Kongruenzrelation

Begriff aus der Algebra

In der Mathematik, genauer der Algebra, nennt man eine Äquivalenzrelation auf einer algebraischen Struktur eine Kongruenzrelation, wenn die fundamentalen Operationen der algebraischen Struktur mit dieser Äquivalenzrelation verträglich sind.

DefinitionenBearbeiten

Kongruenzrelation und QuotientenalgebraBearbeiten

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge   hat nicht notwendigerweise etwas mit der Struktur zu tun, die darauf definiert ist. Speziell in der Algebra sind jedoch solche Äquivalenzrelationen   von besonderem Interesse, deren (surjektive) Quotientenabbildung

 

mit der algebraischen Struktur   verträglich bzw. ein Homomorphismus ist. Denn dann ist die von   induzierte Struktur auf der Quotientenmenge  , die sogenannte Faktor- oder Quotientenalgebra   von   nach   mit Operationen  ,

  für alle   und jedes  ,

von der gleichen Art wie die von  .

Man nennt eine solche Äquivalenzrelation   eine Kongruenzrelation auf   und zwei Elemente   kongruent nach  , wenn sie bezüglich   äquivalent sind:

 .

Die Äquivalenzklasse   von jedem   heißt dann Kongruenzklasse.

Eine Äquivalenzrelation   auf   ist genau dann eine Kongruenzrelation auf einer algebraischen Struktur  , wenn alle fundamentalen Operationen  ,  , verträglich sind mit  , d. h. für alle  ,  , mit   gilt:

 .

Kern eines HomomorphismusBearbeiten

Sind   und   zwei algebraische Strukturen gleicher Art und ist   ein Homomorphismus dieser Art, dann ist der Kern von  

 

eine Kongruenzrelation   auf   und für alle   gilt:

 .

  lässt sich wie folgt in einen surjektiven, einen bijektiven sowie einen injektiven Homomorphismus zerlegen (Homomorphiesatz):

 

mit   und der Inklusionsabbildung  .

VerallgemeinerungBearbeiten

QuotientenstrukturBearbeiten

Allgemein spielen diejenigen Äquivalenzrelationen   auf einer Menge   eine wichtige Rolle, deren Quotientenabbildung

 

mit der Struktur   auf   verträglich bzw. ein Homomorphismus ist.

Die durch   gegebene Struktur auf der Quotientenmenge  , die sogenannte Faktor- oder Quotientenstruktur   mit Relationen  ,

  für jedes  ,

ist dann wieder von der gleichen Art wie die von  .

Insbesondere sind dann auch alle zu   gehörenden Funktionen mit   verträglich.

Spezielle KongruenzenBearbeiten

Normalteiler einer GruppeBearbeiten

Bezeichne nun   eine Gruppe,   deren neutrales Element und   eine beliebige normale Untergruppe von  .

Für jedes   sei

 

die zugehörige Nebenklasse des Normalteilers  .[1] Mit

 

und dem Komplexprodukt   bildet dann   eine Gruppe mit dem neutralen Element  : die Faktorgruppe von   nach  .

Weil aber

 

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist

 

eine Kongruenzrelation auf   und für alle   gilt:

 .

Umgekehrt liefert jede beliebige Kongruenzrelation   auf   genau einen Normalteiler   in  .

Bei einer Gruppe entsprechen also die Normalteiler genau den Kongruenzrelationen. Daher wird für einen beliebigen Gruppenhomomorphismus   auch der Normalteiler

 

als der Kern von   bezeichnet.

Kongruenz nach einem ModulBearbeiten

Eine additive abelsche Gruppe   nennt man einen Modul (von lat. modulus Maß). Da jede Untergruppe   von   ein Modul und zudem normal ist, entsprechen die Trägermengen der Untergruppen[1] genau den Kongruenzrelationen auf einem Modul.

Dies gilt ebenso für die Trägermengen der Untermoduln eines Moduls über einem Ring und insbesondere auch für die Untervektorräume eines Vektorraumes.

Man bezeichnet für alle   die Nebenklasse

 

als Restklasse nach   oder Restklasse modulo   (von lat. modulō, Ablativ zu modulus) und die Faktorgruppe   heißt Restklassenmodul von   nach  .

Wenn zwei Elemente   kongruent nach   sind, dann nennt man sie auch kongruent nach dem Modul  [1] oder kongruent modulo   und schreibt dies

  oder   oder kurz  .

Es gilt:

 .

Ist   einfach erzeugt in  , also   für ein  , dann sagt man auch, dass   kongruent modulo   sind und notiert

 .

BeispieleBearbeiten

IdentitätsrelationBearbeiten

Für jede algebraische Struktur   ist die durch den Graphen der identischen Abbildung   auf   gegebene Äquivalenzrelation, die Gleichheits- oder Identitätsrelation

 ,

eine Kongruenzrelation auf  .

AllrelationBearbeiten

Auf   seien nun jeweils zwei beliebige Elemente äquivalent. Dadurch ist eine Äquivalenzrelation gegeben, die sogenannte All- oder Universalrelation

 ,

auch sie ist eine Kongruenzrelation auf  .

RingidealeBearbeiten

Jeder Ring   ist ein Modul   über sich selbst und die Trägermengen der zugehörigen Untermoduln sind genau die Ideale des Ringes, daher entsprechen die Ringideale genau den Kongruenzrelationen auf  .

Lp-RaumBearbeiten

Im Vektorraum   der  -fach integrierbaren Funktionen,  , ist

  fast überall 

Trägermenge eines Unterraums von  .

Den Quotientenvektorraum

 

bezeichnet man als  -Raum.

Kongruenz ganzer ZahlenBearbeiten

„Kongruenz“ nannte man ursprünglich jede auf dem Hauptidealring der ganzen Zahlen   definierte Kongruenz zweier ganzer Zahlen   modulo einer weiteren ganzen Zahl  :

 .

  und   sind genau dann kongruent modulo  , wenn sie denselben Rest bei Division durch   haben.

Weitere KongruenzbegriffeBearbeiten

LiteraturBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. a b c Zwischen einer Gruppe   und ihrer Trägermenge   wird in der Literatur meist nicht klar unterschieden.