Finite-Differenzen-Methode

Finite-Differenzen-Methoden (kurz: FDM), auch Methoden der endlichen (finiten) Differenzen sind eine Klasse numerischer Verfahren zur Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen.

Die grundlegende Idee des Verfahrens ist es, die Ortsableitungen in der Differenzialgleichung an endlich vielen (= „finiten“), äquidistanten Gitterpunkten durch Differenzenquotienten zu approximieren. Die approximierten Lösungen der Differenzialgleichung an den Gitterpunkten lassen sich dann durch das entsprechende Gleichungssystem berechnen.

Verfahren dieser Art finden verbreitete Anwendung unter anderem bei fluiddynamischen Simulationen, zum Beispiel in der Meteorologie und der Astrophysik. In den Jahren von 1950 bis 1980 dominierte die FDM in den numerischen Programmen der Reaktorphysik zur Berechnung des Neutronenflusses. Eine gewisse Verbreitung findet das Differenzenverfahren in der Baustatik. Schon 1904 analysierte Friedrich Bleich den Durchlaufträger; 1909 untersuchte Lewis Fry Richardson elastische Scheiben und 1919 Henri Marcus elastische Platten mit dem Differenzenverfahren.

Eine spezielle Finite-Differenzen-Methode zur numerischen Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist das Crank-Nicolson-Verfahren.

Zu den Pionieren des Finite-Differenzen-Verfahrens für partielle Differentialgleichungen zählen Lewis Fry RichardsonRichard SouthwellRichard CourantKurt FriedrichsHans LewyPeter Lax und John von Neumann.

Beispiel zur numerischen Lösung einer gewöhnlichen DGLBearbeiten

Gegeben sei das Randwertproblem

   für   ,
 .

Die Lösungsfunktion   lässt sich hier exakt berechnen zu  .

Zur Lösung mit der Differenzenmethode wird das Intervall   diskretisiert durch die Gitterpunkte   für   mit der Maschenweite  . Die Diskretisierung der zweiten Ableitung erfolgt mit den zentralen Differenzenquotienten der zweiten Ableitung

 

Dies ergibt an den inneren Gitterpunkten die Differenzengleichungen

   für   

für die numerischen Näherungswerte   der Lösungswerte  . Unter Verwendung der gegebenen Randwerte   und   ist dies ein lineares Gleichungssystem mit   Gleichungen für die   Unbekannten  .

In Matrixform lautet das zu lösende System hier:

 

Da in jeder Zeile maximal nur drei Unbekannte vorkommen, handelt es sich um ein System mit dünnbesetzter Koeffizientenmatrix, genauer um ein System mit Tridiagonal-Toeplitz-Matrix.

Beispiel zur numerischen Lösung einer partiellen DGLBearbeiten

Im Folgenden wird die numerische Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf einem beschränkten Gebiet   betrachtet:

 
 
 

Numerische Lösung im 1DBearbeiten

Im 1D-Fall ist   ein beschränktes Intervall. Da in diesem Fall nur eine Ortsableitung betrachtet wird, kann die Wärmeleitungsgleichung folgendermaßen geschrieben werden:

 

DiskretisierungBearbeiten

Um die Finite-Differenzen-Methode anwenden zu können, muss das Intervall   zunächst in endlich viele Teilintervalle unterteilt werden. Hierfür werden   äquidistante Stützstellen verwendet:

 , für  .

Die Gitterweite dieser Diskretisierung ist also  . Nach Voraussetzung verschwindet die gesuchte Funktion   an den Randwerten, d. h.  , sodass diese Werte nicht weiter betrachtet werden müssen. Damit lassen sich die Funktionsauswertungen von   an Stützstellen als Vektor im   darstellen:

 

Approximation der AbleitungBearbeiten

Die zweite Ableitung von   bzgl. des Orts kann nun an den Stützstellen durch Differenzenquotienten zweiter Ordnung approximiert werden:

 

Wird die Wärmeleitungsgleichung nach   umgestellt, ergibt sich damit folgendes System gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung:

 

wobei   und  .

Dieses System kann nun durch beliebige Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen, wie z. B. das Runge-Kutta-Verfahren oder das Euler-Verfahren, gelöst werden. 

Güte der ApproximationBearbeiten

Eine Finite-Differenzen-Methode erzeugt ein lineares Gleichungssystem (analog Gleichung im Kapitel Beispiel)

 

wobei   die numerische Approximation der Lösung ist und   die Abhängigkeit vom Gitter explizit darstellen soll. Sei   die exakte Lösung und   die endliche Darstellung mittels  . Sowohl   als auch   sind sogenannte Gitterfunktionen, sie sind nur definiert in allen Gitterpunkten des verwendeten Gitters.

Eine FDM heißt konsistent von Ordnung  , falls es ein   gibt mit

 

Dabei ist   eine Norm für Gitterfunktionen. Oft verwendet wird die Maximumnorm  , sie erlaubt punktweise Fehlerabschätzungen.

Eine FDM heißt stabil, falls es ein   gibt, sodass für alle Gitterfunktionen   gilt

 

Aus Konsistenz der Ordnung   und Stabilität folgt Konvergenz der Ordnung  

 

Stabilität vorausgesetzt, ist Konsistenz der Ordnung   für Konvergenz der Ordnung   hinreichend, aber nicht notwendig.

Eine Diskretisierung auf einem nichtäquidistanten GitterBearbeiten

Nichtäquidistante Gitter sind angebracht, wenn die Lösung Besonderheiten aufweist, z. B. Singularitäten oder Grenzschichten. Als Beispiel wird betrachtet

 

und eine Diskretisierung auf einem beliebigen Gitter   mit   und  .

Dann ist folgende Diskretisierung zweckmäßig:

 

Untersucht man den Konsistenzfehler (wie üblich durch Taylorentwicklung), so stellt man folgende Struktur des Konsistenzfehlers fest:

 

Auf äquidistanten Gittern verschwindet der erste Anteil und der Konsistenzfehler ist von der Ordnung 2. Auf beliebigen Gittern jedoch reduziert sich der Konsistenzfehler auf die Ordnung Eins! Trotzdem ist der Fehler in der Maximumnorm wieder von der Ordnung Zwei, das kann man mit Hilfe der diskreten Greenschen Funktion oder verbesserten Stabilitätsaussagen verifizieren.

Lösen von RandwertproblemenBearbeiten

Ein Beispiel für ein solches Randwertproblem ist folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:

 

Die unbekannte Funktion   soll an vorgegebenen Punkten des zweidimensionalen Bereichs bestimmte feste Werte (Randbedingungen) annehmen. Die Funktionen  ,  ,  ,  ,   und   sind Koeffizienten und sollten daher beschränkt und im gegebenen Integrationsbereich stetig sein. Bei vielen Gleichungen, die spezielle technische Probleme beschreiben, nehmen diese Funktionen konstante Werte an. Diese Gleichungen vom werden oft nach dem Wert der Diskriminante   in eine der folgenden Gruppen eingeteilt: hyperbolisch für  , parabolisch für   und elliptisch für  .

Beispiele für partielle Differentialgleichungen, die für physikalische Probleme formuliert werden, sind:

 
 
 
 
 

LiteraturBearbeiten

  • Christian Großmann, Hans-Görg Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. 3. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-519-22089-X.
  • Stig Larsson, Vidar Thomée: Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 3-540-20823-2.
  • Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann: Numerische Behandlung gewöhnlicher und partieller Differenzialgleichungen. 3. Auflage. Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-24334-9

WeblinksBearbeiten

Commons: Finite-Differenzen-Methode – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien