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In der Algebra und Zahlentheorie ist eine proendliche Zahl (auch pro-endliche Zahl, proendliche Ganzzahl oder profinite (Ganz)zahl, englisch: profinite integer) durch die Reste (Restklassen) festgelegt, die sie in allen ganzzahligen Restklassenringen bildet. Damit ist sie ein Element aus der proendlichen Vervollständigung (gesprochen: Zett-Dach) der Gruppe der ganzen Zahlen .[1][2] Die (rationalen) Ganzzahlen lassen sich vermöge des kanonischen injektiven Homomorphismus

in die proendlichen Zahlen einbetten. Dabei wird die Zahl in allen Restklassenringen auf das dortige abgebildet. Dieses „erzeugt“ gewissermaßen

Die so eingebetteten ganzen Zahlen liegen dicht in den proendlichen ganzen Zahlen [3][4] Sie sind in Folgen von Restklassen, und bei den Eigenschaften bspw. einer solchen 1 oder 2 kommt es (wie häufig in der Abstrakten Algebra) nur auf diejenigen an, die sie in ihren Verknüpfungen haben.

Die Galois-Gruppe des algebraischen Abschlusses eines endlichen Körpers über diesem Körper ist isomorph zu

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Die proendliche Vervollständigung der Gruppe der ganzen Zahlen   ist

            (projektiver oder inverser Limes).

Die Bildung eines projektiven Limes erfordert ein sog. projektives System bestehend aus einer gerichteten Indexmenge, die eine Folge von Objekten indiziert, und Übergangsmorphismen zwischen diesen Objekten. Für   nimmt man als gerichtete Indexmenge die natürlichen Zahlen   die durch die Teilbarkeitsrelation   partiell geordnet sind, und als Folge von Objekten die Folge der endlichen zyklischen Gruppen   Zu jedem   und jedem   gibt es den Gruppenhomomorphismus (die „Restklassenabbildung“, die „natürliche Surjektion“)

 

der wegen   wohldefiniert ist. Diese Homomorphismen nimmt man als Übergangsmorphismen zwischen den Objekten. Sie bilden einen Erzeuger von   in einen von   ab und sind für   in einer Weise, nämlich

  also  

verträglich, wie es für das projektive System und die Bildung des projektiven Limes erforderlich ist.

Im projektiven Limes werden diejenigen Familien   von Restklassen zusammengefasst, deren Komponenten miteinander verträglich sind, bei denen also für alle   mit   gilt:

 

was durch die Kongruenzen

       

erfüllt wird. In einer Formel geschrieben ergibt sich:

 

Eine Elementefamilie, die die Verträglichkeitsbedingungen   erfüllt, die also zum projektiven Limes gehört, wird manchmal auch als „Faser“ bezeichnet.

Die komponentenweise definierte Addition ist stetig. Dasselbe gilt in   zusätzlich für die Multiplikation. Dadurch wird   zu einer topologischen additiven Gruppe und zu einem topologischen Ring mit 1.

Die natürliche Topologie auf   ist die Limestopologie, d. i. die von den diskreten Topologien auf den   induzierte Produkttopologie. Diese Topologie ist mit den Ringoperationen verträglich und wird auch Krulltopologie genannt. Gleichzeitig ist   die abgeschlossene Hülle von   im Produkt   was die Dichtheit von   in   impliziert.

Alternative KonstruktionBearbeiten

Der Ring der ganzen Zahlen   kann auch in „klassischer“ Manier über eine uniforme Struktur vervollständigt werden. Sei dazu für  

 

eine Nachbarschaft (der Ordnung  ). Die Menge   ist ein (abzählbares) Fundamentalsystem[5] und der zugehörige Filter

 

eine uniforme Struktur für  . Die Forderungen an   sind leicht verifiziert:

(1) Jede Nachbarschaft   und jedes   enthält die Diagonale  
(2) Ist   und  , dann ist  
(3) Ist  , dann ist auch  
(4) Zu jedem   gibt es ein   mit  .[6]
(5) Ist  , dann ist auch  

Die Menge   der Cauchy-Netze in   ist

 

welche mit der komponentenweisen Addition eine Gruppe ist. Die Vervollständigung der ganzen Zahlen   bezüglich der uniformen Struktur der Teilbarkeit ist die Faktorgruppe   der Cauchy-Netze modulo den Nullfolgen   (genauer: den Folgen, die Nullnetze bzw. Cauchy-Netze mit Limes   sind).[7]

  erweist sich als isomorph zu  

Beweis  
Sei   eine Familie von verträglichen Restklassen, also
 ,

und sei  , dann ist für alle   mit  

 ,

die Folge   der Repräsentanten also ein Cauchy-Netz.

Ist umgekehrt   eine Folge von ganzen Zahlen, die ein Cauchy-Netz ist im Sinne der oben definierten uniformen Struktur, dann gibt es zu jedem   ein  , so dass für alle   mit   gilt

  .

Nimmt man jetzt  , dann ist

 

für alle   mit  . Die Teilfolge   hat denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Folge, repräsentiert also dasselbe Element  . Ist nun  , dann ist für alle   mit   auch   und  , also

  .

Damit erfüllt die Folge   von Restklassen die Verträglichkeitsbedingungen   und ist eine Familie

  .
Ergebnis
Man kann von Folgen von Restklassen   zu den Folgen ihrer Repräsentanten   übergehen – wie man auch umgekehrt aus einem Cauchy-Netz von Ganzzahlen durch Beigabe von Moduln eine Folge von Restklassen machen kann, die dieselbe proendliche Zahl ausmacht.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Menge   der proendlichen Zahlen ist überabzählbar.
 
Kommutatives Diagramm zum Ring der proendlichen Zahlen
  • Der projektive Limes   zusammen mit den Homomorphismen
 
den kanonischen Projektionen (des projektiven Limes), hat die folgende universelle Eigenschaft:
Für jede Gruppe   und Homomorphismen   für die   für alle   gilt, existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus   so dass   gilt.
 
Universelle Eigenschaft des Einbettungs-
isomorphismus  
  • Der natürliche Homomorphismus   hat die folgende universelle Eigenschaft:
Für jeden Homomorphismus   in eine proendliche Gruppe   gibt es einen (bezüglich der Krulltopologie) stetigen Homomorphismus   mit  
 
(mit   als der Menge der natürlichen Primzahlen) von   zum direkten Produkt der p-adischen Zahlringe   die ihrerseits projektive Limites
 
sind.[9] Bei der Umkehrfunktion des Isomorphismus lässt sich zu einem beliebigen Vektor   mit Komponenten   das Urbild   (eindeutig) mithilfe des chinesischen Restsatzes bestimmen, der in einem erweiterten iterativen Verfahren, ähnlich dem im Beweis der Dichtheit im Artikel Limes (Kategorientheorie) gebrachten, angewendet wird.[10]
Wie im projektiven Limes geschehen Addition und Multiplikation im direkten Produkt komponentenweise. Das bedeutet, dass es Nullteiler gibt in   und   keinen Quotientenkörper haben kann.
Für jede Primzahl   bezeichne
 
die kanonische Projektion (des direkten Produktes). Angewendet auf die Injektion
       
                 
 
Komponente  
erfüllt sie   Die Komposition   dagegen entspricht der Multiplikation
       
                     
mit
           
 
Komponente  
  • Eine in   konvergente Zahlenfolge konvergiert auch in jedem proendlichen Unterring   und umgekehrt. Die Konvergenz für ein einzelnes   genügt allerdings nicht. Beispiel: Die Folge   die in   gegen   konvergiert, divergiert sowohl in   für Primzahlen   ungleich   wie auch in   Denn ist   die Ordnung von   in der multiplikativen Gruppe   des endlichen Körpers, dann gilt für alle   und  
Topologie

Die Produkttopologie auf   ist die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen   stetig sind.

Diese Topologie fällt mit der oben erwähnten Limestopologie zusammen und wird Krulltopologie genannt. Da der die Isomorphie etablierende Isomorphismus gleichzeitig in beiden Richtungen stetig unter den beiderseitigen Topologien ist, ist er zusätzlich ein Homöomorphismus.

DarstellungBearbeiten

Die Entwicklung einer proendlichen Zahl beinhaltet (wie die einer reellen) im Normalfall unendlich viele Symbole. Die solche Symbolfolgen bearbeitenden Algorithmen können davon nur endliche Anfangsstücke abarbeiten. Bei einem Abbruch ist eine Angabe über die Größenordnung des Fehlers wünschenswert, ähnlich den p-adischen Zahlen, bei denen die letzte ausgeworfene Ziffer genau ist.

Darstellung als direktes ProduktBearbeiten

Die Darstellung einer proendlichen Zahl   als direktes Produkt

 

ist ein in zwei Dimensionen unendlicher[11] „Vektor“. Bei dieser Darstellung sind viele algebraisch-zahlentheoretiche Eigenschaften von   anhand der Eigenschaften in den   gut erkennbar.[12]

Darstellung als unendliche ReiheBearbeiten

Im projektiven Limes   kann man die Halbordnung der Teilbarkeitsrelation   durch eine lineare Ordnung   ersetzen. Sei dazu   mit   der „Stellenwert“ (das Gewicht) an der Stelle   und   mit   die „Basis“. Dann ist[13]

 

wobei jedes Element   eine unendliche Familie

         

von Restklassen ist. Jeder solche Repräsentant   lässt sich als Teilsumme

         
                     
                           

einer Reihe   mit „Ziffern“       in einer Stellenwertnotation mit mehreren Basen schreiben.[14][15]

Die Indizierung ist so gewählt, dass die Ziffer   Repräsentant einer Restklasse   ist – mit einem um 1 höheren Index – und das Folgenglied   Repräsentant einer Restklasse   dem „Modul“ (an der Stelle  ).[16]

Algorithmus  
In der Induktionsannahme seien für   die Ziffern   der Darstellung schon derart bestimmt, dass
       

Im Induktionsschritt komme die Forderung

     

hinzu, die für alle Teiler   die Verträglichkeitsbedingung

       

mit einer der kanonischen Projektionen   des projektiven Limes erfüllt. Es sollen aber die bereits etablierten Kongruenzen erhalten bleiben, d. h.

     

gelten. Der erweiterte euklidische Algorithmus

   

liefert zu den beiden Moduln   und   neben dem größten gemeinsamen Teiler   zwei Zahlen   mit

   

Wegen   gilt ähnlich wie in  

     

was zusammengenommen

     

ergibt. Also lässt sich   und

   

bilden, so dass mit

     

sowohl

     )

als auch

   
 
   )

gilt, wie es sein soll.     ■
Die gezeigte Wahl von   führt zum System A003418 der kleinsten gemeinsamen Vielfachen und zum System A051451, während eine Wahl   mit dem  -fachen Modul   und beliebigem   zum fakultätsbasierten System führt.

Der Algorithmus vereinigt in jedem Induktionsschritt in Anwendung des chinesischen Restsatzes (unter Zuhilfenahme des erweiterten euklidischen Algorithmus) zwei (simultane) Kongruenzen zu einer neuen, die zu den beiden Ausgangskongruenzen äquivalent ist. (Im Fall nicht-teilerfremder Moduln wird die Lösbarkeit durch die Verträglichkeitsbedingungen des projektiven Systems stets garantiert.) Das Verfahren wirft unabhängig von der Wahl des Basissystems pro Schritt ein Folgenglied einer unendlichen Reihe aus.

Werden umgekehrt Ziffern mit       frei gewählt, dann stellt die mit ihnen und dem gegebenen Basissystem   gebildete unendliche Reihe   eine (eindeutige) proendliche Zahl dar.

Kofinale FolgeBearbeiten

Diese Reihe ist nur dann bei jedem beliebigen   eine Stellenwertentwicklung, wenn das gegebene Basissystem   jede Primzahl unendlich oft enthält, d. h. wenn die Folge der Moduln   kofinal in  [17] und monoton (wachsend)[18] ist.[11] Dies ist beim System der Fakultäten, dem A003418- und dem A051451-basierten System der Fall. Die Monotonie vermeidet Basen   und ist wachsend, da das interessante, das offene Ende von   bei den großen Zahlen ist.

FakultätsbasiertBearbeiten

Im fakultätsbasierten Zahlensystem (engl. factorial number system) werden als Moduln die Fakultäten  [19] und damit   als Basen gewählt. Lenstra gibt für   die Symbolfolge

–1 = … 1010998877665544332211
    = (… 10987654321)!

und kennzeichnet sie mit dem tiefgestellten Rufzeichen. Dabei ist die Ziffer 1 ganz links wie in Lenstra Profinite Fibonacci numbers. S. 297 hochgestellt, um auszudrücken, dass sie (ggf. zusammen mit anderen hochgestellten Ziffern) bis einschließlich zur nächsten normal geschriebenen Ziffer rechts davon zu einer Dezimalzahl gehört, welche eine einzige Stelle der Darstellung ausmacht. Die Aufschreibung im Horner-Schema ist:

    = (((((((((( 10)·10+9)·9+8)·8+7)·7+6)·6+5)·5+4)·4+3)·3+2)·2+1)·1
    = 11! – 1 = 39916799 ≡ –1 (mod 39916800 = 11!).[20]

Proendliche Zahlen haben in dieser Darstellung abhängig von ihrem Rest mod 24=4·3·2 die folgenden Entwicklungen in den ersten (rechtesten) 3 Stellen:

xx mod 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
  (z3 z2 z1)!   000  001  010  011  020  021  100  101  110  111  120  121  200  201  210  211  220  221  300  …

Die Wahl der Fakultäten als Moduln bei der fakultätsbasierten Darstellung bevorzugt die Produkte kleiner Primfaktoren, ganz besonders des Primfaktors 2.

A003418- bzw. A051451-basiertBearbeiten

Die folgende Wahl der Basen und Moduln erzeugt Darstellungen, bei denen die natürlichen Zahlen umgekehrt proportional zu ihrer Größe bevorzugt werden.

Sei dazu zunächst für jedes  

 

(kleinstes gemeinsames Vielfaches) das Produkt der maximalen Primzahlpotenzen  .[21] In Zahlen ausgerechnet ergibt sich mit

P:= ( P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10, … )
= ( 1, 1·2=2, 2·3=6, 6·2=12, 12·5=60, 60·1=60, 60·7=420, 420·2=840, 840·3=2520, 2520·1=2520, … )

die Folge A003418 in OEIS.[22]

Wählt man für die Darstellung   als Moduln, dann sind die zugehörigen Basen   Ist   keine Primzahlpotenz, dann ist   Ist aber   eine Primzahlpotenz, etwa   dann ist   eine Primzahl.

Das Beispiel

–1 = … 101032217610542132211
    = … 10021604121,

im Horner-Schema

    = (((((((((( 10)·1+0)·3+2)·2+1)·7+6)·1+0)·5+4)·2+1)·3+2)·2+1)·1
    = P12 – 1 = 27719 ≡ –1 (mod 27720 = P12),

gibt die Darstellung von –1 (mit nur Ziffern oder mit den Ziffern fett und den Basen normal gedruckt). Dabei ist die Ziffer 1 ganz links wie in Lenstra Profinite Fibonacci numbers. S. 297 hochgestellt, um auszudrücken, dass sie zur selben Stelle gehört wie die nächste normal geschriebene Ziffer.

Lässt man die Basen =1 zusammen mit den zu ihnen gehörenden, verschwindenden Ziffern weg, so hat man

zu den Moduln
P9=2520, P8=840, P7=420, P5=60, P4=12, P3=6, P2=2, P1=1 
resp. zu den Basen
b9=3,       b8=2,       b7=7,       b5=5,       b4=2,       b3=3,       b2=2        
die Entwicklung
–1 = … 1
= … 103 22 17 65 42 13 22 11
= … 10 ·P9+   2 ·P8+   1 ·P7+   6 ·P5+   4 ·P4+   1 ·P3+   2 ·P2+   1 
= …, 27719, 2519, 839, 419, 59, 11, 5,
= …, P11 – 1, P9 – 1, P8 – 1, P7 – 1, P5 – 1, P4 – 1, P3 – 1, P2 – 1 
≡ –1 (mod Pn) für alle nN.

Die Moduln Pn dieser Darstellung machen (bei entsprechend angepasster Indizierung) die Folge A051451 in OEIS aus.[19]

UnterringeBearbeiten

Direkte SummeBearbeiten

Die Elemente im direkten Produkt  , bei denen nur endlich viele Komponenten von 0 verschieden sind, fasst man in der direkten Summe

 

zusammen. Eine proendliche Ganzzahl   dieser Art kann als  -adische Entwicklung der Form

 

mit einer Basis       und Ziffern     aus     geschrieben werden. Man sagt,   wird zur Basis   notiert. Die  -Darstellung lässt sich aus den  -Darstellungen mit dem chinesischen Restsatz gewinnen.

Die Darstellung ist eindeutig und kommt ohne ein vor das Literal (die Zahlkonstante) gestelltes Vorzeichen aus. Für alle Basen   ist

 

Alle diese Darstellungen zur Basis   sind dieselben wie im Ring

 

der ein Unterring der direkten Summe ist.[23]

Aus dieser Darstellung lässt sich erkennen, dass (zu einem  ) die Basis   quadratfrei gewählt werden kann.

PrimzahlpotenzenBearbeiten

Für jede Primzahl   und   ist

  .
Beweis  
Eine Familie von Restklassen   aus dem projektiven Limes  

erfüllt für alle   die Kongruenzen

        ,

Kongruenzen, die

       

trivialerweise implizieren. Daraus folgt  , also   .

Ist umgekehrt   eine Familie aus dem projektiven Limes  , dann sind für alle   die Kongruenzen

       

erfüllt. Die Familien von Restklassen

 

sind zwar eine Vergröberung der ursprünglichen Familien. Und sie erfüllen die Bedingungen  . Da aber die Folge   kofinal ist zu  , ergeben sie denselben projektiven Limes.   ■

Die folgende Überlegung führt zum selben Ergebnis:
Ausgehend von der  -adischen Darstellung

 

mit   und   kommt man über die Teilsummen   direkt zu

  ,

was wegen   die  -adische Darstellung ist. Dieser Weg lässt sich auch umkehren – mit dem Ergebnis:

 

10-adische ZahlenBearbeiten

Die 10-adischen Zahlen sind ein Beispiel für einen  -adischen Ring, bei dem die Basis   keine Primzahlpotenz ist. Sie werden als projektiver Limes

 

gebildet und sind ein Unterring der direkten Summe.

Ultrametrik

Auf dem Ring  , ja auf ganz  ,[24] lässt sich eine Ultrametrik   definieren, die   zu einem metrischen Raum mit der Krulltopologie macht.

Beweis  
Eine rationale Zahl   lässt sich schreiben als   mit ganzzahligen   und einem zu   und   teilerfremden   Zu jedem von 0 verschiedenen   gibt es einen maximalen Exponenten   mit dieser Eigenschaft. Analog zu   wird auf ganz   eine Funktion   definiert als:[25]
    für    ,
  sonst.

Die Forderungen „Nicht-Negativität“ und „positive Definitheit“ aus der Zusammenstellung Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper sind leicht einzusehen. Die „Multiplikativität“ kann nicht erfüllt werden, da   Nullteiler hat (s. Abschnitt #Nullteiler).[26] Die „Dreiecksungleichung“ ergibt sich so: Haben die 2 Zahlen   und   verschiedene Exponenten   und   dann hat die Summe den Exponenten   Sind sie aber gleich, dann ist   mit   so dass der neue Exponent keinesfalls kleiner und der neue Betrag keinesfalls größer werden kann. Es gilt also

   ■

Eine solche Dreiecksungleichung nennt man verschärft. Die mithilfe dieser Funktion   definierte Metrik

 

erzeugt ebenfalls die Produkttopologie (Krulltopologie).

10-adisch zu 2-adisch und 5-adisch

Ist   ferner       und sind   jeweilige Repräsentanten der Nebenklassen   dann entspricht die Bedingung   der Kongruenz

 

Daraus folgt aber für  

 

so dass dieselben Repräsentanten   sowohl eine proendliche 2-adische Zahlenfolge   wie auch eine proendliche 5-adische Zahlenfolge   ausmachen.

(2×5)-adisch zu 10-adisch

Zu frei gewählten

    und      

gibt es ein eindeutig bestimmtes   mit

    und            

Denn die 2 simultanen Kongruenzen

    und            

können wegen der Teilerfremdheit der Moduln für jedes   mit dem chinesischen Restsatz (eindeutig) gelöst werden.     wird dadurch     festgelegt.

Nullteiler

Endliche Zahlen (abbrechende Zahlfolgen) in den Ringen   und   liegen allesamt im Ring   der ganzen Zahlen. Dieser Ring enthält bekanntlich keine Nullteiler, genauso wenig die proendlichen Ringe   und   die ja Quotientenkörper besitzen, nämlich die 2-adischen Zahlen   bzw. die 5-adischen Zahlen  

Wie im Abschnitt #Eigenschaften ausgeführt, entspricht für ein   die Projektion   einer Multiplikation mit   Sind   zwei verschiedene Primzahlen, dann ist   (komponentenweise Multiplikation in  ). Das Produkt zweier proendlicher Zahlen kann also Null sein, auch wenn beide Faktoren von Null verschieden sind.

Der Algorithmus im Abschnitt Darstellung als unendliche Reihe liefert für  

zu den Stellenwerten[27] 2520,  840,  420,  60,  12,  6,  2,  1
die A051451-Entwicklung
12 = … 1 ·P9+   1 ·P8+   0 ·P7+   1 ·P5+   3 ·P4+   1 ·P3+   1 ·P2+   1
=           …, 3465, 945, 105, 105, 45, 9, 3, 1

Die Glieder der Folge in der letzten Zeile sind ≡1 (mod 2n) und teilbar durch (im Limes immer höhere) Potenzen aller anderen Primzahlen.[28]

Für   ergibt sich die A051451-Entwicklung

15 = … 8 ·P9+   2 ·P8+   0 ·P7+   5 ·P5+   3 ·P4+   0 ·P3+   0 ·P2+   0
=           …, 22176, 2016, 336, 336, 36, 0, 0, 0

Die Glieder der Folge in der letzten Zeile sind ≡1 (mod 5n) und teilbar durch zunehmend höhere Potenzen aller anderen Primzahlen.

Das Produkt       der beiden Folgen ist für wachsende Indizes durch immer höhere Potenzen von 10 teilbar, d. h. es konvergiert unter der Ultrametrik   gegen 0.

OberringeBearbeiten

Der Ring der proendlichen Rationalzahlen

       

umfasst  ,   und   Außerdem ist

       
       

der Ring der endlichen Adele.[29]

Das Produkt   ist der Ring der ganzzahligen Adele.

AnwendungenBearbeiten

  • Sei   eine Primzahl und   der Körper mit   Elementen. Da jede algebraische Erweiterung   von   zyklisch ist vom Grade   die Galois-Gruppe also isomorph zu   ist   , wobei   den algebraische Abschluss von   bedeutet. Dabei entspricht der Frobeniusautomorphismus
 
dem Erzeuger   von  [30]
  •   der Endomorphismenring des Moduls  
  • In additiven Gruppen können proendliche Vielfachheiten definiert werden, in multiplikativen proendliche Exponenten.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. In #Fried S. 14 Prüfer group (deutsch: Prüfergruppe) genannt. (S. a. Teilbare Gruppe)
  2. #Gille 3. Die proendliche Vervollständigung von  
  3. Beweis im Artikel Limes (Kategorientheorie)
  4. Trotzdem gibt es keine mit den Ringoperationen verträgliche Anordnung von  : Die proendlichen Zahlen können also nicht angeordnet werden. (Das gilt auch schon für die p-adischen Zahlen.)
  5. Im Abschnitt Pseudometrik#Definition einer Spanne durch eine uniforme Struktur wird ausgehend von einer uniformen Struktur, hier   unter Zuhilfenahme der Abzählbarkeit des Fundamentalsystems eine Pseudometrik konstruiert, die ihrerseits wieder   induziert.
    Es gibt jedoch sogar eine Metrik, die die uniforme Struktur   induziert:
    Sei dazu
        für    ,
      sonst.
    der „!-Wert“ eines  . [  misst die Nähe zur Null (den Grad der Teilbarkeit) von   durch Teiler der Form   (gesprochen: enn Fakultät) – in Analogie zum  -Wert in den Ringen   der den maximalen Exponenten   bei der Teilbarkeit durch   angibt, oder auch zu   (s. Lenstra Profinite number theory. S. 21) in den archimedischen Systemen.]
    Dann gilt für   mit  
     
    mit passenden   und   woraus   Der symmetrische Fall   führt zu   Beide Fälle zusammen ergeben
     
    Die damit gebildete Abstandsfunktion
     
    erfüllt die Forderungen für eine Metrik und ist eine Ultrametrik:
    (1) Positive Definitheit:     und    
    (2) Symmetrie:  
    (3) Verschärfte Dreiecksungleichung:  

    Diese Metrik ist wie die uniforme Struktur im Text durch den Grad der Teilbarkeit definiert, so dass sie als uniforme Strukturen übereinstimmen.

    NB: Die Folge   ist kofinal in  . Und jede monotone kofinale Folge definiert eine Metrik mit derselben uniformen Struktur.

  6. Denn es ist  
  7. Diese Nullnetze   sind genau die monotonen in   kofinalen Netze, denn
     
  8. #Brugger Satz 7.2.
  9. s. Artikel Limes (Kategorientheorie)
  10. Eine Implementierung dazu ist der #Algorithmus mit dem System A003418 der kleinsten gemeinsamen Vielfachen.
  11. a b Der hier vorkommende Ordnungstyp ist nicht   sondern der in zwei Dimensionen (der Folge der Primzahlen und der Folge der Exponenten) unendliche Ordnungstyp
     
    d. s. die Vektoren
        mit     für fast alle  
    Die Ordnungsrelation in   geht komponentenweise
     
    Als abzählbarer Ordnungstyp enthält er kofinale Teilfolgen.
  12. Lenstra Profinite number theory. S. 17
  13. vorausgesetzt, zu jeder Primzahlpotenz gibt es unter den Stellenwerten ein Vielfaches,
  14. Wie bei allen Stellenwertnotationen üblich, b-adischen wie p-adischen, notiert man die kleinen Exponenten auf der rechten Seite der Zeile. Dort starten auch die meisten Algorithmen, insbesondere Addition und Multiplikation. Die p-adischen und die proendlichen Zahlen setzen sich nach links hin zu den höheren Exponenten potentiell bis ins Unendliche fort.
  15. Im Unterschied zu den Notationen mit gleichbleibender Basis wechseln die Basen von Stelle zu Stelle, hängen aber von nichts als der Nummer der Stelle ab. Wenn sie mitnotiert werden, sind sie so fix wie eine Skalenteilung an einer Koordinatenachse.
  16. Dies ist in Einklang mit der Konvention bei fakultätsbasierten Zahlensystemen (so auch bei Lenstra Profinite Groups Example 2.2).
  17.  
  18.  
  19. a b Diese Folge ist streng monoton kofinal in  
  20. Werden die Basen (oder Moduln) mitnotiert, dann sind damit auch die Restklassen angegeben, auf die sich die Zwischensummen beziehen. Dies gilt auch für Notationen, bei denen die Basen anderweitig bekannt gemacht sind oder erschlossen werden können.
  21. mathworld.wolfram.com Eric W. Weisstein „Kleinstes gemeinsames Vielfaches.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  22. Diese Folge ist monoton kofinal in  
  23. Lenstra Profinite Groups Example 2.1
  24. Die Schreibweise   wird vermieden, um nicht die Assoziation eines Körpers hervorzurufen.
  25. Fjelstad S. 11.
  26. Es gilt jedoch  
  27. Die Stellenwerte (oder Moduln) sind die Gewichte, mit denen die Ziffern zu multiplizieren sind, z. B. die Ziffer 3 mit dem akkumulierten Gewicht 12 = 2·3·2·1.
  28. Betrachtet man also diese Reihe als ganzzahlige Zahlenfolge im Ring   so ist sie gleich (konvergiert sie gegen die dortige) 1. Man kann sie auch als Folge in   auffassen, dann konvergiert sie gegen (die dortige) 0.
  29. Lenstra Profinite number theory. S. 7
  30. Milne, Ch. I Example A. 5.
  31. Lenstra Profinite Fibonacci numbers. S. 299