Wittvektoren sind eine von dem Mathematiker Ernst Witt eingeführte[1] Verallgemeinerung der Konstruktion der (ganzen) p-adischen Zahlen auf beliebige perfekte Restklassenkörper. Neben diesen -typischen Wittvektoren gibt es die großen Wittvektoren, aus denen sich die -typischen Wittvektoren für beliebiges rekonstruieren lassen.

p-typische Wittvektoren

Bearbeiten

Sei   eine feste Primzahl. Für einen Ring   (kommutativ, mit Einselement) bilden die Wittvektoren einen von   abhängenden Ring  . Er ist vor allem für Ringe   der Charakteristik   interessant, die Konstruktion macht es aber erforderlich, auch andere Ringe zuzulassen.

Motivation

Bearbeiten

Sei   eine ganze Zahl. Als Approximation an eine alternative Konstruktion der  -adischen Zahlen   soll zunächst nur unter Verwendung der Addition und Multiplikation im Körper   ein zum Restklassenring   isomorpher Ring, bezeichnet mit  , konstruiert werden.

Der erste, naive Ansatz dazu wäre die Verwendung der Abbildung  , die für ganze Zahlen   die Restklasse von   in   auf die Restklasse von   in   abbildet. Die Bijektion

 

entspricht der Darstellung von ganzen Zahlen in   im Stellenwertsystem zur Basis  . Die von   übertragene Addition ist dann im Fall  :

 

wobei   der Übertrag ist. Diese Konstruktion lässt sich nicht gut auf andere Körper als   verallgemeinern, auch weil die Definition von   von dem aus algebraischer Sicht ungünstigen Vertretersystem   Gebrauch macht.

Der korrekte Ansatz basiert auf der folgenden Aussage aus der elementaren Zahlentheorie: Für ganze Zahlen   gilt:

 

(siehe Kongruenz (Zahlentheorie)). Das bedeutet: Ist   und   ein Vertreter von  , dann hängt die Restklasse von   in   nur von  , nicht jedoch von der Wahl von   ab. Wir schreiben suggestiv   für dieses Element von  . (Diese Abbildung   ist im Wesentlichen das Teichmüller-Vertretersystem für die  -adischen Zahlen  .) Allgemeiner hängt auch die Restklasse von   nicht von   selbst ab, wir scheiben  .

Weil jeweils  ,   bijektiv ist, erhalten wir durch Aufaddieren eine bijektive Abbildung:

 

Sei   die Menge   zusammen mit derjenigen Addition und Multiplikation, die   zu einem Isomorphismus machen.

Sei nun speziell   und damit  . Sollen zwei Vektoren   und   addiert werden, also  , dann erhält man modulo   die Gleichung  , also  . Damit ist

 

Das Polynom

 

hat durch   teilbare Koeffizienten, ist also gleich   mit einem Polynom  . Damit ist

 

also insgesamt

 

Die Assoziativität der Addition übersetzt sich in eine Gleichung

 

Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Gleichung bereits entsprechend in   gilt. Das bedeutet, dass man für einen beliebigen kommutativen Ring   durch die Festlegung

 

die Struktur einer abelschen Gruppe auf   definieren kann. Entsprechendes gilt für

 

mit  , so dass   zu einem kommutativen Ring mit Einselement   wird.

Definition

Bearbeiten

Bezeichne   die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Weiterhin ist   eine fest gewählte Primzahl.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome   für jedes   derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement   gilt:   ist ein Ring mit Addition:

 

und Multiplikation

 

und für jedes   ist die Abbildung

 

ein Ringhomomorphismus.   heißt Ring der  -typischen Wittvektoren mit Einträgen aus  . Ist nur die Rede von  -typischen Wittvektoren, wird nur   geschrieben.

Für   ist   mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement, der Ring der  -typischen Wittvektoren der Länge  .[2]

Das Ringelement

 

wird als  -te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von   bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

 

kann man   und   rekursiv berechnen:

 

Beispiele:

 

Auch die Negation   im Ring   ist durch universelle Polynome gegeben. Für   ist:

 

Für   ist dagegen   mit

 

Die Abbildung   ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem (nach Oswald Teichmüller).

Beweisskizze

Bearbeiten

Die rekursive Beschreibung liefert  . Um einerseits die Ganzzahligkeit, andererseits die Ringeigenschaften nachzuweisen, zeigt der klassische Beweisansatz allgemeiner:[3]

Lemma. Ist   ein Polynom (z. B.  ), dann gibt es eindeutig bestimmte ganzzahlige Polynome   mit

 

für alle  . Entsprechende Versionen dieser Aussage gelten auch für   statt   oder auch nur  .

Rationale Eindeutigkeit ist klar, der Ganzzahligkeitsbeweis beruht auf den Eigenschaften   und   sowie der oben erwähnten Implikation

 

Die Ringeigenschaften von   folgen aus der Eindeutigkeitsaussage des Lemmas: Sowohl   als auch   sind durch Polynome gegeben, die Lösungen der folgenden Gleichung sind:

 

Also sind diese Polynome gleich.

Ein anderer Beweisansatz verwendet die Identifikation des Rings der großen Wittvektoren mit dem Ring  , siehe unten.

Einfache Eigenschaften

Bearbeiten
  •   kann mit   identifiziert werden, und   mit der Projektion  . Alle Projektionen   sind surjektive Ringhomomorphismen, und
 
(siehe Projektiver Limes)
  •   und  
  • Wenn   in   invertierbar ist, dann ist die Abbildung auf die Geisterkomponenten   ein Ringisomorphismus.
  • Weitere Beispiele (unter beiden Isomorphismen entspricht   dem Vektor  ):
 

W(k) für perfekte Körper k

Bearbeiten

Sei   ein perfekter Körper der Charakteristik  . Dann ist   ein vollständiger diskreter Bewertungsring gemischter Charakteristik (d. h.  ), dessen maximales Ideal von   erzeugt wird. Diese Eigenschaft charakterisiert   bis auf Isomorphie.

Wittvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Strukturtheorie vollständiger lokaler Ringe (nach I. S. Cohen):

  • Satz von Teichmüller-Witt: Ist   ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit Restklassenkörper  , dann gibt es genau einen Homomorphismus  , so dass die Verkettung mit der Projektion   gleich der Projektion   ist. Es gibt genau einen multiplikativen Schnitt   der Projektion  , genannt Teichmüller-Vertretersystem, und die Abbildung   ist:[4]
 
  •   ist als  -Algebra isomorph zu einem Quotienten von   mit  .
  • Ist   kein Nullteiler in  , dann gibt es Elemente   mit  , so dass der induzierte Homomorphismus   injektiv ist und   als  -Modul endlich erzeugt ist.
  • Im Spezialfall   bedeutet das genauer: Ist   ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Restklassenkörper  , dann ist   eine endliche Erweiterung von   vom Grad  , wenn   die normalisierte Bewertung von   ist, also   gilt.

Für nicht perfekte Körper übernehmen Cohen-Ringe die Rolle von  .

Frobenius und Verschiebung

Bearbeiten

In Charakteristik p

Bearbeiten

Sei   ein Ring der Charakteristik  . Die Verschiebung ist die Abbildung

 

Sie ist ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Durch Abschneiden erhält man induzierte Homomorphismen

 

Der Frobeniushomomorphismus (in Anlehnung an den Frobeniushomomorphismus von Körpern der Charakteristik  ) ist die Abbildung

 

Sie ist ein Ringhomomorphismus, der sich zu Ringhomomorphismen   einschränkt. Sei   die Multiplikation mit   auf  . Dann ist

 

somit

 

insbesondere

 

Außerdem ist

 

Frobenius und Verschiebung sind Spezialfälle einer allgemeineren Konstruktion, siehe Frobeniushomomorphismus#Verschiebung.

Sei   der Quotientenkörper von  . Dann ist   der (arithmetische) Frobeniusautomorphismus für die Körpererweiterung  .

Dieudonné-Ring

Bearbeiten

Sei   ein perfekter Körper der Charakteristik  . Schreibt man   und   für den  -Modul  , bei dem die Modulstruktur durch   gegeben ist, dann erhält man Modulhomomorphismen

 

in Analogie zu Frobenius und Verschiebung für algebraische Gruppen in Charakteristik  . Ist allgemeiner   ein  -Modul zusammen mit zwei Modulhomomorphismen   und  , kann man diese Struktur zusammenfassen als Modul für den Dieudonné-Ring   (nach Jean Dieudonné), den nichtkommutativen Ring, der von   und zwei Symbolen   erzeugt wird, mit den Relationen

 

Die klassische Dieudonné-Theorie ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen und bestimmten  -Moduln. Siehe auch unten.

Allgemein

Bearbeiten

Für beliebige Ringe   muss die Definition des Frobeniushomomorphismus modifiziert werden: er ist durch die Gleichung   charakterisiert. Insbesondere ist die 0-te Komponente  . Der Frobeniushomomorphismus ist auch im allgemeinen Fall ein Ringhomomorphismus. Es gilt[5]

 

Durch Abschneiden erhält man Ringhomomorphismen

 

(also nicht mehr mit Ziel   wie im Fall der Charakteristik  ). Allgemein gilt immer noch

 

und

 

Frobeniuslifts und Komonadenstruktur

Bearbeiten

Sei   ein  -torsionsfreier Ring. Ein Frobeniuslift ist ein Ringhomomorphismus   mit  . Für einen Frobeniuslift existiert nach Dieudonné-Cartier eine eindeutig bestimmte Fortsetzung  , für die   für alle   gilt. Sie erfüllt  . Da   selbst über den Frobeniuslift   verfügt, erhält man zunächst für  -torsionsfreie Ringe und durch universelle Formeln für beliebige Ringe eine natürliche Transformation  , die durch   charakterisiert ist. Sie wird auch Artin-Hasse-Exponentialfunktion genannt, siehe auch unten, und definiert eine Komonade  .[6]

Die Restriktion auf  -torsionsfreie Ringe lässt sich dadurch beseitigen, dass man zu  -Derivationen übergeht: Für einen Ring   ist eine  -Derivation eine Abbildung  , für die die Abbildung

 

ein Ringhomomorphismus ist. Konkret bedeutet das, dass   die folgenden Gleichungen erfüllt:

 

Eine  -Derivation   definiert durch   einen Frobeniuslift auf  . Ist   torsionsfrei, erhält man umgekehrt aus einem Frobeniuslift   eine  -Derivation

 

Ein Ring zusammen mit einer  -Derivation wird als δ-Ring bezeichnet.[7]

Die Situation ist insofern analog zu gewöhnlichen Derivationen  , als diese sich dadurch charakterisieren lassen, dass   ein Ringhomomorphismus ist.

Die Koalgebren für die oben definierte Komonade können mit den δ-Ringen identifiziert werden. Insbesondere ist   rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der δ-Ringe in die Kategorie der Ringe.[8] Es existiert auch eine duale Beschreibung basierend auf der „Plethorie“  , die   als Endofunktor der Kategorie der Ringe darstellt.[9]

Weitere Eigenschaften in Charakteristik p

Bearbeiten

Sei   ein Ring mit  .

  • Wenn   ein Integritätsbereich ist, dann auch  , und es gilt  .
  • Die Einheiten von   sind genau die Elemente   mit  .
  • Wenn   ein Körper ist, dann ist   ein lokaler Ring mit maximalem Ideal  . Außerdem ist   genau dann noethersch, wenn   perfekt ist.[10]
  • Wenn   surjektiv ist, dann ist   und somit  .
  • Ist   perfekt, d. h.   bijektiv, dann lässt sich ein Wittvektor   mit der Teichmüller-Abbildung   als  -adisch konvergente Reihe schreiben:
 
  • Ist   ein Integritätsbereich, und sind alle Primzahlen   in   invertierbar (z. B. wenn   ein Körper ist), dann kann man die Einheitengruppen   und   (formale Potenzreihen bzw. Laurentreihen) sowie   durch   beschreiben, siehe unten.

Weitere Anwendungen

Bearbeiten
  • Artin-Schreier-Witt-Theorie: Ist   ein Körper der Charakteristik  , können abelsche Erweiterungen vom Exponenten   von   mit Hilfe der Wittvektoren   klassifiziert werden.
  • Ist   ein Schema über einem Körper   der Charakteristik  , dann gibt es nicht immer ein flaches Schema   über   mit  . Die Existenz eines Lifts nach   spielt eine Rolle im Beweis der Degeneration der Hodge-de-Rham-Spektralsequenz von Pierre Deligne und Luc Illusie.[11]
  • Ist   glatt, existieren Lifts lokal. Stattet man die lokalen Lifts noch mit einer PD-Struktur aus, die bewirkt, dass ein Analogon des Poincaré-Lemmas gilt, erhält man die kristalline Kohomologie. Die kristallinen Kohomologiegruppen sind  -Moduln. Tensoriert man mit dem Quotientenkörper, erhält man eine Weil-Kohomologie, die l-adische Kohomologie für   ergänzend.
  • Ist   ein Schema über  , so ist der topologische Raum   mit der Garbe   wieder ein Schema  . Der De-Rham-Witt-Komplex   ist ein geeigneter Quotient von  . Für   glatt ist die kristalline Kohomologie   isomorph zur Hyperkohomologie von  .[12]
  • Es gibt Ansätze, Wittvektoren auf die Analyse des Verschlüsselungsverfahrens NTRUEncrypt anzuwenden.[13]

Wittvektoren als algebraische Gruppe

Bearbeiten

Sei   ein perfekter Körper der Charakteristik  . Die Wittvektoren der Länge   bilden eine kommutative algebraische Gruppe   über  , die als Varietät isomorph zum affinen Raum   ist.   ist eine unipotente Gruppe: Das folgt aus der Filtrierung   mit Subquotienten   oder der Artin-Hasse-Einbettung  .

In Charakteristik 0 ist jede kommutative unipotente Gruppe isomorph zu  . In positiver Charakteristik ist die Theorie wesentlich komplexer: Es gibt nichttriviale Erweiterungen, und außer   gibt es noch die möglichen Kompositionsfaktoren   und   (der Kern des Frobeniusmorphismus auf  , explizit  ).

Jede kommutative unipotente Gruppe über   ist isogen zu einem Produkt von Wittvektorgruppen.[14] Der Hauptsatz der klassischen Dieudonné-Theorie besagt: Der Funktor

 

definiert eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen über   und der Kategorie der endlich erzeugten  -Moduln, auf denen   nilpotent wirkt.[15] Mit Hilfe der Cartier-Dualität oder mit Witt-Kovektoren kann man eine analoge Äquivalenz für endliche  -Gruppen sowie für p-divisible Gruppen konstruieren.[16]

Für eine abelsche Varietät   gibt es einen kanonischen Isomorphismus von  -Moduln  . Dabei ist   der Kern der Multiplikation mit   auf   und   die algebraische De-Rham-Kohomologie von  .[17] Der Dieudonné-Modul der  -divisiblen Gruppe von   ist isomorph zur kristallinen Kohomologie  .[18]

Witt-Kovektoren

Bearbeiten

Wie Wittvektoren eine Verallgemeinerung der  -adischen Zahlen   sind, so sind Witt-Kovektoren eine Verallgemeinerung der Prüfergruppe  . Der Funktor   erlaubt eine einheitliche Darstellung der Dieudonné-Theorie für endliche kommutative  -Gruppen und  -divisible Gruppen über einem perfekten Körper.[19]

Für einen Ring   sei   der direkte Limes von

 

Damit wird   zu einem Ind-Gruppenschema. In älterer Literatur wird auch das Symbol   verwendet.   heißt Gruppe der unipotenten Witt-Kovektoren.[20]

Die Konstruktion der topologischen Gruppe   aller Witt-Kovektoren ist komplizierter: Elemente in   können mit Folgen   identifiziert werden, die ab einem Index null sind. Mit denselben universellen Formeln kann man für Folgen, die ab einem festen Index   Werte in einem festen nilpotenten Ideal   haben, eine Addition erklären. Statte diese Gruppen   mit der Produkttopologie von   mit diskreten Faktoren aus und setze  . Die unipotenten Kovektoren   bilden eine dichte Untergruppe von  .[21]

Sei   ein perfekter Ring der Charakteristik   und   eine  -Algebra. Die Abbildung

 

macht   zu einem  -Modul (abweichend von der weiter oben definierten Modulstruktur), und mit dem Frobenius und der Verschiebung wird   zu einem  -Modul. Die Verschiebung   ist  -linear, und man erhält eine  -Modulstruktur auf   und  .[22]

Verzweigte Wittvektoren

Bearbeiten

Sei   ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Uniformisierender  , dessen Restklassenkörper ein endlicher Körper mit   Elementen ist. Dann gibt es genau eine funktorielle  -Algebra-Struktur auf   für  -Algebren  , so dass

 

für jedes   ein Homomorphismus von  -Algebren ist. Es gibt Frobenius- und Verschiebungsoperatoren  , die durch

 

charakterisiert sind. Für eine endliche Erweiterung   des Restklassenkörpers von   ist   eine unverzweigte Erweiterung von   vom Grad  . Verzweigte Wittvektoren übernehmen die Rolle der gewöhnlichen Wittvektoren bei der Übertragung der Cartier-Theorie auf formale  -Moduln.[23]

Große Wittvektoren

Bearbeiten

Definition

Bearbeiten

Bezeichne   die Menge der positiven ganzen Zahlen.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome   derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement   gilt:   ist ein Ring mit Addition

 

und Multiplikation

 

und für jedes   ist die Abbildung

 

ein Ringhomomorphismus. Auch das additiv Inverse   ist durch universelle Polynome gegeben.   heißt der Ring der großen oder universellen Wittvektoren mit Einträgen aus  .

Ist   eine Teilmenge, so dass für   auch jeder Teiler von   in   liegt, dann ist   mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation von   ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement. Für   erhält man den Ring   der großen Wittvektoren der Länge  , für   mit einer Primzahl   erhält man bis auf Umindizierung den Ring der  -typischen Wittvektoren, siehe unten.

Das Ringelement

 

wird als  -te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von   bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

 

kann man   und   rekursiv berechnen:

 

Die Abbildung   ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem.

  ist als mengenwertiger Funktor darstellbar durch einen Polynomring in abzählbar unendlich vielen Unbestimmten. In der Praxis verwendet man konkret den Ring der symmetrischen Polynome, und Strukturen von   zu übertragen.[24]

Alternative Definition mit Potenzreihen

Bearbeiten

Sei   die multiplikative Gruppe der formalen Potenzreihen mit konstantem Term 1. Die Abbildung

 

ist ein Isomorphismus von Gruppen  .[25] Für   hat

 

als Koeffizienten die Geisterkomponenten von  .

Unter dem Isomorphismus wird das Produkt zweier Wittvektoren   abgebildet auf:

 

wobei jeweils  . Schreibe   für die der Multiplikation in   entsprechende Verknüpfung auf  , so dass   ein Isomorphismus von Ringen ist. Als Spezialfall der Multiplikationsformel ergibt sich[26]

 

Frobenius und Verschiebung

Bearbeiten

Zu jeder natürlichen Zahl   gibt es Operatoren   und  . Ihre Wirkung auf den Geisterkomponenten ist:

 

In   ist

 

Dabei ist   eine formale primitive  -te Einheitswurzel und   die Norm.[27] Insbesondere gilt

 

Für   sei   die Multiplikation mit   auf  , also

 

Ist   eine  -Algebra (insbesondere  ), dann gibt es für jedes   einen Operator  :

 

Es gilt für  ,  :

 

In der letzten Formel steht   für die  -te Komponente von  .

Beziehung zu den p-typischen Wittvektoren, Artin-Hasse-Exponentialfunktion

Bearbeiten

Sei   eine Primzahl. Die Abbildung  ,  , ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Die  -typischen Wittpolynome   sind unter dieser Umindizierung gleich den großen Wittpolynomen  , dasselbe gilt damit auch für die Geisterkomponenten.

Die Teilmenge   ist kein Unterring von  . In bestimmten Fällen kann man jedoch   in   einbetten.

Die Artin-Hasse-Exponentialfunktion

 

kann als Element von   aufgefasst werden (d. h. die Koeffizienten haben nicht durch   teilbare Nenner, siehe Lokalisierung;   ist die Möbius-Funktion).

Ist   eine  -Algebra, d. h. sind alle Primzahlen   in   invertierbar, dann ist für einen Wittvektor   das Element

 

wohldefiniert.   ist ein Idempotent in  , und   induziert einen Ringisomorphismus  . Bezeichne die   entsprechende Untergruppe von   mit  . Dann gilt:

 

Der Ring   zerfällt als direktes Produkt der   für  .[28] Für beliebige Ringe   ist  , wenn   den Quotienten von   bezeichnet, den man durch Projektion auf die Komponenten mit nicht durch   teilbarem Index erhält.[29]

Frobenius   und Verschiebung   schränken sich zu Operatoren auf   ein und stimmen dort mit den auf   erklärten Operatoren   bzw.   überein.

Für einen Körper   der Charakteristik   ist   die Einseinheitengruppe von  , und so erhält man den Isomorphismus

  mit  

Für jede  -Algebra   ist

 

Das Abschneiden bei   reduziert den Faktor   auf  , wobei   die kleinste ganze Zahl mit   ist. Man erhält also einen Isomorphismus von algebraischen Gruppen (über  )[30]

 

Die Artin-Hasse-Exponentialabbildung hängt auch mit der Komonadenstruktur   zusammen: Für einen perfekten Körper   der Charakteristik   ist die Verkettung von

 

mit der Projektion   gleich  .[31]

λ-Ringe

Bearbeiten

Es gibt einen kanonischen Ringhomomorphismus  , der   erfüllt. Wenn   als abelsche Gruppe torsionsfrei ist, ist   durch diese Bedingung eindeutig bestimmt, und für andere Ringe ist   dadurch charakterisiert, dass für eine Surjektion   mit einem torsionsfreien Ring   die Gleichung   gilt. Zusammen mit   wird   zu einer Komonade.[32] Überträgt man die Koalgebren zu dieser Komonade auf  , erhält man die so genannten λ-Ringe.

Die erste Geisterkomponente   entspricht in   dem ersten Koeffizienten:

 

Ein Prä-λ-Ring ist ein Ring   zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus   mit  . Diese Bedingung ist die Kompatibilität mit der Koeins der Komonade. Bezeichnet man die Koeffizienten von   mit  , also

 

dann ist eine Prä-λ-Struktur äquivalent zur Angabe von Abbildungen   für  , die die folgenden Gleichungen erfüllen:

 

Ein λ-Homomorphismus   ist ein Ringhomomorphismus   mit  , d. h. das folgende Diagramm kommutiert:

 

Der Ring   besitzt wie oben ausgeführt für jeden Ring   eine kanonische Prä-λ-Struktur. Ein λ-Ring ist ein Prä-λ-Ring, für den   ein λ-Homomorphismus ist. Das obige Diagramm ist für   gerade die Kompatibilität mit der Komultiplikation der Komonade. Übersetzt in die   sind das zusätzliche Bedingungen der folgenden Form:

 

Die (universellen) Polynome   beschreiben die  -Multiplikation auf   und besitzen wie die Polynome   eine Beschreibung mit Hilfe von elementarsymmetrischen Polynomen.

Die Koassoziativität der Komonade   besagt, dass   selbst ein λ-Ring ist. Der Funktor   ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der λ-Ringe in die Kategorie der Ringe.

Ist   ein λ-Ring, dann ist der Ringhomomorphismus

 

die  -te Adams-Operation   auf  . Es gilt  . Für eine Primzahl   ist  , also  , d. h.   ist ein Frobeniuslift. Ist   ein beliebiger Ring, dann ist die Adams-Operation   auf dem λ-Ring   der Frobenius  .[33]

Cartier-Theorie

Bearbeiten

Die Cartier-Theorie (nach Pierre Cartier) ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen einer geeigneten Kategorie kommutativer formaler Gruppen über einem Ring   und einer Unterkategorie der Moduln über dem Cartier-Ring  .[34]

Sei   die Kategorie der kommutativen  -Algebren ohne Einselement, die nur aus nilpotenten Elementen bestehen. Für die Zwecke der Theorie werden kommutative formale Gruppen mit Funktoren   identifiziert. Ist   ein formales Gruppengesetz, ordnet der entsprechende Funktor einer Algebra   die Menge   mit der Gruppenstruktur   zu. Die formale Gruppe   ist die formale affine Gerade  . Die Funktoren können auf natürliche Weise auf die Kategorie der Algebren fortgesetzt werden, die filtrierende projektive Limites von Algebren in   sind.

Die formale Gruppe der Wittvektoren ist der Funktor  , der einer Algebra   die Untergruppe der Wittvektoren in   zuordnet, die nur endlich viele von 0 verschiedene Komponenten haben. Die entsprechende Untergruppe   besteht aus den Elementen, die bezüglich   ein Polynom sind. Der Ring   wird mit   bezeichnet und Cartier-Ring genannt. Die Operatoren   schränken sich zu Endomorphismen von   ein und definieren damit Elemente  . Dabei werden die Bezeichnungen von   und   vertauscht, so dass die obigen Relationen wegen der vertauschten Multiplikationsreihenfolge wieder gelten. Die Abbildung  ,   ist ein injektiver Ringhomomorphismus.

Sei   eine formale Gruppe. Die folgenden Gruppen sind natürlich isomorph:

  •  
  • die Gruppe der Morphismen   (nicht Gruppenhomomorphismen, d. h. natürliche Transformationen nur als mengenwertige Funktoren). Die Gruppenstruktur wird von der Gruppenstruktur auf   induziert.
  • die Gruppe der Homomorphismen  

Ihre Elemente werden Kurven in   genannt, die Gruppe mit   bezeichnet. Aus der letzten Beschreibung ergibt sich eine kanonische  -Linksmodulstruktur auf  .

Die Potenzreihengruppe   kann mit   identifiziert werden. Die Witt-Polynome entsprechen dem Gruppenhomomorphismus  , der von der logarithmischen Ableitung auf   induziert wird.

In   wird die Operation von   von   induziert, die Operation von   von  . Für   betrachte wieder eine formale  -te Einheitswurzel   und bilde in   die Summe der Kurven, die man durch   für   erhält. Für   ist eine Kurve durch das Bild   der Koordinate bestimmt. Identifiziert man   mit dem entsprechenden Element in  , stimmen die Wirkungen von   mit den oben definierten überein (ohne Vertauschung von   und  ).

Sowohl   als auch   tragen natürliche Topologien. Der Hauptsatz der Cartier-Theorie besagt, dass   eine Äquivalenz zwischen einer Kategorie formaler Gruppen über   und einer Kategorie topologischer  -Moduln induziert. Der inverse Funktor ordnet einem  -Modul   ein geeignet konstruiertes Tensorprodukt   zu.

Sei   eine Primzahl und   eine  -Algebra, d. h. jede Primzahl   ist in   invertierbar. Dann ist   ein Idempotent in  , setze  . Für einen  -Modul   ist   die Untergruppe der Elemente   mit   für alle  . Solche Elemente heißen  -typisch.

Für eine formale Gruppe   sei   die Gruppe der  -typischen Kurven (dabei   die formale Gruppe zu den  -typischen Wittvektoren  , analog zu  ). Dann induziert   eine Äquivalenz zwischen der Kategorie formaler Gruppen über   wie oben und einer Kategorie topologischer  -Moduln. Der inverse Funktor ist wie vorher ein Tensorprodukt  .

Für einen perfekten Körper   der Charakteristik   kann der Dieudonné-Ring   mit einem dichten Unterring in   identifiziert werden. Unter geeigneten Voraussetzungen ist der Dieudonné-Modul dual zum Modul der  -typischen Kurven,  .

Verallgemeinerungen

Bearbeiten
  • Colette Schoeller hat Teile der  -typischen Theorie, nämlich die Konstruktion des Cohen-Rings und der Klassifikation der unipotenten Gruppen, auf nicht perfekte Körper ausgedehnt.[35]
  • Andreas Dress und Christian Siebeneicher haben die Konstruktion eines Rings   aus einer proendlichen Gruppe   und einem Ring   angegeben, so dass   isomorph zum komplettierten Burnside-Ring von   ist. Für   ergibt sich  , für   ergibt sich  .[36]

Literatur

Bearbeiten

Lehrbücher und Übersichtsartikel

Bearbeiten

Weiterführende Themen

Bearbeiten
  • Pierre Berthelot: Exposé V. Généralités sur les λ-anneaux. In: Pierre Berthelot, Alexandre Grothendieck, Luc Illusie (Hrsg.): Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie. 1966-67 − Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch (SGA 6) (= Lecture notes in mathematics). Band 225. Springer, Berlin 1971, ISBN 3-540-05647-5, S. 297–364.
  • James Borger: The basic geometry of Witt vectors, I: The affine case. In: Algebra and Number Theory. Band 5, Nr. 2, 2011, S. 231–285, doi:10.2140/ant.2011.5.231, arxiv:0801.1691 (maths.anu.edu.au).
  • James Borger, Ben Wieland: Plethystic Algebra. In: Advances in Mathematics. Band 194, Nr. 2, 2005, S. 246–283, arxiv:math.AC/0407227 (maths.anu.edu.au).
  • Michel Demazure: Lectures on p-Divisible Groups (= Lecture notes in mathematics. Band 302). Springer-Verlag, Berlin 1972, ISBN 3-540-06092-8.
  • Michel Demazure, Pierre Gabriel: Groupes algébriques. Tome 1. North-Holland, Amsterdam 1970, ISBN 0-7204-2034-2.
  • Michiel Hazewinkel: Formal Groups and Applications. Academic Press, New York 1978, ISBN 0-12-335150-2.
  • Luc Illusie: Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 12, Nr. 4, 1979, S. 501–661 (numdam.org).
  • Jean-Pierre Serre: Algebraic Groups and Class Fields. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96648-X.
Bearbeiten
  • Witt vector. In: I.V. Dolgachev (originator): Encyclopedia of Mathematics.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Originalarbeit: Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math. Band 176, 1936, S. 126–140.
  2. James Borger hat Argumente dafür vorgebracht, die Nummerierung   für   zu bevorzugen, siehe Borger 2011, 2.5
  3. Hazewinkel 2009, Theorem 5.2. Bourbaki verwendet stattdessen eine Charakterisierung des Bilds von   und erhält die universellen Polynome durch Spezialisierung auf Polynomringe  .
  4. Demazure-Gabriel, V §4, 2.1
  5. Bourbaki, IX §1 Proposition 3. Hazewinkel 2009, 5.30
  6. Illusie 1979, S. 508. Bourbaki, IX §1 Ex. 14, 15
  7. Alexandru Buium: Arithmetic Differential Equations. AMS, Providence 2005, ISBN 0-8218-3862-8.
  8. André Joyal: δ-anneaux et vecteurs de Witt. In: C. R. Math. Acad. Sci., Soc. R. Can. Band 7, 1985, S. 177–182.
  9. Borger-Wieland 2005
  10. Bourbaki, IX §1 Ex. 9
  11. Pierre Deligne, Luc Illusie: Relèvements modulo p² et décomposition du complexe de de Rham. In: Inv. Math. Band 89, 1987, S. 247–270.
  12. Illusie 1979, Kap. II. Als Vorläufer dieser Konstruktion kann die folgende Arbeit von Spencer Bloch angesehen werden, in der er einen Komplex von Kurven im Sinn der Cartier-Theorie in der K-Theorie betrachtet: Spencer Bloch: Algebraic K-Theory and Crystalline Cohomology. In: Publ. math. de l’I.H.É.S. Band 47, 1977, S. 187–268. Eine systematische Betrachtung von Verdickungen des Typs   sowie einer adjungierten Konstruktion findet sich in: James Borger: The basic geometry of Witt vectors. II: Spaces. In: Mathematische Annalen. Band 351, Nr. 4, 2011, S. 877–933, doi:10.1007/s00208-010-0608-1, arxiv:1006.0092.
  13. J. H. Silverman, Nigel Smart, F. Vercauteren: An algebraic approach to NTRU via Witt vectors and overdetermined systems of nonlinear equations. In: Carlo Blundo, Stelvio Cimato (Hrsg.): Security in Communication Networks: 4th International Conference, SCN 2004, Amalfi, Italy, September 8–10, 2004, Lecture Notes in Computer Science 3352. Springer-Verlag, 2005, S. 278–293.
  14. Demazure-Gabriel, V §3 6.11. Serre 1988, VII §2 10
  15. Demazure-Gabriel, V §1 4
  16. Demazure 1972, III §6–8
  17. Corollary 5.11 in: Tadao Oda: The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 2, Nr. 1, 1969, S. 63–135 (online).
  18. Luc Illusie: Crystalline Cohomology. In: Uwe Jannsen et al. (Hrsg.): Motives (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). Band 55, Nr. 1. American Mathematical Society, Providence 1994, S. 43–70.
  19. Jean-Marc Fontaine: Groupes p-divisibles sur les corps locaux. In: Astérisque. Band 47-48, 1977. Pierre Berthelot: Théorie de Dieudonné sur un anneau de valuation parfait. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 13, Nr. 2, 1980, S. 225–268 (online).
  20. Bourbaki, IX §1 Ex. 23
  21. Bourbaki, IX §1 Ex. 24
  22. Bourbaki, IX §1 Ex. 25
  23. Hazewinkel 1978, 25.3 und 25.6.4. Weitere Verallgemeinerungen dort und in Borger 2011.
  24. Hazewinkel 2009 Kap. 10. Borger-Wieland 2005
  25. Die Vorzeichenwahl ist uneinheitlich, drei Varianten finden sich bei Bourbaki, Hazewinkel und Bergman. Mit der hier getroffenen Wahl (wie bei Bourbaki oder Berthelot 1971) wird der Zusammenhang mit λ-Ringen einfacher.
  26. Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, (9.15) und (9.27)
  27. Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, Kap. 13
  28. Bourbaki, IX §1 Ex. 40. Demazure-Gabriel, V §5, 3.4
  29. Roland Auer: A functorial property of nested Witt vectors. In: Journal of Algebra. Band 252, Nr. 2, 2002, S. 293–299.
  30. Serre 1988, V §3 Proposition 9
  31. Hazewinkel 1978 17.5
  32. Bourbaki, IX §1 Ex. 41. Hazewinkel 2009 16.59
  33. Bourbaki, IX §1 Ex. 48. Hazewinkel 2009, 16.22
  34. Übersichtsartikel zum gesamten Abschnitt: Lawrence Breen: Rapport sur la Théorie de Dieudonné. In: Astérisque. Band 63, 1979, S. 39–66. Siehe auch: Thomas Zink: Cartiertheorie kommutativer formaler Gruppen. Teubner, 1984, ISBN 3-322-00647-6. Michel Lazard: Commutative Formal Groups. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-07145-8. Ching-Li Chai: Notes on Cartier Theory. (math.upenn.edu [PDF]).
  35. Colette Schoeller: Groupes affines, commutatifs, unipotents sur un corps non parfait. In: Bulletin de la S. M. F. Band 100, 1972, S. 241–300 (online).; Bourbaki, IX §2 Ex. 10
  36. Andreas Dress, Christian Siebeneicher: The Burnside ring of profinite groups and the Witt vector construction. In: Adv. Math. Band 70, 1988, S. 87–132.