Hauptmenü öffnen

Eine Lie-Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbarer Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum   über einem Körper   zusammen mit einer inneren Verknüpfung

 

welche Lie-Klammer genannt wird und den folgenden Bedingungen genügt:

  • Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt somit   und   für alle   und alle  .
  • Sie genügt der Jacobi-Identität. Die Jacobi-Identität lautet:   gilt für alle  .
  • Es gilt   für alle  .

Die erste und dritte Eigenschaft implizieren zusammengenommen die Antisymmetrie   für alle  . Wenn der Körper   nicht Charakteristik 2 hat, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die dritte Eigenschaft herleiten (man wähle  ).

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ:   muss nicht gleich   sein. Jedoch gilt für Lie-Klammern immer das Flexibilitätsgesetz  .

Anstelle eines Körpers und eines Vektorraums lässt sich eine Lie-Algebra allgemeiner für einen kommutativen unitären Ring definieren.

BeispieleBearbeiten

Aus der AlgebraBearbeiten

  • Der Vektorraum   bildet eine Lie-Algebra, wenn man die Lie-Klammer als das Kreuzprodukt definiert.
  • Die allgemeine lineare Lie-Algebra   für einen  -Vektorraum   ist die Lie-Algebra der Endomorphismen von   mit dem Kommutator
 
als Lie-Klammer. Ist speziell  , so schreibt man   oder   statt  .
  • Die Endomorphismen mit Spur   in   bilden ebenfalls eine Lie-Algebra. Sie heißt „spezielle lineare Lie-Algebra“ und wird mit   bzw.   bezeichnet. Diese Benennung leitet sich aus der Lie-Gruppe   aller  -Matrizen mit reellen Elementen und Determinante 1 ab, denn der Tangentialraum der Einheitsmatrix kann mit dem Raum aller reellen  -Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden, und die Matrizenmultiplikation der Lie-Gruppe liefert über den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra.
  • Allgemeiner kann man jede assoziative Algebra   zu einer Lie-Algebra machen, indem man als Lie-Klammer den Kommutator
 
wählt. Umgekehrt kann man zeigen, dass sich jede Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra mit einem Kommutator auffassen lässt, die sogenannte universelle einhüllende Algebra.
  • Die Derivationen auf einer (nicht notwendig assoziativen) Algebra werden mit der Kommutatorklammer zu einer Lie-Algebra.

Aus der PhysikBearbeiten

In der Physik sind die Lie-Gruppen   beziehungsweise   wichtig, da sie Drehungen des reellen bzw. komplexen Raumes in   Dimensionen beschreiben. Beispielsweise lautet die Kommutatorrelation der speziellen orthogonalen Gruppe   zugrundeliegenden Lie-Algebra  

 

in der Basis der drei  -Matrizen

 

wobei   das Levi-Civita-Symbol bezeichnet. Durch Anwenden des Matrixexponentials auf die Generatoren erhält man die drei Koordinatentranformationen für Drehungen um die Koordinatenachsen

 .

Allgemein lässt sich jedes Element der Lie-Gruppe   und somit jede beliebige Rotation im dreidimensionalen reellen Raum durch das Exponential einer Linearkombination von Basisvektoren der Lie-Algebra  

 

darstellen.

Glatte VektorfelderBearbeiten

Die glatten Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden eine unendlichdimensionale Lie-Algebra. Die Vektorfelder operieren als Lie-Ableitung auf dem Ring der glatten Funktionen. Seien   zwei glatte Vektorfelder und   eine glatte Funktion. Wir definieren die Lie-Klammer durch

 .

Lie-Algebra einer Lie-GruppeBearbeiten

Der Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe ist unter dieser Kommutatoroperation abgeschlossen und bildet eine endlichdimensionale Lie-Algebra.

Glatte Funktionen mit der Poisson-KlammerBearbeiten

Die glatten Funktionen auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit bilden mit der Poisson-Klammer eine Lie-Algebra. Vergleiche Poisson-Mannigfaltigkeit.

KonstruktionenBearbeiten

Aus gegebenen Lie-Algebren kann man neue konstruieren, siehe dazu

HomomorphismusBearbeiten

Seien   und   zwei Lie-Algebren. Eine lineare Abbildung   heißt Lie-Algebra-Homomorphismus, wenn   für alle   gilt.

In der Kategorie der Lie-Algebren sind die Lie-Algebren die Objekte und die Lie-Algebra-Homomorphismen die Pfeile.

UnteralgebraBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra   ist ein Untervektorraum  , der abgeschlossen unter der Lie-Klammer ist. Das heißt, für alle   gilt  . Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra ist selbst eine Lie-Algebra.

IdealBearbeiten

Eine Unteralgebra   heißt Ideal, wenn   für alle   und   gilt.

Die Ideale sind genau die Kerne der Lie-Algebra-Homomorphismen.

Auf dem Quotientenraum   wird durch   eine Lie-Algebra definiert, die Quotienten-Algebra. Dabei waren  .

Satz von AdoBearbeiten

Der Satz von Ado (nach dem russischen Mathematiker Igor Dmitrijewitsch Ado) besagt, dass jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra isomorph zu einer Unteralgebra der   für ein genügend großes   ist. Das heißt, man kann jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als eine Lie-Algebra von Matrizen darstellen.

Typen von Lie-AlgebrenBearbeiten

Abelsche Lie-AlgebraBearbeiten

Eine Lie-Algebra ist abelsch, wenn die Lie-Klammer identisch null ist.

Jeder Vektorraum bildet eine abelsche Lie-Algebra, wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert.

Nilpotente Lie-AlgebraBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Lie-Algebra. Eine absteigende Zentralreihe wird durch

 

allgemein

 

definiert. Gelegentlich wird sie auch   geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt nilpotent, wenn ihre absteigende Zentralreihe null wird, das heißt   für einen Index   gilt.

Satz von EngelBearbeiten

Sei   eine endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra, dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

  1. Die Lie-Algebra   ist nilpotent.
  2. Für jedes   ist   eine nilpotente lineare Abbildung.

Dieser Satz ist nach dem Mathematiker Friedrich Engel benannt.

Auflösbare Lie-AlgebraBearbeiten

Sei   eine Lie-Algebra. Wir definieren die abgeleitete (oder derivierte) Reihe durch:

 , allgemein  .

Die abgeleitete Reihe wird gelegentlich auch   o. ä. geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt auflösbar, wenn ihre abgeleitete Reihe schließlich null wird, d. h.   für große  . Das Cartan-Kriterium ist für den Fall der Charakteristik 0 des Grundkörpers eine äquivalente Bedingung. Aus dem Satz von Lie ergeben sich Eigenschaften endlichdimensionaler, auflösbarer, komplexer Lie-Algebren.

Eine maximale auflösbare Unteralgebra heißt Borel-Unteralgebra.

Das größte auflösbare Ideal in einer endlichdimensionalen Lie-Algebra ist die Summe aller auflösbaren Ideale und wird das Radikal der Lie-Algebra genannt.

Einfache Lie-AlgebraBearbeiten

Eine Lie-Algebra heißt einfach, wenn sie kein nicht-triviales Ideal hat und nicht abelsch ist.

Bei den Lie-Algebren wird Einfachheit abweichend verwendet. Dies kann zu Verwirrungen führen. Wenn man eine Lie-Algebra als algebraische Struktur auffasst, so ist die Forderung, dass sie nicht abelsch sein darf, unnatürlich.

Halbeinfache Lie-AlgebraBearbeiten

Eine Lie-Algebra   heißt halbeinfach, wenn sie die direkte Summe von einfachen Lie-Algebren ist.

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra   sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  1.   ist halbeinfach.
  2. Das Radikal von   verschwindet, d. h. es gibt keine nichttrivialen auflösbaren Ideale.
  3. Cartan-Kriterium: Die Killing-Form:   ist nicht entartet (  bezeichnet die Spur von Endomorphismen).

Satz von WeylBearbeiten

Sei   eine halbeinfache, endlichdimensionale, komplexe Lie-Algebra, dann ist jede endlichdimensionale Darstellung von   vollständig reduzibel, also als direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegbar. Der Satz ist nach Hermann Weyl benannt.

ZerlegungBearbeiten

Halbeinfache Lie-Algebren haben eine Zerlegung

 

in eine Cartan-Unteralgebra   und Wurzelräume  , siehe Wurzelsystem#Lie-Algebren.

KlassifikationBearbeiten

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren können anhand ihrer Wurzelsysteme klassifiziert werden; diese Klassifikation wurde 1900 von Élie Cartan abgeschlossen.

Reduktive Lie-AlgebraBearbeiten

Eine Lie-Algebra   heißt reduktiv, wenn

 

mit dem Zentrum der Lie-Algebra

 

gilt. Eine Lie-Algebra ist genau dann reduktiv, wenn jede endlich-dimensionale Darstellung vollständig reduzibel ist. Insbesondere sind Halbeinfache Lie-Algebren nach dem Satz von Weyl reduktiv.

Reelle Lie-AlgebrenBearbeiten

Eine Auswahl reeller Lie-Algebren

  1. eindimensionale:   mit  
  2. Es gibt genau zwei Isomorphieklassen von zweidimensionalen reellen Lie-Algebren und zwar   mit   sowie  .
  3. dreidimensionale:
    1.  
    2. Heisenberg-Algebra
    3.  
    4.  
  4. sechsdimensionale:    

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wikibooks: Ausführlicher Beweis der Klassifikation – Lern- und Lehrmaterialien