Tschebotarjowscher Dichtigkeitssatz

mathematischer Satz

Der tschebotarjowsche Dichtigkeitssatz (je nach Transkription auch Dichtigkeitssatz von Chebotarëv oder Tschebotareff) ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen auf Galoiserweiterungen von Zahlkörpern. Im Falle einer abelschen Erweiterung von erhält man daraus den Satz zurück, dass die Menge der Primzahlen der Form , natürliche Dichtigkeit hat, wobei für die Eulersche Phi-Funktion steht. In seiner allgemeinen Form folgt daraus insbesondere der 1880 von Kronecker bewiesene Satz, dass genau der Primzahlen vollständig zerlegt in einer gegebenen Galoiserweiterung von vom Grad sind.

Der Satz wurde von Nikolai Grigorjewitsch Tschebotarjow im Jahr 1922 gefunden und 1923 erstmals auf Russisch, 1925 auf Deutsch veröffentlicht.

Formulierung

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Sei   eine galoissche Erweiterung von Zahlkörpern,   ihre Galoisgruppe und   eine Konjugationsklasse von  . Dann hat die Menge der unverzweigten Primideale   von  , deren Frobenius-Element (im Falle einer nicht-abelschen Erweiterung ist dies im Allgemeinen eine Konjugationsklasse) gleich   ist, natürliche Dichtigkeit

 .

Anwendungen

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Für eine abelsche Erweiterung, beispielsweise bei quadratischen Zahlkörpern besteht jede Konjugationsklasse aus genau einem Element, weshalb man eine Gleichverteilung erhält. Ist   die nicht-abelsche Gruppe der Ordnung  , so bestehen die Konjugationsklassen   aus 1, 3 bzw. 2 Elementen, sodass   der Primideale von   in drei Primideale voll zerlegt,   in genau zwei zerlegt (mit Trägheitsgrad   und  ) und   träge sind.

Man kann daraus auch folgern, dass es genau für zusammengesetzte Zahlen   ein irreduzibles Polynom   über einem globalen Körper   gibt, sodass   über allen lokalen Vervollständigungen   reduzibel ist.[1] Beispielsweise gilt dies für jedes   mit einer zur kleinschen Vierergruppe   isomorphen Galoisgruppe.

Über die Zerlegung eines Polynoms in Restklassenkörpern kann man auch Informationen über die Struktur der zugehörigen Galoisgruppen erhalten und diese mit dem tschebotarjowschen Dichtigkeitssatz probabilistisch eingrenzen.

Zerfällt   modulo fast aller Primzahlen vollständig in Linearfaktoren, so zerfällt es auch über   vollständig; dies ist eine Art Lokal-Global-Prinzip. Ist   ein irreduzibles Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das modulo fast aller Primzahlen eine Nullstelle hat, so hat es Grad  .

Sind   Galoiserweiterungen eines Zahlkörpers   und ist die Menge der Primideale von  , die in   bzw.   voll zerlegt sind, bis auf endlich viele Ausnahmen gleich, so folgt  . (Dabei kann die Voraussetzung, dass die Erweiterungen galoissch sind, nicht fallengelassen werden.) Eine Galoiserweiterung ist also eindeutig bestimmt durch die Menge der vollzerlegten Primideale. Um also die Galoiserweiterungen von   zu klassifizieren, genügt es, die Mengen von Primidealen von   zu bestimmen, die als Mengen von vollzerlegten Primidealen auftreten können. Dies geschieht für abelsche Erweiterungen gerade durch die Klassenkörpertheorie; für nicht-abelsche Erweiterungen ist dies noch immer ein ungelöstes Problem, siehe Langlands-Programm.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Robert Guralnick, Murray M. Schacher, Jack Sonn: Irreducible polynomials which are locally reducible everywhere. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Bd. 133, 2005, ISSN 0002-9939, S. 3171–3177 (Digitalisat).