Schlangenlemma

Satz aus der homologischen Algebra

Das Schlangenlemma, eine in allen abelschen Kategorien gültige Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra, ist ein Werkzeug zur Konstruktion der dort betrachteten langen exakten Sequenzen. Wichtige Anwendungen findet es beispielsweise in der algebraischen Topologie. Die mit dem Schlangenlemma konstruierten Homomorphismen werden üblicherweise als Verbindungshomomorphismen bezeichnet.

AussageBearbeiten

In einer abelschen Kategorie (etwa der Kategorie der abelschen Gruppen oder der Vektorräume über einem gegebenen Körper) sei das folgende kommutative Diagramm gegeben:

 

Hierbei seien die Zeilen exakt und   bezeichne das Nullobjekt. Dann gibt es eine exakte Sequenz, die die Kerne und Kokerne von  ,  ,   in Beziehung setzt:

 

Ist außerdem   ein Monomorphismus, so ist das auch der Morphismus  . Ist   ein Epimorphismus, so gilt das auch für  .

In der Kategorie der Gruppen gilt das Schlangenlemma dagegen nur unter Zusatzvoraussetzungen an die Homomorphismen  ,  ,   (siehe unten).

Herkunft des NamensBearbeiten

Erweitert man das Diagramm um Kerne und Kokerne, so sieht man, wie sich die behauptete exakte Sequenz durch das Diagramm „schlängelt“:

 

BeweisBearbeiten

Für den Beweis nimmt man zunächst an, dass das Diagramm die Kategorie der Moduln über einem Ring betrifft. Dies gestattet es, die Behauptung durch Diagrammjagd nachzuweisen. Die Gültigkeit für den Fall einer beliebigen abelschen Kategorie ergibt sich dann aus dem Einbettungssatz von Mitchell.

Konstruktion der HomomorphismenBearbeiten

Die Homomorphismen zwischen den Kernen bzw. Kokernen werden in natürlicher Weise von den gegebenen horizontalen Homomorphismen über die universellen Eigenschaften von Kern bzw. Kokern induziert. Die wesentliche Aussage des Lemmas ist die Existenz des Verbindungshomomorphismus  , der die Sequenz vervollständigt.

Im Falle der Kategorie abelscher Gruppen oder von Moduln über einem Ring kann man   elementweise durch Diagrammjagd konstruieren: Sei   gegeben, d. h. ein   mit  . Wegen der Surjektivität von   gibt es ein   mit  . Wegen   gibt es ein (wegen der Injektivität von   eindeutiges)   mit  . Definiere   als das Bild von   in  .

Die Wahl von   war hierbei nicht eindeutig, wegen der Exaktheit bei   hat jedoch jede andere Wahl die Form   für geeignetes  . Als Folge wird   durch   ersetzt, was dann jedoch auf denselben Wert für   führt. Somit ist die Abbildung   wohldefiniert.

Hat man zu   jeweils   sowie   mit   und   gewählt, so kann man zu   offenbar   sowie   wählen:  ,  . Hieraus ergibt sich  . Ebenso folgt, wenn   ein Ringelement ist, aus   und  , dass   ist. Somit ist die Abbildung   linear, also ein Homomorphismus.

KomplexeigenschaftBearbeiten

Dass die Schlangensequenz einen Komplex bildet, dass also zwei „Pfeile“ hintereinander stets die Nullabbildung ergeben, folgt rasch:

  • Die Abbildung   wird induziert von  
  • Für die Abbildung   sei   und  . Dann kann man in der obigen Konstruktion von   ebendieses   wählen, woraus sich  , dann   und somit   ergibt.
  • Für die Abbildung   sei  . Mit den Bezeichnungen wie in der Konstruktion oben ergibt sich das Bild in   aus  . Da dies in   liegt, ergibt sich 0.
  • Die Abbildung   wird induziert von  

ExaktheitBearbeiten

Die Exaktheit der Homomorphismen zwischen den Kernen, zwischen den Kokernen sowie an Anfangs- und Endpunkt des Pfeils d weist man wiederum durch Diagrammjagd nach:

  • Exaktheit bei  : Ist   mit  , so immerhin   für ein  . Wegen   und der Injektivität von   folgt  , also in der Tat wie erforderlich   für ein  .
  • Exaktheit bei  : Sei   mit  . Mit den Bezeichnungen von oben ist dann   für ein  . Dann ist  , folglich   für ein  . Damit wird  
  • Exaktheit bei  : Ein Element   von   stammt stets von einem  . Dass es auf   abgebildet wird, bedeutet, dass   im Bild von   liegt. Sei   mit   und setze  . Dann gilt  . Somit ist   und es wird, so wie es nach Konstruktion auf das gegebene   abgebildet.
  • Exaktheit bei  : Ist   das Bild von   und wird   auf die Null in   abgebildet, so gilt   für ein  . Wegen der Surjektivität von   gibt es ein   mit  . Dann  , also   für ein  . Beim Übergang zu den Kokernen fällt   weg, also ist   das Bild von  .

Die letzten drei Punkte nutzen aus, dass die vertikalen Sequenzen exakt sind.

NatürlichkeitBearbeiten

Für Anwendungen des Schlangenlemmas ist es häufig nötig, dass die langen exakten Sequenzen „natürlich“ sind (im Sinne einer natürlichen Transformation). Dies ergibt sich dann aus der Natürlichkeit der vom Schlangenlemma gelieferten Sequenz.

Ist

 

ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen, so kann man das Schlangenlemma einmal auf den "vorderen" Teil anwenden und einmal auf den "hinteren". Die beiden sich ergebenden exakten Sequenzen stehen miteinander über ein Diagramm der Form

 

in Beziehung.

Man kann dies auch durch Anwendung des Schlangenlemmas auf die Kategorie der Morphismen zwischen Objekten der ursprünglichen Kategorie erkennen.

Kategorie der GruppenBearbeiten

Da eine Reihe von Sätzen der homologischen Algebra nicht nur für abelsche Kategorien, sondern auch für die Kategorie der Gruppen Gültigkeit haben, sei darauf hingewiesen, dass dies für das Schlangenlemma nicht der Fall ist. In der Kategorie der Gruppen existieren die Kokerne nicht unbedingt, jedoch können diese durch die Nebenklassen  ,  , und   ersetzt werden. Zwar findet man auch hier einen natürlichen Verbindungshomomorphismus d, jedoch ist die lange Folge lediglich ein Kettenkomplex und nicht notwendigerweise exakt. Nur wenn die vertikalen Sequenzen exakt sind, d. h. die Bilder unter a, b und c jeweils Normalteiler in A, B bzw. C sind, d. h. die Kokerne existieren, funktioniert der Beweis der Exaktheit auch für Gruppen.

Die einfache alternierende Gruppe   enthält eine zur symmetrischen Gruppe   isomorphe Untergruppe, in der wiederum die zyklische Gruppe   ein Normalteiler ist. Hieraus erhält man ein kommutatives Diagramm

 

mit exakten Zeilen.

Da   einfach ist, ist der Kokern der rechten Abbildung trivial, während   isomorph zu   ist. Die lange Sequenz hat daher die Form

 

und ist folglich nicht exakt.

WissenswertesBearbeiten

LiteraturBearbeiten