Benutzer:Chrgue/L-Funktion-v2

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Der Prototyp aller L-Funktionen: die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene. Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Verschiedene Farben kodieren verschiedene Argumente der komplexen Funktionswerte. Helle Farbtöne zeigen Funktionswerte mit großem Absolutbetrag an, dunkle einen niedrigen nahe Null.

L-Funktionen werden in der analytischen Zahlentheorie und darauf aufbauenden, mathematischen Gebieten untersucht. Das prototypische Beispiel einer L-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion. L-Funktionen haben fundamentale Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam. Sie sind also Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion. Zu den fundamentalen Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion zählen:

• die Riemannsche Zeta-Funktion stimmt in einem Teilbereich der komplexen Zahlenebene mit einer Dirichlet-Reihe und einem Euler-Produkt überein, die beide absolut konvergieren;
• die zunächst nur in jenem Teilbereich definierte Riemannsche Zeta-Funktion lässt sich analytisch fortsetzen zu einer auf der komplexen Zahlenebene meromorphen Funktion;
• die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion genügt einer Funktionalgleichung eines bestimmten Typs.

Basierend auf den grundlegenden Arbeiten von Leonhard Euler (1707–1783) zur heute so bezeichneten Riemannschen Zeta-Funktion, untersuchten die Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866), Peter Gustav Dirichlet (1805–1859), Richard Dedekind (1831–1916), Erich Hecke (1887–1947) und Emil Artin (1898–1962) grundlegende Unterklassen von L-Funktionen, die heute deren jeweiligen Namen tragen.

Die forschende Suche nach einer allgemeinen und eindeutigen Definition des Begriffs „L-Funktion“, welche die gewünschten und zum Teil noch unbewiesenen Eigenschaften von L-Funktionen beweisbar macht, ist noch nicht abgeschlossen. Vielmehr handelt es sich um ein wichtiges Ziel der analytischen Zahlentheorie, Klarheit über die sinnvollste Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu gewinnen. In dieser Richtung hat Atle Selberg (1917–2007) im Jahr 1989 eine axiomatische Definition der Klasse aller L-Funktionen vorgeschlagen, die heute den Namen „Selberg-Klasse“ trägt. Ob diese oder andere Definitionsvorschläge schon alle wünschenswerten Eigenschaften von L-Funktionen umfassen und unerwünschte ausschließen, ist noch nicht abschließend geklärt. Nach wie vor prägen mathematische Vermutungen (d. h. unbewiesene, aber für plausibel oder zumindest wünschenswert gehaltene Aussagen über Eigenschaften von L-Funktionen) die Theorie der L-Funktionen. Diese zählt somit weiterhin zu den Gebieten intensiver, mathematischer Forschung.

Die beiden Begriffe „L-Funktion“ und „Zeta-Funktion“ werden häufig synonym verwendet. Trotzdem zählen nicht alle mathematischen Funktionen, deren Namen den Begriff „Zeta-Funktion“ enthalten, zu den L-Funktionen. Beispielsweise gehört die Primzetafunktion nicht zu den L-Funktionen, da sie analytisch nicht auf die ganze komplexe Ebene fortgesetzt werden kann.

Ein erstes Verständnis des Themenbereichs der L-Funktionen erfordert mathematische Kenntnisse im Bereich der komplexen Zahlen, der Funktionentheorie, der analytischen und algebraischen Zahlentheorie sowie der Darstellungstheorie von Gruppen. Solche Vorkenntnisse können in diesem Artikel zwar teilweise erläutert, aber nicht umfassend dargestellt werden.

Definition

→ Hauptartikel: Selberg-Klasse

Wie in der Einleitung erwähnt, gibt es noch keine eindeutige und allgemein anerkannte Definition des Begriffs „L-Funktion“. Der norwegisch-US-amerikanische Mathematiker Atle Selberg führte im Jahr 1989 eine Klasse von Funktionen ein, welche heute „Selberg-Klasse“ genannt wird. Diese Klasse verallgemeinert die Riemannsche Zeta-Funktion, erhielt nachfolgend viel Aufmerksamkeit in der Forschung, und wird weithin als aussichtsreicher Kandidat einer sinnvollen Definition von L-Funktionen angesehen.

Die Selberg-Klasse besteht aus allen Dirichlet-Reihen, welche grundlegende Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam haben:

1. Absolute Konvergenz
2. Analytische Fortsetzbarkeit
3. Funktionalgleichung
4. Ramanujan-Bedingung
5. Euler-Produkt

Damit enthält die Selberg-Klasse unter anderem die folgenden, in der Zahlentheorie wichtigen Funktionen, die in jeder sinnvollen Definition des Begriffs „L-Funktion“ enthalten sein sollten:

• Die Riemannsche Zeta-Funktion $\textstyle \zeta (s)$. Traditionell wird die Riemannsche Zeta-Funktion praktisch immer mit $\textstyle \zeta (s)$ bezeichnet und nicht mit $\textstyle L(s,\mathbb {Q} )$, was ihre Zugehörigkeit zu den L-Funktionen und ihre Zuordnung zum Körper $\textstyle \mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen betonen würde.
• Die Dirichletschen L-Funktionen $\textstyle L(s,\chi )$ zu primitiven Dirichlet-Charakteren $\textstyle \chi$.
• Die Dedekindsche Zeta-Funktionen $\textstyle \zeta (s,K)$ zu algebraischen Zahlkörpern $\textstyle K$. Man schreibt für Dedekindsche Zeta-Funktionen auch $\textstyle L(s,K)$.
• Die Heckeschen L-Funktionen $\textstyle L(s,K,\chi )$ zu primitiven Größencharakteren $\textstyle \chi \operatorname {mod} {\mathfrak {f}}$ mit einem Ideal $\textstyle {\mathfrak {f}}$ des Ringes der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers $\textstyle K$.
• Die L-Funktionen $\textstyle L(s,f)$ zu holomorphen Neuformen $\textstyle f$ bzgl. einer Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$. Um zur Selberg-Klasse zu gehören, müssen solche L-Funktionen gegebenenfalls geeignet normalisiert werden.
• Sofern sie die Artin-Vermutung erfüllen: Artinschen L-Funktionen $\textstyle L(s,K/k,\rho )$ zu nicht-trivialen, irreduziblen Darstellungen $\textstyle \rho :\,G(K/k)\rightarrow \operatorname {GL} (V)$ der Galoisgruppe $\textstyle G(K/k)$ normaler Zahlkörpererweiterungen $\textstyle K/k$ in die allgemeine lineare Gruppe $\textstyle \operatorname {GL} (V)$ eines endlich-dimensionalen Vektorraums $\textstyle V$.

Beispiele von L-Funktionen

Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über grundlegende Beispiele von L-Funktionen.

Riemannsche Zeta-Funktion

→ Hauptartikel: Riemannsche Zeta-Funktion

Bernhard Riemann (1826–1866)

Das einfachste Beispiel einer L-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion $\textstyle \zeta$. Sie ist der Ausgangspunkt für jede Definition des Begriffs „L-Funktion“. Die Riemannsche Zeta-Funktion ist dem Körper $\textstyle \mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen zugeordnet. Ihre Dirichlet-Reihe

$\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}$

konvergiert für $\textstyle \Re (s)>1$ absolut. Zusammen mit ihrem ebenfalls absolut konvergenten Euler-Produkt gilt für $\textstyle \Re (s)>1$:

$\zeta (s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}.$

Riemannsche Zeta-Funktion $\zeta (s)$: Konturlinien Realteil($\zeta$(s))=0, blau, und Imaginärteil($\zeta$(s))=0, fliederfarben, für −5<Re(s)<3 und −25<Im(s)<65, sowie die „kritische Gerade“ Re(s)=1/2, braun. Für Re(s)<1 sind die Schnittpunkte der blauen und fliederfarbenen Konturlinien Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion.

Der Grad des Euler-Produktes der Riemannschen Zeta-Funktion ist

$d=1$.

Üblicherweise wird für die Riemannsche Zeta-Funktion der folgende Gamma-Faktor verwendet:

$\gamma (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right).$

Der Führer von $\textstyle \zeta$ ist

$\textstyle q=1$,

so dass die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion die Gestalt

$\Lambda (s):=\gamma (s)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$

annimmt. Diese Definition ist nur für $\textstyle \Re (s)>1$ gültig, da nur in dieser Halbebene die Riemannsche Zeta-Funktion über ihre Dirichlet-Reihe oder ihr Euler-Produkt definiert werden kann. Allerdings besitzt die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene. Diese Fortsetzung ist holomorph bis auf zwei einfache Polstellen in $\textstyle s=0$ und $\textstyle s=1$ mit den Residuen −1 bzw. 1. Bezeichnet man auch die fortgesetzte, vollständige Riemannsche Zeta-Funktion mit $\textstyle \Lambda$, so erfüllt sie mit der Wurzelzahl

$\epsilon =1$

die Funktionalgleichung

$\Lambda (s)=\Lambda (1-s).$

Damit besitzt auch die zunächst nur für $\textstyle \Re (s)>1$ durch ihre Dirichlet-Reihe oder Euler-Produkt definierte Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf $\mathbb {C}$, welche einzig in $\textstyle s=1$ nicht definiert ist, da sie dort über eine einfache Polstelle mit Residuum 1 verfügt. Behält man die Bezeichnung $\textstyle \zeta$ auch für die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion bei, so erfüllt sie die Funktionalgleichung

$\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s).$

Die (analytisch fortgesetzte) Riemannsche Zeta-Funktion birgt eine der wichtigsten Fragen der analytischen Zahlentheorie, nämlich die Frage nach der genauen Lage ihrer sogenannten nicht-trivialen Nullstellen. Diese liegen im kritischen Streifen $\textstyle 0<\Re (s)<1$. Die Riemannsche Vermutung aus dem Jahr 1859 – bis heute weder bewiesen noch widerlegt – stellt die These auf, alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besäßen den Realteil 1/2. Ein Beweis dieser Vermutung würde besonders gute Abschätzungen über die Verteilung der Primzahlen gestatten.

Dirichletsche L-Funktionen

→ Hauptartikel: Dirichletsche L-Funktion

Die nächsten Verwandten der Riemannschen Zeta-Funktion sind die Dirichletschen L-Funktionen, welche die Riemannsche Zeta-Funktion als Spezialfall enthalten. Sind in der zur Riemannschen Zeta-Funktion $\textstyle \zeta (s)$ gehörenden Dirichlet-Reihe $\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}$ noch alle Koeffizienten im Zähler von $\textstyle {\frac {1}{n^{s}}}$ gleich 1, so werden diese bei Dirichletschen L-Funktionen mit Hilfe eines Dirichlet-Charakters definiert. Sie nehmen somit komplexe Werte mit dem Absolutbetrag 1 an oder sind gleich 0.

Sei also für ein $\textstyle m\in \mathbb {N}$ ein Dirichlet-Charakter modulo $\textstyle m$

$\chi :(\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow S^{1}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)

gegeben, d. h. ein Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der bzgl. der Multiplikation invertierbaren Elemente des Restklassenrings $\textstyle \mathbb {Z} /m$ in die Kreisgruppe $\textstyle S^{1}$ der komplexen Zahlen mit Absolutbetrag 1. Ein solcher Dirichlet-Charakter $\textstyle \chi$ heißt primitiv und $\textstyle m$ der Führer von $\textstyle \chi$, wenn er nicht schon durch eine Komposition

$(\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Z} /m')^{\times }\;{\stackrel {\chi '}{\longrightarrow }}\;S^{1}$

aus einem Dirichlet-Charakter $\textstyle \chi '$ modulo $\textstyle m'$ mit einem echten Teiler $\textstyle m'$ von $\textstyle m$ hervorgeht.

Man liftet nun den Definitionsbereich von $\textstyle \chi$ von der primen Restklassengruppe $\textstyle (\mathbb {Z} /m)^{\times }$ zu den ganzen Zahlen $\textstyle \mathbb {Z}$, bezeichnet die so entstandene Abbildung ebenfalls mit $\textstyle \chi$ und nennt sie einen Dirichlet-Charakter modulo $\textstyle m$:

$\chi :{\text{ }}\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ,{\text{ }}\chi (n)={\begin{cases}\chi (n\operatorname {mod} m)&{\text{falls}}\quad \operatorname {ggT} (n,m)=1\\0&{\text{falls}}\quad \operatorname {ggT} (n,m)>1.\end{cases}}$

Dirichletsche L-Funktion zum Dirichlet-Charakter $\textstyle \chi$ modulo 7 mit $\textstyle \chi (3)=\exp(i\pi /3)$ für komplexe s mit −7 < Re(s) < 8 und −20 < Im(s) < 20: Die Verwandtschaft mit der Riemannschen Zeta-Funktion ist augenfällig. Trotzdem gibt es deutliche Unterschiede: Da es sich bei $\chi$ um einen nicht-trivialen Dirichlet-Charakter handelt, ist die abgebildete Funktion ganz. Sie besitzt also keine Polstelle wie die Riemannsche Zeta-Funktion in $s=1$. Im Vergleich zur Riemannschen Zeta-Funktion sind die reellen (trivialen) Nullstellen um eine Einheit nach rechts verschoben. Sie sind als schwarze Punkte in −1, −3, −5 usw. im Schaubild erkennbar. Die schwarzen Punkte im vertikalen Streifen 0<Re(s)<1 gehören zu den unendlich vielen, nicht-reellen (nicht-trivialen) Nullstellen dieser Dirichletschen L-Funktion. Die Große Riemannsche Vermutung erwartet jede dieser nicht-trivialen Nullstellen auf der vertikalen Geraden Re(s)=1/2.

Die trivialen Dirichlet-Charaktere $\textstyle \chi ^{0}$ modulo $m$ besitzen den Funktionswert 1, falls $\textstyle \operatorname {ggT} (n,m)=1$, andernfalls 0. Der triviale Dirichlet-Charakter modulo 1 heißt der Hauptcharakter. Er erfüllt $\chi (n)=1$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Ist nun $\textstyle \chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C}$ ein primitiver Dirichlet-Charakter modulo $\textstyle m$, so ordnet man diesem folgendermaßen eine L-Funktion zu: die Dirichlet-Reihe (auch Dirichletsche L-Reihe genannt)

$L(\chi ,s):=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$

konvergiert für $\textstyle \Re (s)>1$ absolut. Dasselbe gilt auch für das zugehörende Euler-Produkt, und man hat die Identität

$L(\chi ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}$

für $\textstyle \Re (s)>1$. Wie bei der Riemannschen Zeta-Funktion ist der Grad des Euler-Produkts gleich 1. Setzt man $\textstyle \kappa =0$, falls $\textstyle \chi (-1)=1$ (in diesem Fall heißt $\textstyle \chi$ gerade), und $\textstyle \kappa =1$, falls $\textstyle \chi (-1)=-1$ (in diesem Fall heißt $\textstyle \chi$ ungerade), so ist

$\gamma (\chi ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)$

der $\textstyle \chi$ zugeordnete Gamma-Faktor. Der Führer $\textstyle m$ des primitiven Dirichlet-Charakters $\textstyle \chi$ ist auch der Führer der Dirichletschen L-Funktion:

$q(\chi )=m$.

Die vollständige Dirichletsche L-Funktion besitzt somit die Form

$\Lambda (\chi ,s):=q(\chi )^{\frac {s}{2}}\gamma (\chi ,s)L(\chi ,s)=\left({\frac {m}{\pi }}\right)^{\frac {s}{2}}\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},$

eine Definition, die nur für $\textstyle \Re (s)>1$ gilt, da nur dort die verwendete Dirichlet-Reihe konvergiert. Eine solche vollständige Dirichletsche L-Funktion kann aber analytisch auf $\textstyle \mathbb {C}$ fortgesetzt werden. Dabei entsteht eine ganze Funktion, falls $\textstyle \chi$ ein nicht-trivialer Dirichlet-Charakter ist. Andernfalls hat die fortgesetzte Funktion einen einfachen Pol in $\textstyle s=1$ mit Residuum 1. Die Wurzelzahl $\textstyle \epsilon (\chi )$ kann mit Hilfe der Gaußschen Summe

$\tau (\chi )=\sum _{x\operatorname {mod} q(\chi )}\chi (x)\exp(2\pi ix/q(\chi ))$

berechnet werden, in der sich die Summation über alle Restklassen modulo des Führers $\textstyle q(\chi )=m$ erstreckt sowie $\textstyle \pi$ die Kreiszahl, $\textstyle i$ die imaginäre Einheit und $\exp$ die Exponentialfunktion bezeichnen. Mit

$\epsilon (\chi )={\begin{cases}{\frac {\tau (\chi )}{\sqrt {q(\chi )}}}&{\text{falls}}\quad \chi (-1)=1\\{\frac {\tau (\chi )}{i{\sqrt {q(\chi )}}}}&{\text{falls}}\quad \chi (-1)=-1\end{cases}}$

erfüllt dann die fortgesetzte, vollständige Dirichletsche L-Funktion die Funktionalgleichung

$\Lambda (\chi ,s)=\epsilon (\chi )\Lambda ({\overline {\chi }},1-s).$

Wie von Wurzelzahlen gefordert, ist $\textstyle |\epsilon (\chi )|=1$, da $\textstyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q(\chi )}}$.

Dedekindsche L-Funktionen

→ Hauptartikel: Dedekindsche Zeta-Funktion

Die Riemannsche Zeta-Funktion bezieht sich auf den Körper $\textstyle \mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen, dem einfachsten algebraischen Zahlkörper. Dedekindsche L-Funktionen verallgemeinern diesen Bezug auf beliebige algebraische Zahlkörper, also endlichen Körpererweiterungen von $\textstyle \mathbb {Q}$ wie zum Beispiel $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$. Sei also $K$ ein algebraischer Zahlkörper und $n_{K}=[K:\mathbb {Q} ]\in \mathbb {N}$ sein Erweiterungsgrad über $\mathbb {Q}$. Sei ${\mathcal {O}}_{K}$ sein Ganzheitsring und $d_{K}\in \mathbb {Z}$ seine Diskriminante. Weiter seien $n_{1}\in \mathbb {N} _{0}$ die Anzahl der reellen Einbettungen und $n_{2}\in \mathbb {N} _{0}$ die Anzahl der Paare komplexer Einbettungen von $K$. Es ist also $n_{K}=n_{1}+2n_{2}$.

Richard Dedekind (1831–1916)

Die Dedekindsche L-Funktion (auch Dedekindsche Zeta-Funktion genannt) bzgl. $K$ ist für $\Re (s)>1$ definiert durch

$\zeta _{K}(s):=L(K,s):=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.$

In der Summe durchläuft ${\mathfrak {a}}$ alle vom Nullideal $\{0\}$ verschiedenen, ganzen Ideale von ${\mathcal {O}}_{K}$. ${\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})\in \mathbb {N}$ bezeichnet die Absolutnorm von ${\mathfrak {a}}$. Die Koeffizienten der Dirichlet-Reihe

$\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}$

sind also

$\lambda (K,n)=\#\{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}\mid {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})=n\}\in \mathbb {N} _{0}.$

Sie geben zu jedem $n\in \mathbb {N}$ die Anzahl der ganzen Ideale von ${\mathcal {O}}_{K}$ mit Absolutnorm $n$ an. Jene Dirichlet-Reihe konvergiert für $\Re (s)>1$ absolut, ebenso wie das zugehörende Euler-Produkt

$\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.$

Dabei erstreckt sich das Produkt über alle vom Nullideal verschiedenen Primideale ${\mathfrak {p}}$ von ${\mathcal {O}}_{K}$. Es gilt für $\Re (s)>1$ die Identität

$L(K,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.$

Der Gamma-Faktor bzgl. $L(K,s)$ ist

$\gamma (K,s)=\pi ^{-{\frac {s\cdot n_{K}}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}.$

Der Betrag der Diskriminante von $K$ ist der Konduktor von $L(K,s)$:

$q(K)=|d_{K}|.$

Damit ist die vollständige L-Funktion von $K$ für $\Re (s)>1$ gegeben durch

$\Lambda (K,s):=q(K)^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)\,L(K,s)=\left({\frac {|d_{K}|}{\pi ^{n_{K}}}}\right)^{\frac {s}{2}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}\,\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.$

Diese besitzt eine analytische Fortsetzung auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polen bei $s=0$ und $s=1$ und den dortigen Residuen $-{\frac {2^{r}hR}{w}}$ bzw. ${\frac {2^{r}hR}{w}}$. Dabei ist $r=n_{1}+n_{2}$ die Anzahl der unendlichen Stellen, $h\in \mathbb {N}$ die Klassenzahl und $R\in \mathbb {R}$ der Regulator von $K$ sowie $w\in \mathbb {N}$ die Anzahl der Einheitswurzeln, die in $K$ liegen. Dedekindsche L-Funktionen haben stets die Wurzelzahl 1:

$\epsilon (K)=1.$

Somit genügt die analytisch fortgesetzte, vollständige L-Funktion von $K$ der Funktionalgleichung

$\Lambda (K,s)=\Lambda (K,1-s).$

Die analytisch fortgesetzte Funktion $\Lambda (K,s)$ gestattet nun auch die analytische Fortsetzung von $L(K,s)$, nämlich durch die Definition

$L(K,s):={\frac {\Lambda (K,s)}{|d_{k}|^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)}}=\left({\frac {\pi ^{n_{K}}}{|d_{K}|}}\right)^{\frac {s}{2}}\cdot {\frac {\Lambda (K,s)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}}}.$

Dadurch wird $L(K,s)$ zu einer meromorphen Funktion auf $\mathbb {C}$ mit einem einfachen Pol in $s=1$. Eine ihrer faszinierenden Eigenschaften ist die sogenannte analytische Klassenzahlformel, wonach das Residuum von $L(K,s)$ in $s=1$ die folgende Gestalt annimmt:

$\operatorname {Res} _{s=1}\,L(K,s)={\frac {2^{n_{1}}(2\pi )^{n_{2}}}{w{\sqrt {|d_{K}|}}}}\,hR.$

Heckesche L-Funktionen

Heckesche L-Funktionen sind gemeinsame Verallgemeinerungen der Dirichletschen und der Dedekindschen L-Funktionen. Sie beziehen sich also einerseits auf beliebige algebraische Zahlkörper (wie die Dedekindschen L-Funktionen) und hängen andererseits von geeigneten Charakteren ab (wie die Dirichletschen L-Funktionen). Der deutsche Mathematiker Erich Hecke definierte die nach ihm benannten L-Funktionen mit Hilfe sogenannter Größencharaktere und konnte die bei L-Funktionen gewünschten Eigenschaften beweisen. Der modernere Zugang zu L-Funktionen mit Bezug zu beliebigen algebraischen Zahlkörpern und geeigneten Charakteren, der auch noch weitreichend verallgemeinert werden kann, verwendet Idelklassencharaktere.

L-Funktionen zu Größencharakteren

Heckesche L-Reihen zu Größencharakteren besitzen die Form

Erich Hecke (1887–1947)

$L(\chi ,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {\chi ({\mathfrak {a}})}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.$

Wie bei Dedekindschen L-Funktionen bezeichnet $K$ einen algebraischen Zahlkörper mit Ganzheitsring ${\mathcal {O}}_{K}$ und Erweiterungsgrad $n:=n_{K}=[K:\mathbb {Q} ]\in \mathbb {N}$. Die Summe durchläuft wieder alle vom Nullideal verschiedenen, ganzen Ideale ${\mathfrak {a}}$ von $K$ und ${\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})\in \mathbb {N}$ bezeichnet die Absolutnorm von ${\mathfrak {a}}$. Die komplexen Werte $\chi ({\mathfrak {a}})$ beruhen auf einem Charakter (d. h. Gruppenhomomorphismus)

$\chi :\;J^{\mathfrak {m}}\;\longrightarrow \;S^{1}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.$

Ist nun $\chi :\;J^{\mathfrak {m}}\;\longrightarrow \;S^{1}$ ein beliebiger, solcher Charakter und setzt man $\chi ({\mathfrak {a}})=0$ für alle Ideale ${\mathfrak {a}}$, die nicht teilerfremd zu ${\mathfrak {m}}$ sind, so konvergiert die oben angegebene L-Reihe $L(\chi ,s)$ in der Halbebene $\Re (s)>1$ absolut. Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung von Idealen in ${\mathcal {O}}_{K}$ gilt die nachfolgende Gleichheit mit dem zugehörenden Euler-Produkt, welches alle von Null verschiedenen Primideale ${\mathfrak {p}}$ von ${\mathcal {O}}_{K}$ durchläuft:

$L(\chi ,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {\chi ({\mathfrak {a}})}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-\chi ({\mathfrak {p}}){\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.$

Die eigentliche Herausforderung liegt nun aber in einer geeigneten Auswahl der Charaktere $\chi :\;J^{\mathfrak {m}}\;\longrightarrow \;S^{1}$, so dass die für L-Funktionen typischen Eigenschaften bewiesen werden können. Die Charaktere mit diesen wünschenswerten Eigenschaften heißen Größencharaktere: Ein Größencharakter modulo eines ganzen Ideals ${\mathfrak {m}}$ des algebraischen Zahlkörpers $K$ ist ein Gruppenhomomorphismus

$\chi :\;J^{\mathfrak {m}}\longrightarrow \;S^{1},\;\;{\mathfrak {b}}\longmapsto \chi ({\mathfrak {b}}),$

zu dem es zwei Charaktere

$\chi _{e}:\;({\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}})^{\star }\longrightarrow S^{1}\;{\text{ und }}\;\chi _{\infty }:\;\mathbf {R} ^{\star }\longrightarrow S^{1}$

gibt, so dass für alle zu ${\mathfrak {m}}$ teilerfremden Zahlen $a\in {\mathcal {O}}_{K}$ gilt:

$\chi ((a))=\chi _{e}(a)\,\chi _{\infty }(a).$

Zur Erläuterung dieser Definition:

• $({\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}})^{\star }$ symbolisiert die Einheitengruppe des Restklassenrings ${\mathcal {O}}_{K}$ modulo ${\mathfrak {m}}$, besteht also aus allen Elementen von ${\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}}$, die invertierbar sind.

• $\mathbf {R}$ bezeichnet den Minkowski-Raum bzgl. $K$. Ist $X$ die Menge aller Einbettungen $\tau :\;K\hookrightarrow \mathbb {C}$, so besteht $\mathbf {R}$ aus allen $n$-Tupeln $(z_{\tau })_{\tau \in X}$, $z_{\tau }\in \mathbb {C}$, mit $z_{\overline {\tau }}={\overline {(z_{\tau })}}$ für alle $\tau \in X$. Addition und Multiplikation in der $n$-dimensionale $\mathbb {R}$-Algebra $\mathbf {R}$ sind komponentenweise definiert. Das Bild der Einbettungsfunktion $K\ni a\mapsto (\tau (a))_{\tau \in X}$ liegt in $\mathbf {R}$. Die multiplikative Gruppe $\mathbf {R} ^{\star }$ besteht aus allen Elemente von $\mathbf {R}$, bei denen sämtliche Komponenten von Null verschieden sind. Ist $a\in K^{\star }:=K\setminus \{0\}$, so ist $\tau (a)\neq 0$ für alle $\tau \in X$, denn die Einbettungen $\tau \in X$ sind Körperhomomorphismen. Der Gruppenhomomorphismus $\iota _{\infty }:\;K^{\star }\rightarrow \mathbf {R} ^{\star },\;a\mapsto \iota _{\infty }(a):=(\tau (a))_{\tau \in X}$, bettet also die multiplikative Gruppe $K^{\star }$ in die multiplikative Gruppe $\mathbf {R} ^{\star }$ ein.

• Ein Element $a\in K^{\star }$ heißt teilerfremd zum ganzen Ideal ${\mathfrak {m}}$, wenn das Hauptideal $(a):=a{\mathcal {O}}_{K}$ teilerfremd zu ${\mathfrak {m}}$ ist. Bezeichnet $K^{({\mathfrak {m}})}:=\{a\in K^{\star }\mid (a,{\mathfrak {m}})=1\}$ die Gruppe der zu ${\mathfrak {m}}$ teilerfremden Elemente $a\in K^{\star }$ und ist $a=b/c$ mit zwei zu ${\mathfrak {m}}$ teilerfremden $b,c\in {\mathcal {O}}_{K}$, so hat man den wohldefinierten Gruppenhomomorphismus $\iota _{e}:\;K^{({\mathfrak {m}})}\rightarrow ({\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}})^{\star }$, $a\mapsto [b+{\mathfrak {m}}]/[c+{\mathfrak {m}}]$, der $a=b/c$ auf den Quotienten der Restklassen von $b$ und $c$ modulo ${\mathfrak {m}}$ abbildet.

• Entsprechend seiner Definition zerfällt $\chi$ auf den zu ${\mathfrak {m}}$ teilerfremden Hauptidealen $(a)\subset {\mathcal {O}}_{K}$ in einen „endlichen“ Charakter $\chi _{e}$ und einen „unendlichen“ Charakter $\chi _{\infty }$. Korrekterweise müssten in dieser Zerlegungsbedingung $\chi _{e}(a)$ durch $\chi _{e}(\iota _{e}(a))$ und $\chi _{\infty }(a)$ durch $\chi _{\infty }(\iota _{\infty }(a))$ ersetzt werden, worauf der Kürze halber stets verzichtet wird. $\chi _{e}$ und $\chi _{\infty }$ sind durch $\chi$ eindeutig bestimmt.