Kac-Moody-Algebra

Kac-Moody-Algebren, benannt nach Victor Kac und Robert Moody, sind in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren untersuchte Algebren. Man geht von einer Matrix mit bestimmten Eigenschaften aus und wendet darauf ein Verfahren an, das an die klassische Konstruktion einer endlichdimensionalen halbeinfachen Lie-Algebra aus einer vorgegebenen Cartan-Matrix angelehnt ist. Man kann dann drei Typen solcher Kac-Moody-Algebren ausmachen. Die Algebren vom endlichen Typ (s. u.) sind die aus der klassischen Theorie bekannten endlichdimensionalen halbeinfachen Lie-Algebren, so dass die Theorie der Kac-Moody-Algebren als eine Verallgemeinerung der klassischen Theorie angesehen werden kann. Dazu kommen zwei weitere Typen, der affine Typ und der indefinite Typ (s. u.), die weder endlichdimensional noch halbeinfach sind.

KonstruktionBearbeiten

Verallgemeinerte Cartan-MatrizenBearbeiten

Eine  -Matrix   heißt verallgemeinerte Cartan-Matrix, falls

  • Alle Koeffizienten sind ganzzahlig, das heißt   für alle  
  •   für alle  
  •   für alle  
  • Aus   folgt stets   für alle  .

Offenbar sind Cartan-Matrizen Beispiele für verallgemeinerte Cartan-Matrizen.

Zwei verallgemeinerte  -Cartan-Matrizen   und   heißen äquivalent, wenn es eine Permutation   auf   gibt mit   gibt.

Eine verallgemeinerte Cartan-Matrix heißt zerlegbar, wenn sie zu einer Matrix der Form

 

mit Untermatrizen   und   äquivalent ist, sonst unzerlegbar.

Realisierungen einer MatrixBearbeiten

Zu einer vorgegebenen verallgemeinerten  -Cartan-Matrix   gibt es

  • einen endlichdimensionalen  -Vektorraum  
  • eine linear unabhängige Teilmenge  ,
  • eine linear unabhängige Teilmenge  , wobei   der Dualraum von   ist,

so dass   für alle  

Die Daten   nennt man eine Realisierung von  . Man kann zeigen, dass die Dimension von   mindestens   ist, wobei   der Rang der Matrix ist, dass dieses Minimum angenommen wird, und dass es zu je zwei Realisierungen   und   minimaler Dimension einen Vektorraumisomorphismus   gibt, der   auf   abbildet und dessen duale Abbildung   auf   abbildet. Diese sogenannten minimalen Realisierungen sind also bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.[1]

Eine Lie-Algebra aus Erzeugern und RelationenBearbeiten

Bislang haben wir zu einer verallgemeinerten  -Cartan-Matrix   eine minimale Realisierung   konstruiert. Diese Daten verwenden wir nun, um eine Lie-Algebra   aus Erzeugern und Relationen zu definieren. Die Menge der Erzeuger ist

 .

Die Elemente sind nur Symbole, lediglich die Matrizengröße   und der Vektorraum   gehen hier ein. Die Relationen sind

  •     für alle     mit  
  •     für alle    
  •     für alle    
  •     für alle    
  •     für alle    
  •     für alle    

Bezeichnet   die Menge dieser Relationen, so setzen wir

 , wobei letztere die durch die Erzeuger   und Relationen   definierte Lie-Algebra sei.

Die ersten beiden Gruppen von Relationen führen offensichtlich dazu, dass   ein Lie-Algebren-Homomorphismus zwischen abelschen Lie-Algebren ist. Man kann sogar zeigen, dass dieser ein Isomorphismus ist.

Definition der Kac-Moody-AlgebrenBearbeiten

Zu einer verallgemeinerten Cartan-Matrix   haben wir eine Lie-Algebra   mit einer darin enthaltenen abelschen Unteralgebra   konstruiert. Man kann nun zeigen, dass

 

wieder ein Ideal mit   ist. Man nennt

 

die Kac-Moody-Algebra zur verallgemeinerten Cartan-Matrix  .

Man kann zeigen, dass die Isomorphieklasse von   nur von der Äquivalenzklasse der verallgemeinerten Cartan-Matrix abhängt, insbesondere nicht von der Wahl einer minimalen Realisierung. Ist   sogar eine Cartan-Matrix, so ist die Kac-Moody-Algebra zu   isomorph zur endlichdimensionalen halbeinfachen Lie-Algebra mit dieser Cartan-Matrix.[2]

Drei Typen von Kac-Moody-AlgebrenBearbeiten

Die Kac-Moody-Algebren zu unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen zerfallen in drei Typen. Sie werden durch Eigenschaften der zugrunde liegenden verallgemeinerten Cartan-Matrix definiert. Dazu beachte, dass solche Matrizen ganzzahlige und damit reellwertige Koeffizienten haben und daher auf dem  , dem Vektorraum der Spaltenvektoren, operieren. Auf dem   sei die komponentenweise Ordnung   gegeben, das heißt  , falls komponentenweise   gilt. Wir schreiben entsprechend  , falls komponentenweise   gilt.

Man verwendet die folgenden Typbezeichnungen, für die   eine unzerlegbare verallgemeinerte  -Cartan-Matrix sei, sowohl für   als auch für die Kac-Moody-Algebra  .[3]

Kac-Moody-Algebren endlichen TypsBearbeiten

  und damit auch   hat endlichen Typ, falls

  •  ,
  • Es gibt   mit   und  ,
  • Aus   folgt   oder  .

Kac-Moody-Algebren affinen TypsBearbeiten

  und damit auch   hat affinen Typ, falls

  •  , das heißt der Korang ist 1,
  • Es gibt   mit   und  ,
  • Aus   folgt  .

Kac-Moody-Algebren indefiniten TypsBearbeiten

  und damit auch   hat indefiniten Typ, falls

  • Es gibt   mit   und  ,
  • Aus   und   folgt  .

BemerkungenBearbeiten

Es ist nicht offensichtlich, dass dies tatsächlich eine Dreiteilung der unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen darstellt. Alternativ kann man diese drei Typen für unzerlegbare verallgemeinerte Cartan-Matrizen wie folgt charakterisieren:

  •   hat endlichen Typ genau dann, wenn es   gibt mit   und  
  •   hat affinen Typ genau dann, wenn es   gibt mit   und  
  •   hat indefiniten Typ genau dann, wenn es   gibt mit   und  

Man kann zeigen, dass Kac-Moody-Algebren endlichen Typs genau die endlichdimensionalen einfachen Lie-Algebren sind. Die Kac-Moody-Algebren affinen oder indefiniten Typs sind weder halbeinfach, sie haben ein nicht-triviales Zentrum, noch endlichdimensional.

Dynkin-DiagrammeBearbeiten

Man kann, ganz ähnlich wie in der Theorie der endlich-dimensionalen halbeinfachen Lie-Algebren, jeder verallgemeinerten Cartan-Matrix ein Dynkin-Diagramm zuordnen, dies geschieht nach folgenden Regeln: Das Dynkin-Diagramm zur verallgemeinerten  -Cartan-Matrix   ist ein Graph aus   Knoten, die mit   bezeichnet werden. Für die Kanten zwischen diesen Knoten verfährt man wie folgt:

  • Ist  , so werden die Knoten   und   nicht verbunden.
  • Ist  , so werden die Knoten   und   durch eine einzelne Kante verbunden.
  • Ist  , so werden die Knoten   und   durch zwei Kanten verbunden. Ein >-Zeichen durch diese Kanten zeigt mit der Spitze auf  , wenn  , sonst nach  .
  • Ist  , so werden die Knoten   und   durch drei Kanten verbunden. Ein >-Zeichen durch diese Kanten zeigt mit der Spitze auf  , wenn  , sonst nach  .
  • Ist   und  , so werden die Knoten   und   durch vier Kanten verbunden. Ein >-Zeichen durch diese Kanten zeigt mit der Spitze auf  , wenn  , sonst nach  .
  • Ist   und  , so werden die Knoten   und   durch zwei Kanten verbunden. Ein >- und ein <-Zeichen werden durch diese Kanten gezeichnet, sie zeigen mit ihren Spitzen aufeinander.
  • Ist  , so werden die Knoten   und   durch eine einzelne Kante verbunden und die ganzen Zahlen   und   wird an dieser Kante vermerkt.

Es ist klar, dass man aus dem Dynkin-Diagramm die verallgemeinerte Cartan-Matrix zurückgewinnen kann, ebenso, dass eine verallgemeinerte Cartan-Matrix genau dann unzerlegbar ist, wenn ihr Dynkin-Diagramm zusammenhängend ist.

In der klassischen Theorie, das heißt für unzerlegbare verallgemeinerte Cartan-Matrizen endlichen Typs, erhält man die bekannte Liste der Dynkin-Diagramme  , die eine vollständige Klassifikation der endlichdimensionalen einfachen Lie-Algebren darstellt. Für unzerlegbare verallgemeinerte Cartan-Matrizen affinen Typs gelingt ebenfalls eine vollständige Klassifikation, auch hier erhält man eine überschaubare Liste. Die zuletzt genannte Regel zur Erstellung des Dynkin-Diagramms findet im affinen Fall keine Anwendung, das kommt erst bei unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen indefiniten Typs vor.[4]

 
Das Dynkin-Diagramm zur verallgemeinerten Cartan-Matrix  

Als Beispiel für eine verallgemeinerte Cartan-Matrix affinen Typs betrachten wir

 .

Die Bezeichnung   stammt von einer Klassifikation der unzerlegbaren Cartan-Matrizen affinen Typs. Da

 ,
 
Das Dynkin-Diagramm zur verallgemeinerten Cartan-Matrix  

liegt nach oben genannten Kriterien tatsächlich ein affiner Typ vor: Es gibt ein   mit  . Das zugehörige Dynkin-Diagramm wird in nebenstehender Zeichnung wiedergegeben.

Ein weiteres Beispiel für eine verallgemeinerte Cartan-Matrix affinen Typs ist

 .

Zur Erstellung des Dynkin-Diagramms findet die vorletzte Regel Anwendung.

Hier ist die vollständige Liste aller Dynkin-Diagramme zu unzerlegbaren, verallgemeinerten Cartan-Matrizen affinen Typs:

Die angegebenen Bezeichnungen der Dynkin-Diagramme sind Standardbezeichnungen. Die verwendete Tilde weist auf eine gewisse Affinisierung hin, das heißt auf einen Prozess, mit dem man aus gegebenen Lie-Algebren weitere erzeugen kann. Die zu diesen Dynkin-Diagrammen gehörigen Kac-Moody-Algebren werden genauso bezeichnet, das heißt man spricht von Kac-Moody-Algebren  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .

Weitere BemerkungenBearbeiten

Für Kac-Moody-Algebren kann man weite Teile der auf Wurzelsystemen beruhenden Theorie endlichdimensionaler halbeinfacher Lie-Algebren analog aufstellen. Als Ersatz für die Cartan-Unteralgebra dient das Bild von   in der Quotientenalgebra  . Man kann zeigen, dass die Abbildung   injektiv ist. Man kann also   als Unteralgebra von   auffassen. Damit ist eine Darstellung der Form

      mit
 

möglich, wobei die   wie üblich Gewichte heißen und sich ganzzahlig aus den   linear kombinieren lassen. Die Grundlagen dieser Theorie sind im mehrfach zitierten Lehrbuch von Roger Carter ausgearbeitet.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 14.1: Realisations of a square matrix
  2. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 14.3: The Kac-Moody algebra L(A)
  3. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 15.1: A trichotomy for indecomposable GCMs
  4. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 15.1: The classification of affine generalized Cartan matrices