Prüfergruppe

Begriff

In der Mathematik, speziell in der Gruppentheorie, nennt man für eine Primzahl p jede zur multiplikativen Gruppe

isomorphe Gruppe eine p-Prüfergruppe oder eine p-quasizyklische Gruppe.[1][2] besteht aus den komplexen Einheitswurzeln, deren Ordnung eine Potenz von p ist.

Es handelt sich um eine abelsche, abzählbare Gruppe.

Definitionsgemäß sind die p-Prüfergruppen untereinander isomorph, daher spricht man ohne nähere Präzisierung einfach von der p-Prüfergruppe. Man sagt, eine Gruppe G sei eine Prüfergruppe, wenn es eine Primzahl p gibt, so dass G eine p-Prüfergruppe ist. Die Prüfergruppen zu verschiedenen Primzahlen sind nicht isomorph.

Die Prüfergruppen sind zu Ehren des Mathematikers Heinz Prüfer benannt.

Äquivalente DefinitionenBearbeiten

Es seien p eine Primzahl und G eine Gruppe. Jede der folgenden fünf Eigenschaften ist äquivalent dazu, dass G eine p-Prüfergruppe ist, und jede dieser Eigenschaften kann daher als Definition der Prüfergruppen verwendet werden.

a) G ist isomorph zur Faktorgruppe  , wobei   die von den rationalen Zahlen   mit   gebildete Untergruppe von   bezeichnet.

Beweis: Der Homomorphismus   ist surjektiv und hat den Kern  .

b) G ist isomorph zur Faktorgruppe  , wobei F die freie abelsche Gruppe (das heißt der freie  -Modul) mit einer abzählbar unendlichen Basis   und R die von   erzeugte Untergruppe von F ist.[3]

c) G hat eine Präsentation

 
Beweis: Sei L eine freie (nichtabelsche) Gruppe über einer abzählbaren Basis   und S der von   erzeugte Normalteiler. Für jede natürliche Zahl j sei   das kanonische Bild von   in  . Es ist klar, dass von je zwei der Elemente   eines eine Potenz des anderen ist, das heißt die   vertauschen miteinander. Da sie   erzeugen, ist   abelsch, mit anderen Worten, S enthält die Kommutatorgruppe K(L). Nach dem zweiten Isomorphiesatz ist   daher isomorph zu  . Nun ist   eine freie, abelsche Gruppe (frei als abelsche Gruppe) mit den Bildern   der Elemente   als Basis in   und   wird von   erzeugt. Jetzt schließt man mittels b) weiter.

d) G hat ein Erzeugendensystem   so dass  ,   und   für alle  .[4]

e) G ist die Vereinigung einer aufsteigenden Folge  , wobei Cn für jeden Index n eine zyklische Gruppe der Ordnung pn ist.[5]

EigenschaftenBearbeiten

  • Jede echte Untergruppe einer Prüfergruppe ist zyklisch und insbesondere endlich. Die Prüfergruppe besitzt für jede Zahl n genau eine Untergruppe der Ordnung pn. Die Menge der Untergruppen einer Prüfergruppe ist durch die Inklusion wohlgeordnet. Die Prüfergruppe ist also als  -Modul nicht noethersch.
  • Eine unendliche, abelsche Gruppe ist genau dann eine Prüfergruppe, wenn sie isomorph zu jeder Faktorgruppe nach einer echten Untergruppe ist.[6]
  • Die Prüfergruppen sind teilbar. Ihre Bedeutung erschließt sich aus dem folgenden Satz:
Jede teilbare, abelsche Gruppe ist isomorph zu einer (endlichen oder unendlichen) direkten Summe, in der jeder Summand eine Prüfergruppe oder isomorph zur additiven Gruppe der rationalen Zahlen ist.[7][8]
Beispielsweise ist die additive Gruppe   die direkte Summe ihrer p-Sylowgruppen, die nichts anderes als die p-Prüfergruppen sind.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. J. Calai: Éléments de théorie des groupes, Kapitel IV, Übung. 34, Seite 172
  2. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Seite 94: Quasicyclic Groups
  3. J.J. Rotman: An Introduction to the Theory of Groups, 4. Auflage 1999, Satz 10.13 und Übung 10.5
  4. J. Calais: Éléments de théorie des groupes, Presses universitaires de France, Paris 1984, Kapitel IV, Übung 34, Seite 172
  5. B. Baumslag et B. Chandler, Group Theory, Mc-Graw Hill, 1968, Satz 6.31,Seite 206
  6. Dass jede Prüfergruppe diese Eigenschaft hat, findet sich in J. Calais: Éléments de théorie des groupes, Presses universitaires de France, Paris 1984, Kapitel IV, Übung. 34, f), Seite 172. Für die Umkehrung siehe J.J. Rotman: An Introduction to the Group Theory, 4. Auflage 1999, exerc. 10.40, iii, p. 330.
  7. J.J. Rotman: An Introduction to the Group Theory, 4. Auflage 1999, Satz 10.28, Seite 323
  8. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 4.1.5