 7 und auf eine 9 enden. Allgemeiner kann man sagen: Gibt es zwei verschiedene Primzahlen, die in einem Zahlensystem auf die gleiche Ziffernfolge enden, so gibt es unendlich viele weitere Primzahlen, die in diesem Zahlensystem auf diese Ziffernfolge enden. Etwa gibt es unendlich viele Primzahlen, die auf die Ziffern 419 enden. Die ersten Primzahlen mit dieser Eigenschaft sind und .

Dirichlets Beweis war ein wichtiger Schritt zur Begründung der analytischen Zahlentheorie und führte zur Etablierung der Dirichletschen L-Funktionen, Dirichlet-Charaktere und der analytischen Klassenzahlformel für quadratische Zahlkörper. Die Einführung der L-Funktion geschah in Analogie zu Leonhard Eulers Einführung der Zetafunktion bei der Primzahlverteilung. Tatsächlich konnte Dirichlet eine etwas stärkere Formulierung als die bloße Unendlichkeitsaussage gewinnen, denn er lieferte eine Verallgemeinerung des Satzes von Euler über Primzahlen: Addiert man also die Kehrwerte aller Primzahlen in der betroffenen arithmetischen Progression zusammen, ist das Ergebnis Unendlich. Diese Aussage impliziert die Unendlichkeit der entsprechenden Primzahlmenge, aber es existieren ganz allgemein unendlich lange Zahlfolgen, die in ihrer Kehrwertsumme beschränkt sind. Dirichlet zeigte dafür als entscheidenden Zwischenschritt das Nicht-Verschwinden der Dirichletschen L-Funktion an der Stelle . Hierbei wurde die Bedeutung des Nullstellenverhaltens von L-Funktionen in Form sog. Nichtverschwindungssätze für die Zahlentheorie erstmals offenkundig.

Im Laufe der Zeit konnte der Satz immer weiter verbessert werden. In etwa schätzt der Primzahlsatz für arithmetische Progressionen die genaue Anzahl der Primzahlen in einer arithmetischen Folge, die eine obere Schranke nicht überschreiten. Eine Folgerung ist, dass bei fester Wahl von in unterschiedlichen Folgen stets asymptotisch gleich viele Primzahlen liegen. Der Fehlerterm in dieser beschriebenen Primzahlverteilung ist Gegenstand des Satzes von Siegel-Walfisz, des Satzes von Bombieri und Winogradow und der Vermutung von Elliott und Halberstam. Unter Annahme der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung kann dieser Fehler zudem sehr deutlich verbessert werden.

NotationBearbeiten

Es werden durchweg folgende Bezeichnungen verwendet:

  •  ,  ,  ,   und   bezeichnen die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen bzw. komplexen Zahlen.
  • Die Notation für asymptotische Beschränktheit durch Landau-Symbole: Es bedeutet  , dass   (wobei meist  ). Analog wird   mit   gebraucht. Ferner bedeutet   sogar  . Es bezeichnet hierbei   den Limes superior. Es bedeutet   für   schließlich
 
  • Das Symbol   bedeutet, dass sich   dem Wert 1 unter der Bedingung   nähert, etwa durch  
  • Es bezeichnen durchgängig   und   den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl  .
  • Wie üblich ist durchgängig   der natürliche Logarithmus von  , und   die natürliche Exponentialfunktion. Es bezeichnen   den Integrallogarithmus und   die Primzahl zählende Funktion. Allgemeiner ist   die Anzahl aller Primzahlen  , so dass   durch   teilbar ist. Teilt die Zahl   die Zahl  , so wird dies mit   notiert.
  • Es bedeutet die Schreibweise  , dass  , also dass   die Zahl   teilt, siehe auch Modulo.
  • Es bezeichnet   die Riemannsche Zeta-Funktion. Zudem wird   mit reellen   und   geschrieben.
  • Es bezeichnet   die Eulersche Phi-Funktion.
  • Es bezeichnet   das Summenzeichen und   das Produktzeichen.

Aussage des SatzesBearbeiten

PrimzahlenBearbeiten

 
Zusammengesetzte Zahlen können durch echte „Rechtecke“ ausgedrückt werden (rot), während bei Primzahlen nur eine simple Aneinanderreihung möglich ist (blau)

Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, … beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, … Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Primzahlen bilden gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Dieses Resultat wird auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet. Zum Beispiel gilt 21 = 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11.

Trotz ihrer einfachen Definition ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eine der bedeutendsten offenen Fragen der Mathematik. In der modernen Mathematik gibt es jedoch tiefliegende Vermutungen, die das Verhalten der Primzahlen als pseudozufällig einordnen und Verbindungen zur Quantenphysik sehen. All diese Aussagen liegen im Themenbereich der Riemannschen Vermutung.

Der Satz von DirichletBearbeiten

Eine arithmetische Progression ist eine Folge von ganzen Zahlen, wobei die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zahlen konstant ist. Beispiele sind

 

oder auch

 

Der Satz von Dirichlet besagt, dass eine arithmetische Progression stets unendlich viele Primzahlen beinhaltet, es sei denn, dies ist aus trivialen Gründen unmöglich. In der einfachsten Fassung lautet der Satz:

Es sei   eine natürliche Zahl und   eine zu   teilerfremde natürliche Zahl. Dann enthält die arithmetische Progression   unendlich viele Primzahlen.[1]

Anders formuliert: Es gibt unendlich viele Primzahlen, die kongruent zu   modulo   sind. Dabei ist die Voraussetzung der Teilerfremdheit notwendig. Wären   und   nicht teilerfremd und   ein gemeinsamer Teiler, so wäre jedes Folgenglied durch   teilbar; zwei verschiedene Primzahlen können aber nicht beide durch   teilbar sein. Dass die Bedingung der Teilerfremdheit von   und   für die Existenz unendlich vieler Primzahlen in der entsprechenden Folge nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend ist, ist genau die Aussage des Satzes von Dirichlet. Dirichlet konnte sogar etwas mehr zeigen. Es handelt sich um eine direkte Verallgemeinerung des Satzes von Euler über Primzahlen. Es gilt mit oberen Bedingungen:[1]

 
 
Veranschaulichung der Summe aller kehrwertigen Zweierpotenzen

Diese Aussage ist stärker als die obere Version. Denn offenbar impliziert die Divergenz der Reihe die Unendlichkeit der Primzahlen in der betroffenen arithmetischen Folge. Es gibt allerdings unendliche Folgen, deren Kehrwertsumme beschränkt bleibt. Ein Beispiel bilden die Quadratzahlen (siehe Basler Problem), oder die Zweierpotenzen, es gilt

 

Damit besagt die verstärkte Fassung des Satzes von Dirichlet, dass die Primzahlen in den relevanten arithmetischen Progressionen gewissermaßen „dicht“ unter den natürlichen Zahlen verteilt sind.

BeispieleBearbeiten

Aus dem Satz von Dirichlet folgt zum Beispiel, dass unendlich viele Primzahlen auf die Ziffern 1, 3, 7 oder 9 enden. Noch allgemeiner gibt es unendlich viele Primzahlen, deren letzte Ziffern auf 37, 113, 419 oder 567241 enden. Die ersten Primzahlen mit Endziffern 419 sind  . Es gilt ferner

 

Triviale Gründe, wann der Satz nicht gilt, liegen vor, wenn   und   nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine ganze Zahl  , die sowohl   und   teilt. Damit teilt   jede der Zahlen   mit natürlichen   und somit enthält diese Folge höchstens (einmal) die Primzahl  , falls   überhaupt prim ist. Etwa sind   und   nicht teilerfremd. In der Tat sind alle Zahlen der Progression

 

durch   teilbar. Damit enthält sie keine einzige Primzahl.

Trivialerweise impliziert der Satz von Dirichlet den Satz des Euklid, der besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Setzt man etwa  , so besagt er, dass die Progression

 

unendlich viele Primzahlen enthält.

GeschichteBearbeiten

Die mathematische Entdeckungsgeschichte über die Verteilung der Primzahlen reicht bis in die Antike zurück. Schon Euklid erkannte, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Sein Resultat wird als der Satz des Euklid bezeichnet. Ab dem 18. Jahrhundert wurde begonnen, dieses qualitative Resultat quantitativ zu vertiefen. Dabei spielten zunehmend Methoden aus der Analysis eine Rolle, die den alten Griechen noch nicht zur Verfügung standen.

Eine Entdeckung EulersBearbeiten

 
Leonhard Euler (1753)

Leonhard Eulers Entdeckungen zu den Primzahlen waren ein Wegweiser für die kommende Entwicklung von einer elementaren, in der Tradition der alten Griechen stehenden, hin zu einer modernen Form der Zahlentheorie. Im Jahr 1737, während seiner ersten Zeit in Sankt Petersburg, untersuchte Euler einen neuartigen Zugang zu den Primzahlen und fand heraus, dass sie „verhältnismäßig dicht“ unter den natürlichen Zahlen verstreut sind. Genauer bewies er

 

Summiert man also nacheinander die Kehrwerte der Primzahlen zusammen, wird auf Dauer jede noch so große obere Schranke durchbrochen. Dies zeigt auf, dass Primzahlen eher „dicht“ unter den natürlichen Zahlen verstreut sind; zum Beispiel „dichter“ als die Quadratzahlen,[2] denn ebenfalls Euler zeigte

 

Quadratzahlen wachsen also langfristig schnell genug an, dass die Summe ihrer Kehrwerte den endlichen Wert 1,645 nicht überschreitet. Euler stand seiner Zeit nicht die mathematische Sprache zur Verfügung, diese Verschärfung des Euklidischen Satzes präzise zu interpretieren, und es gibt keinen Nachweis, dass er sich mit exakten Aussagen zur Verteilung von Primzahlen beschäftigte.[3]

Eulers Beweisstrategie für   nutzt das sog. Euler-Produkt. Dabei spielt die eindeutige Zerlegbarkeit natürlicher Zahlen in Primfaktoren eine Schlüsselrolle. Das Euler-Produkt steht in Zusammenhang zu einem Objekt, das bis heute in der Primzahlforschung benutzt wird und in der modernen Mathematik als Riemannsche Zeta-Funktion bekannt ist. Die Zeta-Funktion spielt ebenfalls für die Riemannsche Vermutung eine zentrale Rolle. Die neuartige Leistung bestand darin, Fragen zu Primzahlen systematisch durch funktionale Zusammenhänge zwischen Zahlen anzugreifen. Euler gilt deswegen als Initiator der analytischen Zahlentheorie.[4]

Auch Euler hatte sich bereits Gedanken über Primzahlen in arithmetischen Progressionen gemacht. So behauptete er 1785, dass es zu jeder Zahl   unendlich viele Primzahlen mit   gibt.[5]

Erste vollständige Formulierung und BeweisversucheBearbeiten

 
Adrien-Marie Legendre karikiert von Julien Léopold Boilly

Zur Gänze wurde das Problem erstmals von Adrien-Marie Legendre im Jahre 1798 formuliert. Dies war verbunden mit dem ersten Beweisversuch, der ebenfalls von Legendre unternommen wurde. In der zweiten Auflage seines Buchs Essai sur la théorie des nombres (publiziert 1808) gab er 1798 einen fehlerhaften Beweis. In der dritten Auflage von 1830 wiederholte er denselben Fehler. Legendres Irrtum verbarg sich hinter den Worten „Wie man einfach sieht, …“, die am Ende des 409. Abschnittes der dritten Auflage auftauchten. Dort skizzierte er den Beweis eines für seinen Beweis zentralen Lemmas, das er in Abschnitt 410 formulierte:

Es seien   paarweise verschiedene, ungerade Primzahlen, und es bezeichne   die  -te Primzahl, dann gibt es stets innerhalb   aufeinanderfolgender Terme in der arithmetischen Progression   mit   eine Zahl, die durch keinen der Werte   teilbar ist.

Die Unzulänglichkeit des Beweises von Legendre wurde bereits von Dirichlet hervorgehoben:

„Dieser Beweis, dessen Prinzip sehr genial ist, scheint unvollständig zu sein; wenn man ihn mit großer Aufmerksamkeit betrachtet, sieht man, dass der Autor ein Theorem verwendet, das er nur auf Induktion stützt und das möglicherweise ebenso schwer zu beweisen ist wie die Aussage, die der Autor daraus ableitet. Auf jeden Fall waren meine Bemühungen, das Studium von Legendre zu vervollständigen, nicht erfolgreich, und ich musste ganz andere Mittel finden.“

Peter Dirichlet[6]

Das Lemma von Legendre, das nach A. Desboves (1855) sogar die bis heute unbewiesene Legendre-Vermutung als Konsequenz gehabt hätte, stellte sich schließlich als falsch heraus. Der Fehler wurde zuerst von A. Dupré in einer bei der Paris Academy eingereichten Schrift benannt.[7] Dupré zeigte, dass es bereits bei   und mit der Wahl   als die ersten   Primzahlen mit   oder   scheitert. Dass das Lemma in dieser Konstellation sogar für alle   scheitert, wurde 1930 von A. Brauer und H. Zeitz gezeigt.[7]

Alte Ideen, neuer Zugang: Dirichlet führt Eulers Überlegungen weiter ausBearbeiten

Obwohl Euler das Problem über die Unendlichkeit von Primzahlen in geeigneten arithmetischen Progressionen nicht löste, lieferte er mit der von ihm gezeigten Divergenz der Reihe

 

über alle Primzahlen bedeutende Vorarbeit. Der erste vollständige Beweis der Vermutung von Legendre wurde von Peter Dirichlet 1837 gegeben, der ihn am 27. Juli desselben Jahres bei einer Konferenz in der Preußischen Akademie der Wissenschaften in Berlin präsentierte. Er gab einen vollständigen Beweis für den Fall mit Primzahlabständen und hatte auch den allgemeinen Fall bis zu einem entscheidenden Punkt entwickelt. Hierfür wurde ein detaillierter Beweis 1839 von Dirichlet nachgeliefert. Dirichlets Beweis zeigte, dass falls   zu   teilerfremde ganze Zahlen sind, bereits

 

gelten muss. Dies zeigte zudem, dass die Primzahlen in einem gewissen Sinne gleich verteilt unter den nichttrivialen Restklassen sind. Dies wird mit der, ebenfalls von Dirichlet gezeigten,[8] Aussage

 

verdeutlicht. Allerdings waren Dirichlets Methoden nicht geeignet, asymptotische Gleichverteiltheit tatsächlich zu zeigen. Er konnte also nicht

 

beweisen, wobei   die Anzahl der Primzahlen   bezeichnet, sodass   gilt. Ein dafür angefertigter Beweis von Legendre vom Jahr 1830 war fehlerhaft, und der erste korrekte Beweis für die Gleichverteiltheit wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin erbracht.[9]

Elementare Beweise für spezielle ModuliBearbeiten

Für gewisse Spezialfälle ist es möglich, einen elementaren Beweis für bestimmte Restklassen zu geben. Diese ähneln dem Beweis des Satzes von Euklid hinsichtlich Mittel und Methodik. Elementar bedeutet, dass nur Sätze aus der elementaren Zahlentheorie angewendet werden, die sämtlich auf Teilbarkeitseigenschaften, wie das Rechnen mit Resten und die Eigenschaft, dass sich jede natürliche Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlen zerlegen lässt, aufbauen.

Die Progression 1, 2, 3, 4, …Bearbeiten

Bei der Wahl   erhält man die Progression   In diesem Fall geht der Satz von Dirichlet in den aus der Antike bekannten Satz des Euklid über, der schlicht die Unendlichkeit der Primzahlen beinhaltet. Für den Beweis dieser Aussage kann man für ein beliebiges natürliches   die Zahl   betrachten, wobei   die Fakultät von   bezeichnet. Es ist dann   durch keine der Zahlen   teilbar. Also gibt es eine Primzahl  . Da   beliebig groß gewählt werden kann, folgt die Behauptung.[10]

Die Fälle 4n+1 und 4n+3Bearbeiten

Für einen schnellen Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen der Form   gibt, betrachtet man unter der Annahme, dass   die größte Primzahl dieser Form ist, das Produkt

 

Es wird ausgenutzt, dass die Behauptung folgt, wenn es unendlich viele Primzahlen der Form   gibt (Variablenwechsel  ). Das Produkt   enthält dabei alle ungeraden Primzahlen  . Da   von der Form   ist, kann es wegen   nach Annahme keine Primzahl sein. Andererseits übersteigen alle Primfaktoren von   die Zahl  , müssen also von der Form   sein. Da das Produkt zweier, und damit beliebig vieler, Zahlen mit Rest 1 wegen

 

wieder Rest 1 (modulo 4) hat, müsste auch   den Rest 1 modulo 4 haben. Allerdings ist   von der Form  , und dies erzeugt einen Widerspruch.[11]

Um zu sehen, dass unendlich viele Primzahlen von der Form   gibt, betrachtet man für eine natürliche Zahl   den Wert  , wobei   die Fakultät von   bezeichnet. Dann ist   offenbar eine ungerade Zahl und größer als 1. Es sei   der kleinste Primfaktor von  . Es teilt nach Konstruktion keine der Zahlen   den Wert  , daher muss   gelten. Offenbar gilt zudem

 

Exponenziert man beide Seiten mit   (  ist ungerade), so findet man

 

Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt  , also folgt

 

Da  , sieht man damit schnell, dass   gerade sein muss,   also von der Form   sein muss. Da   und   beliebig groß gewählt war, folgt die Behauptung.[11]

Die Restklasse 1Bearbeiten

Auch für den Fall der Restklasse 1 gibt es elementare Argumente. Zunächst wird dafür gezeigt, dass es unendlich viele Zahlen   gibt, so dass eine Primzahl mit   existiert.[12] Ein Beweis dieser Aussage von E. Wendt aus dem Jahre 1895 nutzt dabei die Polynome  , die als kleinstes gemeinsames Vielfaches der Polynome   mit   und   definiert sind. Wendt bewies als Zwischenschritt, dass es unendlich viele ganze Zahlen   gibt, so dass die Werte   und   teilerfremd sind, was mit elementaren Mitteln gezeigt werden kann.

Beweis des Lemmas  

Da   keine mehrfachen Nullstellen besitzt, ist der größte gemeinsame Teiler der Polynome   und   gleich 1. Also gibt es Polynome   und   mit rationalen Koeffizienten, die

 

erfüllen. Nachdem man mit dem gemeinsamen Nenner durch multipliziert, gelangt man zu

 

wobei   ganzzahlige Polynome sind, und   eine ganze Zahl ungleich 0 ist. Wenn man für ein   auch   hat, dann erhält man  . Dies zeigt das Lemma, denn für jedes ganzzahlige Vielfache   von   hat man  , also ist   teilerfremd zu  , also folgt  .

Nach einer Wahl   mit   und   und sei   eine Primzahl, die   teilt. Es gilt daher  . Da   folgt, dass für jeden echten Teiler   von  , hat man  . Dies zeigt, dass die Ordnung von   genau   ist.[13]

Sätze von Schur und MurtyBearbeiten

Die Frage, ob sich für jede Restklasse ein Argument des „Euklidischen Typs“, also Aufmultiplizieren von Zahlen, mit einem abschließenden Widerspruchsargument, der Satz von Dirichlet beweisen lässt, wurde negativ beantwortet. Issai Schur konnte 1912 zeigen, dass dies in den Fällen von Progressionen   mit   möglich ist.[14] In all diesen Fällen kann ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten generiert werden, dass ein Widerspruch zur Endlichkeit der betroffenen Primzahlen durch eine Euklidische Strategie unter Verwendung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes erzeugt werden kann. Etwa hat im Falle der Progression   ein solches Polynom die Gestalt[15]

 

Dass es zusätzlich in keinem anderen Falle möglich ist als den von Schur genannten, konnte M. Ram Murty im Jahr 1988 zeigen.[16]

Analytischer BeweisBearbeiten

Benötigte GrundlagenBearbeiten

Der Satz von Dirichlet wird mit analytischen Mitteln bewiesen. Unumgänglich für ein Verständnis des Beweises ist daher der Begriff der Funktion. Auch eine sichere Beherrschung der aus der Mittelstufe bekannten Potenzgesetze ist unabdingbar.

Rechnen mit RestenBearbeiten

Geht eine ganzzahlige Division nicht auf, kann dies durch die Angabe eines Restes ausgedrückt werden. Etwa ist   geteilt durch   gleich   (Rest  ). Man sagt auch, dass   kongruent zu   ist, modulo  , kurz

 

Nach diesem Prinzip lassen sich sämtliche ganze Zahlen durch die Angabe der entsprechenden Restklasse unterteilen. Bleibt man bei der Division durch 4, ergeben sich für   die Reste   usw. Es gibt also genau vier Restklassen modulo  , und diese sind

 

Dies setzt sich auch in die negativen Zahlen fort, etwa hat   bei Division durch   den Rest  . Es liegen   usw. alle in derselben Restklasse. Außerdem wird vereinbart, dass   und   stellvertretend für alle Zahlen stehen, die den jeweiligen Rest besitzen. Es wird also auch   und   mit der   identifiziert, da diese Zahlen ebenfalls restlos durch   teilbar sind. Entfernt man sich nun von der Vorstellung einer Zahl und reduziert das Augenmaß lediglich auf den Rest bei Teilung durch  , gilt also  , und dies ist die Schreibweise für die Gleichheit von Restklassen.

Man kann mit Restklassen rechnen. Liegen zwei Zahlen   und   in den Restklassen   und  , so liegt   in der Klasse zu  . Etwa ist   kongruent   modulo   und   kongruent   modulo  , und die Summe   ist kongruent   modulo  , was aber wieder dem Rest   entspricht. Ähnliches gilt für Produkte von Restklassen. Somit kann gesagt werden, dass Reste „stabil“ unter Addition und Multiplikation: so ist es anschaulich gesprochen unerheblich, ob zuerst zwei Zahlen addiert/multipliziert werden, und anschließend mit Rest dividiert wird, oder die bereits ermittelten Einzelreste addiert/multipliziert werden.

Eulersche Phi-FunktionBearbeiten

Die Eulersche Phi-Funktion ordnet einer natürlichen Zahl   die Anzahl   der Zahlen   zu, die teilerfremd zu   sind. Dies ist deshalb von Bedeutung, da dies genau der Anzahl an Restklassen   entspricht, die gemeinsam mit   eine arithmetische Progression liefern, sodass   mit   unendlich viele Primzahlen enthält. Man nennt diese Restklassen auch prim.

Die vier Restklassen modulo   werden durch   repräsentiert. Nur zwei davon, nämlich   und  , sind prim, die entsprechenden Repräsentanten also teilerfremd zu  , daher gilt  .

ReihenBearbeiten

Unter einer Reihe versteht man, veranschaulicht, eine niemals endende Summe von Zahlen. Dies können reelle, aber auch komplexe Zahlen sein. Die Dezimalschreibweise einer reellen Zahl kann als Reihe aufgefasst werden, etwa

 

oder auch

 

mit der Kreiszahl  . Die durch die Punkte angedeuteten Summen enden niemals, da die Dezimalentwicklung von   periodisch und die Kreiszahl irrational ist. Es gibt Reihen, deren Wert nicht als Zahl darstellbar ist,

 

aber auch solche, die gegen einen Grenzwert konvergieren (wie die oberen Beispiele mit Grenzwerten   bzw.  ). Reihen wie  , die nicht konvergieren, nennt man divergent. Veranschaulichend gesagt kann eine Reihe   nur dann konvergieren, falls die Glieder   „schnell genug gegen 0 streben“. Aber nicht jede Reihe, deren Glieder gegen 0 streben, konvergiert, wie man an der harmonischen Reihe

 

sieht. Eine ganz besondere Form der Konvergenz ist die absolute Konvergenz, bei der gefordert wird, dass die Summe der Absolutbeträge der Reihenglieder konvergiert. In diesem Fall lassen sich auch die Summanden in der Reihe nach Belieben umordnen, ohne den Grenzwert zu verändern.

Dirichlet-ReihenBearbeiten

Es ist auch möglich, Funktionen durch Reihen zu definieren. Ein für den Satz von Dirichlet zentrales Beispiel ist die sog. Riemannsche Zeta-Funktion:

 

Für   konvergiert diese Reihe immer gegen eine Zahl, die den Funktionswert an der Stelle   Darstellt. Damit kann man die Zeta-Funktion auf dem Intervall   definieren. Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe gilt aber

 

Allgemeiner kann man einer Folge von Zahlen   eine Dirichlet-Reihe zuordnen, via

 

Wächst   nicht zu stark an, so gibt es eine Zahl  , so dass die Reihe für alle Werte   konvergiert. Für den Fall, dass   sogar beschränkt ist, kann stets   gewählt werden, da dann wegen   und der Konvergenz der Reihe   für   erst recht jene über   folgt, siehe auch Majorantenkriterium. Dieses Prinzip spielt eine wichtige Rolle beim Beweis des Satzes von Dirichlet.

Euler-ProdukteBearbeiten

Der Eckpfeiler zwischen Analysis und Zahlentheorie liegt im Euler-Produkt. Dieses ist eine Identität zwischen einem unendlichen Produkt und einer Reihe und gilt dann, wenn bestimmte Voraussetzungen erfüllt sind.

Haben die Koeffizienten einer Dirichlet-Reihe untereinander eine multiplikative Relation, gilt also   für alle   ohne gemeinsame Teiler, so findet man im Bereich der absoluten Konvergenz der Dirichlet-Reihe

 
 

Die Formel lässt sich mittels des Prinzips, dass sich jede Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben lässt, und gewöhnliches Ausmultiplizieren von Klammern, erklären. Etwa ergibt sich für den Faktor   auf der rechten Seite wegen  :

 

Dabei wurde die von   geforderte Multiplikativität ausgenutzt – es sind naturgemäß Potenzen verschiedener Primzahlen ohne gemeinsame (nichttriviale) Teiler. Der Term zur linken kann nun durch die entsprechende Auswahl an Summanden in den Klammern beim Ausmultiplizieren gewonnen werden.

Eine noch stärkere Version des Euler-Produktes erhält man dann, wenn die Koeffizienten sogar vollständig multiplikativ sind, also   für ausnahmslos alle natürlichen Zahlen   erfüllt ist. Dann gilt insbesondere   für alle Primzahlen  , und man erhält mit der geometrischen Reihe:[17]

 

LogarithmenBearbeiten

Von entscheidender Bedeutung für den Beweis sind Logarithmen. Mit diesen wird ermöglicht, das Euler-Produkt (mit Primzahlfaktoren) auf eine Summe mit Primzahltermen zurückzuführen. Dabei wird die für Logarithmen eigentümliche Beziehung

 

mit   ausgenutzt, die sich unter gewissen Bedingungen aber auch auf komplexe Zahlen ausdehnt. Man erhält für vollständig multiplikative   zusammen mit   im absoluten Konvergenzbereich:

 
 
Annäherung der Funktion   (blau) durch die Ursprungsgerade mit Steigung 1 (orange) im Punkt  .

Es wird stets der natürliche Logarithmus betrachtet, also jener zur Basis   (Eulersche Zahl). Dies hat den Grund, dass dieser eine besonders einfache Ableitung besitzt, nämlich

 

Wegen   und   ist die Ursprungsgerade für kleine Werte   eine sehr gute Annäherung an  , siehe Bild. Der Fehler ist hierbei quadratisch, es gilt also

 

in Termen der Landau-O-Notation. Diese Annäherung, die erst durch die Differentialrechnung ermöglicht wird, ist von großer Bedeutung, da sie hilft, die auftretenden Logarithmen durch deutlich leichtere lineare Funktionen zu ersetzen, wobei der Fehler vernachlässigt werden kann. Zusammen mit   erhält man mit   und   für  

 

Dabei steht die Abkürzung   für eine Funktion für Werte  , die für   beschränkt ist.

Details zu (L)  

Wegen der Regel   gilt mit  :

 

Mit der linearen Approximation   für   mit   folgt

 

Da   beschränkt ist, folgt, da die Primzahlen nur eine Teilmenge der natürlichen Zahlen sind, wegen  :

 

Also ist der hintere Fehlerterm unabhängig von   beschränkt und es gilt für  :

 

Eine erste Anwendung dieses Prinzips umfasst einen Beweis von  . Da die Funktion   offenbar stark multiplikativ ist, da Produkte von Einsen immer Einsen sind, gilt mit  

 

Da die harmonische Reihe divergiert und auch Logarithmen unbeschränkt anwachsen, gilt  , also ist auch die rechte Primzahlreihe für   unbeschränkt, da der beschränkte Term   das durch die Gleichheit gegebene Wachstum nicht gewährleisten kann.[18]

Erläuterung der Strategie an einem BeispielBearbeiten

Die Erläuterung der Beweisstrategie von Dirichlet wird mit einem Beispielfall begleitet. Es wird der Fall   und   betrachtet, d. h. es wird exemplarisch gezeigt, dass die Progression

 

unendlich viele Primzahlen

 

enthält. Es wird sogar noch eine stärkere Aussage gezeigt: Dirichlet konnte nachweisen, dass die Summe über alle Kehrwerte der Primzahlen   divergiert, also   Definiert man auf den ganzen Zahlen eine Funktion  , die nur an den „passenden“ Zahlen …,   den Wert   annimmt, und sonst nur  , so kann man die zu untersuchende Reihe auch als Reihe über alle Primzahlen schreiben:

 

Die Strategie sieht vor, die Divergenz der Eulerschen Primzahlreihe   zu nutzen, um daraus die Divergenz der oberen Primzahlreihe zu erzwingen. Dafür führt man die Variable   ein, und beweist

 

Die Schlüsselidee ist, geeignete Abbildungen   und   auf den Restklassen   zu definieren. Diese erweitern sich durch 4-Periodizität auf Abbildungen auf den ganzen Zahlen und sollen die folgende Eigenschaften haben:

  1. Ausschluss der trivialen Restklassen: Es nehmen beide Funktionen auf   und   den Wert   an.
  2. Möglichkeit, nur Primzahlen in der passenden Restklasse zu betrachten: Es lässt sich jede  -periodische Funktion auf   und  , also insgesamt den Zahlen  , durch   und   durch geeignete Linearkombination erzeugen.
  3. Multiplikativität bzw. Euler-Produkt Eigenschaft: Es gilt   für alle   und  , also sind die Erzeuger   und   vollständig multiplikativ.

Durch die oberen Bedingungen lassen sich tatsächlich genau zwei solche Funktionen finden:[19]

  −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
  1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
  1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0

Da die Vektoren   und   linear unabhängig sind, gilt Eigenschaft 2, und man kann aus diesen beiden Funktionen jede 4-periodische Funktion auf den ganzen Zahlen kombinieren, die auf geraden Zahlen verschwindet. Von Interesse ist die Abbildung   für alle  , und   sonst, da man sich im Beispiel nur für Primzahlen in der Progression   interessiert. Es gilt  . Also gilt

 

Offensichtlich gilt nach Euler  

 

da stets   für alle   ist, und der einzig fehlende Summand für   natürlich nichts an der Divergenz ändert. Kann man außerdem zeigen, dass die Funktion

 

für   beschränkt ist, folgt insgesamt  . Es ist   vollständig multiplikativ, also folgt mit   für  :

 

Es ist aber auch

 

da die alternierende Reihe   gegen eine positive Zahl konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.[Anm. 1] Es muss also   für   beschränkt sein.[20][21]

Der allgemeine FallBearbeiten

Im allgemeinen Fall ist es von entscheidender Bedeutung, Funktionen   auf den nichttrivialen Restklassen modulo   zu finden, die dort sämtliche Kombinationsfreiheit lassen und darüber hinaus vollständig multiplikativ sind. Dass dies immer möglich ist, ist nicht trivial. Solche Funktionen bezeichnet man auch als Dirichlet-Charaktere.[22] Es gibt im Allgemeinen   verschiedene sog. prime Restklassen  , so dass also   und   teilerfremd sind. Im oberen Spezialfall hatte man  , denn   und   sind teilerfremd zu  , nicht aber   und  .

Zu einem beliebigen Dirichlet-Charakter   kann eine Dirichlet-Reihe zugeordnet werden:

 

Diese wird auch als Dirichletsche L-Funktion zu   bezeichnet. Es gilt für komplexe Zahlen   mit  [23]

 

Der Charakter, der auf allen Restklassen   mit   den Wert 1 annimmt (und ansonsten 0), heißt auch Hauptcharakter. Dieser korrespondiert zur Reihe von Euler über die Kehrwerte der Primzahlen, die bekanntermaßen divergiert. Alle anderen Charaktere nehmen auch Werte außer 0 und 1 an, im allgemeinen Fall komplexe Einheitswurzeln. Die oben demonstrierte Beweisidee ist im Allgemeinen die Gleiche. Als Ausgangspunkt wird die aus den Orthogonalitätsrelationen gewinnbare Identität[24]

 

genutzt. Wie im oberen Beispiel wird die benötigte Funktion, die nur für die interessanten Primzahlen den Wert   annimmt, und sonst nur  , durch Dirichlet-Charaktere linear kombiniert. Die hinteren Summen   verhalten sich für   wegen des Euler-Produktes, bzw.  , im Wesentlichen wie  . Dabei ist   das komplexe Konjugierte von  . Die äußere Summe läuft dabei über alle Charaktere modulo  . Da nur endlich viele Primzahlen   auch   erfüllen, folgt mit Eulers Resultat  

 

Es kann mit einer Verallgemeinerung des Leibniz-Kriteriums, des Kriteriums von Abel, gezeigt werden, dass im Gegensatz dazu   existiert, falls   nicht nur die Werte   und   annimmt. Im Beispiel   war dies nur eine Reihe, und man hatte

 

wobei die Reihe existierte und nicht   war. Damit allgemein auch   beschränkt bleibt, muss daher nur der Fall   ausgeschlossen werden. Der Beweis dieses Nichtverschwindungslemmas bildet das Herzstück des Beweises des Satzes von Dirichlet.[25]

Der Beweis des NichtverschwindungslemmasBearbeiten

Es sind die Funktionen   holomorph in  , wenn   kein Hauptcharakter ist. Dies folgt über die Konvergenz der Reihe in diesem Bereich, die sich mit den Orthogonalitätsrelationen und dem Kriterium von Abel nachweisen lässt.[26] Für Hauptcharaktere   modulo   gilt zudem

 

mit der Riemannschen Zeta-Funktion  , so dass sich   holomorph nach   fortsetzen lässt, mit einem einfachen Pol in  .[27] Das Nichtverschwindungslemma besagt, dass   gelten muss. Ein von Don Zagier gegebener Beweis durch Widerspruch nutzt den Satz von Landau. Dieser besagt, dass eine Dirichlet-Reihe mit ausschließlich nichtnegativen Koeffizienten am Rand ihres Konvergenzbereichs  , präziser in  , einen singulären Punkt haben muss, also dort nicht lokal holomorph ist. Man nutzt die Dirichlet-Reihe

 

für welche wegen der Euler-Produkte der L-Funktionen

 

folgt. Dabei wird im zweiten Schritt die Taylor-Entwicklung der Funktion   um   ausgenutzt. Damit hat   ausschließlich nichtnegative Koeffizienten. Wäre  , so ließe sich   holomorph nach   fortsetzen, da die Nullstelle den Pol von   weghebt und müsste demnach auf dieser gesamten Halbebene konvergieren. Nun gilt aber für reelle  :

 

Also ist die betrachtete Reihe für   sicherlich nicht konvergent, ein Widerspruch.[28]

Darüber hinaus gibt es einige weitere Strategien, um das Nichtverschwindungslemma zu zeigen. Eine mögliche tiefere Interpretation liefert die analytische Klassenzahlformel. Eine Verschärfung der Aussage für reelle, primitive Charaktere ist der Satz von Siegel. Dieser besagt, dass für jedes   ein   existiert, dass für reelle, primitive Dirichlet-Charaktere   modulo  [29]

 

Varianten und VerallgemeinerungenBearbeiten

Primzahlsatz für arithmetische ProgressionenBearbeiten

Bezeichnet wie oben   die Anzahl der Primzahlen   mit  , so gilt für teilerfremde   und   bereits[30]

 

Dabei bezeichnet   den Integrallogarithmus. Wegen   für   ist diese Aussage stärker als der Satz von Dirichlet, denn sie gibt zusätzlich eine quantitative Vorstellung von der Verteilung der Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Wegen   kann sie auch durch elementare Funktionen ausgedrückt werden:[31]

 

Als Spezialfall impliziert die den Primzahlsatz. Zudem folgt, dass für festes   die asymptotischen Häufigkeiten gleich sind. Ist also   die Anzahl aller Primzahlen  , folgt

 

sofern   und   teilerfremd sind. Da die rechte Seite nicht mehr von   abhängt, sind die Primzahlen in den in Frage kommenden Restklassen asymptotisch gesehen gleich verteilt. Der Beweis für den Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen ist deutlich anspruchsvoller als der des Satzes von Dirichlet. Er erfordert ein detailliertes Studium der Funktionen   in den komplexen Zahlen. Ein wichtiger Zwischenschritt ist die Aussage, dass   für alle   und Charaktere  . Dies ist eine deutliche Verschärfung des oberen Nichtverschwindungslemmas. Für die Nullstellenfreiheit kann die Ungleichung

 

für alle   und   genutzt werden.[32] Im Anschluss kann die Aussage aus einem Taubersatz gewonnen werden, etwa jenem von Donald Newman, der auch für einen Beweis des Primzahlsatzes herangezogen werden kann.[33]

Mittels nullstellenfreier Gebiete für Dirichletsche L-Funktionen kann der Primzahlsatz für arithmetische Progressionen verschärft werden. Der Satz von Siegel-Walfisz besagt, dass es für jedes   eine Konstante   gibt, so dass für alle Moduli   bereits

 

gilt.[34]

Schärfere Aussagen zur GleichverteilungBearbeiten

Hinsichtlich der asymptotischen Gleichverteilung von Primzahlen in den geeigneten Restklassen sind im 20. Jahrhundert Fortschritte erzielt worden. Dabei spielte vor allen Dingen die Siebtheorie eine wichtige Rolle. Es wird in diesem Kontext vor allem die zu   verwandte Funktion

 

studiert. Ein Satz von M. B. Barban, Harold Davenport und Heini Halberstam besagt, dass für   und jedes   bereits

 

gilt. Dies schätzt also die Mittelwerte der quadrierten Fehlerterme in der Approximation von   durch   ab, die eine äquivalente Alternative zur Approximation   darstellt.[35]

Eine hierzu verwandte Aussage ist der Satz von Bombieri und Winogradow, der für eine feste Konstante   folgendes besagt: ist   und  , so gilt

 

Wichtiges Werkzeug zu dessen Beweis ist das große Sieb. Es kann die Konstante 4 im letzteren Exponenten durch   für jedes   verbessert werden. Die bis heute offene Vermutung von Elliott und Halberstam besagt, dass die linke Seite im Satz von Bombieri und Winogradow für   mit beliebigem   bereits   ist, also im Quotienten mit   für   gegen 0 strebt. Ihre Richtigkeit würde in den meisten zahlentheoretischen Anwendungen sogar stärkere Folgerungen nach sich ziehen als die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung.[36]

Darstellung von Primzahlen mittels PolynomenBearbeiten

Der Satz von Dirichlet besagt, dass jedes der linearen Polynome   für teilerfremde natürliche   und   und   unendlich viele Primzahlen generiert. Analoge Aussagen für nichtkonstante Polynome in einer Variablen mit mindestens Grad 2 sind bis heute nicht bewiesen. In etwa weiß man nicht, ob unendlich viele Primzahlen die Gestalt   haben.[37] Allerdings konnte Henryk Iwaniec im Jahr 1978 zeigen, dass es unendlich viele   gibt, so dass   höchstens 2 Primfaktoren besitzt.[38]

Es wurden Erfolge für Polynome in mehreren Variablen erzielt. So konnte gezeigt werden, dass  , wobei   eine ganzzahlige quadratische Form mit nicht-verschwindender Diskriminante, die keine Quadratzahl ist, und  , unendlich viele Primzahlen erzeugt. Ein bekanntes Beispiel ist die quadratische Form  . Es kann gezeigt werden, dass sich genau jede Primzahl   oder   als Summe von zwei Quadraten schreiben lässt. Etwa ist

 

Der Beweis kann mittels algebraischer Zahlentheorie geführt werden, durch die Primfaktorzerlegung in den Gaußschen Zahlen  .[39] Ebenfalls mittels algebraischer Zahlentheorie, insbesondere Hilbertsche Klassenkörper, konnte ein Kriterium erarbeitet werden, zu entscheiden, wann eine Primzahl   von der Form   mit   ist. Dies gilt genau dann, wenn   im Hilbertschen Klassenkörper von   voll zerlegt ist.[40]

John Friedlander und Henryk Iwaniec zeigten 1998, dass es unendlich viele Primzahlen der Form   gibt. Roger Heath-Brown zeigte 2001, dass unendlich viele Primzahlen von der Form   sind.[38]

Satz von Green-TaoBearbeiten

Im Jahr 2004 zeigten Ben Green und Terence Tao den Satz von Green-Tao, dass es in der Folge der Primzahlen beliebig lange arithmetische Progressionen gibt.[41] Zum Beispiel ist 3, 5, 7 eine Progression von Primzahlen der Länge 3. Die längste bekannte (Stand 2020) arithmetische Progression von Primzahlen hat die Länge 27.[42] Explizit ist sie gegeben durch

 

Dünne PrimzahlmengenBearbeiten

 
James Maynard 2013

Der Satz von Dirichlet identifiziert Teilmengen der natürlichen Zahlen, gegeben durch aufsteigende arithmetische Progressionen, die unendlich viele Primzahlen enthalten. Diese Teilmengen haben asymptotisch betrachtet aber eine positive Dichte. In etwa hat die Menge aller ungeraden Zahlen die Dichte  . Allgemein gilt für  :

 

Im Jahr 2019 konnte James Maynard eine Teilmenge der natürlichen Zahlen angeben, die unendlich viele Primzahlen enthält, aber asymptotisch die Dichte 0 hat. Maynard bewies zum Beispiel, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die nicht die Ziffer 7 beinhalten. Die ersten dieser Primzahlen sind

 

Sein Resultat gilt aber auch für alle anderen möglichen Ziffern von 0 bis 9. Der Beweis ist kompliziert und verwendet unter anderem die Kreismethode sowie Techniken aus der Fourier-Analysis.[43] Im August 2022 wurde Maynard unter anderem für diese Leistung mit der Fields-Medaille ausgezeichnet.

AnwendungenBearbeiten

Der Satz von Dirichlet findet Anwendung in einigen Bereichen der reinen Mathematik, besonders in zahlentheoretischen Kontexten. So wird er an einer kritischen Stelle bei den Vorbereitungen des Beweises des Satzes von Hasse-Minkowski benötigt im Kontext mit Hilbert-Symbolen. Dies ist insofern bemerkenswert, da dieser Beweis ansonsten ausschließlich mit algebraischen und nicht analytischen Mitteln erbracht wird.[44] Der Satz von Hasse-Minkowski liefert ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür, dass quadratische Gleichungen mit rationalen Koeffizienten in mehreren Variablen lösbar sind. Damit gelten Gleichungen diesen Typs gewissermaßen als „verstanden“. Das Kriterium benutzt für jede Primzahl   eine „Neuinterpretation“ der Gleichung in einem zu dieser Primzahl zugehörigen „Definitionsbereich“.

Ferner wird der Satz von Dirichlet beim Beweis des Umkehrsatzes von Weil gebraucht. Dieser verallgemeinert den Umkehrsatz von Hecke, der eine 1:1-Korrespondenz zwischen Modulformen zur vollen Modulgruppe und gewissen L-Funktionen aufstellt. Im Fall von Weil dehnt sich dieses Resultat auf Kongruenzuntergruppen aus. Hierbei wird für primitive Dirichlet-Charaktere ein hinreichend großer Vorrat von Primzahlen in bestimmten Restklassen benötigt – und dieser unendliche Vorrat wird durch den Satz von Dirichlet garantiert.[45] Modulformen gehören zu den bedeutendsten Objekten der Mathematik. Sie finden Anwendung zum Beispiel in der algebraischen Geometrie, der Darstellungstheorie, der Topologie, aber auch in der Physik. In Verbindung mit ihren L-Funktionen stehen Modulformen jedoch besonders im Zentrum der Zahlentheorie. In etwa korrespondiert zu jeder (nicht-singulären) elliptischen Kurve   über  , mit der Gestalt   ( ), eine Modulform. Diese Aussage ist auch als Modularitätssatz bekannt. Dass die L-Funktion dieser Modulform etwas über die Anzahl der rationalen Punkte auf   aussagt, ist eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik und auch als Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer bekannt.

LiteraturBearbeiten

  • Tom M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90163-9.
  • Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 1995, ISBN 3-540-58821-3.
  • P. G. L. Dirichlet: Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. In: Abhand. Ak. Wiss. Berlin, 48, 1837 (bbaw.de)
    • Recherches sur diverses applications de l’analyse à la théorie des nombres. In: Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 19, 1839, S. 324–369, Band 21, 1840, S. 1–12, 134–155 (und Dirichlet, Werke, Band 1)
  • Winfried Scharlau, Hans Opolka: Von Fermat bis Minkowski. Springer, 1985, ISBN 978-3-540-10086-7.
  • Władysław Narkiewicz: The development of prime number theory. Springer, 2000, ISBN 978-3-642-08557-4.
  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.

WeblinksBearbeiten

AnmerkungenBearbeiten

  1. Der genaue Grenzwert ist  , siehe auch Leibniz-Reihe.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 36.
  2. Harold M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, S. 1.
  3. Harold M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, S. 2.
  4. Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 4.
  5. Władysław Narkiewicz: The Development in Prime Number Theory, Springer Monographs in Mathematics, S. 49.
  6. Władysław Narkiewicz: The Development in Prime Number Theory, Springer Monographs in Mathematics, S. 49–50.
  7. a b Władysław Narkiewicz: The Development in Prime Number Theory, Springer Monographs in Mathematics, S. 50.
  8. Gerald Tenenbaum: Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Third Edition, S. 370.
  9. Władysław Narkiewicz: The Development in Prime Number Theory, Springer Monographs in Mathematics, S. 51.
  10. Gerald Tenenbaum, Michel Mendès France: The Prime Numbers and Their Distribution, Student Mathematical Library, Vol. 6, AMS, S. 2.
  11. a b Tom M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1976, S. 147.
  12. Władysław Narkiewicz: The Development in Prime Number Theory, Springer Monographs in Mathematics, S. 88.
  13. Władysław Narkiewicz: The Development in Prime Number Theory, Springer Monographs in Mathematics, S. 89.
  14. I. Schur: Über die Existenz unendlich vieler Primzahlen in einigen speziellen arithmetischen Progressionen, S-B Berlin Math. Ges., Vol. 11, 1912, S. 40–50, Appendix zu Archiv der Math. und Phys. (3), Vol. 20, 1912-1913.
  15. M. Ram Murty, Jody Esmonde: Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, S. 92–93.
  16. M. Ram Murty: Primes in certain arithmetic progressions. J. Madras University, Section B 51, 1988, S. 161–169.
  17. Gerald Tenenbaum: Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Third Edition, S. 189.
  18. Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition, Springer, S. 250–251.
  19. Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition, Springer, S. 251.
  20. Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 31–32.
  21. Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition, Springer, S. 251–253.
  22. Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 34.
  23. Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition, Springer, S. 252.
  24. Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 36.
  25. Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 35–36.
  26. Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer, 1981, S. 42.
  27. Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 35.
  28. Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer, 1981, S. 45–46.
  29. Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 106.
  30. Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 116.
  31. Gerald Tenenbaum: Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Third Edition, S. 359.
  32. Gerald Tenenbaum: Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Third Edition, S. 377.
  33. Ivan Soprounov: A short proof of the prime number theorem for arithmetic progressions, (PDF).
  34. Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 114–116.
  35. Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 189.
  36. Gerald Tenenbaum: Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Third Edition, S. 403.
  37. Władysław Narkiewicz: The Development in Prime Number Theory, Springer Monographs in Mathematics, S. 41–42.
  38. a b Marius Overholt: A Course in Analytic Number Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Vol. 160, S. 28.
  39. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, 1992, S. 1–5.
  40. David A. Cox: Primes of the form  . Pure and Applied Mathematics, Wiley, 1993, S. 98.
  41. Ben Green, Terence Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In: Annals of Mathematics. Serie 2, Bd. 167, Nr. 2, 2008, S. 481–547.
  42. PrimeGrid’s AP27 Search. (PDF; 219 kB) In: PrimeGrid.com. Abgerufen am 1. Januar 2021 (englisch).
  43. James Maynard: Primes with restricted digits. Invent. Math. 217, 2019, no. 1, 127– 218.
  44. Jean-Pierre Serre: A course in arithmetic, Springer, S. v.
  45. Henri Cohen, Fredrik Strömberg: Modular Forms. A Classical Approach, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 179, S. 392–397.