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In der numerischen Mathematik ist die Konsistenz beziehungsweise die Konsistenzordnung eine Eigenschaft eines numerischen Verfahrens, die bedeutet, dass der Algorithmus in einer gewissen grundlegenden Weise tatsächlich das gegebene Problem löst und nicht ein anderes.

Die drei in der Numerik entscheidenden Fehlerbewertungsmechanismen sind Kondition, Stabilität und Konsistenz. Alle drei Größen analysieren die Entstehung von Fehlern, unterscheiden sich aber in der Art der Fehlerquellen. Die Konditionsbewertung geht davon aus, dass der Algorithmus genau funktioniert, jedoch die Eingabedaten gestört sind. Die Stabilität vergleicht das Ergebnis des numerischen Verfahrens mit dem des exakten Verfahrens unter gestörten Eingabedaten.

Die Konsistenz beschäftigt sich nun mit der Frage, was passiert, wenn die exakte Lösung im numerischen Verfahren verarbeitet wird. Die aufgeführten Beispiele sind numerische Differentiation oder Lösung eines Anfangswertproblems. Hier wird der entstehende Fehler in Abhängigkeit von einem gewählten Gitter oder einer gewählten Schrittweite betrachtet.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein kontinuierliches Problem und die exakte Lösung   sowie die numerische Lösung   zu einer Schrittweite  . Das Verfahren heißt konsistent, falls es eine Funktion   mit   gibt, so dass für den lokalen Fehler gilt (das Verfahren startet mit exakten Anfangsdaten):

 

Es besitzt die Konsistenzordnung  , falls  .

Das bedeutet, dass man zu jedem Zeitpunkt (oder auch Ort) eine Fehlerbeschränkung in Abhängigkeit von der gewählten Schrittweite hat. Es ist klar, dass in der Praxis Verfahren dieses Verhalten nur zeigen, wenn man eine hinreichend kleine Schrittweite wählt (vgl. Stabilität).

Viele solcher Konsistenzabschätzungen werden mit Hilfe des Satzes von Taylor bewiesen, aus dem einfachen Grund, dass viele Verfahren die ersten Glieder der Taylorreihe (die abhängig von einer Schrittweite   ist) entwickeln, um ausgehend von der Lösung zum aktuellen Zeitpunkt die Lösung für den nächsten Zeitpunkt darzustellen:

 .

Die Konstante   ist dann das Restglied   bzw. eine Supremumsnorm­abschätzung.

Definition im Falle der EinschrittverfahrenBearbeiten

Wir gehen von dem Anfangswertproblem

 

aus, wobei   die Lösung des Anfangswertproblems ist und   durch Anwendung der Methode auf   mit Schrittweite   erzeugt wurde. Außerdem sei   unendlich oft differenzierbar und lokal Lipschitz-stetig.

Ein Einschrittverfahren heißt konsistent, falls für jede rechte Seite   gilt, dass[1]

 

d. h. Konstanten   existieren, sodass

 

für alle  .

Eine Methode der Konsistenzordnung   macht in jedem Intervall   einen lokalen Fehler der Ordnung  .

BeispieleBearbeiten

DifferentiationBearbeiten

Eine Möglichkeit, die Ableitung einer Funktion   in einem Punkt   zu errechnen, ist die Benutzung von Differenzenquotienten, sofern   hinreichend oft differenzierbar ist. Wir betrachten zwei Verfahren:

Den einfachen Differenzenquotienten
  und
den zentralen Differenzenquotienten
 

Die Taylorentwicklungen

 

liefern dann für den einfachen Differenzenquotienten

 .

bzw. für den zentralen Differenzenquotienten

 

Über Umstellen und Anwenden der Norm im Bildbereich von   erhalten wir dann

 

bzw.

 ,

also Konsistenzordnung eins,   bzw. zwei,  . Man erkennt, dass man mit ähnlichem Rechenaufwand (je zwei Funktionsauswertungen und im Wesentlichen eine Division) mittels des zentralen Differenzenquotienten eine höhere Konsistenzordnung erreicht.

Gewöhnliche DifferentialgleichungenBearbeiten

Zum diskreten Lösen eines Anfangswertproblems kann man Einschrittverfahren, z. B. Runge-Kutta-Verfahren, verwenden. Ein solches hat die Konsistenzordnung p, wenn es die lokale Fehlerordnung p+1 hat.

Das einfachste Einschrittverfahren ist das explizite Eulerverfahren (Euler'sches Polygonzugverfahren).

Dabei wird die exakte Lösung   einer Differentialgleichung

  und  

numerisch approximiert durch die stückweise lineare Funktion

  mit   und  

mit   und  

Man kann auch hier mit der Taylorentwicklung

 

die lokale Fehlerordnung 2 und damit die Konsistenz von  , d. h., Konsistenzordnung 1, nachweisen.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. von Harrach, Bastian: Numerik von Differentialgleichungen. 25. Juli 2017, S. 23, abgerufen am 30. Januar 2018.