Eine affine Lie-Algebra ist in der Mathematik eine unendlichdimensionale Lie-Algebra, die auf kanonische Weise aus einer endlichdimensionalen Lie-Algebra konstruiert wird. Dies ermöglicht die Konstruktion affiner Kac-Moody-Algebren.

Definition

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Sei   eine endlich-dimensionale Lie-Algebra. Dann ist die zugehörige affine Lie-Algebra   definiert als der Vektorraum

 

mit der Kommutator-Relation

 

für  . Hierbei bedeutet   die Lie-Klammer in  ,   die Killing-Form von   und   ist die assoziative Algebra der Laurent-Polynome.

  ist ein Element des Zentrums der Liealgebra und   ist daher ein zentrales Ideal. Weiter hat man eine kurze exakte Sequenz

 

von Lie-Algebren.[1]

Erweiterte affine Lie-Algebra

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Wir definieren durch die Formeln

 
 

eine Derivation auf  . Beachte dazu, dass durch den Differentialoperator   eine Derivation auf   erklärt ist. Die erweiterte affine Lie-Algebra   entsteht aus   durch Adjunktion dieser Derivation, das heißt

 ,

wobei   für die semidirekte Summe steht. Die so konstruierte Algebra   heißt die zu   gehörige erweiterte affine Lie-Algebra oder einfach erweiterte affine Algebra.

Kac-Moody-Algebren affinen Typs

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Aus den bekannten endlich-dimensionalen einfachen Lie-Algebren An, Bn, Cn, Dn, E6, E7, E8, F4, G2 kann man mittels obiger Konstruktion die Kac-Moody-Algebren affinen Typs konstruieren, genauer die ungetwisteten Kac-Moody-Algebren affinen Typs. Weitere treten als Fixpunktalgebren gewisser Automorphismen auf, man spricht dann von getwisteten Kac-Moody-Algebren affinen Typs. Wir konstruieren im Folgenden sämtliche Kac-Moody-Algebren affinen Typs, die von unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen herrühren. Dies sind sogenannte Realisierungen der abstrakt definierten Kac-Moody-Algebren, das heißt man erhält zu jeder Kac-Moody-Algebra affinen Typs mit unzerlegbarer, verallgemeinerter Cartan-Matrix einen konkreten Vektorraum mit einer Lie-Klammer wie oben angegeben, so dass diese Lie-Algebra der entsprechenden Isomorphieklasse angehört.[2]

Ungetwistete Kac-Moody-Algebren affinen Typs

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Für   wählen wir in obiger Konstruktion die endlichendimensionalen einfachen Lie-Algebren  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , wobei die angegebenen Typen die einfache Lie-Algebra bis auf Isomorphie charakterisieren. Dann bezeichnet man die erweiterten affinen Lie-Algebren daraus mit  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  . Es handelt sich um Kac-MoodyAlgebren affinen Typs mit unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen. Wir geben neben diesen auch die zugehörigen Dynkin-Diagramme an.

Typ Verallgemeinerte Cartan-Matrix Dynkin-Diagramm
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 

Beachte, dass die Matrixgröße, das heißt die Zeilen- bzw. Spaltenzahl, um eins größer ist als der Index des Typnamens. Genauso verhält es sich mit der Anzahl der Knoten des zugehörigen Dynkin-Diagramms.

Getwistete Kac-Moody-Algebren affinen Typs

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Die nicht-trivialen Automorphismen der Dynkin-Diagramme

Die weiteren Kac-Moody-Algebren affinen Typs können als Unteralgebren ungetwisteter Kac-Moody-Algebren konstruiert werden, genauer als Fixpunktalgebra eines Automorphismus. Im Folgenden sei   der Automorphismus, der zu einem der nebenstehend abgebildeten Graphautomorphismen der Dynkin-Diagramme zu  ,   und   gehört. Eine Besonderheit tritt bei   auf, hier gibt es einen zusätzliche Automorphismus der Ordnung 3, alle anderen Automorphismen haben offenbar die Ordnung 2. Dazu konstruieren wir nun Automorphismen   auf den erweiterten affinen Lie-Algebren, indem wir definieren:

 
 

Der skalare Faktor ist eine  -te Einheitswurzel. Würde man statt dieser einfach 1 verwenden, so erhielte man auch Automorphismen, die aber nicht das Gewünschte leisten. Wegen der Einheitswurzel spricht man von getwisteten Automorphismen und nennt daher auch die Fixpunktalgebren

 

getwistete Algebren. Mittels dieser Konstruktion können die restlichen Kac-Moody-Algebren affinen Typs mit den Standardbezeichnungen  ,  ,  ,  ,  ,   konstruiert werden. Man verwendet dieselben Namen für die zugehörigen verallgemeinerten Cartan-Matrizen sowie für die zugehörigen Dynkin-Diagramme. Das hochgestellte t steht nicht für einen Automorphismus, sondern für Matrixtransposition.

Man erhält folgende Aufstellung:

Typ Fixpunktalgebra Verallgemeinerte Cartan-Matrix Dynkin-Diagramm
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 

Für die Größen der Matrizen und Dynkin-Diagramme gilt das für die ungetwisteten Algebren Gesagte. Ferner beachte, dass   in obiger Liste zweimal vorkommt. Es handelt sich bei den zwei Fällen um verschiedene Automorphismen  , für   wird der Autorphismus des oben genannten Sonderfalls für   verwendet, für   mit   ist es der Automorphismus, der nur die zwei Enden des Dynkin-Diagramms austauscht.

Einzelnachweise

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  1. Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1989) ISBN 0-12-267065-5, Kapitel 1.6: Affine Lie Algebras
  2. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 18: Realisations of affine Kac-Moody algebras