Minimallösung (englisch minimal solution) ist ein mathematischer Begriff, der sowohl in der Approximationstheorie als auch in der Optimierungstheorie sowie in zugehörigen Teilgebieten der Mathematik, wie der Funktionalanalysis, der numerischen Mathematik oder der Variationsrechnung, eine bedeutende Rolle spielt.[1][2][3][4][5]

Den Terminus einer Minimallösung findet man in der Mathematik – wenngleich in einem anderen Sinne verstanden – auch in der Zahlentheorie im Zusammenhang mit der pellschen Gleichung sowie in der Theorie der Differentialungleichungen im Sinne einer Lösung gewisser Anfangswertprobleme.[6]

Definition

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Den Begriff verwendet man in einem weiteren und einem engeren Sinne.

Der Begriff im weiteren Sinne

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Gegeben seien eine beliebige Menge  , eine Teilmenge   sowie eine numerische Funktion  . Dann gibt es folgende Begriffsfestlegungen:[7]

  • Als Minimalwert von   auf   bezeichnet man das Infimum  , wobei im Falle   dieses Infimum   gesetzt wird.
  • Unter der Menge der Minimallösungen von   auf   versteht man die Teilmenge derjenigen Elemente von  , welche den Minimalwert von   auf   annehmen, also die Teilmenge  . Jedes dieser Elemente nennt man eine Minimallösung von   auf  .
  • Ist   ein topologischer Raum und dabei  , so heißt   eine lokale Minimallösung von   auf  , falls eine (offene) Umgebung   von   in   derart existiert, dass   eine Minimallösung von   auf   ist. Dieser Begriff ist vor allem wichtig für den Fall, dass   ein metrischer oder ein normierter Raum ist.
  • Unter einem Maximalwert von   auf  , einer Maximallösung von   auf   und einer lokalen Maximallösung von   auf   versteht man die durch Dualisierung entstehenden Begriffe, wenn man die Ordnungsrelation   von   nach   umkehrt.[7]

Der Begriff im engeren Sinne

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Gegeben seien ein normierter Raum   (über dem Körper   der reellen oder dem Körper   der komplexen Zahlen), der mit einer Norm   versehen sein soll, sowie ein fester Raumpunkt   und weiter eine Teilmenge  .

  • Hier betrachtet man, in Bezug auf die dadurch gegebene Abstandsfunktion  , die zu   gehörige Funktion   und wendet die oben im weiteren Sinne festgelegten Begriffsbildungen an. Ist dann eine Minimallösung von   auf   vorhanden, so hat man – bezüglich   und  ! – einen Punkt kürzesten Abstands, also einen solchen Raumpunkt  , der dieses Abstandsinfimum annimmt und damit die Gleichung   erfüllt.
  • Man nennt dieses   – insbesondere in Approximationstheorie – eine Minimallösung für   bezüglich  ,[8] (wobei man hier den Zusammenhang mit der Abstandsfunktion als gegeben unterstellt).
  • Statt von einer Minimallösung (im engeren Sinne) spricht man hier nicht selten auch von einer besten Approximation (beziehungsweise besten Näherung) von   bezüglich  [9][10][11] oder von einem Proximum zu   in  [12] oder auch von einer Bestapproximation an / von   in  [13]. In der Theorie der topologischen Vektorräume wird eine solche Minimallösung (im engeren Sinne) manchmal auch als Lotpunkt bezeichnet.[14]
  • Das Konzept der besten Approximation (englisch best approximation) findet man im gleichen Sinne in dem allgemeineren Zusammenhang der metrischen Räume. Ist   ein solcher und sind darin ein fixierter Raumpunkt   sowie eine Teilmenge   gegeben, so bezeichnet man – wie oben!– eine Minimallösung von   auf   als beste Approximation von   bezüglich   (oder ähnlich). Dies ist demnach ein Element  , welches die Gleichung   erfüllt.[15][16]
  • Die Zahl   nennt manche Autoren auch die Minimalabweichung von   bezüglich   (oder ähnlich).[11]

Die folgenden Sätze zählen zu den Resultaten, die im Zusammenhang mit Fragestellungen zu Minimallösungen oft zur Anwendung kommen.

Minimallösungen in der Allgemeinen Topologie und Analysis

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Hier ist als besonders wichtiges Resultat die folgende Version des Weierstraß'schen Satzes vom Minimum zu nennen :[17]

Gegeben seien ein topologischer Raum   und darin eine nichtleere kompakte oder folgenkompakte Teilmenge   sowie eine unterhalbstetige Funktion  .
Dann besitzt besitzt   auf   eine Minimallösung.

Minimallösungen in der konvexen Optimierung

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Hier ist zunächst der folgende einfache Satz zu erwähnen, der den Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Minimallösungen behandelt:[18]

Gegeben seien ein reeller Vektorraum   und darin eine konvexe Teilmenge   sowie ein Raumpunkt  . Weiter sei   eine konvexe Funktion, die in   eine lokale Minimallösung haben möge.
Dann besitzt   auch auf ganz   eine Minimallösung und der zugehörige Minimalwert ist  .

Darüber hinaus eine Reihe von weiteren Ergebnissen. Hier ist nicht zuletzt der folgende Charakterisierungssatz der konvexen Optimierung zu nennen:[19]

Gegeben seien ein reeller Vektorraum   und darin eine konvexe Teilmenge   sowie ein Raumpunkt  . Weiter sei   eine konvexe Funktion.
Dann ist   genau dann eine Minimallösung von   auf  , wenn für alle   in Hinblick auf das rechtsseitige Gâteaux-Differential die Ungleichung   erfüllt ist.

Hieraus ergibt sich als Folgerung:[20]

Sind im euklidischen Raum   ein konvexes Gebiet   gegeben und darin ein Raumpunkt   sowie eine konvexe differenzierbare Funktion  , so ist   eine Minimallösung von   auf   genau dann, wenn das totale Differential   der Nullvektor des   ist.

Der Charakterisierungssatz führt in reellen Prähilberträumen (und speziell in reellen Hilberträumen!) wegen der dort gegebenen reichhaltigen geometrischen Struktur zu einem grundlegenden Approximationssatz, welcher die Bedingungen beschreibt, unter denen dort beste Approximationen gewährtleistet sind. Dieser Approximationssatz ist folgendermaßen zu formulieren:[21]

Sei   ein reeller Prähilbert- oder Hilbertraum (mit   als innerem Produkt) und seien darin eine konvexe Teilmenge   sowie ein Raumpunkt   gegeben.
Unter diesen Gegebenheiten ist ein   die (eindeutig bestimmte!) beste Approximation von   bezüglich   genau dann, wenn für alle   die Ungleichung   erfüllt ist.

Mit diesem Approximationssatz gewinnt man direkt den folgenden Projektionssatz:[22]

Sei (wie zuvor)   ein reeller Prähilbert- oder Hilbertraum und seien darin ein linearer Unterraum   gegeben sowie ein Raumpunkt   .
Unter diesen Gegebenheiten ist ein   genau dann die beste Approximation von   bezüglich  , wenn für alle   die Gleichung   erfüllt ist. Mit anderen Worten: Ein   ist die beste Approximation von   bezüglich   genau dann, wenn der Differenzvektor   zu allen   senkrecht steht.

Minimallösungen und reflexive Banachräume

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Hier sind nicht zuletzt die beiden folgenden Sätze bedeutsam:[23]

Der Satz von James

Dieser Satz geht auf den Mathematiker Robert Clarke James zurück und besagt folgendes:[24]

Ein Banachraum   ist genau dann reflexiv, wenn jedes stetige lineare Funktional auf der abgeschlossenen Einheitskugel   eine Minimallösung besitzt.
Der Satz von Schauder-Mazur

Dieser den beiden Mathematikern Juliusz Schauder und Stanisław Mazur zugerechnete Satz lässt sich wie folgt darstellen:[25]

Ist   ein reflexiver Banachraum   und ist   eine darin gelegene nichtleere, abgeschlossene, konvexe und beschränkte Teilmenge, so besitzt jede stetige konvexe Funktion   auf   eine Minimallösung.

Minimallösungen und Stabilitätfragen

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Zur Stabilitätfrage im Zusammenhang mit Minimallösungen gibt es einen allgemeinen Stabilitätssatz, der folgendermaßen dargestellt werden kann:[26][27]

Gegeben seien ein metrischer Raum   und darin zwei Folgen von nichtleeren Teilmengen   sowie Funktionen  .
Für jedes   gebe es eine Minimallösung   von   auf  .
Hierzu soll gelten:
(i) Die   seien stetig konvergent gegen  .
(ii)   liege als Teilmenge in dem im Sinne von Kuratowski verstandenen oberen Limes  .
Dann ist jeder Häufungspunkt der Folge  , der in   liegt, eine Minimallösung von   auf  .

Minimallösungen (im engeren Sinne) in der Linearen Approximationstheorie

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Hier kennt man einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz, der sich zusammengefasst wie folgt angeben lässt:[28][14][29]

Sei   ein strikt konvexer normierter Raum und sei darin eine abgeschlossene, lokalkompakte und konvexe Teilmenge   gegeben. Dann gibt es für jeden Raumpunkt   bezüglich   immer genau eine Minimallösung – also genau eine beste Approximation (oder einen Lotpunkt)! –  . Dies gilt insbesondere dann, wenn   in   ein Untervektorraum endlicher Dimension ist.

Damit eng zusammenhängend ist der (von dem ungarischen Mathematiker Alfréd Haar im Jahr 1917 vorgelegte) Eindeutigkeitssatz von Haar, der folgendes besagt:[30][31]

Sei   ein kompakter Raum und sei hierzu   der (mit der Maximumsnorm versehene!) Funktionenraum der auf   stetigen (reell- oder komplexwertigen) Funktionen.
Hier sei   ein Untervektorraum der endlichen Dimension   und   erfülle die Bedingung, dass jede nicht mit der Nullfunktion identische Funktion   höchstens   Nullstellen in   besitzen soll.
Dann gibt es bezüglich   für jede Funktion   exakt eine Minimallösung  .

Ein in der Linearen Approximationstheorie wichtiger Satz ist auch der (nach dem Mathematiker Ivan Singer benannte) Satz von Singer, der eine Charakterisierung der besten Approximationen liefert und folgendes besagt:[32][33]

Es seien   ein reeller normierter Raum und   der zugehörige Dualraum der reellwertigen stetigen linearen Funktionale, wobei dessen Operatornorm ebenfalls mit   bezeichnet sein soll, und es seien weiter ein Untervektorraum   sowie ein Raumpunkt   gegeben.
Dann gilt:
Ein Unterraumpunkt   ist eine beste Approximation von   bezüglich   genau dann, wenn für es ein   gibt, welches die folgenden drei Bedingungen erfüllt:
(1)  .
(2)   für alle  .
(3)  .

Erläuterungen und Anmerkungen

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  • Die obigen Infima existieren stets, da  , versehen mit der üblichen Totalordnung  , ein vollständiger Verband ist.
  • Für Funktionenfolgen auf metrischen Räume ist der Begriff der stetigen Konvergenz eine Verschärfung des Begriffs der punktweisen Konvergenz.[34][35]
  • Ein Punkt   gehört dem im Sinne von Kuratowski verstandenen oberen Limes   definitionsgemäß genau dann an, wenn es dazu in   eine streng monoton wachsende Folge  sowie eine Auswahlfolge   gibt mit  .[36][37]
  • Die im Eindeutigkeitssatz von Haar auftretende Bedingung ist die sogenannte Haarsche Bedingung. Ein endlich-dimensionaler Funktionenunterraum, der in einem Funktionenraum dieser Bedingung genügt, wird als Haarscher Teilraum (englisch Haar subspace) oder Haarscher Raum bezeichnet.[30][38][39][40][31]
  • Der Eindeutigkeitssatz von Haar wird bei manchen Autoren – wegen der in Approximationstheorie hierzu erbrachten Leistungen des sowjetischen Mathematikers Andrej Nikolajewitsch Kolmogoroff – auch Satz von Kolmogoroff-Haar genannt.[40]
  • Für einen endlich-dimensionalen (!) normierten Raum   sowie eine abgeschlossene Teilmenge   besitzt jeder Raumpunkt   bezüglich   eine Minimallösung im engeren Sinne, also in   eine beste Approximation.[41]
  • Für einen normierten Raum (und speziell für einen normierten Funktionenraum)   und jeden darin fest gewählten Raumpunkt   ist die zugehörige Funktion   mit   stets ein konvexes Funktional[42] und in jedem Falle stetig.
  • Ist   der  -dimensionale euklidische Raum und sind hier eine abgeschlossene und konvexe Teilmenge   gegeben sowie eine stetige Funktion  , so bezeichnet man die Menge   gelegentlich auch als Minimalmenge. Sie ist im   stets abgeschlossen und im Falle, dass   konvex ist, eine konvexe Teilmenge des euklidischen Raums.[43]
  • Neben den oben aufgeführten Sätzen gibt es eine Fülle weiterer nennenswerter Resultate. Als wichtiges Beispiel kann hier der Approximationssatz für gleichmäßig konvexe Räume gelten, der bedeutsam für die gesamte Approximationstheorie ist.[44] Daneben wäre auch der Fundamentalsatz der Variationsrechnung zu nennen.

Literatur

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  • Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4 (MR0165651).
  • Lothar Collatz, Werner Krabs: Approximationstheorie. Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen (= Teubner Studienbücher). B. G. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02041-6 (MR0445153).
  • Klaus Floret: Weakly Compact Sets. Lectures held at S.U.N.Y., Buffalo, in Spring 1978 (= Lecture Notes in Mathematics. Band 801). Springer-Verlag, Berlin 1980, ISBN 3-540-09991-3 (MR0576235).
  • Alfréd Haar: Die Minkowskische Geometrie und die Annäherung an stetige Funktionen. In: Mathematische Annalen. Band 78, 1917, S. 294–311 ([1]).
  • Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8351-0026-2 (MR2380292).
  • Rainer Hettich, Peter Zencke: Numerische Methoden der Approximation und semi-infiniten Optimierung (= Teubner Studienbücher Mathematik). B. G. Teubner, Stuttgart 1982, ISBN 3-519-02063-7 (MR0653476).
  • Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674).
  • Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. With stability considerations in Orlicz spaces (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 13). Walter de Gruyter & Co., Berlin 2011, ISBN 978-3-11-025020-6 (MR2760903).
  • Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume. I. (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 107). 2. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1966 (MR0194863).
  • Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
  • Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung (= Springer Tracts in Natural Philosophy. Band 4). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 (MR0176272).
  • Arnold Schönhage: Approximationstheorie (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter & Co., Berlin, New York 1971 (MR0277960).
  • Ivan Singer: Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. Translation of the original Romanian version "Cea mai bună aproximare în spații vectoriale normate prin elemente din subspații vectoriale". Translated by Radu Georgescu (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 171). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0270044).
  • A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: Convex Functions (= Pure and Applied Mathematics. Band 57). Academic Press, New York, San Francisco, London 1973 (MR0442824).
  • Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Erster Band. A bis Eif. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2001, ISBN 3-8274-0303-0 (MR1839735).

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Peter Kosmol: Optimierung und Approximation. 2010, S. II (Vorwort), S. 8 ff., S. 79 ff.
  2. Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. 1968, S. 320 ff.
  3. Lothar Collatz, Werner Krabs: Approximationstheorie. 1973, S. 12 ff., S. 38 ff.
  4. Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. 1964, S. 1 ff.
  5. Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. 2011, S. 1 ff., S. 385
  6. Weder auf den zahlentheoretischen Aspekt noch auf den in der Theorie der Differentialungleichungen wird hier eingegangen. Eine Darstellung zu den Minimallösungen der pellschen Gleichung findet man etwa in dem Lehrbuch „Einführung in die Zahlentheorie“ von Peter Bundschuh (Springer 1988). Der Begriff der Minimallösung einer Differentialungleichung wird kurz im dritten Band des Lexikons der Mathematik in sechs Bänden (Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg & Berlin 2001, S. 425) dargelegt.
  7. a b Kosmol, op. cit., S. 8
  8. Meinardus, op. cit., S. 63
  9. Kosmol, op. cit., S. 98 ff.
  10. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 31
  11. a b Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik. Erster Band. 2001, S. 202
  12. Arnold Schönhage: Approximationstheorie. 1971, S. 8 ff., S. 148 ff.
  13. Harro Heuser: Funktionalanalysis. 2006, S. 29 ff., S. 572 ff.
  14. a b Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume. I. 1966, S. 346 ff.
  15. Kosmol, op. cit., S. 68 ff.
  16. Ivan Singer: Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. 1970, S. 377 ff.
  17. Kosmol, op. cit., S. 450
  18. A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: Convex Functions. 1973, S. 122–128, S. 123
  19. Kosmol, op. cit., S. 78
  20. Kosmol, op. cit., S. 79
  21. Kosmol, op. cit., S. 100–101
  22. Kosmol, op. cit., S. 102
  23. Kosmol, op. cit., S. 388 ff.
  24. Kosmol, op. cit., S. 391
  25. Kosmol, op. cit., S. 390
  26. Kosmol, op. cit., S. 71
  27. Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 142
  28. Collatz, op. cit., S. 323
  29. Meinardus, op. cit., S. 1
  30. a b Meinardus, op. cit., S. 15–16
  31. a b Rainer Hettich, Peter Zencke: Numerische Methoden der Approximation und semi-infiniten Optimierung. 1982, S. 115–116
  32. Kosmol, op. cit., S. 401
  33. Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 109
  34. Kosmol, op. cit., S. 71
  35. Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 134
  36. Kosmol, op. cit., S. 69
  37. Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 131
  38. Kosmol, op. cit., S. 298
  39. Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 12
  40. a b Marti, op. cit., S. 58–59
  41. Kosmol, op. cit., S. 68
  42. Vgl. Hettich / Zencke, op. cit., S. 39! Hettich und Zencke führen den Beweis zwar nur für den Fall des Raums der auf einem Kompaktum des   stetigen reellwertigen Funktionen. Der Sachverhalt gilt jedoch offensichtlich allgemeiner.
  43. Vgl. Marti, op. cit., S. 184! Marti erwähnt hier die Konvexitätsbedingung für die Funktion   zwar nicht. Dies ist jedoch offenbar gemeint. Der hier dargestellte Sachverhalt gilt auch allgemein in normierten Räumen  .
  44. Schönhage, op. cit., S. 15