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In der Mathematik sind Kongruenzuntergruppen eine Klasse arithmetisch definierter diskreter Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe.

In der Theorie der Modulformen werden häufig Kongruenzuntergruppen zur Modulgruppe betrachtet.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Sei

 

eine über   definierte algebraische Gruppe und   eine natürliche Zahl. Dann ist

 

eine Kongruenzuntergruppe. (Hierbei bezeichnet   die Einschränkung der "Reduktion modulo N" auf  .)

Arithmetische GruppenBearbeiten

Kongruenzuntergruppen sind (nach Konstruktion) arithmetische Gruppen. Für   enthält jede arithmetische Gruppe   eine Kongruenzuntergruppe.[1][2]

Allgemeine RingeBearbeiten

Sei   ein kommutativer Ring. Eine Kongruenzuntergruppe ist der Kern des Homomorphismus

 

für ein Ideal  .

Congruence subgroup problemBearbeiten

Das congruence subgroup problem fragt, ob für einen kommutativen Ring   jeder Normalteiler in   eine Kongruenzuntergruppe ist.

LiteraturBearbeiten

  1. Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Sundararaman Ramanan (Hrsg.): Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (December 1989). Manoj Prakashan, Madras 1991, ISBN 81-231-0090-6, S. 465–494.
  2. Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. Mathematical Sciences. Bd. 114, Nr. 4, 2004, S. 299–308, doi:10.1007/BF02829437.