Formelsammlung Trigonometrie

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(Weitergeleitet von Halbwinkelformeln)

Dreieckberechnung

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Ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen

Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck   habe die Seiten  ,   und  , die Winkel  ,   und   bei den Ecken  ,   und  . Ferner seien   der Umkreisradius,   der Inkreisradius und  ,   und   die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken  ,   bzw.   gegenüberliegen) des Dreiecks  . Die Variable   steht für den halben Umfang des Dreiecks  :

 .

Schließlich wird die Fläche des Dreiecks   mit   bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.

Es ist zu beachten, dass hier die Bezeichnungen für den Umkreisradius  , den Inkreisradius   und die drei Ankreisradien  ,  ,   benutzt werden. Oft werden davon abweichend für dieselben Größen auch die Bezeichnungen  ,  ,  ,  ,   verwendet.

Winkelsumme

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Formel 1:

 

Formel 2:

wenn  

 
 

wenn  

 
 

wenn  

 
 

Formel 1:

 
 
 

Formel 2:

wenn  

 
 

wenn  

 
 

wenn  

  (Satz des Pythagoras)
 
 

Projektionssatz

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Formel 1:

 

Analoge Formeln gelten für   und  :

 
 

Wegen   bleibt eine dieser Formel gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also etwa:

 

Formel 2:

wenn  

 
 

wenn  

 
 

wenn  

 
 

Formeln mit dem halben Umfang

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Im Folgenden bedeutet   immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks  , also  .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Flächeninhalt und Umkreisradius

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Der Flächeninhalt des Dreiecks wird hier mit   bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit  , um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke   auszuschließen):

Heronsche Formel:

 
 

Weitere Flächenformeln:

 
 , wobei  ,   und   die Längen der von  ,   bzw.   ausgehenden Höhen des Dreiecks   sind.
 
 
 
 
 
 
 , mit  
 
 

Erweiterter Sinussatz:

 

 
 
 
 

In- und Ankreisradien

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In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius   und die Ankreisradien  ,   und   des Dreiecks   vorkommen.

 
 
 
 
 
 
  [1]

Wichtige Ungleichung:  ; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck   gleichseitig ist.

 
 
 
 
 

Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für   gilt in analoger Form für   und  .

 

Die Längen der von  ,   bzw.   ausgehenden Höhen des Dreiecks   werden mit  ,   und   bezeichnet.

 
 
 
 
 
 

Hat das Dreieck   einen rechten Winkel bei   (ist also  ), dann gilt

 
 
 

Seitenhalbierende

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Die Längen der von  ,   bzw.   ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks   werden  ,   und   genannt.

 
 
 
 

Winkelhalbierende

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Wir bezeichnen mit  ,   und   die Längen der von  ,   bzw.   ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck  .

 
 
 

Allgemeine Trigonometrie in der Ebene

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Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis:
   
   
   

Periodizität

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Gegenseitige Darstellung

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Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

 
       („Trigonometrischer Pythagoras“)
 
 

(Siehe auch den Abschnitt Phasenverschiebungen.)

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  

Vorzeichen der Winkelfunktionen

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Die Vorzeichen von  ,   und   stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen  ,   bzw.  .

Wichtige Funktionswerte

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Darstellung wichtiger Funktionswerte von Kosinus (1. Klammerwert) und Sinus (2. Klammerwert) auf dem Einheitskreis
    (rad)        
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           

Mit Hilfe der Additionstheoreme sind noch viele weitere Werte durch algebraische Ausdrücke (ggfs. mit verschachtelten Quadratwurzeln) darstellbar, insbesondere alle ganzzahligen Vielfachen von  .[2]

Symmetrien

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Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

 

Phasenverschiebungen

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Rückführung auf spitze Winkel

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Darstellung durch den Tangens des halben Winkels

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Mit der Bezeichnung   gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges  

     
     
     

Additionstheoreme

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Figur 1
 
Figur 2

Für Sinus und Kosinus lassen sich die Additionstheoreme aus der Verkettung zweier Drehungen um den Winkel   bzw.   herleiten. Das ist elementargeometrisch möglich; sehr viel einfacher ist das koordinatenweise Ablesen der Formeln aus dem Produkt zweier Drehmatrizen der Ebene  . Alternativ folgen die Additionstheoreme aus der Anwendung der Eulerschen Formel auf die Beziehung  . Die Ergebnisse für das Doppelvorzeichen ergeben sich durch Anwendung der Symmetrien.[3]

 [4]
 [4]

Geometrische Herleitungen sind in Figur 1 und Figur 2 für Winkel   und   zwischen 0° und 90° veranschaulicht.[5]

Zu Figur 1:

 
 

Zu Figur 2:

 
 

Durch Erweiterung mit   bzw.   und Vereinfachung des Doppelbruchs:

 
 

Für   folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen, für   die Phasenverschiebungen.

 
 

Additionstheoreme für Arkusfunktionen

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Für die Arkusfunktionen gelten folgende Additionstheoreme[6]

Summanden Summenformel Gültigkeitsbereich
      oder  
    und   und  
    und   und  
      oder  
    und   und  
    und   und  
     
   
     
   
     
    und  
    und  
     
    und  
    und  

Doppelwinkelfunktionen

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Figur 3
 

Eine geometrische Herleitung ist in Figur 3 für Winkel   und   zwischen 0° und 90° veranschaulicht.[7]

Zu Figur 3:

Aus der Berechnung der Flächeninhalte der beiden grauen Dreiecke ergibt sich  . Hieraus folgt  .

Weitere Beziehungen:

 
 
 

Winkelfunktionen für weitere Vielfache

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Die Formeln für Vielfache berechnen sich normalerweise über die komplexen Zahlen aus der Euler-Formel   und der DeMoivre-Formel  . Damit ergibt sich  . Zerlegung in Real- und Imaginärteil liefert dann die Formeln für   und   bzw. die allgemeine Reihendarstellung.

Die Formel für   steht über  [8] mit den Tschebyschow-Polynomen in Beziehung.

 [9]
 
 [10]
 
 [11]
 
 [12][13]
 
 
 
 [14]
 [15]
 [16]
 [17]
 [13][18]
 
 
 [13]
 [13]
 [13]
 [13]

Halbwinkelformeln

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Figur 4

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln[13], welche sich mittels Substitution aus den Doppelwinkelformeln herleiten lassen:

 
 
 
 

Eine geometrische Herleitung der dritten Formel ist in Figur 4 für Winkel   und   zwischen 0° und 90° veranschaulicht.[19] Aus der Berechnung der Flächeninhalte der beiden grauen Dreiecke ergibt sich unmittelbar  .

Außerdem gilt:

 
 

Siehe auch: Halbwinkelsatz

Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)

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Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:[13]

 
 
 

Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:

 

Produkte der Winkelfunktionen

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Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:[13]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Aus der Doppelwinkelfunktion für   folgt außerdem:

 

Potenzen der Winkelfunktionen

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 [13][20]
 [13][21]
 [13][22]
 [23]
 [24]
 
 
 
 [13][25]
 [13][26]
 [13][27]
 [28]
 [29]
 
 
 
 

Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen

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Weitere Formeln für den Fall α + β + γ = 180°

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Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus  , solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (Letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Sinusoid und Linearkombination mit gleicher Phase

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 [30]
 

wobei  

Allgemeiner ist

 

wobei

 

und

 

Ableitungen und Stammfunktionen

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Siehe Formelsammlung Ableitungen und Stammfunktionen

Bestimmte Integrale

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Die Lösungen der nachfolgenden bestimmten Integrale stehen im Zusammenhang mit der Euler’schen Betafunktion, welche weiterhin mit der Gammafunktion verknüpft ist. Das zweite Integral ist z. B. in der Physik bei der Berechnung von Kräften zwischen zylinderförmigen Dauermagneten unter Verwendung der sogenannten Multipol-Entwicklung hilfreich.

 
 
 

Reihenentwicklung

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Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7. Taylorpolynom (grün)

Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.

Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Kosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt  ) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle   aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert (  bzw.   bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen):

 
 
 [31]
 [32]

Produktentwicklung

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Zusammenhang mit der komplexen Exponentialfunktion

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Ferner besteht zwischen den Funktionen  ,   und der komplexen Exponentialfunktion   folgender Zusammenhang:

  (Eulersche Formel)

Weiterhin wird   geschrieben.[33]

Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:

 
 

Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.

Sphärische Trigonometrie

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Eine Formelsammlung für das rechtwinklige und das allgemeine Dreieck auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.

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Einzelnachweise

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  1. Die Wurzel 2006/04+05, 104ff., ohne Beweis
  2. Joachim Mohr: Kosinus-, Sinus und Tangenswerte, abgerufen am 1. Juni 2016
  3. Ausführliche Beweise in Wikibooks Beweisarchiv.
  4. a b Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. vieweg 1983, Seite 87.
  5. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 44
  6. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage, 1979. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig. S. 237.
  7. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 46
  8. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 22.3.15, (s. a. oben „Weblinks“)
  9. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.27, (s. a. oben „Weblinks“)
  10. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.29, (s. a. oben „Weblinks“)
  11. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, 5th edition (1994), ISBN 0-12-294755-X 1.333.4
  12. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3 (Bei dieser Formel enthält Gradshteyn/Ryzhik allerdings einen Vorzeichenfehler)
  13. a b c d e f g h i j k l m n o I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig. 19. Auflage 1979. 2.5.2.1.3
  14. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.28, (s. a. oben „Weblinks“)
  15. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.30, (s. a. oben „Weblinks“)
  16. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.4
  17. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.5
  18. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3
  19. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 49
  20. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.1
  21. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.2
  22. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.3
  23. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.4
  24. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.5
  25. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.1
  26. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.2
  27. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.3
  28. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.4
  29. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.5
  30. Weisstein, Eric W.: Harmonic Addition Theorem. Abgerufen am 20. Januar 2018 (englisch).
  31. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.67, (s. a. oben „Weblinks“)
  32. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.70, (s. a. oben „Weblinks“)
  33. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Birkhäuser Verlag, Basel 2006, 3. Auflage, S. 292 und 298