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Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Arithmetik. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Inhaltsverzeichnis

NotationBearbeiten

  • Buchstaben am Anfang des Alphabets   stehen für beliebige Zahlen.
  • Buchstaben in der Mitte des Alphabets   stehen für natürliche Zahlen.
  • Buchstaben am Ende des Alphabets   stehen für Variablen.
  • Es gilt die Operatorrangfolge (Punktrechnung vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
  • Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.

GrundrechenartenBearbeiten

RechenoperationenBearbeiten

Addition

    (Summand + Summand = Summe)

Subtraktion

    (Minuend − Subtrahend = Differenz)

Multiplikation

    (Faktor · Faktor = Produkt)

Division

    (Dividend : Divisor = Quotient)
Die Division durch null ist dabei nicht definiert.

KlammerregelnBearbeiten

 
 
 
 

RechengesetzeBearbeiten

Assoziativgesetze

 
 

Kommutativgesetze

 
 

Distributivgesetze

 
 

Neutralität von   und  

 
 

Binomische FormelnBearbeiten

 
 
 

BruchrechnungBearbeiten

BezeichnungenBearbeiten

Definition

    (Zähler : Nenner)
Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.

Spezialfälle

  • Stammbruch:  
  • Echter Bruch:  
  • Unechter Bruch:  
  • Scheinbruch:   mit einer ganzen Zahl  
  • Kehrbruch:   und   werden vertauscht

RechenregelnBearbeiten

Vorzeichen

 
 

Erweitern und Kürzen

    für  

Addition

 

Subtraktion

 

Multiplikation

 

Division

 

ProzentrechnungBearbeiten

Definitionen

    (Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)
    (Promillesatz = Promillewert : Grundwert)

Prozentsätze häufig benutzter Anteile

Anteil am Grundwert                    
Prozentsatz 1 %     2 %     2,5 % 4 %      5 %       6,25 %   ≈6,67 %   ≈8,33 % ≈9,09 %     10 %   
Anteil am Grundwert                    
Prozentsatz ≈11,11 % 12,5 % ≈14,29 % ≈16,67 % 20 % 25 % ≈33,33 % 50 % ≈66,67 % 75 %

Elementare RechenoperationenBearbeiten

PotenzBearbeiten

Definitionen

Natürlicher Exponent:

    (Potenz = Basis hoch Exponent)

Negativer Exponent:

 

Rationaler Exponent:

 

Hierbei ist   eine nichtnegative rationale Zahl und   sind natürliche Zahlen.

Spezialfälle

    für  , siehe Null hoch null
    für  

Potenzgesetze

 
 
 
 
 

Definition und Rechenregeln können auf reelle Zahlen erweitert werden.

WurzelBearbeiten

Definition

    (n-te Wurzel, a heißt Radikand, n Wurzelexponent)
Hierbei ist   eine nichtnegative reelle Zahl und   eine natürliche Zahl größer als eins

Spezialfälle

    (Quadratwurzel)
    (Kubikwurzel)

Wurzelgesetze

 
 
 
 
 
 
 

LogarithmusBearbeiten

Definition

    (Logarithmus der Zahl a zur Basis b)
Hierbei sind   positive reelle Zahlen.

Spezialfälle

    (binärer Logarithmus)
    (natürlicher Logarithmus)
    (dekadischer Logarithmus)
 
 

Logarithmengesetze

 
 
 
 

Elementare FunktionenBearbeiten

BetragBearbeiten

Definition

 

Eigenschaften

 
 
    (Dreiecksungleichung)

VorzeichenBearbeiten

Definition

 

Eigenschaften

    für  
 
 

Ab- und AufrundungBearbeiten

Definitionen

    (Abrundung)
    (Aufrundung)

Eigenschaften

 
 
 
 

GleichungenBearbeiten

ÄquivalenzumformungenBearbeiten

Lösen von Gleichungen

 
 
 
    für  
    für  
    für jede bijektive Funktion  

Lineare GleichungenBearbeiten

Allgemeine Form

 

Lösungen

    falls  
keine Lösung falls  
unendlich viele Lösungen falls  

Quadratische GleichungenBearbeiten

Allgemeine Form

    mit  

Diskriminante

 

Lösungen

    falls  
    falls  
keine reelle Lösung falls  

Quadratische Ergänzung

 

p-q-Form

 

Diskriminante

 

Lösungen

    falls  
    falls  
keine reelle Lösung falls  

Satz von Vieta

 
 

Algebraische GleichungenBearbeiten

Allgemeine Form

 

Lösungen

  als komplexe Lösungen, nicht notwendigerweise verschieden (Fundamentalsatz der Algebra)

Zerlegung in Linearfaktoren

 

Polynomdivision

    wobei  
    wobei  

UngleichungenBearbeiten

ÄquivalenzumformungenBearbeiten

Lösen von Ungleichungen

 
 
 
 
 
 
Die Umformungsregeln gelten analog auch für  .

Spezielle UngleichungenBearbeiten

Dreiecksungleichung

    für alle  

Bernoullische Ungleichung

    für   und  

Youngsche Ungleichung

    für   und   mit  

Ungleichungen bei MittelwertenBearbeiten

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

    für   und  

Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel

    für   und  

Komplexe ZahlenBearbeiten

Algebraische FormBearbeiten

Darstellung

    mit Realteil  , Imaginärteil   und der imaginären Einheit  
    (Komplexe Konjugation)

Potenzen der imaginären Einheit

 
 
 
 

Allgemein für  :

 
 
 
 

Arithmetische Operationen

 
 
 
    für  

PolarformBearbeiten

Darstellung

    mit dem Betrag   und dem Argument  

Betrag

 

Argument

 
oder
 

ExponentialformBearbeiten

Darstellung

    mit der eulerschen Zahl  
    (Eulersche Formel)

Umrechnungsformeln

 
 

Arithmetische Operationen

 
 
 

Potenzen

 

Wurzeln

    für     (Einheitswurzeln)
    für  

SummenformelnBearbeiten

RechenregelnBearbeiten

 
 
 
 
 
    (Teleskopsumme)

Arithmetische ReiheBearbeiten

    (Gaußsche Summenformel)

Geometrische ReiheBearbeiten

 

PotenzsummenBearbeiten

 
 
Für weitere Potenzsummen siehe Faulhabersche Formel.

Kombinatorische SummenBearbeiten

Binomischer Lehrsatz

 

Multinomialtheorem

 

Ungleichungen bei SummenBearbeiten

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

    für alle   und  

Tschebyscheff-Ungleichungen

    für alle   und  
    für alle   und  

Minkowski-Ungleichung

    für alle   und   sowie  

Hölder-Ungleichung

    für alle   und   sowie   mit  

Jensensche Ungleichung

    für jede konvexe Funktion  ,   mit   und alle  

LiteraturBearbeiten