Limes (Kategorientheorie)

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In der Algebra oder allgemeiner der Kategorientheorie ist der projektive Limes (oder inverse Limes oder einfach Limes) eine Konstruktion, mit der man verschiedene in gewisser Weise zusammengehörende Strukturen verbinden kann. Das Ergebnis dieses Verbindungsvorgangs wird vor allem bestimmt von Abbildungen zwischen diesen Strukturen.

Projektive Limites für Mengen und einfache algebraische StrukturenBearbeiten

Die folgende Konstruktion definiert den Limes für Mengen oder beliebige algebraische Strukturen, die mithilfe von Limites (Produkten, Endobjekten, Differenzkernen) definiert sind. Als Beispiel werden Gruppen behandelt.

Gegeben seien eine halbgeordnete Menge  ,[1] für jedes   eine Gruppe   und für je zwei Indizes   mit   ein Gruppenhomomorphismus

 

Diese Homomorphismen seien außerdem verträglich in dem Sinne, dass für   gilt:

 

(„um von   nach   zu kommen, kann man auch einen Umweg über   nehmen“).

Der projektive Limes   ist die Menge aller Familien   mit   mit der Eigenschaft

  für  .

Durch die komponentenweise Definition seiner Verknüpfung über die Verknüpfungen in den Komponenten   wird   zu einer Gruppe.

Die universelle EigenschaftBearbeiten

Der projektive Limes   zusammen mit den Homomorphismen

 

den kanonischen Projektionen, hat die folgende universelle Eigenschaft:

Für jede Gruppe   und Homomorphismen  , für die   für alle   gilt, existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus  , so dass   gilt.
 
Kommutatives Diagramm zur Definition des Limes in der Kategorientheorie

Projektive Limites in beliebigen KategorienBearbeiten

Mithilfe des Begriffs des projektiven Limes für Mengen kann man projektive Limites in beliebigen Kategorien definieren: Sind Objekte   einer Kategorie   und Übergangsmorphismen   gegeben, so ist der Limes dieses projektiven Systems charakterisiert durch eine natürliche Äquivalenz

 

von Funktoren in  ; dabei ist der Limes auf der rechten Seite der bereits definierte Limesbegriff für Mengen. Der derartig definierte Limes erfüllt die analoge universelle Eigenschaft.

Für "einfache" algebraische Strukturen wie Vektorräume, Gruppen oder Ringe stimmt dieser Limesbegriff mit dem oben definierten, mengenbasierten überein.

Es gibt jedoch Kategorien, in denen projektive Limites nicht existieren, beispielsweise die Kategorie der endlichen abelschen Gruppen: Es sei   das projektive System

 

mit der Projektion auf die ersten Faktoren als Übergangsabbildungen. Für   ist

 

unendlich, also nicht gleich

 

für irgendeine endliche abelsche Gruppe  .

BeispieleBearbeiten

  • In der Kategorie der topologischen Räume gibt es Limites: Der mengenbasierte Limes war konstruiert als eine Teilmenge des kartesischen Produktes. Versieht man das Produkt mit der Produkttopologie und den Mengen-Limes mit der Teilraumtopologie, erhält man den kategoriellen Limes. Sind alle   kompakt und hausdorffsch, dann ist der projektive Limes   ebenfalls kompakt und hausdorffsch.
  • Jede kompakte topologische Gruppe ist projektiver Limes von kompakten Lie-Gruppen.
  • Für   ist der Ring   der p-adischen ganzen Zahlen der projektive Limes der Restklassenringe  , wobei die halbgeordnete Indexmenge   mit der natürlichen Ordnung versehen ist und die Morphismen die Restklassenabbildungen sind. Die natürliche Topologie auf   ist die von der diskreten Topologie auf den   induzierte Produkttopologie, und   ist dicht in  .
Die proendliche Vervollständigung   des Rings der ganzen Zahlen   ist der projektive Limes der Restklassenringe  , wobei die Indexmenge   mit der Halbordnung der Teilbarkeit versehen ist und die Morphismen die Restklassenabbildungen sind. Genauer: Sind   mit  , dann sind die Restklassenabbildungen   wie oben ein verträgliches System von Homomorphismen.   erweist sich als das direkte Produkt   (Addition und Multiplikation gehen komponentenweise – letztere mit Nullteilern).
Die natürliche Topologie auf   ist die von der diskreten Topologie auf den   induzierte Produkttopologie, und   ist dicht in  .
Beweis der Dichtheit von   in  

Für die Zwecke des Beweises werden die Primzahlen durchnummeriert:  . Die Einbettung   wirft eine ganze Zahl   in jedem Faktorraum   an die Stelle  :
       mit  
Sei   ein Element aus  . Für jedes   ist   eine  -adische ganze Zahl.
Die approximierende Folge sei   mit  . Ein Folgenglied   approximiert   mit der Approximationsgüte  , wenn die folgenden Kongruenzen für  
      
simultan gelten. Das ist machbar, weil die Moduln   paarweise teilerfremd sind.
Zu jedem   und   gibt es eine Approximationsgüte  , so dass  . Die Komponente   kann also beliebig, nämlich auf  , genau approximiert werden. Mithin konvergiert die Folge   für   gegen  .  ■

  • Für eine beliebige galoissche Körpererweiterung   ist die Galoisgruppe   isomorph zum projektiven Limes der Galoisgruppen  , wobei   alle endlichen und galoisschen Zwischenerweiterungen von   durchläuft, die halbgeordnete Indexmenge die Menge dieser Zwischenkörper mit der Inklusionsordnung ist, und der Morphismus für   gegeben ist durch   (also die Einschränkung eines Automorphismus auf den kleineren Körper). Betrachtet man alle   als diskrete topologische Gruppen, dann wird auf   eine Produkttopologie induziert, die Krulltopologie genannt wird.
    Da alle endlichen Erweiterungen eines endlichen Körpers zyklisch sind, ist die Galoisgruppe des algebraischen Abschlusses eines endlichen Körpers isomorph zu   (als additiver Gruppe).
  • Erweiterungssatz von Kolmogorov: Gegeben sei eine nichtleere Indexmenge   und Borel’sche Räume   für  . Sei   die Menge aller nichtleeren, endlichen Teilmengen von  . Ist eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen   gegeben, so existiert ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß   auf dem Messraum   für das   für jedes   gilt. Dabei bezeichnet   die Projektion auf die Komponenten der Indexmenge  . Man schreibt dann   und bezeichnet das Wahrscheinlichkeitsmaß   dann als projektiven Limes.

Limites mit IndexkategorienBearbeiten

In Verallgemeinerung des Limes für teilgeordnete Indexmengen kann man Limites für beliebige Indexkategorien betrachten:

Es sei   eine kleine Kategorie,   eine beliebige Kategorie und   ein Funktor. Dann ist ein Limes von   ein darstellendes Objekt für den Funktor

 

dabei bezeichne   den konstanten Funktor   mit Wert  . Der Limes ist also ein Objekt   zusammen mit einer natürlichen Äquivalenz

 

von Funktoren in  .

Aus dieser natürlichen Äquivalenz erhält man für   auch die kanonischen Projektionen   (als Entsprechung von   auf der linken Seite).

Die natürliche Äquivalenz ist im Wesentlichen nur eine kompakte Schreibweise der universellen Eigenschaft: Morphismen in ein Limesobjekt entsprechen kompatiblen Systemen von Morphismen in die einzelnen Objekte, genau wie im Spezialfall von teilgeordneten Indexmengen.

Dieser Limesbegriff umfasst einige andere universelle Konstruktionen als Spezialfälle:

  universelle Konstruktion
Beliebig viele Objekte, nur Identitäten Produkt
  Endobjekt
  Differenzkern
  Faserprodukt

Hat die Indexkategorie ein Anfangsobjekt  , so ist der Limes gleich  .

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Manche Autoren definieren den projektiven Limes nur im Fall, wo   gerichtet ist. Für die in diesem Artikel vorgestellten grundlegenden Eigenschaften des Limes in abstrakten Kategorien ist diese Forderung unnötig. Sie kann aber bei topologischen Fragestellungen erforderlich sein. Jon Brugger: Pro-endliche Gruppen Bemerkung 3.5

Siehe auchBearbeiten