Hauptmenü öffnen

Sekans und Kosekans

trigonometrische Funktionen
(Weitergeleitet von Sekans)
Definitionen am Einheitskreis

Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen. Der Sekans wird mit bezeichnet, der Kosekans mit oder [1]. Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten:

Ein rechtwinkliges Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwert-Funktion der Kosinusfunktion.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwert-Funktion der Sinusfunktion:

EigenschaftenBearbeiten

GraphenBearbeiten

 
Graph der Sekansfunktion
 
Graph der Kosekansfunktion

DefinitionsbereichBearbeiten

Sekans:     
Kosekans:     

WertebereichBearbeiten

 

PeriodizitätBearbeiten

Periodenlänge  

SymmetrienBearbeiten

Sekans:    Achsensymmetrie:  
Kosekans:    Punktsymmetrie:  

PolstellenBearbeiten

Sekans:     
Kosekans:     

ExtremstellenBearbeiten

Sekans:    Minima:    Maxima:   
Kosekans:    Minima:    Maxima:   

NullstellenBearbeiten

Beide Funktionen haben keine Nullstellen.

AsymptotenBearbeiten

Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten.

SprungstellenBearbeiten

Beide Funktionen haben keine Sprungstellen.

WendepunkteBearbeiten

Beide Funktionen haben keine Wendepunkte.

Wichtige FunktionswerteBearbeiten

Da Sekans und Kosekans periodische Funktionen mit der Periode   (entspricht im Gradmaß  ) sind, reicht es, die Funktionswerte des Sekans für den Bereich   und die des Kosekans für den Bereich   zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

 

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog

 

Hierbei bezeichnet   eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.[2]

Winkel (Grad) Bogenmaß Sekans Kosekans
       
       
       
       
       

Weitere wichtige Werte sind:

Winkel (Grad) Bogenmaß Sekans Kosekans
       
       
       
       
       
       
       
       
       

Beweisskizzen:

  •  , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt  .
  •  , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der  -Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1), und somit die Seitenlänge die doppelte Länge der Gegenkathete ist.
  •  , weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen   für den Sekans nach Pythagoras gilt  .
  •  , weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
  •  , weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
  •  und   lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.

Weitere mit Quadratwurzeln darstellbare FunktionswerteBearbeiten

Siehe auch: Sinus und Kosinus: Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Weil der Sekans jeweils der Kehrwert des Kosinus und der Kosekans der Kehrwert des Sinus ist, lassen sich die Funktionswerte   und   genau dann mit Quadratwurzeln darstellen, wenn das auch für   und   möglich ist. Generell gilt, dass   und   genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel   mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn   von der Gestalt

 

ist, wobei  ,   und die   für   Fermatsche Primzahlen sind.[3]

UmkehrfunktionenBearbeiten

Sekans:

Auf einer halben Periodenlänge, z. B.   ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):
 

Kosekans

Auf einer halben Periodenlänge, z. B.   ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):
 

ReihenentwicklungBearbeiten

Sekans:

 

Kosekans:

 

AbleitungBearbeiten

Sekans:

 

Kosekans

 

IntegralBearbeiten

Sekans:

 

Kosekans

 

Komplexes ArgumentBearbeiten

    mit  


    mit  

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 2008, ISBN 3-8171-2007-9, S. 1220 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, S. 85.