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Eine Lie-Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbarer Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum   über einem Körper   zusammen mit einer inneren Verknüpfung

 

welche Lie-Klammer genannt wird und den folgenden Bedingungen genügt:

  • Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt somit   und   für alle   und alle  .
  • Sie genügt der Jacobi-Identität. Die Jacobi-Identität lautet:   gilt für alle  .
  • Es gilt   für alle  .

Die erste und dritte Eigenschaft implizieren zusammengenommen die Antisymmetrie   für alle  . Wenn der Körper   nicht Charakteristik 2 hat, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die dritte Eigenschaft herleiten (man wähle  ).

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ:   muss nicht gleich   sein. Jedoch gilt für Lie-Klammern immer das Flexibilitätsgesetz.

Anstelle eines Körpers und eines Vektorraums lässt sich eine Lie-Algebra allgemeiner für einen kommutativen unitären Ring definieren.

BeispieleBearbeiten

Aus der AlgebraBearbeiten

  • Der Vektorraum   bildet eine Lie-Algebra, wenn man die Lie-Klammer als das Kreuzprodukt definiert.
  • Die allgemeine lineare Lie-Algebra   für einen  -Vektorraum   ist die Lie-Algebra der Endomorphismen von   mit dem Kommutator
 
als Lie-Klammer. Ist speziell  , so schreibt man   oder   statt  .
  • Die Endomorphismen mit Spur   in   bilden ebenfalls eine Lie-Algebra. Sie heißt „spezielle lineare Lie-Algebra“ und wird mit   bzw.   bezeichnet. Diese Benennung leitet sich aus der Lie-Gruppe   aller  -Matrizen mit reellen Elementen und Determinante 1 ab, denn der Tangentialraum der Einheitsmatrix kann mit dem Raum aller reellen  -Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden, und die Matrizenmultiplikation der Lie-Gruppe liefert über den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra.
  • Allgemeiner kann man jede assoziative Algebra   zu einer Lie-Algebra machen, indem man als Lie-Klammer den Kommutator
 
wählt. Umgekehrt kann man zeigen, dass sich jede Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra mit einem Kommutator auffassen lässt, die sogenannte universelle einhüllende Algebra.
  • Die Derivationen auf einer (nicht notwendig assoziativen) Algebra werden mit der Kommutatorklammer zu einer Lie-Algebra.

Aus der PhysikBearbeiten

In der Physik sind die Lie-Gruppen   beziehungsweise   wichtig, da sie Drehungen des reellen bzw. komplexen Raumes in   Dimensionen beschreiben. Unter anderem erinnert die Notation der Lie-Klammer an das Kreuzprodukt von Vektoren eines dreidimensionalen Vektorraums. Die Gruppeneigenschaft bedeutet hier konkret, dass zum Beispiel das Produkt zweier Drehungen um je eine Achse als Drehung um eine dritte Achse darstellbar sein muss, so dass man auf die Exponentialfunktion geführt wird. In der Tat lassen sich die Gruppen   in der Form   mit komplexen Zahlen   darstellen, wobei die selbstadjungierten Operatoren   den Elementen der Lie-Algebra entsprechen. Insgesamt erhält man so unitäre Operatoren in einem Hilbertraum. Näheres siehe Quantenmechanik, Eichtheorie und Quantenchromodynamik. Beispiel:

Eine Lie-Gruppe sei eine Gruppe, die von einem kontinuierlichen Parameter abhängt   für die gilt   also wörtlich, dass man das Eins-Element (oder Identität) erhält, wenn man den Parameter gleich Null setzt. Wenn man nun eine Darstellung einer Lie-Gruppe hat, erhält man ihre Generatoren, wenn man sie nach ihrem Parameter ableitet und sie dann Null setzt:
 .

Beispiel: Die Spezielle Orthogonale Gruppe in drei Dimensionen   hat drei Parameter und beschreibt Rotationen um eine beliebige Achse. Die Parameter seien  ,   und  .

 
 
 

Diese Matrizen sind eine Darstellung von Rotationen in   und sind nicht kommutativ, dies bedeutet, dass z. B. eine Rotation um die x-Achse gefolgt von einer um die y-Achse im Allgemeinen nicht das Gleiche ist wie eine Rotation um die y-Achse gefolgt von einer um die x-Achse. Die Aufgabe ist jetzt, alle Generatoren mit der obigen Formel zu finden. Dazu wird die Ableitung berechnet (Beispiel für  ):

 

Dann der Parameter   gesetzt und multipliziert mit der negativen imaginären Einheit  :

 

Analog ergibt sich für die anderen Matrizen:

 
 

Dies ergibt die bekannten Drehimpulsmatrizen als Generatoren von Rotationen im  . Ihre Kommutatorrelation ist aus der Quantenmechanik bekannt als:

 

Wie sehen nun  ,  und   aus? Wir berechnen  . Wir kennen ja die Taylor-Entwicklung der trigonometrischen Funktionen:

 
 

Das Matrixexponential ist definiert als:

 

Nun einsetzen und Grenzwert bestimmen:

 

In Kurzfassung:

 
 

Ähnliches Verfahren bei den anderen Rotationen.

Glatte VektorfelderBearbeiten

Die glatten Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden eine unendlichdimensionale Lie-Algebra. Die Vektorfelder operieren als Lie-Ableitung auf dem Ring der glatten Funktionen. Seien   zwei glatte Vektorfelder und   eine glatte Funktion. Wir definieren die Lie-Klammer durch

 .

Lie-Algebra einer Lie-GruppeBearbeiten

Der Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe ist unter dieser Kommutatoroperation abgeschlossen und bildet eine endlichdimensionale Lie-Algebra.

Glatte Funktionen mit der Poisson-KlammerBearbeiten

Die glatten Funktionen auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit bilden mit der Poisson-Klammer eine Lie-Algebra. Vergleiche Poisson-Mannigfaltigkeit.

KonstruktionenBearbeiten

Aus gegebenen Lie-Algebren kann man neue konstruieren, siehe dazu

HomomorphismusBearbeiten

Seien   und   zwei Lie-Algebren. Eine lineare Abbildung   heißt Lie-Algebra-Homomorphismus, wenn   für alle   gilt.

In der Kategorie der Lie-Algebren sind die Lie-Algebren die Objekte und die Lie-Algebra-Homomorphismen die Pfeile.

UnteralgebraBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra   ist ein Untervektorraum  , der abgeschlossen unter der Lie-Klammer ist. Das heißt, für alle   gilt  . Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra ist selbst eine Lie-Algebra.

IdealBearbeiten

Eine Unteralgebra   heißt Ideal, wenn   für alle   und   gilt.

Die Ideale sind genau die Kerne der Lie-Algebra-Homomorphismen.

Auf dem Quotientenraum   wird durch   eine Lie-Algebra definiert, die Quotienten-Algebra. Dabei waren  .

Satz von AdoBearbeiten

Der Satz von Ado (nach dem russischen Mathematiker Igor Dmitrijewitsch Ado) besagt, dass jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra isomorph zu einer Unteralgebra der   für ein genügend großes   ist. Das heißt, man kann jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als eine Lie-Algebra von Matrizen darstellen.

Typen von Lie-AlgebrenBearbeiten

Abelsche Lie-AlgebraBearbeiten

Eine Lie-Algebra ist abelsch, wenn die Lie-Klammer identisch null ist.

Jeder Vektorraum bildet eine abelsche Lie-Algebra, wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert.

Nilpotente Lie-AlgebraBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Lie-Algebra. Eine absteigende Zentralreihe wird durch

 

allgemein

 

definiert. Gelegentlich wird sie auch   geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt nilpotent, wenn ihre absteigende Zentralreihe null wird, das heißt   für einen Index   gilt.

Satz von EngelBearbeiten

Sei   eine endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra, dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

  1. Die Lie-Algebra   ist nilpotent.
  2. Für jedes   ist   eine nilpotente lineare Abbildung.

Dieser Satz ist nach dem Mathematiker Friedrich Engel benannt.

Auflösbare Lie-AlgebraBearbeiten

Sei   eine Lie-Algebra. Wir definieren die abgeleitete (oder derivierte) Reihe durch:

 , allgemein  .

Die abgeleitete Reihe wird gelegentlich auch   o. ä. geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt auflösbar, wenn ihre abgeleitete Reihe schließlich null wird, d. h.   für große  . Das Cartan-Kriterium ist für den Fall der Charakteristik 0 des Grundkörpers eine äquivalente Bedingung. Aus dem Satz von Lie ergeben sich Eigenschaften endlichdimensionaler, auflösbarer, komplexer Lie-Algebren.

Eine maximale auflösbare Unteralgebra heißt Borel-Unteralgebra.

Das größte auflösbare Ideal in einer endlichdimensionalen Lie-Algebra ist die Summe aller auflösbaren Ideale und wird das Radikal der Lie-Algebra genannt.

Einfache Lie-AlgebraBearbeiten

Eine Lie-Algebra heißt einfach, wenn sie kein nicht-triviales Ideal hat und nicht abelsch ist.

Bei den Lie-Algebren wird Einfachheit abweichend verwendet. Dies kann zu Verwirrungen führen. Wenn man eine Lie-Algebra als algebraische Struktur auffasst, so ist die Forderung, dass sie nicht abelsch sein darf, unnatürlich.

Halbeinfache Lie-AlgebraBearbeiten

Hauptartikel: Halbeinfache Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra   heißt halbeinfach, wenn sie die direkte Summe von einfachen Lie-Algebren ist.

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra   sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  1.   ist halbeinfach.
  2. Das Radikal von   verschwindet, d. h. es gibt keine nichttrivialen auflösbaren Ideale.
  3. Cartan-Kriterium: Die Killing-Form:   ist nicht entartet (  bezeichnet die Spur von Endomorphismen).

Satz von WeylBearbeiten

Hauptartikel: Satz von Weyl (Lie-Algebra)

Sei   eine halbeinfache, endlichdimensionale, komplexe Lie-Algebra, dann ist jede endlichdimensionale Darstellung von   vollständig reduzibel, also als direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegbar. Der Satz ist nach Hermann Weyl benannt.

ZerlegungBearbeiten

Halbeinfache Lie-Algebren haben eine Zerlegung

 

in eine Cartan-Unteralgebra   und Wurzelräume  , siehe Wurzelsystem#Lie-Algebren.

KlassifikationBearbeiten

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren können anhand ihrer Wurzelsysteme klassifiziert werden; diese Klassifikation wurde 1900 von Élie Cartan abgeschlossen.

Reduktive Lie-AlgebraBearbeiten

Eine Lie-Algebra   heißt reduktiv, wenn

 

mit dem Zentrum der Lie-Algebra

 

gilt. Eine Lie-Algebra ist genau dann reduktiv, wenn jede endlich-dimensionale Darstellung vollständig reduzibel ist. Insbesondere sind Halbeinfache Lie-Algebren nach dem Satz von Weyl reduktiv.

Reelle Lie-AlgebrenBearbeiten

Eine Auswahl reeller Lie-Algebren

  1. eindimensionale:   mit  
  2. Es gibt genau zwei Isomorphieklassen von zweidimensionalen reellen Lie-Algebren und zwar   mit   sowie  .
  3. dreidimensionale:
    1.  
    2. Heisenberg-Algebra
    3.  
    4.  
  4. sechsdimensionale:    

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wikibooks: Ausführlicher Beweis der Klassifikation – Lern- und Lehrmaterialien