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Das Leibniz-Kriterium ist ein Konvergenzkriterium im mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit diesem Kriterium kann die Konvergenz einer unendlichen Reihe gezeigt werden. Benannt ist es nach dem Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz, der das Kriterium 1682 veröffentlichte.[1]

Inhaltsverzeichnis

Aussage des KriteriumsBearbeiten

 
Partialsumme einer alternierenden Reihe

Sei   eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe

 

Über den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage.

Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen.

BeispieleBearbeiten

Mit dem Leibniz-Kriterium kann beispielsweise die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe und der Leibniz-Reihe gezeigt werden.

Alternierende harmonische ReiheBearbeiten

Die alternierende harmonische Reihe

 

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Allerdings konvergiert sie nicht absolut.

Leibniz-ReiheBearbeiten

 .

GegenbeispielBearbeiten

Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass es nicht genügt, wenn   nur eine Nullfolge ist. Die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium. Betrachte die nicht-monotone Nullfolge

 

Die alternierende Reihe   mit diesen Koeffizienten hat als ungerade Reihenglieder die negative harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist auch die gesamte Reihe   divergent.

Abschätzung des GrenzwertsBearbeiten

Das Leibniz-Kriterium liefert eine Abschätzung für den Grenzwert, denn bei derartig alternierenden Reihen liegt der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Sei

 

die  -te Partialsumme der Reihe

 

mit einer monoton fallenden Nullfolge  .

Dann gilt für alle  :

 .

Es gibt zudem noch eine Fehlerabschätzung, das heißt eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach   Summanden:[2]

 

BeweisBearbeiten

Wir betrachten die Teilfolge   der Folge der Partialsummen. Da die Folge   monoton fallend ist, gilt

 .

Das heißt die Folge   ist ebenfalls monoton fallend. Sie ist außerdem nach unten beschränkt, denn

 ,

nachdem die Klammerausdrücke wegen der Monotonie der Folge   größer gleich Null sind. Die Folge   ist also nicht nur monoton fallend, sondern auch nach unten beschränkt und damit nach dem Monotoniekriterium konvergent. Die Folge   ist ebenfalls konvergent (ähnliches Argument wie oben, aber monoton steigend) und hat denselben Grenzwert, da

 

wegen

 

gilt.[3]

VerallgemeinerungBearbeiten

Das Leibniz-Kriterium stellt einen Spezialfall des allgemeineren Dirichlet-Kriteriums dar.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Leibniz criterion. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).
  2. Siehe http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung286/
  3. Beweis nach Handbuch der Mathematik. Leipzig 1986, ISBN 3-8166-0015-8, S. 408–409. Im Unterschied zu diesem Artikel beginnt die Reihe im Buch mit  , so dass sich ein kleiner Unterschied ergibt.