Benutzer:Qniemiec/Archiv

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Zu "Mehrjährige Pflanze":

Sammelbegriff	Botanisch	Gärtnerisch	Beschreibung
Semelpar (einmal gebärend) In der Botanik auch: Hapaxanth (einmal blühend) Monokarp (einmal fruchtend)	(sommer)annuell (einjährig)	einjährig	nur eine zusammenhängende Vegetationsperiode bis zur Blüte und Samenbildung, danach Absterben	krautig
	bienn / winterannuell (zweijährig)	zweijährig	zwei durch eine Kälte- oder Trockenperiode getrennte Vegetationsperioden bis zur Blüte und Samenbildung, danach Absterben
	plurienn (mehrjährig)	mehrjährig	mehr als zwei durch Kälte- oder Trockenperioden getrennte Vegetationsperioden bis zur Blüte und Samenbildung, danach Absterben	krautig oder verholzend (Halbsträucher, Sträucher, Bäume)
Iteropar (wiederholt gebärend) In der Botanik auch: Pollakanth (mehrmals blühend) Polykarp (vielfach fruchtend)	perenn (ausdauernd)		mehrfache Blüte und Samenbildung ohne anschließendes Absterben Sonderfall „einjährig gezogene Pflanzen“: mehrjährig oder ausdauernd, aber nicht winterhart, daher im gemäßigten Klima de facto nur eine Vegetationsperiode überlebend

Zu "Abzählende Kombinatorik":

k	K(10;k) Kombination ohne Wiederholung	K*(10;k) Kombination mit Wiederholung	D(10;10-k) Partielles Derangement	V(10;k) Variation ohne Wiederholung	V*(10;k) Variation mit Wiederholung
0	1	1	1	1	1
1	10	10	0	10	10
2	45	55	45	90	100
3	120	220	240	720	1000
4	210	715	1890	5040	10000
5	252	2002	11088	30240	100000
6	210	5005	55650	151200	1000000
7	120	11440	222480	604800	10000000
8	45	24310	667485	1814400	100000000
9	10	48620	1334960	3628800	1000000000
10	1	92378	1334961	3628800	10000000000
11		167960			1E+11
12		293930			1E+12
13		497420			1E+13
14		817190			1E+14
15		1307504			1E+15
16		2042975			1E+16
17		3124550			1E+17
18		4686825			1E+18
19		6906900			1E+19
20		10015005			1E+20

k	P(k) Permutation	D(k) Derangement
0	1	1
1	1	0
2	2	1
3	6	2
4	24	9
5	120	44
6	720	265
7	5040	1854
8	40320	14833
9	362880	133496
10	3628800	1334961
11	39916800	14684570
12	479001600	176214841
13	6227020800	2290792932
14	87178291200	32071101049
15	1307674368000	481066515730
16	20922789888000	7697064251700
17	355687428100000	130850092280000
18	6402373705700000	2355301661000000
19	121645100410000000	44750731560000000
20	2432902008200000000	895014631190000000

Zu "Risikoprämie":

Die Risikoprämie (RP, englisch risk premium), je nach Vorzeichen auch Risikoabschlag oder Risikozuschlag genannt, bezeichnet in der Finanzmathematik und Entscheidungstheorie die Differenz zwischen dem mathematischen Erwartungswert eines unsicheren Vermögens E(w), z.B. Wertpapiers (Lotterielos, Aktie, Anleihe, Sparbuch), und dem individuellen Sicherheitsäquivalent (CE, englisch certainty equivalent) dieses Vermögens, das heißt derjenigen sicheren Auszahlung CE, z.B. sofort und in bar, die dem Betreffenden subjektiv denselben Nutzen verspricht (und damit gleichviel wert ist) wie das unsichere Vermögen w :

$RP=E(w)-CE\ .$

E(w) > CE

E(w) = CE

E(w) < CE

Entscheidend für Betrag und Vorzeichen der Risikoprämie RP ist demnach in erster Linie das Verhältnis zwischen dem für ein und dasselbe Vermögen w stets gleichen mathematischen Erwartungswert E(W) und dem individuellem Sicherheitsäquivalent CE des betreffenden Marktteilnehmers:

• Ist E(w) > CE, wird die Risikoprämie RP positiv, d.h. der Betreffende ist bereit, demjenigen, der ihm das Risiko des unsicheren Vermögens (und damit die Gefahr eines möglicherweise realen Vermögensverlusts) abnimmt, dafür eine Prämie zu zahlen. Bekanntestes Beispiel solcher Transaktionen sind Versicherungsabschlüsse, bei denen man die Risikoprämie RP auch als Versicherungsprämie bezeichnet.
  Marktteilnehmer, deren Sicherheitsäquivalent CE für gewöhnlich kleiner als der Erwartungswert E(w) ihres unsicheren Vermögens ist, werden risikoscheu bzw. risikoavers genannt. Maßgeblich für risikoaverse Entscheidungen ist dabei die höhere Gewichtung möglicher Vermögensverluste gegenüber möglichen Vermögensgewinnen.

• Ist E(w) = CE, wird die Risikoprämie RP gleich Null, d.h. der Betreffende ist weder bereit, jemand anderem eine Prämie für die Übernahme des eigenen Vermögensrisikos zu zahlen noch umgekehrt jemand anderem dessen Vermögensrisiko abzukaufen.
  Marktteilnehmer, deren Sicherheitsäquivalent CE sich für gewöhnlich mit dem Erwartungswert E(w) ihres unsicheren Vermögens deckt, werden risikoneutral genannt. Maßgeblich für risikoneutrale Entscheidungen ist die Gleichgewichtung möglicher Vermögensverluste und -gewinne.

• Ist E(w) < CE, wird die Risikoprämie RP negativ, d.h. der Betreffende ist nun umgekehrt bereit, demjenigen, der ihm das Risiko seines unsicheren Vermögens (und damit die Aussicht auf einen möglicherweise realen Vermögensgewinn) abtritt, dafür eine Prämie zu zahlen. Bekanntestes Beispiel solcher Transaktionen sind praktisch alle realen, d.h. mathematisch betrachtet stets "unfairen" Lotterien, deren Lospreis dabei regelmäßig über ihrem Erwartungswert E(L) bleibt.
  Marktteilnehmer, deren Sicherheitsäquivalent CE für gewöhnlich größer ist als der Erwartungswert E(w) ihres unsicheren Vermögens ist, werden risikoliebend bzw. risikoaffin genannt. Maßgeblich für risikoaffine Entscheidungen ist dabei die höhere Gewichtung möglicher Vermögensgewinne gegenüber möglichen Vermögensverlusten.

Formale Beschreibung

Nutzenfunktion (links) und inverse Nutzenfunktion (rechts) eines risikoaversen (risikoscheuen) Marktteilnehmers

CE - Sicherheitsäquivalent; E(U(W)) - Erwartungswert des Nutzens (erwarteter Nutzen) des unsicheren Vermögens; E(W) - Erwartungswert des unsicheren Vermögens; U(CE) - Nutzen des Sicherheitsäquivalents; U(E(W)) - Nutzen des Erwartungswerts des unsicheren Vermögens; W₀ - Minimales Vermögen; U(W₀) - Nutzen des minimalen Vermögens; W₁ - Maximales Vermögen; U(W₁) - Nutzen des maximalen Vermögens; U₀ - Minimaler Nutzen; W₀ - Benötigtes Vermögen zur Erzielung des minimalen Nutzens; U₁ - Maximaler Nutzen; W₁ - Benötigtes Vermögen zur Erzielung des maximalen Nutzens; RP - Risikoprämie

Gegeben seien eine reelle, messbare und umkehrbare Nutzenfunktion u(w) zusammen mit ihrer Inversen w(u) sowie ein unsicheres Vermögen x, zusammengesetzt aus einem sicheren Ausgangsvermögen ${\bar {x}}\in \mathbb {R}$ und einer Zufallsvariablen $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ mit dem Erwartungswert E(X) = 0. Für den Erwartungswert des unsicheren Vermögens $x={\bar {x}}+X$ gilt dann:

$E(x)=E({\bar {x}}+X)={\bar {x}}.$

Ist die Gleichung

$u({\bar {x}}-RP)=E(u(x))=E(u({\bar {x}}+X))$

eindeutig lösbar, nennt man die dadurch definierte reelle Zahl $RP({\bar {x}},X)$ die Risikoprämie (bzw. das Sicherheitsäquivalent der Zufallsvariablen X ) bei gegebenem Ausgangsvermögen ${\bar {x}}$.

Ist die Nutzenfunktion u(w) wie gefordert umkehrbar, z.B. streng monoton steigend, lässt sich die Risikoprämie $RP({\bar {x}},X)$ mittels der inversen Nutzenfunktion u(w) wie folgt berechnen:

$RP({\bar {x}},X)=E(x)-w(E(u(x)))$

Interpretation

• Die positive Risikoprämie $RP({\bar {x}},X)$ ist der Abschlag, den ein risikoaverser Entscheider (mit für ihn zutreffender konkaver Nutzenfunktion) in Kauf zu nehmen bereit ist, um das Risiko der Zufallsvariablen X bei festem durchschnittlichem Ertrag ${\bar {x}}$ zu vermeiden.
• Die negative Risikoprämie $-RP({\bar {x}},X)$ ist der Zuschlag, den ein risikoaffiner Entscheider (mit für ihn zutreffender konvexer Nutzenfunktion) zu zahlen bereit ist, um das zusätzliche Risiko der Zufallsvariablen X bei festem durchschnittlichem Ertrag ${\bar {x}}$ übernehmen zu dürfen.

Risikoprämie und Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion

Wie Pratt 1964 zeigte, kann der Risikoabschlag (die geforderte Mindestrisikoprämie) bei kleinen Werten der Varianz $Var(X)$ sowie des Erwartungswerts $E(X^{3})$ für beliebige stetig differenzierbare Nutzenfunktionen wie folgt approximiert werden :

$RP({\bar {x}},X)\approx {\frac {ARA({\bar {x}})}{2}}\cdot Var(X)$

Beispiele

Es werde eine Münze geworfen, und man erhält je nach Ergebnis des Münzwurfs entweder eine Auszahlung von 1,00 € oder nichts. Der Erwartungswert E(w) wäre demnach 0,50 €, der Preis eines Loses bei Fairness der Lotterie ebenfalls 0,50 €.

• Zieht der Spieler es nun vor, sich anstelle der unsicheren Gewinnausschüttung einen Betrag < 0,50 € in bar auszahlen zu lassen, also z.B. sein eigenes Los jemand anderem für einen solchen niedrigeren Betrag zu verkaufen, wird er risikoscheu oder risikoavers genannt, und die Risikoprämie desjenigen, der ihm das Los abkauft, ist positiv (er wird statistisch gesehen einen Gewinn machen).

• Verkauft der Spieler dagegen jemand anderem sein Los für genau 0,50 €, ist er also selbst unentschieden (indifferent), ob er an der Lotterie teilnehmen soll oder nicht, wird er risikoneutral genannt, und die Risikoprämie desjenigen, der ihm das Los abkauft, bleibt null (er wird statistisch gesehen weder einen Gewinn noch Verlust machen).

• Ist der Spieler schließlich nur dann bereit, sein Los jemand anderem zu verkaufen, wenn dieser ihm dafür auf der Stelle einen Betrag > 0,50 € bezahlt, wird solch ein Spieler risikoliebend oder risikoaffin genannt, und die Risikoprämie desjenigen, der ihm das Los abkauft, ist negativ (er wird statistisch gesehen einen Verlust machen).

Abhängigkeit der Risikoprämie vom Risikotyp

Beispiel 1

Ein risikoscheuer Spieler mit der Risikonutzenfunktion $u(w)={\sqrt {w}}$ und deren Umkehrfunktion $w(u)=u^{2}\$ nehme an einer Tombola teil, bei der die Chancen für einen Hauptgewinn von 2500 € bei 1%, die für einen Trostpreis von lediglich 25 € dagegen bei den verbleibenden 99% stehen.

Der Erwartungswert des unsicheren Vermögens w und der erwartete Nutzen bei Teilnahme an der Tombola sind damit:

$E(w)=E(L)=0,99\cdot {25}+0,01\cdot {2500}=49,75$

${\begin{aligned}E(u(w))=E(u(L))&=0,99{\sqrt {25}}+0,01{\sqrt {2500}}\\&=0,99\cdot {5}+0,01\cdot {50}=5,45\end{aligned}}$

Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w und Risikoprämie der Tombola errechnen sich damit für den Spieler wie folgt:

$u(CE)=E(u(w))\iff {\sqrt {CE}}=5,45$

${\begin{aligned}CE={5,45}^{2}\approx {29,70};\ RP&=E(w)-CE\\&=49,75-29,70=20,05\end{aligned}}$

Der risikoscheue Spieler wäre also bereit, maximal 29,70 € für ein Los auszugeben bzw. es umgekehrt für 29,70 € (oder mehr) weiterzuverkaufen, wobei der Käufer im Durchschnitt einen Gewinn von 20,05 € machen würde, da der durchschnittliche Ertrag des Loses ja, wie gezeigt, bei 49,75 € liegt.

Beispiel 2

Ein risikofreudiger Spieler mit der Risikonutzenfunktion $w(u)=u^{2}\$ und deren Umkehrfunktion $u(w)={\sqrt {w}}$ nehme an derselben Tombola teil, bei der die Chancen für einen Hauptgewinn von 2500 € wieder bei 1%, die für einen Trostpreis von lediglich 25 € dagegen bei den verbleibenden 99% stehen.

Der Erwartungswert des unsicheren Vermögens w und der erwartete Nutzen bei Teilnahme an der Tombola sind damit:

$E(w)=E(L)=0,99\cdot {25}+0,01\cdot {2500}=49,75$

${\begin{aligned}E(u(w))=E(u(L))&=0,99\cdot {25}^{2}+0,01\cdot {2500}^{2}\\&=0,99\cdot {625}+0,01\cdot {6250000}=63118,75\end{aligned}}$

Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w und Risikoprämie errechnen sich für den Spieler damit nun wie folgt:

$u(CE)=E(u(w))\iff {CE}^{2}=63118,75$

${\begin{aligned}CE={\sqrt {63118,75}}\approx {251,23};\ RP&=E(w)-CE\\&=49,75-251,23=-201,48\end{aligned}}$

Der risikofreudige Spieler wäre also bereit, maximal 251,23 € für ein Los auszugeben bzw. es umgekehrt für 251,23 € (oder mehr) weiterzuverkaufen, wobei der Käufer im Durchschnitt einen Verlust von 201,48 € machen würde, da der durchschnittliche Ertrag des Loses ja, wie gezeigt, lediglich bei 49,75 € liegt.

Abhängigkeit der Risikoprämie vom Ausgangsvermögen

Abhängigkeit der Risikoprämie vom Ausgangsvermögen

Fall 1 - Ausgangsvermögen w₀ = 0 €

Fall 2 - Ausgangsvermögen w₀ = 9 €

Die Lage des in die Formel für die Risikoprämie einfließenden Erwartungswerts des unsicheren Vermögens w wird u.a. vom Ausgangsvermögen w₀ bestimmt.

Beispiel 1

Ein risikoscheuer Spieler mit der Risikonutzenfunktion $u(w)={\sqrt {w}}$ und deren Umkehrfunktion $w(u)=u^{2}\$ besitze lediglich ein Lotterielos, auf das mit einer Wahrscheinlichkeit p=0,5 ein Gewinn von 7 € ausgezahlt wird, sein Ausgangsvermögen w₀ dagegen sei gleich Null.

Der Erwartungswert des unsicheren Vermögens w = w₀ + L und der erwartete Nutzen bei Teilnahme an der Lotterie sind damit:

$E(w)=E(w_{0}+L)=0,5\cdot (0+0)+0,5\cdot (0+7)=3,50$

${\begin{aligned}E(u(w))=E(u(w_{0}+L))&=0,5{\sqrt {0+0}}+0,5{\sqrt {0+7}}\\&\approx 0,5\cdot (0+2,65)\approx {1,32}\end{aligned}}$

Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w = w₀ + L = L und Risikoprämie errechnen sich damit für den Spieler wie folgt:

$u(CE)=E(u(w_{0}+L))\iff {\sqrt {CE}}\approx {1,32}$

${\begin{aligned}CE\approx {1,32}^{2}\approx 1,75;\ RP&=E(w_{0}+L)-CE\\&=3,50-1,75=1,75\end{aligned}}$

Wie zu sehen, wäre das Lotterielos dem mittellosen Spieler also 1,75 € weniger wert als es dessen rein rechnerischem Wert entspricht: Obwohl das Los im Durchschnitt einen Gewinn von 3,50 € verspricht, wäre der mittellose Spieler schon für 1,75 € bereit, das Los jemand anderem weiterzuverkaufen oder es selbst auch nur für höchstens diese 1,75 € zu kaufen, da das Risiko des Totalverlusts des Spieleinsatzes in diesem Fall schwerer wiegt als die Aussicht auf Gewinn.

Beispiel 2

Ein anderer risikoscheuer Spieler mit derselben Risikonutzenfunktion $u(w)={\sqrt {w}}$ und deren Umkehrfunktion $w(u)=u^{2}\$ besitze auch wieder dasselbe Lotterielos, auf das mit einer Wahrscheinlichkeit p=0,5 ein Gewinn von 7 € ausgezahlt wird, nun aber ein sicheres Ausgangsvermögen w₀ von 9 €.

Der Erwartungswert des unsicheren Vermögens w = w₀ + L und der erwartete Nutzen bei Teilnahme an der Lotterie sind damit:

$E(w)=E(w_{0}+L)=0,5\cdot (9+0)+0,5\cdot (9+7)=12,50$

${\begin{aligned}E(u(w))=E(u(w_{0}+L))&=0,5{\sqrt {9+0}}+0,5{\sqrt {9+7}}\\&=0,5\cdot (3+4)=3,50\end{aligned}}$

Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w = w₀ + L und Risikoprämie errechnen sich damit für den Spieler wie folgt:

$u(CE)=E(u(w_{0}+L))\iff {\sqrt {CE}}=3,50$

${\begin{aligned}CE=3,50^{2}=12,25;\ RP&=E(w_{0}+L)-CE\\&=12,50-12,25=0,25\end{aligned}}$

Wie zu sehen, wäre dasselbe Lotterielos dem „vermögenden“ Spieler nur noch 0,25 € weniger wert als es dessen rein rechnerischem Wert entspricht: Obwohl das Los im Durchschnitt einen Gewinn von 3,50 € verspricht, wäre der „vermögende“ Spieler aufgrund seiner Risikoscheu allerdings auch nur bereit, selbst 3,25 € dafür auszugeben bzw. es schon für 3,25 € (oder mehr) weiterzuverkaufen.

Abhängigkeit der Risikoprämie von der Gewinnspanne

Abhängigkeit der Risikoprämie von der Gewinnspanne

Fall 1 - Maximalgewinn = 1600 €

Fall 2 - Maximalgewinn = 3200 €

Ein weiterer Faktor, der die Lage des in die Risikoprämien-Formel einfließenden Erwartungswerts des unsicheren Vermögens w beeinflusst, ist die Spannweite des in Aussicht stehenden Gewinns.

Beispiel 1

Ein risikoscheuer Spieler nehme an der Finalrunde einer TV-Show teil, in der sich die Mitspieler schließlich zwischen zwei Türen entscheiden müssen, hinter denen einmal nichts, das andere Mal 1600 € versteckt sind. Alternativ hat jeder Mitspieler aber auch die Möglichkeit, statt sich zwischen den Türen entscheiden zu müssen sofort 800 € in bar als Trostpreis zu erhalten. Sowohl diese Barzahlung als auch das Spiel mit den Türen haben also denselben rechnerischen Erwartungswert von 800 €. Ein sogen. risikoneutraler Mitspieler, dem das Risiko, die falsche Tür zu wählen, völlig egal wäre, wäre nun unentschieden (indifferent), ob er sich für das Spiel mit den Türen oder die sichere Barauszahlung entscheiden soll – ein risikoscheuer Mitspieler dagegen wird stets die sicheren 800 € vorziehen.

Gesetzt den Fall, die Risikonutzenfunktion des risikoscheuen Mitspielers und deren Umkehrfunktion lauten $u(w)={\sqrt {w}}$ und $w(u)=u^{2}\$, lassen sich Erwartungswert des Gewinns beim Türen-Raten w = T und der erwartete Nutzen daraus wie folgt berechnen:

$E(w)=E(T)=0,5\cdot (0)+0,5\cdot (1600)=800$

${\begin{aligned}E(u(w))=E(u(T))&=0,5{\sqrt {0}}+0,5{\sqrt {1600}}\\&=0,5\cdot (0+40)=20\end{aligned}}$

Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie des Türen-Ratens ergeben sich dann wie folgt:

$u(CE)=E(u(T))\iff {\sqrt {CE}}={20}$

${\begin{aligned}CE={20}^{2}=400;\ RP&=E(T)-CE\\&=800-400=400\end{aligned}}$

Wie zu sehen, besteht für risikoscheue Mitspieler mit einer Risikonutzenfunktion wie der obigen keinerlei Anlass, sich für das Türen-Raten zu entscheiden: Der „gefühlte“ Nutzen des im Durchschnitt zu erwartenden Spielgewinns von 800 € ist gerade einmal derselbe wie der einer sicheren Sofortzahlung von 400 €, also weit niedriger als die vom Showmaster angebotene Alternative von 800 €.

Beispiel 2

Hätte der Showmaster es nun nur mit solcherart Spielern zu tun (und die meisten Menschen sind risikoscheu), wäre die Show bald am Ende. Eine der Möglichkeiten, die Spieler dennoch zur Aufnahme des Risikos zu bewegen, könnte angesichts dessen die Verdopplung des Gewinns von 1600 auf 3200 € sein, und damit auch seines Erwartungswerts von 800 auf 1600 €:

$E(w)=E(T)=0,5\cdot (0)+0,5\cdot (3200)=1600$

${\begin{aligned}E(u(w))=E(u(T))&=0,5{\sqrt {0}}+0,5{\sqrt {3200}}\\&\approx 0,5\cdot (0+56,6)\approx 28,3\end{aligned}}$

Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie des Türen-Ratens verdoppeln sich ebenfalls:

$u(CE)=E(u(T))\iff {\sqrt {CE}}\approx {28,3}$

${\begin{aligned}CE\approx {28,3}^{2}\approx 800;\ RP&=E(T)-CE\\&=1600-800=800\end{aligned}}$

In der neuen Situation wäre es allerdings immer noch nicht klar, ob sich die Spieler am Ende tatsächlich für den durchschnittlichen Gewinn des Türen-Ratens von nun 1600 € oder doch lieber für die sichere Auszahlung von 800 € entscheiden, da deren „gefühlter“ Nutzen sich nun gerade einmal die Waage mit dem des Sicherheitsäquivalents des zu erwartenden Rategewinns E(T) hält. Definitiv zugunsten des Türen-Ratens würde sich das Blatt daher erst bei Gewinnen > 3200 € wenden.

Abhängigkeit der Risikoprämie vom Verlauf der individuellen Risikonutzenfunktion

Abhängigkeit der Risikoprämie vom Verlauf der Nutzenfunktion bei Risikoaversion

Fall 1 - Abnehmende Risikoaversion

Fall 2 - Zunehmende Risikoaversion

Außer der Lage des Erwartungswerts und der Streung des unsicheren Vermögens w spielt auch der Verlauf der Risikonutzenfunktion u(w) selbst, namentlich ihr Anstieg und/oder ihr Krümmungsverhalten, eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung der Risikoprämie.

Beispiel 1

Ein risikoscheuer Marktteilnehmer mit einem angesparten Vermögen von 100.000 € erfährt von seinem Arzt, dass er durch eine Krankheit, deren Behandlungskosten von seiner Krankenkasse nicht übernommen werden, falls diese Krankheit bei ihm ausbrechen sollte, schlimmstenfalls 90% seines Vermögens einbüßen kann, wenn auch nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:10. Die Wahl, vor der er damit steht, ist:

A) eine entsprechende Zusatzversicherung abzuschließen und damit dafür, dass der Versicherer ihm seine Zukunftssorgen abnimmt, einen, wenn auch geringen sofortigen sicheren Vermögensverlust (in Form der zu zahlenden Versicherungsprämie) hinzunehmen, oder aber

B) keine zusätzliche Versicherung abzuschließen, das Geld für die Versicherungsprämie zu sparen und dafür das gesamte Krankheitskostenrisiko selbst zu tragen, also einen in diesem Fall zwar nicht allzu wahrscheinlichen, dafür umso schwerwiegenderen unsicheren Vermögensverlust zu riskieren.

Der Erwartungswert E(w) des unsicheren Vermögens w des Marktteilnehmers errechnet sich damit, wenn man die obigen Ausgangswerte und Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt, wie folgt:

w₀ = 10.000; w₁ = 100.000; p(w₀) = 10%
E(w) = p · w₀ + (1-p) · w₁ = 10% · 10.000 + 90% · 100.000 = 91.000

Alles weitere hängt nun von der individuellen Nutzenfunktion des Marktteilnehmers ab - handelt es sich um einen risikoscheuen Marktteilnehmer mit einer der beiden nebenstehenden Nutzenfunktionen $f_{1}$ oder $f_{2}$, wären beispielsweise folgende Szenarien möglich:

1. Das Verhalten des Marktteilnehmers werde durch die Nutzenfunktion $f_{1}={\sqrt {w/10}}$ mit der Inversen $f_{1}^{-1}=10\cdot u^{2}$ beschrieben. Der Nutzen der beiden Eckvermögen w₀ und w₁ sowie der erwartete Nutzen des unsicheren Vermögens w errechnen sich dann wie folgt:
   $u(w_{0})={\sqrt {10.000/10}}\approx 31,6;\ u(w_{1})={\sqrt {100.000/10}}=100$
   $E(u(w))={\frac {10}{100}}\cdot 31,6+{\frac {90}{100}}\cdot 100\approx 93,16=u(CE)$
   Das Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens des Marktteilnehmers sowie die daraus resultierende Risikoprämie berechnen sich damit für diesen Fall zu:
   ${\begin{aligned}CE&=10\cdot 93,16^{2}\approx 86.788\\&\Rightarrow RP=91.000-86.788=4.212\end{aligned}}$
    
2. Das Verhalten des Marktteilnehmers werde durch die Nutzenfunktion $f_{2}=(200.000\,w-w^{2})/10^{8}$ mit der Inversen $f_{2}^{-1}=(10-{\sqrt {100-u}})\cdot 10^{4}$ beschrieben. Der Nutzen der beiden Eckvermögen w₀ und w₁ sowie der erwartete Nutzen des unsicheren Vermögens w errechnen sich dann wie folgt:
   $u(w_{0})=(2\cdot 10^{9}-10^{8})/10^{8}=19;\ u(w_{1})=(2\cdot 10^{10}-10^{10})/10^{8}=100$
   $E(u(w))={\frac {10}{100}}\cdot 19+{\frac {90}{100}}\cdot 100=91,90=u(CE)$
   Das Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens des Marktteilnehmers sowie die daraus resultierende Risikoprämie berechnen sich damit in diesem Falle zu:
   ${\begin{aligned}CE&=(10-{\sqrt {100-91,9}})\cdot 10^{4}\approx 71.540\\&\Rightarrow RP=91.000-71.540=19.460\end{aligned}}$

Wie zu sehen, liegt das Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens für den Marktteilnehmer im ersten Fall noch einmal 4.212 € unter dem Erwartungswert seines Vermögens in Höhe von 91.000 € - er wäre also ggf. bereit, insgesamt bis zu 13.212 € für die Vermeidung des Krankheitskostenrisikos (in Höhe von 9.000 €) auszugeben. Im zweiten Fall liegt das Sicherheitsäquivalent des Marktteilnehmers sogar noch tiefer - der Preis der Versicherung könnte hier aufgrund der Risikoscheu des Versicherten auf bis zu 28.460 € steigen, wovon 19.460 € die durchschnittliche Nettoprämie des Versicherers dafür wären, dass er dem Versicherten dessen Krankheitskostenrisiko (in Höhe von 9.000 €) abnimmt.

Abhängigkeit der Risikoprämie vom Verlauf der Nutzenfunktion bei Risikoaffinität

Fall 1 - Abnehmende Risikoaffinität

Fall 2 - Zunehmende Risikoaffinität

Beispiel 2

Einem risikofreudigen Marktteilnehmer mit einem angesparten Vermögen von 10.000 € wird angeboten, sich an einer Risikowette zu beteiligen, bei der er sein Vermögen verzehnfachen könnte, wenn auch nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:10. Die Wahl, vor der er damit steht, ist:

A) einen Wettschein zu kaufen und damit dafür, dass der Wettspielbetreiber ihm die Chance auf eine Verzehnfachung seines Vermögens einräumt, einen, wenn auch geringen sofortigen sicheren Vermögenverlust (in Form der Wettgebühr) hinzunehmen, oder aber

B) keinen Wettschein zu kaufen und damit zwar das Geld dafür zu sparen, aber auch die Chance eines zwar unsicheren, dafür umso beträchtlicheren Vermögensgewinns zu verpassen.

Der Erwartungswert E(w) des unsicheren Vermögens w des Marktteilnehmers errechnet sich damit, wenn man die obigen Ausgangswerte und Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt, wie folgt:

w₀ = 10.000; w₁ = 100.000; p(w₁) = 10%
E(w) = (1-p) · w₀ + p · w₁ = 90% · 10.000 + 10% · 100.000 = 19.000

Alles weitere hängt nun von der individuellen Nutzenfunktion des Marktteilnehmers ab - handelt es sich um einen risikofreudigen Marktteilnehmer mit einer der beiden nebenstehenden Nutzenfunktionen $f_{3}$ oder $f_{4}$, wären beispielsweise folgende Szenarien möglich:

1. Das Verhalten des Marktteilnehmers werde durch die Nutzenfunktion $f_{3}=w^{2}/10^{8}\,$ mit der Inversen $f_{3}^{-1}={\sqrt {u}}\cdot 10^{4}$ beschrieben. Der Nutzen der beiden Eckvermögen w₀ und w₁ sowie der erwartete Nutzen des unsicheren Vermögens w errechnen sich dann wie folgt:
   $u(w_{0})=10.000^{2}/10^{8}=1;\ u(w_{1})=100.000^{2}/10^{8}=100$
   $E(u(w))={\frac {90}{100}}\cdot 1+{\frac {10}{100}}\cdot 100=10,90=u(CE)$
   Das Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens des Marktteilnehmers sowie die daraus resultierende Risikoprämie berechnen sich damit für diesen Fall zu:
   ${\begin{aligned}CE&={\sqrt {10,90}}\cdot 10^{4}\approx 33.015\\&\Rightarrow RP=19.000-33.015\approx -14.015\end{aligned}}$
    
2. Das Verhalten des Marktteilnehmers werde durch die Nutzenfunktion $f_{4}=100-{\sqrt {10^{4}-w/10}}$ mit der Inversen $f_{4}^{-1}=10\cdot (200\cdot u-u^{2})$ beschrieben. Der Nutzen der beiden Eckvermögen w₀ und w₁ sowie der erwartete Nutzen des unsicheren Vermögens w errechnen sich dann wie folgt:
   $u(w_{0})=100-{\sqrt {10^{4}-10.000/10}}\approx 5,127;\ u(w_{1})=100-{\sqrt {10^{4}-100.000/10}}=100$
   $E(u(w))={\frac {90}{100}}\cdot 5,127+{\frac {10}{100}}\cdot 100\approx 14,61=u(CE)$
   Das Sicherheitsäquivalent des Marktteilnehmers sowie die daraus resultierende Risikoprämie berechnen sich damit für diesen Fall zu:
   ${\begin{aligned}CE&=10\cdot (200\cdot 14,61-14,61^{2})\approx 27.085\\&\Rightarrow RP=19.000-27.085\approx -8.085\end{aligned}}$

Wie zu sehen, liegt das Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w des Marktteilnehmers im ersten Fall noch einmal etwa 14.015 € über dem durchschnittlich zu erwartenden Vermögen von 19.000 € selbst - der Marktteilnehmer wäre also ggf. bereit, bis zu 33.015 € für Chance auszugeben, sein Vermögen zu verzehnfachen. Im zweiten Fall dagegen liegt das Sicherheitsäquivalent nur noch rund 8.085 € über dem Erwartungswert - hier könnte der Preis des Wettscheins daher nur noch auf maximal 27.085 € steigen, wovon 8.085 € die durchschnittliche Nettoprämie des Wettspielveranstalters dafür wären, das er dem Spieler die Gewinnchance (in Höhe von 90.000 €) einräumt.

Verwendete Funktionen <nicht im Artikel!>

Die nachstehenden Funktionen können zur vergleichenden Modellierung charakteristischer Nutzenfunktionen benutzt werden, wobei alle aufgeführten Funktionen auf denselben Definitions- und Wertebereich [0;100] normiert sind, so dass sie auch graphisch miteinander vergleichbar sind.

Die folgenden vier Funktionen beschreiben auf aufrechte und liegende Parabelbögen durch die beiden Punkte (0|0) und (100|100) - sollen andere Eckpunkte vewendet werden, z.B. statt der Elemente w ∈ [0;100] die Elemente w* ∈ [0;100.000], muss entsprechend substituiert werden, im letztgenannten Fall z.B. mittels der Gleichung w = w*/1000:

$10\,{\sqrt {w}}=10\,{\sqrt {w^{*}/1000}}={\sqrt {w^{*}/10}}.$

${\color {red}\mathbf {Risk} \,\mathbf {aversion} }\$	$u(w)\$	$u'(w)\$	$u''(w)\$	$-{\frac {u''(w)}{u'(w)}}$	$w(u)\$
$f_{1.1}\$ Commons:File:Riskprem11-0.png	$10\,{\sqrt {w}}$	${\frac {5}{\sqrt {w}}}$	${\frac {-5}{2{\sqrt {w^{3}}}}}$	${\frac {1}{2w}}$	${\frac {u^{2}}{100}}$
$f_{1.2}\$ Commons:File:Riskprem12-0.png	${\frac {200w-w^{2}}{100}}$	${\frac {200-2w}{100}}$	${\frac {-2}{100}}$	${\frac {1}{100-w}}$	$100-10{\sqrt {100-u}}$
${\color {red}\mathbf {Risk} \,\mathbf {affinity} }\$	$u(w)\$	$u'(w)\$	$u''(w)\$	$-{\frac {u''(w)}{u'(w)}}$	$w(u)\$
$f_{3.1}\$ Commons:File:Riskprem31-0.png	${\frac {w^{2}}{100}}$	${\frac {2w}{100}}$	${\frac {2}{100}}$	${\frac {-1}{w}}$	$10\,{\sqrt {u}}$
$f_{3.2}\$ Commons:File:Riskprem32-0.png	$100-10{\sqrt {100-w}}$	${\frac {5}{\sqrt {100-w}}}$	${\frac {5}{2{\sqrt {(100-w)^{3}}}}}$	${\frac {-1}{200-2w}}$	${\frac {200u-u^{2}}{100}}$

Die ersten beiden der nachfolgenden drei Funktionen beschreiben Scharen von Kreisbögen durch die beiden Punkte (0|0) und (100|100), deren zugehörige Kreismittelpunkte sich sämtlich auf einer gemeinsamen Geraden mit den Koordinaten (k|100-k) befinden, deren Radien sich also gemäß der Gleichung r² = x² + y²= k² + (100-k)² berechnen lassen. Für r²→∞ ergibt sich für beide Kurvenscharen der Grenzfall der Risikoneutralität.

Die dritte Funktion beschreibt eine Schar von Nutzenfunktionen mit konstantem Arrow-Pratt-Maß der Risikoaversion: Für k/100 > 0 ergeben sich risikoaverse, für k/100 < 0 risikoaffine Kurvenverläufe:

	${\color {red}\mathbf {Risikoaversion} }\$	${\color {red}\mathbf {Risikoaffinit{\ddot {a}}t} }\$	${\color {red}\mathbf {ARA(w)=const.} }\$
	$f_{1.3}\,$	$f_{3.3}\,$	$f_{0}\,$
	$k\in [100;+\infty [$ $r^{2}=k^{2}+(100-k)^{2}\$ $w^{*}=k-w\$	$k\in [100;+\infty [$ $r^{2}=k^{2}+(100-k)^{2}\$ $w^{*}=w-(100-k)\$	$k\in \mathbb {R}$
$u(w)\$	$(100-k)+{\sqrt {r^{2}-w^{*2}}}$	$k-{\sqrt {r^{2}-w^{*2}}}$	$100\cdot {\frac {e^{-k{\frac {w}{100}}}-1}{e^{-k}-1}}$
$u'(w)\$	${\frac {w^{*}}{\sqrt {r^{2}-w^{*2}}}}$	${\frac {w^{*}}{\sqrt {r^{2}-w^{*2}}}}$	$-k\cdot {\frac {e^{-k{\frac {w}{100}}}}{e^{-k}-1}}$
$u''(w)\$	$-{\frac {r^{2}}{\sqrt {(r^{2}-w^{*2})^{3}}}}$	${\frac {r^{2}}{\sqrt {(r^{2}-w^{*2})^{3}}}}$	${\frac {k^{2}}{100}}\cdot {\frac {e^{-k{\frac {w}{100}}}}{e^{-k}-1}}$
$-{\frac {u''(w)}{u'(w)}}$	${\frac {r^{2}}{(r^{2}-w^{*2})\cdot w^{*}}}$	$-{\frac {r^{2}}{(r^{2}-w^{*2})\cdot w^{*}}}$	${\frac {k}{100}}$
$w(u)\$	$k-{\sqrt {r^{2}-(u-(100-k))^{2}}}$	$(100-k)+{\sqrt {r^{2}-(k-u)^{2}}}$	${\frac {100}{k}}\cdot \ln({\frac {100}{(e^{-k}-1)u+100}})$

Zu "Sicherheitsäquivalent":

Das individuelle Sicherheitsäquivalent (SÄ bzw. CE, englisch certainty equivalent) eines unsicheren bzw. zufallsbehafteten Vermögens w, zum Beispiel Wertpapierdepots oder Sparbuchs, bezeichnet in der Finanzmathematik und Entscheidungstheorie denjenigen sicheren, d.h. nicht zufallsbehafteten Betrag CE, dessen Nutzen für den Betreffenden dem erwarteten Nutzen des unsicheren Vermögens E(u(w)) gleichwertig (äquivalent) ist, anders gesagt: diejenige sicheren Auszahlung, zum Beispiel sofort und in bar, deren „gefühlter“ bzw. subjektiver Nutzen für den Betreffenden derselbe ist wie der erwartete Nutzen des unsicheren Vermögens w :

$u(CE)=E(u(w))\ .$

Der Wert von CE hängt dementsprechend direkt von der individuellen Nutzenfunktion u(w) des Betreffenden ab, wobei im Prinzip drei Fälle unterscheidbar sind:

CE < E(w) - Risikoaversion bzw. Risikoscheu: Das individuelle Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w liegt unter seinem mathematischen Erwartungswert.

CE = E(w) - Risikoneutralität: Das individuelle Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w entspricht genau seinem mathematischen Erwartungswert.

CE > E(w) - Risikoaffinität bzw. Risikofreude: Das individuelle Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w liegt über seinem mathematischen Erwartungswert.

Formale Beschreibung

Nutzenfunktion (links) und inverse Nutzenfunktion (rechts) eines risikoaversen (risikoscheuen) Marktteilnehmers

CE - Sicherheitsäquivalent; E(U(W)) - Erwartungswert des Nutzens (erwarteter Nutzen) des unsicheren Vermögens; E(W) - Erwartungswert des unsicheren Vermögens; U(CE) - Nutzen des Sicherheitsäquivalents; U(E(W)) - Nutzen des Erwartungswerts des unsicheren Vermögens; W₀ - Minimales Vermögen; U(W₀) - Nutzen des minimalen Vermögens; W₁ - Maximales Vermögen; U(W₁) - Nutzen des maximalen Vermögens; U₀ - Minimaler Nutzen; W₀ - Benötigtes Vermögen zur Erzielung des minimalen Nutzens; U₁ - Maximaler Nutzen; W₁ - Benötigtes Vermögen zur Erzielung des maximalen Nutzens; RP - Risikoprämie

Gegeben seien eine reelle, messbare und umkehrbare Nutzenfunktion u(w) zusammen mit ihrer Inversen w(u) sowie ein unsicheres Vermögen x, zusammengesetzt aus einem sicheren Ausgangsvermögen ${\bar {x}}\in \mathbb {R}$ und einer Zufallsvariablen $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ mit dem Erwartungswert E(X) = 0. Für den Erwartungswert des unsicheren Vermögens $x={\bar {x}}+X$ gilt dann:

$E(x)=E({\bar {x}}+X)={\bar {x}}.$

Ist die Gleichung

$u(CE)=E(u(x))=E(u({\bar {x}}+X))$

eindeutig lösbar, nennt man die dadurch definierte reelle Zahl $CE({\bar {x}},X)$ das Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens $x={\bar {x}}+X$.

Ist die Nutzenfunktion u(w) wie gefordert umkehrbar, z.B. streng monoton steigend, lässt sich Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens $x={\bar {x}}+X$ mittels der inversen Nutzenfunktion w(u) wie folgt berechnen :

$CE({\bar {x}},X)=w(E(u(x)))$

Risikoprämie

→ Hauptartikel: Risikoprämie

Die Differenz zwischen dem Erwartungswert des unsicheren Vermögen E(x) und dem individuellen Sicherheitsäquivalent CE des Marktteilnehmers wird Risikoprämie RP genannt:

$RP({\bar {x}},X)=E(x)-CE({\bar {x}},X)=E(x)-w(E(u(x)))$

Beispiel

Der durchschnittliche Gewinn eines Lotterieloses betrage 50 Cent - für jemanden, der den Wert des Loses „nüchtern“, d.h. allein anhand seines mathematischen Erwartungswerts, beurteilt, wird dieses Los also genau 50 Cent wert sein. Ein risikoscheuer Spieler dagegen würde es in diesem Fall vielleicht vorziehen, z.B. 40 Cent sofort und "bar auf die Hand" zu kassieren statt selbst an der Lotterie teilzunehmen, womit er demjenigen, dem er das Los (zusammen mit seinem Verlust-Risiko) für diese 40 Cent verkauft, zugleich eine „Risikoprämie“ von durchschnittlich 10 Cent pro Los einräumt.

Umgekehrt würde es ein risikofreudiger Spieler in diesem Fall vielleicht vorziehen, jemand anderem z.B. 60 Cent sofort und "bar auf die Hand" zu zahlen, nur um an der Lotterie (und damit an deren Gewinn-Chancen) teilnehmen zu können.

Anders gesagt, wäre ein und dasselbe Los dem risikoscheuen Spieler (wegen des möglichen Verlusts) höchstens 40 Cent in bar wert, dem risikoliebenden Spieler dagegen (mit Blick auf den möglichen Gewinn) mindestens 60 Cent, für den „nüchternen“, d.h. risikoneutralen Spieler schließlich genau 50 Cent.

Zu beachten dabei ist, dass die sich aus dem Sicherheitsäquivalent ergebende „Risikoprämie“ aufgrund ihrer Definition als "Spanne zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent" auch negativ werden kann, nämlich dann, wenn ein risikoliebender Spieler für die Möglichkeit, das Risiko zu übernehmen, selbst einen Aufschlag auf den Erwartungswert zu zahlen bereit ist statt selbst eine Prämie dafür zu verlangen. Im obigen Beispiel also, wenn er das Los für 60 Cent erwirbt, obwohl es durchschnittlich nur 50 Cent wert ist, er also im Durchschnitt 10 Cent pro Los Verlust macht.

Risikoaverse und risikoaffine Strategien

Risikoaverse Strategien sind gegenüber risikoneutralen Strategie insbesondere bei großen potenziellen Gewinnen sehr praxisrelevant.

Der Grund dafür liegt in dem abnehmenden Grenznutzen, also der Rechtskrümmung der Risikonutzenfunktion u(w) risikoaverser Marktteilnehmer, etwa im Fall eines großen Geldgewinns. So wäre es anschaulich betrachtet für einen mittellosen Entscheider eher ungeschickt, ein Sicherheitsäquivalent von 10 Millionen Euro aufs Spiel zu setzen, auch wenn der statistisch zu erwartende Gewinn 30 Millionen Euro beträgt. Der Vorteil nämlich, 30 statt 10 Millionen Euro zu besitzen, wird für einen mittellosen Entscheider in der Regel viel weniger bdeutsam sein als der Nachteil, statt der sicheren 10 Millionen Euro am Ende gar nichts zu besitzen, auch wenn der Vermögenszuwachs im ersten Fall mit 20 Millionen Euro doppelt so hoch ist wie der Vermögensverlust von 10 Millionen Euro im zweiten Fall.

Andererseits können bei entsprechenden Rahmenbedingungen auch risikofreudige Strategien sinnvoll sein. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn der Entscheider zwingend einen gewissen Sockelbetrag benötigt, der aber über dem rein rechnerischen Erwartungswert der betreffenden unsicheren Auszahlung liegt.

Beispiel: Ein mittelloser Entscheider entdeckt auf einem Flohmarkt einen sehr wertvollen Edelstein, der aus Unkenntnis des Verkäufers zu einem Preis von 10 Euro angeboten wird. Wenn dem Entscheider nun ein Spiel angeboten wird, dessen Maximalgewinn ebendiese 10 Euro sind, der Erwartungswert dagegen nur 5 Euro, kann es dennoch sinnvoll sein, auf den Gewinn von 10 Euro zu spekulieren, auch wenn die Wahrscheinlichkeit eines Totalverlustes dann hoch ist. Denn in Anbetracht des potenziell möglichen Edelsteinkaufs für nur 10 Euro spielt die drohende Möglichkeit eines Totalverlustes für den Entscheider kaum eine Rolle – das Sicherheitsäquivalent des Entscheiders könnte in diesem Fall also je nach tatsächlichem Marktwert des Edelsteins durchaus drei- oder sogar vierstellig sein. Entscheidend wäre, dass der Entscheider den mit einem potenziellen Spielgewinn von 10 Euro realisierbaren weiteren, viel höheren (externen) Gewinn aufgrund des Edelsteinkaufs mit in seine Überlegungen einbezieht.

Literatur

• Franz Eisenführ, Martin Weber: Rationales Entscheiden. 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin; Heidelberg; New York 2003, ISBN 3-540-44023-2.

Zu "Risikoaversion":

Nutzenfunktion einer risikoaversen (risikoscheuen) Person
CE - Sicherheitsäquivalent; E(U(W)) - Erwartungswert des Nutzens (erwarteter Nutzen) der unsicheren Auszahlung; E(W) - Erwartungswert der unsicheren Auszahlung; U(CE) - Nutzen des Sicherheitsäquivalents; U(E(W)) - Nutzen des Erwartungswerts der unsicheren Auszahlung; U(W₀) - Nutzen der minimalen Auszahlung; U(W₁) - Nutzen der maximalen Auszahlung; W₀ - Minimale Auszahlung; W₁ - Maximale Auszahlung; RP - Risikoprämie

Der Begriff Risikoaversion bzw. Risikoscheu bezeichnet in der Entscheidungstheorie die Eigenschaft eines Marktteilnehmers, z.B. Investors, bei der Wahl zwischen mehreren Alternativen gleichen Erwartungswerts stets die Alternativen mit dem geringeren Risiko hinsichtlich des Ergebnisses - und damit auch dem geringstmöglichen Verlust - zu bevorzugen.

Risikoscheue Marktteilnehmer bevorzugen also einen möglichst sicheren Gewinn, auch wenn dieser dadurch kleiner ausfällt.

Das bedeutet insbesondere, dass das Sicherheitsäquivalent (CE, englisch certainty equivalent) des Marktteilnehmers, also derjenige sichere Betrag, der dem Marktteilnehmer gleichviel wert ist wie die statistisch zu erwartende unsichere Auszahlung, dabei stets kleiner ist als diese Auszahlung selbst, die als Differenz zwischen unsicherer und sicherer Auszahlung definierte sogen. Risikoprämie (RP, englisch risk premium) also in diesem Fall stets positiv ist.

Formale Definition

Risikoaversion korrespondiert visuell damit, dass der Graph der individuellen Nutzenfunktion $u(w)$ des Marktteilnehmers rechtsgekrümmt bzw. konkav ist (siehe Abb.), es sich also um eine Funktion mit fallendem Grenznutzen $u'(w)$ handelt: Das Risiko möglicher Vermögensverluste wiegt bei der Entscheidungsfindung schwerer als die Aussicht auf mögliche Vermögensgewinne.

Dementsprechend wird ein Marktteilnehmer risikoscheu bzw. risikoavers genannt, wenn für eine Auszahlung in unsicherer Höhe $w$ stets folgende Beziehungen gelten:

$E(u(w))<u(E(w))\ \quad {\text{bzw.}}\quad CE<E(w).$

In Worten: Der erwartete Nutzen E(u) aus der Auszahlung w ist kleiner als der Nutzen u aus der erwarteten Auszahlung E(w).

Der Grad der Risikoscheu oder Risikofreude eines Marktteilnehmers kann mit dem Arrow/Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion

$ARA(w)=-{\frac {u''(w)}{u'(w)}}$

quantifiziert werden, das im Fall der Risikoaversion des Marktteilnehmers stets positiv ist. Gleiches gilt, wie schon zu Eingang gesagt, für die Differenz der zu erwartenden unsicheren Auszahlung $E(w)$ und ihres Sicherheitsäquivalents $CE$, die sogen. Risikoprämie $RP$: Auch sie ist im Fall eines risikoaversen Marktteilnehmers stets positiv. Dementsprechend gilt außerdem:

$E(u(w))=u(CE)=u(E(w)-RP)=u(E(w)-|RP|)\!\,$

Weitere Formen der Risikoeinstellung sind:

• Risikoneutralität: $E(u(w))=u(E(w))\ ,$
• Risikoaffinität bzw. Risikofreudigkeit: $E(u(w))>u(E(w))\ .$

Beispiele

• Ein Investor hat die Wahl zwischen einem sicheren Ertrag von 100 Euro und einer Lotterie, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% einen Gewinn von 0 Euro und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% einen Gewinn von 200 Euro auszahlt. Und obwohl die erwartete Auszahlung der Lotterie damit im Durchschnitt ebenfalls 100 Euro beträgt, ist der risikoscheue Marktteilnehmer nur dann bereit, sich an ihr zu beteiligen, wenn er wegen des Risikos eines niedrigeren Gewinns auch nur weniger investieren muss als für den sicheren Ertrag.
• Ein Konsument hat die Wahl zwischen einem „altbewährten“ und einem neuen Produkt, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% besser und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% schlechter als das bisherige Produkt ist. Ist der Preis beider Produkte gleich, zieht der risikoscheue Konsument das altbewährte Produkt vor - das neue zu kaufen ist er allenfalls dann bereit, wenn er für das Risiko, ein schlechteres Produkt als das bisherige zu erhalten, durch einen Preisnachlass (in diesem Fall eine positive Risikoprämie) entschädigt wird.

Praktische Bedeutung

In der Entscheidungstheorie wird für gewöhnlich davon ausgegangen, dass Investoren unter normalen Umständen risikoavers sind und für eingegangene Risiken eine entsprechende Risikoprämien erwarten.

So fordert auch das Capital Asset Pricing Model (CAPM) explizite Risikoprämien. Diese aber können bei einem negativen Zusammenhang von betrachtetem Wertpapier und Marktportfolio auch negativ ausfallen, so dass das betreffende Wertpapier selbst mit einer Rendite unterhalb des risikofreien Zinssatzes am Markt bestehen kann. Es ist allerdings sehr schwer, solche Wertpapiere mit negativen Betas zu finden, so dass man auch im Arbitrage Pricing Model (APM) in der Regel von positiven Prämien für das Risiko ausgeht.

Zu "Risikoneutralität":

Nutzenfunktion einer risikoneutralen Person
CE - Sicherheitsäquivalent; E(U(W)) - Erwartungswert des Nutzens (erwarteter Nutzen) der unsicheren Auszahlung; E(W) - Erwartungswert der unsicheren Auszahlung; U(CE) - Nutzen des Sicherheitsäquivalents; U(E(W)) - Nutzen des Erwartungswerts der unsicheren Auszahlung; U(W₀) - Nutzen der minimalen Auszahlung; U(W₁) - Nutzen der maximalen Auszahlung; W₀ - Minimale Auszahlung; W₁ - Maximale Auszahlung; RP - Risikoprämie

Der Begriff Risikoneutralität bezeichnet in der Entscheidungstheorie die Eigenschaft eines Marktteilnehmers, z.B. Investors, bei der Wahl zwischen mehreren Alternativen gleichen Erwartungswerts weder sichere noch unsichere Alternativen zu bevorzugen, sondern sich allein an der Höhe des Erwartungswerts selbst zu orientieren.

Das bedeutet insbesondere, dass das Sicherheitsäquivalent (CE, englisch certainty equivalent) des Marktteilnehmers, also derjenige sichere Betrag, der dem Marktteilnehmer gleichviel wert ist wie die statistisch zu erwartende unsichere Auszahlung, dabei stets ebenso hoch ist wie diese Auszahlung selbst, die als Differenz zwischen unsicherer und sicherer Auszahlung definierte sogen. Risikoprämie (RP, englisch risk premium) also in diesem Fall regelmäßig verschwindet.

Formale Definition

Risikoneutralität korrespondiert visuell damit, dass der Graph der individuellen Nutzenfunktion $u(w)$ des Marktteilnehmers linear ist (siehe Abb.), es sich also um eine Funktion mit gleichbleibendem Grenznutzen $u'(w)$ handelt: Das Risiko möglicher Vermögensverluste und die Aussicht auf mögliche Vermögensgewinne wiegen bei der Entscheidungsfindung gleich schwer.

Dementsprechend wird ein Marktteilnehmer risikoneutral genannt, wenn für eine Auszahlung in unsicherer Höhe $w$ stets die folgenden Beziehungen gelten:

$E(u(w))=u(E(w))\ \quad {\text{bzw.}}\quad CE=E(w).$

In Worten: Der erwartete Nutzen E(u) aus der Auszahlung w ist ebenso hoch wie der Nutzen u aus der erwarteten Auszahlung E(w).

Der Grad der Risikoscheu oder Risikofreude eines Marktteilnehmers kann mit dem Arrow/Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion

$ARA(w)=-{\frac {u''(w)}{u'(w)}}$

quantifiziert werden, das im Fall der Risikoneutralität des Marktteilnehmers stets null ist. Gleiches gilt, wie schon zu Eingang gesagt, für die Differenz der zu erwartenden unsicheren Auszahlung $E(w)$ und ihres Sicherheitsäquivalents $CE$, die sogen. Risikoprämie $RP$: Auch sie ist im Fall eines risikoneutralen Marktteilnehmers stets null. Dementsprechend gilt außerdem:

$E(u(w))=u(CE)=u(E(w))\!\,$

Weitere Formen der Risikoeinstellung sind:

• Risikoaversion bzw. Risikoscheu: $E(u(w))<u(E(w))\ ,$
• Risikoaffinität bzw. Risikofreudigkeit: $E(u(w))>u(E(w))\ .$

Beispiele

• Ein Marktteilnehmer hat die Wahl zwischen der sicheren Auszahlung eines Betrages von 100 Euro und einer Lotterie, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% einen Gewinn von 0 Euro und mit einer Wahrscheinlichkeit von ebenfalls 50% einen Gewinn von 200 Euro auszahlt. Während der risikoneutrale Marktteilnehmer dieser Lotterie und dem sicheren Geldbetrag gegenüber indifferent ist, zieht der risikoscheue Marktteilnehmer den sicheren Geldbetrag vor, und der risikofreudige Marktteilnehmer die Lotterie.
• Ein Konsument hat die Auswahl zwischen einem „altbewährten“ und einem neuen Produkt, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% besser sowie einer Wahrscheinlichkeit von 50% schlechter als das bisherige Produkt ist. Während der risikoneutrale Konsument dem alten und dem neuen Produkt gegenüber indifferent ist, zieht der risikoscheue Konsument das altbewährte und der risikofreudige Konsument das neue Produkt vor.

Zu "Risikoaffinität":

Nutzenfunktion einer risikoaffinen (risikoliebenden) Person
CE - Sicherheitsäquivalent; E(U(W)) - Erwartungswert des Nutzens (erwarteter Nutzen) der unsicheren Auszahlung; E(W) - Erwartungswert der unsicheren Auszahlung; U(CE) - Nutzen des Sicherheitsäquivalents; U(E(W)) - Nutzen des Erwartungswerts der unsicheren Auszahlung; U(W₀) - Nutzen der minimalen Auszahlung; U(W₁) - Nutzen der maximalen Auszahlung; W₀ - Minimale Auszahlung; W₁ - Maximale Auszahlung; RP - Risikoprämie

Der Begriff Risikoaffinität, Risikosympathie bzw. Risikofreude bezeichnet in der Entscheidungstheorie die Eigenschaft eines Marktteilnehmers, z.B. Investors, bei Wahl zwischen mehreren Alternativen gleichen Erwartungswerts stets die Alternativen mit dem größeren Risiko hinsichtlich des Ergebnisses – und damit auch dem höchstmöglichen Gewinn – zu bevorzugen.

Risikofreudige Marktteilnehmer bevorzugen also einen möglichst hohen Gewinn, auch wenn dieser dadurch unsicher wird.

Das bedeutet insbesondere, dass das Sicherheitsäquivalent (CE, englisch certainty equivalent) des Marktteilnehmers, also derjenige sichere Betrag, der dem Marktteilnehmer gleichviel wert ist wie die statistisch zu erwartende unsichere Auszahlung, dabei stets größer ist als diese Auszahlung selbst, die als Differenz zwischen unsicherer und sicherer Auszahlung definierte sogen. Risikoprämie (RP, englisch risk premium) also in diesem Fall stets negativ wird.

Formale Definition

Risikoaffinität korrespondiert visuell damit, dass der Graph der individuellen Nutzenfunktion $u(w)$ des Marktteilnehmers linksgekrümmt bzw. konvex ist (siehe Abb.), es sich also um eine Funktion mit steigendem Grenznutzen $u'(w)$ handelt: Die Aussicht auf mögliche Vermögensgewinne wiegt bei der Entscheidungsfindung schwerer als das Risiko möglicher Vermögensverluste.

Dementsprechend wird ein Marktteilnehmer risikoliebend bzw. risikoaffin genannt, wenn für eine Auszahlung in unsicherer Höhe $w$ stets folgende Beziehungen gelten:

$E(u(w))>u(E(w))\ \quad {\text{bzw.}}\quad CE>E(w).$

In Worten: Der erwartete Nutzen E(u) aus der Auszahlung w ist größer als der Nutzen u aus der erwarteten Auszahlung E(w).

Der Grad der Risikoscheu oder Risikofreude eines Marktteilnehmers kann mit dem Arrow/Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion

$ARA(w)=-{\frac {u''(w)}{u'(w)}}$

quantifiziert werden, das im Fall der Risikoaversion des Marktteilnehmers stets negativ ist. Gleiches gilt, wie schon zu Eingang gesagt, für die Differenz der zu erwartenden unsicheren Auszahlung $E(w)$ und ihres Sicherheitsäquivalents $CE$, die sogen. Risikoprämie $RP$: Auch sie ist im Fall eines risikoaffinen Marktteilnehmers stets negativ. Dementsprechend gilt außerdem:

$E(u(w))=u(CE)=u(E(w)-RP)=u(E(w)+|RP|)\!\,$

Weitere Formen der Risikoeinstellung sind:

• Risikoaversion bzw. Risikoscheu: $E(u(w))<u(E(w))\ .$
• Risikoneutralität: $E(u(w))=u(E(w))\ ,$

Beispiele

• Ein Investor hat die Wahl zwischen einem sicheren Ertrag von 100 Euro und einer Lotterie, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% einen Gewinn von 0 Euro und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% einen Gewinn von 200 Euro auszahlt. Und obwohl die erwartete Auszahlung der Lotterie damit im Durchschnitt auch nicht mehr als 100 Euro beträgt, ist der risikofreudige Marktteilnehmer gleichwohl bereit, sich an ihr zu beteiligen, selbst wenn er für die Chance eines höheren Gewinns auch mehr investieren muss als für den sicheren Ertrag.
• Ein Konsument hat die Wahl zwischen einem „altbewährten“ und einem neuen Produkt, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% besser und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% schlechter als das bisherige Produkt ist. Ist der Preis beider Produkte gleich, zieht der risikofreudige Konsument das neue Produkt vor - das alte zu kaufen ist er allenfalls dann bereit, wenn er für den Verzicht auf die Chance, ein besseres Produkt als das bisherige zu erhalten, durch einen Preisnachlass (in diesem Fall eine negative Risikoprämie) entschädigt wird.

Praktische Bedeutung

In der Entscheidungstheorie wird für gewöhnlich davon ausgegangen, dass Investoren unter normalen Umständen risikoscheu sind und für eingegangene Risiken eine entsprechende Risikoprämie erwarten.

Andererseits ist zu beobachten, dass viele Menschen regelmäßig Lotto spielen, obwohl die im Durchschnitt zu erwartende Auszahlung (Gewinn minus Preis eines Lottoscheines) negativ, also für gewöhnlich mit einem Verlust (seitens des Lottospielers) zu rechnen ist. Erklären lässt sich dies u.a. dadurch, dass die Nutzenfunktion eines realen Marktteilnehmers in der Regel sowohl konkave wie konvexe Abschnitte aufweist, derselbe Marktteilnehmer also etwa, solange es sich um hohe Vermögenswerte handelt, risikoscheu agiert, bei niedrigen „Spieleinsätzen“ dagegen risikoliebend .

Hinzukommt, dass Lottospieler dem hohen, wenn auch sehr unwahrscheinlichen Gewinn für gewöhnlich einen solch hohen subjektiven Nutzen u(w₁) zuschreiben, dass der durchschnittlich zu erwartende Nutzen

$E(u(w))=u(w_{0})\cdot p(w_{0})+u(w_{1})\cdot p(w_{1})$

damit dennoch stets größer bleibt als der Nutzen u der (bei Lotterien ja regelmäßig negativen) durchschnittlich zu erwartenden Auszahlung E(w).

Zu "Skalarpotential":

Das Skalarpotential, oft einfach auch nur Potential genannt, ist in der Mathematik ein – im Unterschied zum Vektorpotential – skalares Feld $\Phi ({\vec {r}})\,$, dessen Gradient gemäß folgender Formel

${\vec {F}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \ \Phi ({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})$

ein „Gradientenfeld“ genanntes Vektorfeld ${\vec {F}}({\vec {r}})\$ liefert.

Ist ${\vec {F}}({\vec {r}})\$ ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft ${\vec {F}}\$ dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials $\Phi \$ entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Definition

${\vec {F}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \ \Phi ({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}}).$

Skalarpotentiale bilden u.a. die mathematische Grundlage der Untersuchung konservativer Kraftfelder wie des elektrischen und des Gravitationsfelds, aber auch von wirbelfreien sogen. Potentialströmungen.

Formale Definition und Eigenschaften

Ein Skalarfeld $\Phi :{\vec {r}}\mapsto \Phi ({\vec {r}})$ ist genau dann ein Skalarpotential, wenn es in einem einfach zusammenhängenden Gebiet

1. zweimal stetig differenzierbar ist, d.h. keine „Sprünge“, Stufen oder andere Unstetigkeitsstellen enthält;
2. zu ihm ein Vektorfeld ${\vec {F}}:{\vec {r}}\mapsto {\vec {F}}({\vec {r}})$ existiert, so dass gilt:
   ${\vec {F}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})$

${\vec {F}}$ wird daher oft auch das zugehörige Gradientenfeld genannt, das als Gradient des Skalarpotentials $\Phi \$ seinerseits stets folgende Bedingungen erfüllt :

1. Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals: Der Wert des Kurvenintegrals entlang einer beliebigen Kurve S innerhalb des Feldes ist nur von ihrem Anfangs- und Endpunkt abhängig, nicht dagegen von ihrer Länge.
2. Verschwinden des Ringintegrals für beliebige Randkurven S:
   $\oint _{S}\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=\oint _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=0$
3. Generelle Rotationsfreiheit bzw. Wirbelfreiheit des Feldes:
   $\operatorname {rot} \,(\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}}))=\operatorname {rot} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {0}}$

Es lässt sich zeigen, dass die zuletzt genannten drei Charakteristika eines Gradientenfelds einander mathematisch gleichwertig sind, d.h. allein schon die Erfülltheit einer der drei Bedingungen genügt, damit auch die beiden anderen gelten.

Potentialfunktionen und harmonische Funktionen

Bildet man mit Hilfe des Laplace-Operators $\Delta \$ die Summe der zweiten partiellen Ableitungen eines Skalarpotentials

$\Delta \Phi ({\vec {r}})=\operatorname {div} \,(\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}}))=\operatorname {div} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}({\vec {r}})={\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial y^{2}}},$

sind vom Prinzip her zwei Ergebnisse möglich:

1. Die Summe ist eine von Null verschiedene Funktion $f({\vec {r}})$, oder aber
2. Die Summe ist – als Sonderfall von 1) – stets gleich Null.

Ausgehend davon können skalare Potentiale noch einmal wie folgt klassifiziert werden:

• Lösungen der als poissonsche Differentialgleichung oder Poisson-Gleichung bezeichneten Potentialgleichung $\Delta \Phi ({\vec {r}})=f({\vec {r}})$ werden Potentialfunktionen (oder auch einfach nur Potentiale) genannt.
• Lösungen der als laplacesche Differentialgleichung oder Laplace-Gleichung bezeichneten Potentialgleichung $\Delta \Phi ({\vec {r}})=0\$  (als eines Sonderfalls der poissonschen Gleichung) werden außerdem als harmonische Funktionen bezeichnet.
  Harmonische Funktionen sind dementsprechend Sonderfälle von Potentialfunktionen, die außerdem die Laplace-Gleichung erfüllen. Manche Autoren allerdings trennen beide Begriffe nicht – die Begriffe „Potential“ bzw. „Potentialfunktion“ bezeichnen bei ihnen ebenfalls nur Lösungen der Laplace-Gleichung, so dass in diesem Fall „jede Funktion Φ(x,y,z), die nach allen drei Veränderlichen zweimal stetig differenzierbar ist und dabei in einem gewissen Gebiet des Raumes die Gleichung ΔΦ = 0 erfüllt, eine Potentialfunktion oder auch harmonische Funktion in diesem Gebiet“ genannt wird und auch die Definition der Potentialtheorie lediglich Laplace-Potentiale berücksichtigt: „Die Potentialtheorie ist die Theorie der Lösugen der Potentialgleichung ΔU = 0.“

Poisson- und Laplace-Felder

Die sich als Gradienten eines skalaren Potentials ergebenden Vektorfelder sind stets wirbelfrei und werden daher – im Gegensatz zu „Wirbelfeldern“ – oft unter dem Überbegriff „Quellenfelder“ zusammengefasst , was nicht heißt, das sie deshalb nicht trotzdem quellenfrei sein können.

Je nachdem nämlich, ob es sich bei den zugrundeliegenden Potentialen lediglich um Lösungen einer Poisson-Gleichung oder außerdem der Laplace-Gleichung handelt, kann man auch die aus ihnen gewonnenen Gradientenfelder noch einmal wie folgt klassifizieren:

• Gradientenfelder, die sich aus Lösungen einer Poisson-Gleichung mit $f({\vec {r}})\neq 0$ ergeben, werden „Poisson-Felder“ oder auch „Newton-Felder“ genannt und sind lediglich wirbelfrei. Anders gesagt: Beruht ein skalares Potential auf einer Raum(ladungs)dichte $\rho ({\vec {r}})$ und ist es damit die partikuläre Lösung einer entsprechenden inhomogenen (poissonschen) Differentialgleichung $\Delta \Phi ({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}})$, wird das sich aus dem Potential ableitende Gradientenfeld „Poisson-Feld“ bzw. „Newton-Feld“ genannt. Beispiele solcher Felder sind etwa das Gravitationsfeld oder das elektrische Feld in Abwesenheit einer entgegengesetzten zweiten Ladung, deren Wirkung damit stets räumlich unbegrenzt ist.
• Gradientenfelder harmonischer Funktionen dagegen, die sich aus Lösungen der Laplace-Gleichung (bzw. einer Poisson-Gleichung mit $f({\vec {r}})=0$ ) ergeben, werden „Laplace-Felder“ genannt und sind außerdem quellenfrei . Anders gesagt: Beruht ein skalares Potential auf einer Flächen(ladungs)dichte $\sigma ({\vec {r}})$ auf der Oberfläche geladener Körper und ist es dabei die homogene Lösung einer homogenen (laplaceschen) Differentialgleichung $\Delta \Phi ({\vec {r}})=0\,$ für die entsprechend gewählten Randbedingungen, wird das sich aus dem Potential ableitende Gradientenfeld „Laplace-Feld“ genannt. Beispiele solcher Felder sind etwa das elektrische Feld in Anwesenheit einer entgegengesetzten zweiten Ladung, auf der die von der ersten Ladung ausgehenden Feldlinien enden. „Laplace-Felder“ besitzen also stets einen „Rand“ im Endlichen, während dieser bei „Poisson–“ bzw. „Newton-Feldern“ quasi im Unendlichen liegt.

Für die Superposition beider Feldtypen schließlich lässt sich i.d.R. eine sogen. totale Potentialfunktion formulieren, die die Summe je einer partikulären und homogenen Lösung der obengenannten Differentialgleichungen ist.

Beispiele

Das mit Abstand bekannteste Skalarpotential ist das sogen. „newtonsche Potential“

$\Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{|{\vec {r}}|}},$

das allerdings nur im Dreidimensionalen, also für $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, eine die Laplace-Bedingung erfüllende harmonische Funktion ist.

Umgekehrt ist das dem „newtonschen Potential“ im Zweidimensionalen vergleichbare „logarithmische Potential“

$\Phi ({\vec {r}})=\operatorname {ln} (|{\vec {r}}|)$

ebenso wie die Funktion ln(1/r) = -ln(r) nur dort, also für $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, eine harmonische Funktion, im Dreidimensionalen dagegen ein gewöhnliches Potential mit ΔΦ = 1/r² bzw. ΔΦ = −1/r². Ebenfalls nur für R² definierte harmonische Funktionen sind weiters die Funktionen Φ =e^x·sin(y) und Φ =e^x·cos(y).

Geschichtliches

Der Begriff Potential in seiner heutigen mathematischen Bedeutung geht auf den französischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange zurück, der die ihr zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeiten bereits 1773 entdeckte und wenig später unter dem Potentialbegriff zusammenfasste, gefolgt von dem englische Mathematiker und Physiker George Green, der in seinem 1828 veröffentlichten Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism den Begriff der Potentialfunktion prägte. In erster Linie aber war es schließlich Carl Friedrich Gauss, der 1840 (nach anderen Quellen bereits 1836) den Begriff des Potentials und seine Theorie weiter vertiefte und popularisierte.

Begriffsabgrenzungen

Der Gebrauch des Potentialbegriffs ist leider aus historischen Gründen oft uneinheitlich. So ist etwa häufig unklar, ob mit dem Wort „Potential“ nun das betreffende Skalarfeld gemeint ist, also die betreffende Ortsfunktion, oder aber einer ihrer Funktionswerte.

Mathematischer und physikalischer Potentialbegriff

So darf der Begriff des Potentials in seiner mathematischen Bedeutung – als eines skalaren Feldes mit bestimmten, zunächst einmal rein abstrakt geforderten Eigenschaften – vor allem nicht mit dem physikalischen „Potential“-Begriff verwechselt werden, aus dem er ursprünglich hervorging.

Einem Begriff, der dort in erster Linie die Fähigkeit eines konservativen Kraftfelds meint, einen ihm ausgesetzten Körper eine Arbeit verrichten zu lassen, für gewöhnlich ausgedrückt durch das Verhältnis seiner potentiellen Energie und Ladung bzw. Masse. Das aber kann sowohl heißen, dass man es in dem gegebenen Zusammenhang mit dem skalaren Feld zu tun hat, das dieses Verhältnis in Form seiner Funktionswerte wiedergibt, oder aber, dass mit dem „Potential“ die einzelnen Funktionswerte des Felds an der betreffenden Stelle selbst gemeint sind, etwa das elektrische oder das Gravitationspotential, gemessen in Volt (=J/C) bzw. J/kg.

Hinzukommt, dass sich, was ihre mathematischen Eigenschaften angeht, auch die potentielle Energie eines Körpers in einem konservativen Kraftfeld selbst als Skalarpotential beschreiben lässt, ganz zu schweigen von dem nur noch mathematisch ein Potential darstellenden Geschwindigkeitspotential der Fluiddynamik.

So kann ganz allgemein (fast) jedes physikalische Potential durch ein mathematisches modelliert werden, während umgekehrt nicht jedes mathematische Potential auch eines im Sinne der Physik ist.

Potentialvektoren und Potentialfelder

Eine weiteres Problem rührt aus dem Umstand, dass der Begriff „Potential…“ auch in einigen Wortbildungen verwendet wird, bei denen dadurch nicht klarer wird, ob damit nun skalare oder vektorielle Größen bzw. Felder gemeint sind, etwa in Termini wie „Vektorpotential“, „Potentialvektor“ oder „Potentialfeld“. So könnte man gerade bei letzterem annehmen, dass damit das skalare Feld des Potentials selbst gemeint ist – die überwiegende Zahl der Autoren aber benutzt diesen Ausdruck nicht dafür, sondern für das aus dem jeweiligen Potential abgeleitete Vektorfeld der Potential- bzw. Gradientvektoren ).

Analog bezeichnen manche Autoren die Vektoren, aus denen sich Gradientenfelder zusammensetzen, zur besseren Abgrenzung zwischen dem Gradienten als mathematischem Operator und dem Resultat seiner Anwendung als Gradientvektoren , andere dagegen mit Blick auf die (skalaren) Potentiale, aus denen sie sich herleiten, als Potentialvektoren .

Beziehungen zwischen Skalar- und Vektorpotential

Wirbelfelder, die Rotationen eines anderen Vektorfelds sind, sind stets quellenfrei - quellenfreie Vektorfelder können daher umgekehrt immer auch als Rotation eines anderen Vektorfelds interpretiert werden, das man in diesem Fall als „Vektorpotential“ des betreffenden quellenfreien Vektorfelds bezeichnet .

Gemäß dem Fundamentalsatz der Vektoranalysis, auch Helmholtz-Theorem genannt, kann dabei (fast) jedes Vektorfeld ${\vec {H}}({\vec {r}})$ als Superposition zweier Komponenten ${\vec {F}}({\vec {r}})\,$ und ${\vec {G}}({\vec {r}})$ aufgefasst werden, deren erste der Gradient eines Skalarpotentials $\Phi ({\vec {r}})\,$ ist, die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials ${\vec {\Gamma }}({\vec {r}})$:

${\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})$

Ist ${\vec {F}}({\vec {r}})\,$ ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft ${\vec {F}}\,$ dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials $\Phi \$ entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise

${\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).$

Zu "Feldtheorie":

Quellenfeld
$\exists A:\oint _{A}{\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}\neq 0$
Es existiert wenigstens eine Hüllfläche A, für die das Umlaufintegral über ${\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$ nicht verschwindet.
Quellfreies Feld
$\forall A:\oint _{A}{\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=0$
Es existiert keine Hüllfläche A, für die das Umlaufintegral über ${\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$ nicht verschwindet.

Wirbelfeld
$\exists S:\oint _{S}{\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}\neq 0$
Es existiert wenigstens eine Randkurve S, für die das Umlaufintegral über ${\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$ nicht verschwindet.
Wirbelfreies Feld
$\forall S:\oint _{S}{\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=0$
Es existiert keine Randkurve S, für die das Umlaufintegral über ${\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$ nicht verschwindet.

Zu "Potentialtopf":

Die Potentialtöpfe eines Atomkerns für Neutronen (links) und Protonen (rechts)

Zu "Lorentzkraft":

Allgemeine Definition

Lorentzkraft bei Bewegung negativer bzw. positiver Ladungsträger

Bewegt sich eine elektrische Ladung $q~$ mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ durch ein elektromagnetisches Feld, berechnet sich die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorentzkraft im weiteren Sinne wie folgt:

${\vec {F}}={\vec {F_{E}}}+{\vec {F_{B}}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right).$

${\vec {F_{E}}}$ und ${\vec {F_{B}}}$ sind dabei die elektrische und magnetische Komponente der Lorentzkraft im weiteren Sinne, ${\vec {E}}$ die elektrische Feldstärke, ${\vec {B}}$ die magnetische Flussdichte und das Zeichen $\times$ das des Vektor- oder Kreuzprodukts der beteiligten Vektoren.

Aus der Tatsache, dass das Resultat eines solchen Produkts kraft Definition stets senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren stehen muss und das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren gleich 0 ist, ergeben sich für den vereinfachten Fall eines nicht vorhandenen äußeren elektrischen Felds ($E=0$) die folgenden beiden interessanten Schlussfolgerungen:

• Da ${\vec {F}}$ senkrecht auf der durch ${\vec {v}}$ und ${\vec {B}}$ aufgespannten Ebene steht und das Spatprodukt ${\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\times {\vec {B}}$ definitionsgemäß gleich 0 ist, wird bei der rein magnetischen Ablenkung der Ladung $q\,$ aufgrund der Herleitung

${\frac {\mathrm {d} W_{kin}}{\mathrm {d} t}}={\frac {m}{2}}\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}^{2}}{\mathrm {d} t}}=m{\vec {v}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {v}}\cdot m\cdot {\vec {a}}={\vec {v}}\cdot {\vec {F}}=q\,{\vec {v}}\cdot {\bigl (}{\vec {v}}\times {\vec {B}}{\bigr )}=0$

im Gegensatz zur Ablenkung einer Ladung im elektrischen Feld keinerlei Arbeit verrichtet, anders gesagt: Die kinetische Energie einer allein durch ein Magnetfeld gleichbleibender Stärke abgelenkten Ladung $q\,$ und damit auch ihre Bahngeschwindigkeit bleiben dabei unverändert (gleiches gilt dabei auch für relativistische Teilchen, nicht jedoch für Ablenkungen in zeitlich veränderlichen Magnetfeldern wie etwa denen eines Betatrons).

• Verlaufen die beiden Vektoren ${\vec {v}}$ und ${\vec {B}}$ parallel oder antiparallel zueinander, wird ${\vec {F}}$ gleich 0, anders gesagt: Bewegt sich eine Ladung $q\,$ in Feldlinienrichtung eines Magnetfelds oder genau entgegengerichtet, findet keinerlei Ablenkung statt.

Betrachtet man dagegen, wie in älteren Physik-Lehrbüchern üblich, als Lorentzkraft im engeren Sinne allein die magnetische Komponente der obigen Gesamtkraft ${\vec {F}}$, gilt für ihre Berechnung entsprechend die Formel:

${\vec {F}}_{L}=q\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)$

Die in solchem Fall ebenfalls separat betrachtete elektrische Komponente der Lorentzkraft im weiteren Sinne wird dann als Coulombkraft bezeichnet und wie folgt berechnet:

${\vec {F}}_{C}=q{\vec {E}}$

Die Formelzeichen ${\vec {F_{B}}}$ und ${\vec {F_{L}}}$ bzw. ${\vec {F_{E}}}$ und ${\vec {F_{C}}}$ bezeichnen dabei jeweils einander Entsprechendes, wobei man der Klarheit der Schreibweise wegen nach Möglichkeit die eine oder die andere Konvention beibehalten sollte.

Formulierung der Lorentzkraft im cgs-System

Im Unterschied zu der obigen Schreibweise der Formel für die Lorentzkraft ${\vec {F_{L}}}$, die auf dem in der Elektrotechnik und den experimentellen Naturwissenschaften üblichen sog. „Internationalen Maßsystem“ basiert, schreibt man in der theoretischen Physik, und allgemeiner besonders in England und den USA, für dieselbe Kraft in den äquivalenten, aber leicht verschiedenen cgs-Einheiten:

${\vec {F}}=q_{cgs}\left({\frac {\vec {v}}{c}}\times {\vec {B}}_{cgs}\right)$,

wobei die Größen $q_{cgs}~$ und ${\vec {B}}_{cgs}$ den entsprechenden SI-Größen weitgehend äquivalent sind, man sie also der Einfachheit halber meist ohne spezielle Indizes ebenfalls als $q~$ und ${\vec {B}}$ bezeichnet. Genaugenommen aber gilt:

$q_{cgs}=q_{SI}/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\quad$ und ${\vec {B}}_{cgs}={\vec {B}}_{SI}\cdot c\cdot {\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\quad$

mit der dimensionsbehafteten Dielektrizitätskonstanten im Vakuum $\epsilon _{0}~$ (für die systematische Umrechnung von Größen des SI-Systems ins cgs-System und umgekehrt siehe den entsprechenden Abschnitt im Artikel über die Maxwellschen Gleichungen).

Lorentzkraft auf bewegte Punktladungen

Bewegung einer Punktladung q in einem senkrecht zu ihrer Bahn (in diesem Fall aus der Zeichenebene heraus) verlaufenden Magnetfeld: Negative Ladungen (q < 0) werden dabei im Bild nach oben, positive (q > 0) nach unten und neutrale (q = 0) überhaupt nicht abgelenkt.

Zustandekommen einer rotierenden Salzlösung durch magnetische Ablenkung ihrer Ionen

Als bewegte Punktladungen werden in der Physik kleine freie Ladungen wie etwa Elektronen, Protonen oder andere geladene Elementarteilchen, z. B. α-Teilchen, aber auch Ionen betrachtet, die sich frei im Raum, z. B. Vakuum oder in einer Salzlösung, bewegen können.

Da die Richtung der Lorentzkraft abhängig vom Vorzeichen der Ladung q ist, werden entgegengesetzt geladene Punktladungen dabei, gleiche Bewegungsrichtung vorausgesetzt, auch in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt. Bewegen sich die entgegengesetzt geladenen Punktladungen dagegen außerdem (z. B. in einer Salzlösung, an die man eine elektrische Spannung gelegt hat) in entgegengesetzte Richtungen, ist die Richtung ihrer magnetischen Ablenkung wieder für beide Punktladungen dieselbe (siehe nebenstehende Abbildungen).

Der Betrag der Lorentzkraft ergibt sich dabei gemäß der Beziehung

$|{\vec {v}}\times {\vec {B}}|=|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|\,\sin \alpha$

zu

$|{\vec {F}}_{L}|=|q|\,|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|\,\sin \alpha \,.$

mit $\alpha$ als dem Winkel zwischen der Bewegungsrichtung von q und der Richtung des Magnetfelds bzw. seiner Flussdichte ${\vec {B}}$.

Bewegt sich die Punktladung genau senkrecht zum Magnetfeld, gilt aufgrund der Beziehung $\sin \alpha =1$ die vereinfachte Gleichung

$|{\vec {F}}_{L}|=|q|\,|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|\,.$

Lorentzkraft am elektrischen Leiter

Die Lorentzkraft ist das zentrale Bindeglied der Umwandlung elektrischer Energie in mechanische Energie und umgekehrt: Fließt durch einen elektrischen Leiter senkrecht zu den Feldlinien eines ihn umgebenden Magnetfelds ein Strom, führt dies zu einer mechanischen Bewegung des Leiters, und wird umgekehrt ein elektrischer Leiter mechanisch, d.h. durch äußere Krafteinwirkung, senkrecht zu den Feldlinien eines ihn umgebenden Magnetfelds bewegt, wird dadurch in ihm eine elektrische Spannung (und ggf. auch ein elektrischer Strom) "induziert".

Für das Zustandekommen der Lorentzkraft ist dabei unerheblich, was im einzelnen die Bewegung der Ladungsträger innerhalb des Leiters herbeiführt, die Wirkung einer äußeren mechanischen Kraft oder z.B. die Coulombkraft eines elektrischen Feldes - was zählt, ist allein, dass sich die Ladungsträger, im Falle eines metallischen Leiters dessen Leitungselektronen, bewegen und dadurch ein ihre Bahn umrundendes Magnetfeld erzeugen, das, wenn sich dessen Feldlinien mit denen des umgebenden äußeren Magnetfelds überlagern, die Ladungsträger zur Seite ablenkt.

(1) Bewegung eines stromdurchflossenen elektrischen Leiters in einem Magnetfeld aufgrund der auf seine freien Elektronen wirkenden Lorentzkraft

(2) Entstehung einer Induktionsspannung in einem durch ein Magnetfeld bewegten elektrischen Leiter aufgrund der auf seine freien Elektronen wirkenden Lorentzkraft F_L1; (3) Entstehung einer lorentzschen Gegenkraft F_L2 und Gegenbewegung des Leiters aufgrund des durch ihn fließenden Induktionsstroms

Ebenfalls unerheblich ist, ob sich die Ladungsträger dabei, wie im vorherigen Abschnitt diskutiert, frei durch den Raum bewegen, oder aber im Inneren eines elektrischen Leiters, zB. einer mit einem Elektrolyt gefüllten Glasröhre oder eines Metalldrahts.

1. Fließen also z.B. in einem Metalldraht dessen Leitungselektronen in Längsrichtung des Drahts durch ein senkrecht dazu verlaufendes Magnetfeld, werden sie dabei allesamt in gleicher Weise und Richtung zur Seite abgelenkt, und damit auch der Metalldraht als ganzer.

2. Schiebt man den Metalldraht dagegen mit seiner Breitseite quer durch ein senkrecht zur Verschiebungsrichtung verlaufendes Magnetfeld, passiert im Grunde auch diesmal dasselbe, nur dass nun die Elektronen innerhalb des Drahtes der Lorentzkraft nachgeben können und allesamt in Richtung eines der beiden Drahtenden fließen, wo sich aufgrund dessen binnen kurzem ein Elektronenüberschuss einstellt, am anderen Drahtende dagegen ein Elektronenmangel, zwischen beiden Drahtenden also eine elektrische Ur- oder Quellenspannung, historisch auch „elektromotorische Kraft“ (EMK) genannt.

3. Überbrückt man nun beide Enden des Metalldrahts mit Hilfe eines Drahtbügels, der dabei nicht auch gegenüber dem Magnetfeld bewegt wird, entsteht eine geschlossene Leiterschleife, über die sich die im Draht induzierte Spannung ausgleichen und einen elektrischen Strom fließen lassen kann.

Damit aber schließt sich der Kreis, nun auch auf der Ebene der Lorentzkräfte. Denn mit dem Stromfluss quer zur Verschiebungsrichtung des Drahtes tritt eine zweite Schar von Lorentzkräften auf den Plan, die die Leitungselektronen wieder, wie zuvor in Pkt. 1 beschrieben, quer zu ihrer Stromrichtung ablenkt, und zwar diesmal genau entgegengesetzt zur Richtung der äußeren Verschiebung. Anders gesagt, versucht der durch die Verschiebung des Leiters in diesem induzierte Strom genau diese Verschiebung wieder aufzuhalten, und zwar umso stärker, je abrupter man den Leiter zu verschieben versucht bzw. je höher dessen elektrische Leitfähigkeit ist (vgl. Lenzsche Regel).

Das umgebende Magnetfeld, bei Motoren und Generatoren auch „Erregerfeld“ genannt, ist dabei in allen drei Fällen nur Vermittler - mit ihm selbst wird keinerlei Energie ausgetauscht: Was im ersten Fall an elektrischer Energie in den Stromfluss durch den Metalldraht „investiert“ wird, wird über die Lorentzkraft in die Bewegungsenergie des zur Seite ausschlagenden Metalldrahts umgesetzt, und umgekehrt: Was im zweiten Fall an Bewegungsenergie in die Verschiebung des Metalldrahts „investiert“ wird, wird über die Lorentzkraft in elektrische Energie (und diese ggf. weiter in Wärme) umgesetzt.

Umwandlung elektrischer in mechanische Energie

Um die genannten Vorgänge auch rechnerisch zu erfassen, wird der Einfachheit halber zunächst einmal nur ein gerades Stück Draht der gerichteten Länge ${\vec {\ell }}$ betrachtet, durch das senkrecht zu den Feldlinien eines zeitlich konstanten homogenen äußeren Magnetfelds der Flussdichte $B\,$ ein ebenfalls zeitlich konstanter Strom der Stärke $I\,$ fließt, seine Leitungselektronen sich also mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ durch den Draht bewegen und dabei in der Laufzeit $t\,$ die Gesamtladung

$q=I\,t\,$

mit der Geschwindigkeit

${\vec {v}}={\frac {\vec {\ell }}{t}}\,$

vom einen Ende des Drahtes zum anderen transportieren. Wegen $q\,{\vec {v}}=I\,{\vec {\ell }}$ ist damit die Summe der Lorentzkräfte auf alle am Stromfluss beteiligten Leitungselektronen und damit das Drahtstück als ganzes

${\vec {F_{L}}}=q\,({\vec {v}}\times {\vec {B}})=I\,({\vec {\ell }}\times {\vec {B}})\,,$

Die zugehörige Betragsgleichung lautet dann:

$|{\vec {F}}_{L}|=|I|\,|{\vec {\ell }}|\,|{\vec {B}}|\,\sin \alpha \,$

mit $\alpha$ als dem Winkel zwischen der Längsrichtung des Drahtes, also Flussrichtung von I und der Richtung des Magnetfelds bzw. seiner Flussdichte ${\vec {B}}$.

Verläuft der Draht genau senkrecht zum Magnetfeld, gilt aufgrund der Beziehung $\sin \alpha =1$ die vereinfachte Gleichung

$|{\vec {F}}_{L}|=|I|\,|{\vec {\ell }}|\,|{\vec {B}}|\,.$

Umwandlung mechanischer in elektrische Energie

Für den umgekehrten Fall, also die mechanische Bewegung eines Leiters im magnetischen Feld, sei der Einfachheit halber wieder ein gerades Stück Draht der Länge $l\,$ betrachtet, das nun mit der konstanten Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ quer durch ein senkrecht zu ihm verlaufendes zeitlich konstantes homogenes äußeres Magnetfeld der Flussdichte $B\,$ geschoben werde, also so, dass die Längsrichtung des Drahtes dabei außerdem senkrecht auf ${\vec {v}}$ steht.

Wie weiter oben erläutert, halten sich in diesem Fall zwei Kräfte die Waage, zum einen die Lorentzkraft ${\vec {F_{L}}}$, die die Leitungselektronen des Drahtes in Richtung eines seiner beiden Enden verschiebt, zum anderen die auf die Leitungselektronen wirkende Coulombkraft ${\vec {F_{C}}}$ aufgrund der durch die Ladungstrennung zwischen beiden Leiterenden induzierten elektrischen Spannung:

${\vec {F}}_{L}+{\vec {F}}_{C}=0\Leftrightarrow {\vec {F}}_{C}=-{\vec {F}}_{L}\Leftrightarrow q\,{\vec {E}}=-q\,({\vec {v}}\times {\vec {B}})$

Herauskürzen der, wie zu sehen, hier gänzlich unerheblichen Gesamtladung $q\,$ und skalare Multiplikation mit dem Vektor der gerichteten Leiterlänge ${\vec {\ell }}$ liefert schlussendlich die Gleichung für die gesuchte Induktionsspannung ${U_{ind}}\,$:

${U_{ind}}={\vec {\ell }}\cdot {\vec {E}}=-{\vec {\ell }}\cdot ({\vec {v}}\times {\vec {B}})=({\vec {\ell }}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {v}}$

Verlaufen alle drei Vektoren, wie eingangs verlangt, senkrecht zueinander, vereinfacht sich das Spatprodukt l·(v×B)=(l×v)·B zu der bekannten Formel

$U_{ind}=-|{\vec {\ell }}||{\vec {v}}||{\vec {B}}|$

in der das Minuszeichen andeutet, dass die Induktionsspannung $U_{ind}\,$ stets so gerichtet ist, dass der auf ihrer Grundlage fließende Induktionsstrom der Ursache der Induktionsspannung entgegenwirkt (vgl. Lenzsche Regel).

Überbrückt man nun beide Enden des untersuchten Leiters mit einem ohmschen Widerstand der Größe R, der dabei nicht ebenfalls gegenüber dem Magnetfeld bewegt wird, entsteht eine geschlossene Leiterschleife, über die sich die Induktionsspannung ausgleichen kann, diese und das Produkt $I_{ind}\cdot R$ also gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel die Summe Null liefern müssen:

$U_{ind}+I_{ind}\cdot R=0\Leftrightarrow {I_{ind}}={\frac {-U_{ind}}{R}}={\frac {{\vec {\ell }}\cdot ({\vec {v}}\times {\vec {B}})}{R}}={\frac {-({\vec {\ell }}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {v}}}{R}}$

Lorentzsche Gegenkraft

Wirkung und Gegenwirkung der Verschiebung eines elektrischen Leiters in einem Magnetfeld: Die primäre Lorentzkraft F_L1 erzeugt die Induktionsspannung – falls aufgrund dessen ein Induktionsstrom fließen kann, versucht die dadurch bewirkte sekundäre Lorentzkraft F_L2 die verursachende Bewegung wieder zu stoppen (B: Richtung des Magnetfelds; v: Verschiebungsrichtung des Leiters; l: Längsrichtung des Leiters).

Soll anhand des so bestimmten Induktionsstroms $I_{ind}\,$ die der Verschiebung des Leiters im Magnetfeld entgegenwirkende sekundäre Lorentzkraft $F_{L2}$ berechnet werden, erfolgt dies zweckmäßigerweise über die weiter oben angeführte Formel der Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

${\begin{aligned}{\vec {F}}_{L2}&=I_{ind}\cdot ({\vec {\ell }}\times {\vec {B}})\\&=-{\frac {({\vec {\ell }}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {v}}}{R}}\cdot ({\vec {\ell }}\times {\vec {B}})\ \end{aligned}}$

die sich unter der Bedingung der jeweils paarweisen Orthogonalität aller drei Vektoren (s.o.) mit Hilfe des Graßmannschen Entwicklungssatzes zu der Formel

${\vec {F}}_{L2}=-{\frac {{\ell }^{2}\cdot {B}^{2}}{R}}\cdot {\vec {v}}$

vereinfachen lässt. Wie zu sehen, ist die Gegenkraft $F_{L2}$ unter den genannten Bedingungen nicht nur der Verschiebungsrichtung entgegengesetzt, sondern auch dem Gesamtwiderstand R der Leiterschleife umgekehrt proportional - lässt man R, wie in Supraleitern möglich, verschwindend klein werden, wird damit eine Bewegung der Leiterschleife im Magnetfeld praktisch unmöglich.

Des weiteren ist $F_{L2}$ der Verschiebungsgeschwindigkeit v direkt proportional, womit obige Gleichung ihrer mathematischen Natur nach eine Differentialgleichung ist, deren Lösung die folgende Exponentialfunktion liefert:

${\vec {F}}_{L2}=m\cdot {\vec {a}}_{L2}=m\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {{\ell }^{2}\cdot {B}^{2}}{R}}\cdot {\vec {v}}\Rightarrow {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}\cdot e^{-{\frac {\ell ^{2}\cdot B^{2}}{m\cdot R}}\cdot t}$

Wie u.a. von Wirbelstrombremsen bekannt, ist die Geschwindigkeitsabnahme aufgrund der Gegenkraft $F_{L2}$ dabei zu Beginn $(t=0)$ am größten, um anschließend gemäß obiger Zeitfunktion exponentiell abzuklingen.

Zu "Lineare Regression":

Bildliche Darstellung und Interpretation

Regressionsgeraden für y=g_x(x) [rot] und x=g_y(y) [blau]

Wie in der statistischen Literatur immer wieder betont, ist ein hoher Wert des Korrelationskoeffizienten zweier Zufallsvariablen X und Y allein noch kein hinreichender Beleg für den kausalen (d.h. ursächlichen) Zusammenhang der beiden, ebensowenig für dessen mögliche Richtung.

Anders als gemeinhin beschrieben sollte man es daher bei der linearen Regression zweier Variablen X und Y stets mit nicht nur mit einer, sondern zwei voneinander unabhängigen Regressionsgeraden zu tun haben: der ersten für die vermutete lineare Abhängigkeit $\ y=g_{x}(x)$, der zweiten für die nicht minder mögliche Abhängigkeit $\ x=g_{y}(y)$.

Bezeichnet man die Richtung der x-Achse als Horizontale und die der y-Achse als Vertikale, läuft die Berechnung des Regressionskoeffizienten also im ersten Fall auf das üblicherweise bestimmte Minimum der vertikalen quadratischen Abweichungen hinaus, im zweiten Fall dagegen auf das Minimum der horizontalen quadratischen Abweichungen.

Rein äußerlich betrachtet bilden die beiden Regressionsgeraden $\ y=g_{x}(x)$ und $\ x=g_{y}(y)$ eine Schere, deren Schnitt- und Angelpunkt der Schwerpunkt der untersuchten Punktwolke $P({\bar {x}}|{\bar {y}})$ ist - je weiter sich diese Schere öffnet, desto geringer die Korrelation beider Variablen, bis hin zur Orthogonalität beider Regressionsgeraden, zahlenmäßig ausgedrückt durch den Korrelationskoeffizienten 0 bzw. Schnittwinkel 90°.

Umgekehrt nimmt die Korrelation beider Variablen umso mehr zu, je mehr sich die Schere schließt - bei Kollinearität der Richtungsvektoren beider Regressionsgeraden schließlich, also dann, wenn beide bildlich übereinander liegen, nimmt $\ r_{xy}$ je nach Vorzeichen der Kovarianz den Maximalwert +1 oder -1 an, was bedeutet, dass zwischen X und Y ein streng linearer Zusammenhang besteht und sich – wohlgemerkt nur in diesem einen einzigen Fall! – die Berechnung einer zweiten Regressionsgeraden erübrigt.

Wie der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen, haben die Gleichungen der beiden Regressionsgeraden große formale Ähnlichkeit, etwa, was ihre Anstiege $\ b_{x}$ bzw. $\ b_{y}$ angeht, die gleich den jeweiligen Regressionskoeffizienten sind und sich nur durch ihre Nenner unterscheiden: im ersten Fall die Varianz von X, im zweiten die von Y:

Regressionskoeffizient x	Korrelationskoeffizient	Regressionskoeffizient y
$\beta _{x}={\frac {Cov(X;Y)}{Var(X)}}$	$\varrho (X;Y)={\frac {Cov(X;Y)}{\sqrt {Var(X)\cdot Var(Y)}}}$	$\beta _{y}={\frac {Cov(X;Y)}{Var(Y)}}$
Empirischer Regressionskoeffizient x	Empirischer Korrelationskoeffizient	Empirischer Regressionskoeffizient y
$b_{x}={\frac {SS_{xy}}{SS_{xx}}}$	$\ r_{xy}={\frac {SS_{xy}}{\sqrt {SS_{xx}\cdot SS_{yy}}}}$	$b_{y}={\frac {SS_{xy}}{SS_{yy}}}$
$={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$	$={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\cdot \sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}$	$={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}$
Regressionsgerade x	Bestimmtheitsmaß	Regressionsgerade y
$y=a_{x}+b_{x}\cdot x$	$R^{2}={\frac {SS_{xy}^{2}}{SS_{xx}\cdot SS_{yy}}}$	$x=a_{y}+b_{y}\cdot y$
$y={\bar {y}}+b_{x}\cdot (x-{\bar {x}})$		$y={\bar {y}}+{\frac {1}{b_{y}}}\cdot (x-{\bar {x}})$

Zu erkennen ist außerdem die mathematische Mittelstellung des Korrelationskoeffizienten sowie seines Quadrats, des sogen. Bestimmtheitsmaßes, gegenüber den beiden Regressionskoeffizienten, dadurch entstehend, dass man anstelle der Varianzen von X bzw. Y deren geometrisches Mittel ${\sqrt {Var(X)\cdot Var(Y)}}$ in den Nenner setzt.

Betrachtet man die Differenzen $(x_{i}-{\bar {x}})$ als Komponenten eines n-dimensionalen Vektors ${\vec {x}}$ und die Differenzen $(y_{i}-{\bar {y}})$ als Komponenten eines n-dimensionalen Vektors ${\vec {y}}$, lässt sich der Korrelationskoeffizient schließlich auch als Kosinus des von beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels $\ \theta$ interpretieren:

$\ r_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}={\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|}}=\cos \theta$

Zu "Roll-Nick-Gier-Winkel":

RPY-Winkel von Landfahrzeugen

RPY-Winkel von Wasserfahrzeugen (links) und Luftfahrzeugen (rechts)

RPY-Winkel von Raumfahrzeugen mit lokalem (links) und inertialem Bezugssystem (rechts)