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Mandelbrot-Menge

fraktal erscheinende Menge, die eine bedeutende Rolle in der Chaosforschung spielt
Mandelbrot-Menge (schwarz) mit farbig dargestellter Umgebung. Jedem Pixel ist eine komplexe Zahl zugeordnet. Farbig kodiert ist die Anzahl der Iterationen , die notwendig ist, einen Betrag von zu überschreiten. Sie wächst von Farbstreifen zu Farbstreifen um 1.

Die Mandelbrot-Menge ist die Menge aller komplexen Zahlen , für welche die durch

rekursiv definierte Folge beschränkt ist. Bilder der Mandelbrot-Menge können erzeugt werden, indem für jeden Wert des Parameters , der gemäß obiger Rekursion endlich bleibt, ein Farbwert in der komplexen Ebene zugeordnet wird. Die Farbwerte können dabei gemäß der Anzahl von Iterationen festgelegt werden oder auch in einer schwarz-weiß Darstellung visualisiert werden. Mittels dieser Art der Visualisierung entsteht aus der Mandelbrotmenge ein Fraktal, das im allgemeinen Sprachgebrauch oft Apfelmännchen genannt wird. Die ersten computergrafischen Darstellungen wurden 1978 von Robert Brooks und Peter Matelski vorgestellt.[1] 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot, nach dem die Menge benannt wurde, eine Arbeit über das Thema.[2] Später wurde sie von Adrien Douady und John Hamal Hubbard in einer Reihe grundlegender mathematischer Arbeiten systematisch untersucht.[3] Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker Pierre Fatou erarbeitet.

Mandelbrot-Menge, andere Darstellung

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

 
Die Mandelbrot-Menge (schwarz) in der komplexen Ebene

Definition über RekursionBearbeiten

Die Mandelbrot-Menge   ist die Menge aller komplexen Zahlen  , für welche die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen   mit dem Bildungsgesetz

 

und dem Anfangsglied

 

beschränkt bleibt. Das heißt, eine komplexe Zahl   ist Element der Mandelbrotmenge, wenn die iterative Folge den Betrag von   beschränkt lässt, unabhängig davon, wie groß   wird. Dies lässt sich wie folgt darstellen:[4]

 .

Die grafische Darstellung dieser Menge erfolgt in der komplexen Ebene. Die Punkte der Menge werden dabei in der Regel schwarz dargestellt.

Definition über komplexe quadratische PolynomeBearbeiten

Die Mandelbrotmenge lässt sich auch über komplexe quadratische Polynome beschreiben:

 

mit einem komplexen Parameter  . Für jedes   wird mit dem Startwert   die iterative Folge :

 

berechnet, wobei   die n-te Hintereinanderausführung der Iteration bedeutet. In Abhängigkeit vom Wert des Parameter   wird diese Folge dann entweder unendlich, ist also kein Element der Mandelbrotmenge, oder verbleibt innerhalb einer Scheibe um den Ursprung und ist Element der Mandelbrotmenge. Formal lässt sich die Mandelbrotmenge als eine Untermenge der komplexen Zahlenebene darstellen, für die gilt:

 .

Zur Erläuterung werden einige Eigenschaften und Beispiele angeführt:

  • Aufgrund der zuvor beschriebenen Feststellung kann   gesetzt werden. Dabei gibt der Wert   den Radius um den Ursprung an, innerhalb dessen ein Element von   liegen kann. Außerhalb dieses Kreises sind keine Elemente von   zu finden.
  • Wegen der Betragsfunktion ist   symmetrisch zur reellen Achse.
  • Um die Menge   grafisch darzustellen, müssen die Werte des Parameter   alle einzeln bis zu einer selbstbestimmten Anzahl von Iterationen berechnet werden.
  • Ist   so lautet die Folge   und ist beschränkt. Daher ist   Element von  .
  • Für   zeigt die iterative Folge   Divergenz und   ist kein Element von  

Definition über Julia-MengenBearbeiten

Die Mandelbrot-Menge   wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von Julia-Mengen eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou untersucht wurden. Die Julia-Menge   zu einer bestimmten komplexen Zahl   ist definiert als der Rand der Menge aller Anfangswerte  , für die die obige Zahlenfolge beschränkt bleibt. Es kann bewiesen werden, dass die Mandelbrot-Menge   genau die Menge der Werte   ist, für die die zugehörige Julia-Menge   zusammenhängend ist.[5]

Dieses Prinzip wird in vielen Resultaten über das Verhalten der Mandelbrotmenge   vertieft. So zeigt Shishikura, dass der Rand der Mandelbrotmenge   ebenso wie die zugehörige Julia-Menge   die Hausdorff-Dimension 2 hat.[6] Ein unveröffentlichtes Manuskript von Jean-Christophe Yoccoz diente John Hamal Hubbard als Grundlage für seine Ergebnisse über lokal zusammenhängende Julia-Mengen   und lokal zusammenhängende Mandelbrot-Mengen  .[7]

Geometrische und mathematische EigenschaftenBearbeiten

Animation: Zoom in eine Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrotmenge ist abgeschlossen (da ihr Komplement offen ist) und in der abgeschlossenen Scheibe mit dem Radius 2 um den Ursprung enthalten und somit kompakt.

Gilt   und bezeichnet   die  -te Iteration, dann gehört ein Punkt   genau dann zur Mandelbrotmenge, falls

  für alle  

Wird der Betrag von   größer als 2, entkommt der Punkt bei Iteration ins Unendliche und gehört damit nicht zur Mandelbrotmenge.

Der ungeheure Formenreichtum der Mandelbrot-Menge erschließt sich aus ihrem Bezug zu Julia-Mengen. Julia-Mengen zur Iteration   sind Fraktale, außer für einige  -Werte wie   (Strecke) oder   (Kreis). Die Formen dieser fraktalen Strukturen sind innerhalb einer Julia-Menge stets die gleichen, umspannen aber für Julia-Mengen zu verschiedenem Parameter   einen enormen Formenreichtum. Es zeigt sich, dass die Strukturen der Mandelbrot-Menge in der Umgebung eines bestimmten Wertes   genau die Strukturen der zugehörigen Julia-Menge   wiedergeben. Damit enthält die Mandelbrot-Menge den kompletten Formenreichtum der unendlich vielen Julia-Mengen (s. u.).

In den fraktalen Strukturen am Rand finden sich verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, die Satelliten. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus   als auch solche außerhalb von   umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Unmittelbar am Rand eines Satelliten treten fast die gleichen Strukturen auf wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Strukturen sind jedoch nach weiter außen hin mit den Strukturen kombiniert, die für die größere Umgebung des Satelliten typisch sind.

Da jeder Satellit wiederum mit Satelliten höherer Ordnung bestückt ist, lässt sich immer eine Stelle finden, an der eine beliebige Anzahl beliebiger verschiedener Strukturen in beliebiger Reihenfolge kombiniert auftritt. Diese Strukturen sind allerdings nur bei extremer Vergrößerung erkennbar.

Die Mandelbrot-Menge ist spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Sie ist zusammenhängend (das heißt, sie bildet keine Inseln), wie Adrien Douady und John Hamal Hubbard 1984 bewiesen, und es wird vermutet (Douady/Hubbard), dass sie lokal zusammenhängend ist (MLC-Vermutung). Dies ist eine der großen offenen Fragen in der komplexen Dynamik und bisher unbewiesen (obwohl es Teilresultate zum Beispiel von Jean-Christophe Yoccoz gibt, der lokalen Zusammenhang für bestimmte Werte von   bewies, für die endlich-renormalisierbaren Punkte). Die MLC erlaubt weitreichende Folgerungen über die Topologie der Mandelbrotmenge. Beispielsweise würde daraus die Hyperbolizitätsvermutung folgen, dass jede offene Menge in der Mandelbrotmenge (also das Innere der Mandelbrotmenge) aus Punkten mit attraktiven Zyklen besteht. Die Mandelbrot-Menge ist zwar selbstähnlich, aber nicht exakt, denn keine zwei Teilstrukturen ihres Randes sind exakt gleich; aber in der Nähe vieler Randpunkte bilden sich bei fortgesetzter Ausschnittvergrößerung im Grenzfall periodische Strukturen. An speziellen Punkten hat die Mandelbrotmenge Selbstähnlichkeit (vermutet von John Milnor und bewiesen von Mikhail Lyubich 1999).

Da die Mandelbrot-Menge Kardioid- und Kreisflächen enthält, hat sie die fraktale Dimension 2. Der Rand der Mandelbrot-Menge hat eine unendliche Länge, und seine Hausdorff-Dimension beträgt nach Arbeiten von Mitsuhiro Shishikura ebenfalls 2; das impliziert, dass die Box-Dimension den Wert 2 hat. Es ist denkbar, dass der Rand der Mandelbrot-Menge einen positiven (notwendig endlichen) Flächeninhalt hat; andernfalls wäre dieser Flächeninhalt null. Der Flächeninhalt der Mandelbrot-Menge ist nicht bekannt und beträgt nach numerischen Schätzungen etwa 1,5065918849.[8]

Die Mandelbrotmenge enthält deformierte Kopien aller Julia-Mengen, wie Tan Lei 1990 für die Misiurewicz-Punkte der Mandelbrotmenge bewiesen hat, die dicht im Rand der Mandelbrotmenge liegen. Das ist ein weiterer Beleg für die enge Verwandtschaft der Struktur von Julia- und Mandelbrotmengen. So wurden in den Beweisen von Yoccoz für lokalen Zusammenhang der Mandelbrotmenge bei endlich renormalisierbaren Punkten und von Shishikura über die fraktale Dimension des Randes der Mandelbrotmenge zuerst die entsprechenden Eigenschaften bei den zum Parameterwert gehörigen Julia-Mengen untersucht und dann auf die Mandelbrotmenge übertragen.

Die Frage, ob die Mandelbrot-Menge entscheidbar ist, ergibt zunächst keinen Sinn, da   überabzählbar ist. Einen Ansatz, den Begriff der Entscheidbarkeit auf überabzählbare Mengen zu verallgemeinern, stellt das Blum-Shub-Smale-Modell dar. Innerhalb dessen ist die Mandelbrot-Menge nicht entscheidbar.

Bildergalerie einer ZoomfahrtBearbeiten

Die folgende exemplarische Bildersequenz einer Zoomfahrt an eine bestimmte Stelle   gibt einen Eindruck vom geometrischen Formenreichtum und erläutert gewisse typische Strukturelemente. Die Vergrößerung im letzten Bild beträgt etwa 1 zu 60 Milliarden. Bezogen auf einen üblichen Computerbildschirm verhält sich dieser Ausschnitt wie zu der Gesamtgröße der Mandelbrotmenge von 2,5 Millionen Kilometern, dessen Rand in dieser Auflösung eine unvorstellbare Fülle verschiedenster fraktaler Strukturen aufweist.

Bild Beschreibung
Startbild:
Die Mandelbrot-Menge mit stufenlos eingefärbtem Außenraum.
Ausschnitt 1:
Spalte zwischen „Kopf“ und „Körper“, „Tal der Seepferdchen“ genannt.
Ausschnitt 2:
Links Doppelspiralen, rechts „Seepferdchen“.
Ausschnitt 3:
„Seepferdchen“. Der „Körper“ wird von 25 „Speichen“ gebildet, von denen sich zwei Zwölfergruppen nach Art einer Metamorphose auf jeweils einen der beiden „Finger“ an der „oberen Hand“ der Mandelbrotmenge zurückführen lassen. Die Zahl der „Speichen“ nimmt daher von einem „Seepferdchen“ zum nächsten um zwei zu. Die „Nabe“ wird von einem Misiurewicz-Punkt gebildet (s. u.). Zwischen „Oberkörper“ und „Schwanz“ ist ein deformierter Satellit erkennbar.
Ausschnitt 4:
Der „Seepferdchenschwanz“ endet ebenfalls in einem Misiurewicz-Punkt.
Ausschnitt 5:
Teil des „Schwanzes“. Der einzige Pfad, der sich durch den gesamten „Schwanz“ windet, und damit gewährleistet, dass   einfach zusammenhängend ist, führt im Zickzack von einer „Schwanzseite“ zur anderen und passiert dabei die „Naben“ der großen 25-spiraligen Gebilde.
Ausschnitt 6:
Satellit. Die beiden „Seepferdchenschwänze“ bilden den Auftakt für eine Folge von konzentrischen Kränzen mit dem Satelliten im Zentrum.
Ausschnitt 7:
Jeder dieser Kränze besteht aus gleichartigen Strukturelementen, deren Anzahl pro Kranz mit Potenzen von 2 wächst, ein typisches Phänomen in der Umgebung von Satelliten. Der oben erwähnte Pfad durch den „Seepferdchenschwanz“ passiert den Satelliten über die Kerbe der Kardioide und die Spitze der „Antenne“ auf dem „Kopf“.
Bild Beschreibung
Ausschnitt 8:
„Antenne“ des Satelliten. Auf ihr sind mehrere Satelliten 2. Ordnung erkennbar.
Ausschnitt 9:
„Tal der Seepferdchen“ des Satelliten. Es zeigen sich die gleichen Strukturelemente wie in Ausschnitt 1.
Ausschnitt 10:
Doppelspiralen und „Seepferdchen“, die jedoch im Unterschied zu Ausschnitt 2 nach außen hin mit seepferdchenschwanzartigen Fortsätzen bestückt sind. Dieses Phänomen demonstriert die für Satelliten n-ter Ordnung typischen Verkettungen von   Strukturelementen für den Fall  .
Ausschnitt 11:
Doppelspiralen mit Satelliten 2. Ordnung. Sie lassen sich als Metamorphose der „Antenne“ interpretieren.
Ausschnitt 12:
Im Bereich der äußeren Fortsätze sind stets inselartige Strukturen eingestreut, die Julia-Mengen Jc ähneln. Die im Bild größte ist im Zentrum des „Doppelhakens“ rechts gerade eben erkennbar.
Ausschnitt 13:
Teil des „Doppelhakens“.
Ausschnitt 14:
Diese Inseln scheinen auf den ersten Blick nach Art von Cantor-Mengen wiederum aus unendlich vielen unzusammenhängenden Teilstücken zu bestehen, wie es für die zugehörigen Jc tatsächlich der Fall ist, sie sind jedoch hier über filigrane Strukturen miteinander verbunden. Diese Strukturen gehen von einem Satelliten im Zentrum aus, der bei dieser Vergrößerung noch nicht sichtbar ist, und zwar derart, dass das Ganze ein einfach zusammenhängendes Gebilde ergibt. Der zum entsprechenden Jc gehörige  -Wert ist nicht der des Bildzentrums, sondern hat relativ zur Hauptkardioide die gleiche Position wie das Bildzentrum zum Satelliten, der in Ausschnitt 7 dargestellt ist.
Ausschnitt 15:
Details einer Insel.
Ausschnitt 16:
Details einer Spirale.

Eine Animation zu dieser Zoomfahrt findet sich bei den Weblinks.

Verhalten der ZahlenfolgeBearbeiten

Die verschiedenen Strukturelemente von   stehen in engem Zusammenhang mit bestimmten Verhaltensweisen der Zahlenfolge, die   zugrunde liegt. Je nach Wert von   ergibt sich eine der folgenden vier Möglichkeiten:

  • Sie konvergiert gegen einen Fixpunkt.
  • Sie konvergiert gegen einen periodischen Grenzzyklus, der aus zwei oder mehr Werten besteht. Dazu zählen auch die Fälle, in denen sich die Folge von Anfang periodisch verhält.
  • Sie wiederholt sich nie, bleibt aber beschränkt. Manche Werte zeigen chaotisches Verhalten mit Wechsel zwischen fast periodischen Grenzyklen und scheinbar zufälligem Verhalten.
  • Sie divergiert gegen Unendlich (bestimmte Divergenz).

Alle  -Werte, die nicht divergieren, gehören zu  .

Die folgende Tabelle zeigt Beispiele für diese vier Grenzverhalten der Iteration   für  :

Parameter Folgeglieder   Grenzverhalten
Auf der reellen Achse...
    bestimmte Divergenz gegen  
    sofortige Konvergenz gegen Fixpunkt  
    Konvergenz gegen Dreier-Grenzzyklus  
    chaotisches Verhalten
    Konvergenz gegen 32er-Grenzzyklus
    Konvergenz gegen alternierenden Grenzzyklus  
    sofortige Konvergenz gegen alternierenden Grenzzyklus  
    sehr langsame Konvergenz gegen Fixpunkt  
    Konvergenz gegen Fixpunkt  
    Konvergenz gegen Fixpunkt  
    sofortige Konvergenz gegen Fixpunkt  
    Konvergenz gegen Fixpunkt  
    bestimmte Divergenz gegen  
In der komplexen Zahlenebene...
    sofortige Konvergenz gegen alternierenden Grenzzyklus  
    Konvergenz gegen Dreier-Grenzzyklus
 
Mandelbrot-Menge mit farbkodierter Periodenlänge der Grenzzyklen

Geometrische ZuordnungBearbeiten

Konvergenz liegt genau für die Werte von   vor, die das Innere der Kardioide bilden, den „Körper“ von  , sowie für abzählbar viele ihrer Randpunkte. Periodische Grenzzyklen finden sich in den (angenähert) kreisförmigen „Knospen“ wie im „Kopf“, in den Kardioiden der Satelliten sowie ebenfalls auf abzählbar vielen Randpunkten dieser Komponenten. Eine fundamentale Vermutung besagt, dass es für alle inneren Punkte der Mandelbrot-Menge einen Grenzzyklus gibt. Die Folge ist echt vorperiodisch für abzählbar viele Parameter, die oft Misiurewicz-Thurston-Punkte genannt werden (nach Michał Misiurewicz und William Thurston). Dazu gehören die „Antennenspitzen“ wie der Punkt   ganz links und Verzweigungspunkte der Mandelbrot-Menge.

In den überabzählbar vielen übrigen Punkten der Mandelbrot-Menge kann sich die Folge auf viele verschiedene Weisen verhalten, die jeweils sehr unterschiedliche dynamische Systeme erzeugen und die teilweise Gegenstand intensiver Forschung sind. Je nach Definition des Wortes lässt sich „chaotisches“ Verhalten finden.

Periodisches VerhaltenBearbeiten

Die kreisförmigen StrukturenBearbeiten

Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Satelliten-Kardioide zeichnet sich durch eine bestimmte Periodizität des Grenzzyklus aus, gegen den die Folge für die zugehörigen  -Werte strebt. Die Anordnung der „Knospen“ an der zugehörigen Kardioide folgt dabei den folgenden Regeln, aus denen sich unmittelbar die Periodizitäten ablesen lassen. Jede „Knospe“ berührt genau einen Basiskörper, nämlich eine größere „Knospe“ oder eine Kardioide.

Die Periodizität einer „Knospe“ ist die Summe der Periodizitäten der beiden nächsten größeren „Nachbarknospen“ in beide Richtungen am selben Basiskörper, sofern es solche gibt. Gibt es am Rand des Basiskörpers bis zur Kontaktstelle mit dessen Basiskörper oder bis zur Kerbe der Kardioide nur kleinere „Knospen“, so trägt anstelle der Periodizität einer „Nachbarknospe“ die des Basiskörpers selbst zur Summe bei. Daraus leiten sich unmittelbar die folgenden Eigenschaften ab:

  • Tendenziell sind die „Knospen“ oder Kardioiden umso kleiner, je größer ihre Periodizität ist.
  • Die Periodizität der größten „Knospe“ an einem Basiskörper beträgt stets das Doppelte, wie der „Dutt“ mit der Periode   am „Kopf“.
  • Die Periodizität einer „Knospe“ eines Satelliten ist das Produkt der Periodizität der Satelliten-Kardioide und der der korrespondierenden „Knospe“ der Hauptkardioide.

Ferner erklärt diese Regel das Auftreten bestimmter Folgen von „Knospen“ wie vom „Kopf“ zur Kardioidkerbe hin mit einer Periodizitätszunahme zur nächsten „Knospe“ hin um den Wert   oder vom „Arm“ zum „Kopf“ hin um den Wert  .

Attraktive ZyklenBearbeiten

Gibt es für ein   ein Folgenglied mit der Eigenschaft  , so wiederholt sich die Folge von Anfang an streng periodisch und zwar mit der Periode  . Da sich   durch  -malige Anwendung der Iterationsvorschrift ergibt, wobei bei jedem Schritt quadriert wird, lässt es sich als Polynom von   vom Grad   formulieren. Die  -Werte für periodische Folgen der Periode   werden daher über die   Nullstellen dieses Polynoms erhalten. Es zeigt sich, dass jede Zahlenfolge gegen diesen Zahlenzyklus konvergiert, sofern eins ihrer Folgenglieder hinreichend nahe an diesen Zyklus gerät, die werden Attraktoren genannt. Das führt dazu, dass alle Zahlenfolgen zu einer gewissen Umgebung des  -Wertes, der den Attraktor repräsentiert, gegen einen stabilen Zyklus der Periode   konvergieren. Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Kardioide eines Satelliten repräsentiert genau eine solche Umgebung. Exemplarisch seien die Gebiete mit den Perioden   bis   aufgeführt:

  • Periode 1: Die Kardioide des Hauptapfelmännchens. Der Rand dieser Kardioide ist gegeben durch Punkte der Form   mit  .
  • Periode 2: Der „Kopf“. Die 2. Nullstelle   entspricht der Hauptkardioide, die wegen der Periode   natürlich bei der Ermittlung aller höherer Perioden als Nullstelle auftritt. Diese Überlegung zeigt, dass die Zahl der Attraktoren mit der Periode   maximal   betragen kann, und das nur dann, wenn   eine Primzahl ist. Der Kopf selbst ist eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt   und Radius  , d. h., der Rand dieser Kreisscheibe ist gegeben durch Punkte der Form   mit  .
  • Periode 3: Die „Knospen“, die den „Armen“ entsprechen und die Kardioide des größten Satelliten auf der „Kopfantenne“. Die vierte Nullstelle   entfällt wieder.

Die Anzahl der anziehenden Zyklen mit der genauen Periode  , d. h.   und   ist minimal mit dieser Eigenschaft, ist die Folge A000740 in OEIS.

Galerie der IterationBearbeiten

Die folgende Galerie gibt einen Überblick über die Werte von   für einige Werte von  . Dabei hängt   vom Parameter   ab, dessen Realteil sich in den Bildern von links nach rechts von −2,2 bis +1 erstreckt, und dessen Imaginärteil von −1,4 bis +1,4 reicht.

Die Iteration z → z² + c nach n Schritten
Iterationen Beschreibung
n = 1
Nach dem ersten Schritt gilt  . Das Bild ist also eine farbige Darstellung der komplexen Zahlen  , die sich in dem gezeigten Gebiet befinden. Die Null wird dabei in Weiß dargestellt und Unendlich in Schwarz. Daher erscheint ein Punkt umso dunkler, je weiter er vom Ursprung entfernt ist. Die Farbe eines Punktes gibt Auskunft über sein Argument, also über den Winkel, den er mit der positiv-reellen Achse (rot) hat. Die negativ-reelle Achse ist türkis gefärbt.
n = 2
Nach zwei Schritten gilt
 

Dieser Ausdruck wird Null für   sowie für  . Die neu hinzugekommene linke Nullstelle liegt im Zentrum des Kopfes der Mandelbrotmenge, während die alte auf der rechten Seite das Herz der Leib-Zykloiden ist.

n = 3
Die Anzahl der Nullstellen hat sich verdoppelt – wie nach jedem Iterationsschritt. Die reelle Nullstelle links liegt im Herz des kleinen Antennen-Satelliten. Es treten die ersten komplexwertigen Nullstellen ober- und unterhalb der reellen Achse auf. Diese Nullstellen liegen im Zentrum des jeweiligen Ärmchens.
n = 4
Der Dutt ist entstanden: er gehört zur Nullstelle links neben der Kopf-Nullstelle bei −1. Die dargestellte Funktion
 

wird immer unübersichtlicher. Es lässt sich jedoch einfach nachrechnen, dass wenn   eine Nullstelle von   ist,   eine Nullstelle von   ist. Daher „erbt“   die Nullstellen von  . Dieser Zusammenhang ist Ursache für das unten erläuterte periodische Verhalten der Knospen.

Iterationen Beschreibung
n = 5
Da   eine Primzahl ist, gibt es keine altbekannten Nullstellen — außer der Null, die von   her bekannt ist. Da der Grad des Polynoms   gleich   ist, wächst   mit wachsendem   immer schneller gegen Unendlich. Dadurch bildet sich der Rand zwischen der Mandelbrot-Menge und ihrem Äußeren immer klarer heraus.
n = 9
Inzwischen gibt es bereits   Nullstellen, die auch innerhalb der Mandelbrotmenge verteilt sind. Da   ein Teiler von   ist, sind die Armknospen und der kleine Antennensatellit wieder mit einer Nullstelle an der Reihe, und leuchten daher hell auf.
n = 17
Wieder eine Primzahl.
n = 18
Mit   und   Nullstellen endet diese Bilderserie.   könnte noch beliebig vergrößert werden, wodurch sich die Anzahl der neuen Knospen erhöhen würde.

Anhand der obigen Bildserie lässt sich für die Iterationsstufe   erkennen, dass die Nullstelle   ein innerer Punkt von   ist. Es hängt also von der Anzahl der Iterationen ab, ob Nullstellen innerhalb von   vorhanden sind oder nicht.

Repulsive ZyklenBearbeiten

Neben attraktiven Zyklen gibt es repulsive, die sich dadurch auszeichnen, dass Zahlenfolgen in ihrer Umgebung sich zunehmend von ihnen entfernen. Sie lassen sich jedoch erreichen, da jedes   abgesehen von der Situation   wegen des Quadrats in der Iterationsvorschrift zwei potenzielle Vorgänger in der Folge hat, die sich nur durch ihr Vorzeichen unterscheiden.  -Werte, für die die zugehörige Folge irgendwann über einen solchen zweiten Vorläufer eines Periodenmitgliedes in einen derartigen instabilen Zyklus mündet, sind beispielsweise die „Naben“ der rad- oder spiralförmigen Strukturen sowie die Endpunkte der weitverbreiteten antennenartigen Strukturen, die sich formal als „Naben“ von „Rädern“ oder Spiralen mit einer einzigen Speiche interpretieren lassen. Derartige  -Werte werden als Misiurewicz-Punkte bezeichnet.

Ein Misiurewicz-Punkt   hat ferner die Eigenschaft, dass   in seiner näheren Umgebung nahezu deckungsgleich mit demselben Ausschnitt der zugehörige Julia-Menge   ist. Je weiter sich dem Misiurewicz-Punkt genähert wird, umso besser wird die Übereinstimmung. Da Julia-Mengen für  -Werte innerhalb von   zusammenhängend sind und außerhalb von   Cantor-Mengen aus unendlich vielen Inseln mit der Gesamtfläche null, sind sie in der Übergangszone am Rand von   besonders filigran. Jeder Misiurewicz-Punkt ist aber gerade ein Randpunkt von  , und jeder Ausschnitt der Randzone von  , der sowohl Punkte in   als auch außerhalb davon enthält, enthält unendlich viele davon. Damit ist der gesamte Formenreichtum sämtlicher Julia-Mengen dieses filigranen Typs in der Umgebung der Misiurewicz-Punkte in   repräsentiert.

SatellitenBearbeiten

 
Analyse des Verhaltens des Newton-Verfahrens zu einer Familie kubischer Polynome.

Ein weiteres Strukturelement, das den Formenreichtum der Mandelbrot-Menge begründet, sind die verkleinerten Kopien ihrer selbst, die sich in den filigranen Strukturen ihres Randes befinden. Dabei korrespondiert das Verhalten der Zahlenfolgen innerhalb eines Satelliten in folgender Weise mit dem der Folgen im Hauptkörper. Innerhalb eines Satelliten konvergieren alle Zahlenfolgen gegen Grenzzyklen, deren Perioden sich von denen an den entsprechenden Stellen im Hauptkörper von   um einen Faktor   unterscheiden.Wird für einen bestimmten  -Wert aus dem Satelliten nur jedes  -te Folgenglied betrachtet, so ergibt sich eine Folge, die bis auf einen räumlichen Maßstabsfaktor nahezu identisch ist mit derjenigen, die sich für den entsprechenden  -Wert im Hauptkörper von   ergibt. Die mathematische Begründung hierfür ist tiefliegend; sie entstammt den Arbeiten von Douady und Hubbard über „polynomartige Abbildungen“.

Die zusätzlichen Strukturelemente in der unmittelbaren Umgebung eines Satelliten sind eine Folge davon, dass zwischen zwei der betrachteten Folgenglieder mit dem Indexabstand   sich eins mit dem Wert   befinden kann, das damit einen periodischen Verlauf mit der Periode   begründet. Die entsprechende Folge außerhalb des Hauptkörpers divergiert jedoch, da sie keine solchen Zwischenglieder besitzt.

Es handelt sich bei der Mandelbrot-Menge selbst um eine universelle Struktur, die bei völlig anderen nichtlinearen Systemen und Klassifizierungsregeln in Erscheinung treten kann. Grundvoraussetzung ist jedoch, dass die beteiligten Funktionen winkeltreu sind. Werden solche Systeme betrachtet, die von einem komplexen Parameter   abhängen und klassifiziert ihr Verhalten bezüglich einer bestimmten Eigenschaft der Dynamik in Abhängigkeit von  , dann werden unter bestimmten Umständen in der Parameter-Ebene kleine Kopien der Mandelbrot-Menge gefunden. Ein Beispiel ist die Frage, für welche Polynome dritten Grades das iterative Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen mit einem bestimmten Startwert versagt und für welche nicht.

Wie im nebenstehenden Bild kann die Mandelbrot-Menge dabei verzerrt auftreten, zum Beispiel sitzen dort die Armknospen an etwas anderer Stelle. Ansonsten ist die Mandelbrot-Menge jedoch vollkommen intakt, inklusive aller Knospen, Satelliten, Filamente und Antennen. Der Grund für das Auftauchen der Mandelbrot-Menge ist, dass die betrachtete Funktionenfamilien in bestimmten Gebieten – abgesehen von Drehungen und Verschiebungen – recht gut mit der Funktionenfamilie

 ,

welche die Mandelbrot-Menge definiert, übereinstimmen. Dabei sind in einem gewissen Rahmen Abweichungen zulässig, und trotzdem kristallisiert sich die Mandelbrot-Menge heraus. Dieses Phänomen wird als strukturelle Stabilität bezeichnet und ist im Endeffekt verantwortlich für das Auftreten der Satelliten in der Umgebung von  , weil Teilfolgen der iterierten Funktionen lokal das gleiche Verhalten zeigen wie die Gesamtfamilie.

Intermediär wechselhaftes VerhaltenBearbeiten

 
Darstellung des Betrages der Folgenglieder als Funktion des Iterationsschrittes   für einen  -Wert mit besonders abwechslungsreichem Verhalten der Folge. Die auffälligen Brüche im Verhalten ergeben sich durch Beinahe-Einfänge in repulsive Zyklen, was temporär zu quasiperiodischem Verhalten führt.
 
Darstellung der Folgenglieder zum c-Wert des vorherigen Diagramms als Punkte in der komplexen Ebene mit hinterlegter Mandelbrot-Menge zur Orientierung. Die Helligkeit eines Pixels ist ein Maß dafür, von wie vielen Punkten der Folge es getroffen wurde.

Durch die Möglichkeit der Zahlenfolge, wiederholt in die unmittelbare Umgebung eines repulsiven Zyklus zu geraten, und bei dem anschließend tendenziell divergenten oder chaotischen Verhalten wiederum beinahe in einen anderen Zyklus zu geraten, können sich intermediär sehr komplizierte Verhaltensweisen der Folge ausbilden, bis sich der endgültige Charakter der Folge zeigt, wie die beiden Abbildungen demonstrieren. Die Umgebung der zugehörigen  -Werte in   ist entsprechend strukturreich.

Die Darstellung der Folgepunkte selbst in der komplexen Ebene zeigt in diesen Fällen eine größere Komplexität. Das quasiperiodische Verhalten in der Nachbarschaft eines repulsiven Zyklus führt in diesen Fällen oft zu spiralförmigen Strukturen mit mehreren Armen, wobei die Folgepunkte das Zentrum umkreisen, während der Abstand zu ihm zunimmt. Die Anzahl der Arme entspricht daher der Periode. Die Punktanhäufungen an den Enden der Spiralarme in der obigen Abbildung sind die Folge der beiden zugehörigen Beinahe-Einfänge durch repulsive (instabile) Zyklen.

Dichteverteilung der FolgengliederBearbeiten

 
Akkumulierte Dichteverteilung der Folgenglieder für alle c-Werte in einer farbkodierten Darstellung

Das nebenstehende Bild zeigt in der komplexen Ebene die Dichteverteilung der Folgenglieder, die sich durch Auswertung von 60 Millionen Folgen ergibt, wobei die Helligkeit ein Maß dafür ist, wie viele Orbitale durch den Punkt verlaufen. Blaue Bereiche kennzeichnen Folgenglieder mit kleinem Index, während eine gelbliche Färbung Folgenglieder mit hohen Indizes anzeigt. Folgen aus der großen Kardioide der Mandelbrot-Menge tendieren zu einer Konvergenz zu einem  -Wert auf einem Kreis um den Ursprung, der als runder Bereich mit sehr hoher Dichte zu erkennen ist. Die kleineren Gebilde nahe der imaginären Achse markieren die konjugierten Bereiche, zwischen denen Folgenglieder vieler Folgen hin und her springen (Annäherung an einen Grenzzyklus mit der Periode 2 für große Folgenindizes).

Bezug zur ChaostheorieBearbeiten

 
Im oberen Bildbereich sind Grenzzyklen der logistischen Gleichung[9] dargestellt, die reellen  -Werten der Mandelbrot-Menge entsprechen. Konvergenz geht über Bifurkation in Chaos über.

Das Bildungsgesetz, das der Folge zugrunde liegt, ist die einfachste nichtlineare Gleichung, anhand der sich der Übergang von Ordnung zu Chaos durch Variation eines Parameters provozieren lässt. Dazu genügt es, reelle Zahlenfolgen zu betrachten.

Sie werden erhalten, wenn auf die  -Werte der  -Achse von   beschränkt wird. Für Werte  , das heißt innerhalb der Kardioide, konvergiert die Folge. Auf der „Antenne“, die bis   reicht, verhält sich die Folge chaotisch. Der Übergang zu chaotischem Verhalten erfolgt nun über ein Zwischenstadium mit periodischen Grenzzyklen. Dabei nimmt die Periode zum chaotischen Bereich hin stufenweise um den Faktor zwei zu, ein Phänomen, das als Periodenverdopplung und Bifurkation bezeichnet wird. Jeder  -Bereich zu einer bestimmten Periode entspricht dabei einer der kreisförmigen „Knospen“ auf der  -Achse.

Die Periodenverdopplung beginnt mit dem „Kopf“ und setzt sich in der Folge der „Knospen“ zur „Antenne“ hin fort. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle und damit das der Knospendurchmesser zu unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante  , eine fundamentale Konstante der Chaostheorie. Dieses Verhalten ist typisch für den Übergang realer Systeme zu chaotischer Dynamik. Die auffälligen Lücken im chaotischen Bereich entsprechen Inseln mit periodischem Verhalten, denen in der komplexen Ebene die Satelliten auf der „Antenne“ zugeordnet sind.

Für gewisse komplexe  -Werte stellen sich Grenzzyklen ein, die auf einer geschlossenen Kurve liegen, deren Punkte jedoch nicht periodisch, sondern chaotisch abgedeckt werden. Eine solche Kurve ist in der Chaostheorie als sogenannter seltsamer Attraktor bekannt.

Die Mandelbrot-Menge ist daher ein elementares Objekt für die Chaostheorie, an der sich fundamentale Phänomene studieren lassen. Sie wird aus diesem Grund hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Chaostheorie gelegentlich mit der von Geraden für die euklidische Geometrie verglichen.

Grafische DarstellungBearbeiten

Die grafische Darstellung der Mandelbrot-Menge und ihrer Strukturen im Randbereich ist nur mittels Computer durch sogenannte Fraktalgeneratoren möglich. Dabei entspricht jedem Bildpunkt ein Wert   der komplexen Ebene. Der Computer ermittelt für jeden Bildpunkt, ob die zugehörige Folge divergiert oder nicht. Sobald der Betrag   eines Folgengliedes den Wert   überschreitet, divergiert die Folge. Die Zahl der Iterationsschritte   gemäß obiger Rekursionsformel, nach denen das erfolgt, kann als Maß für den Divergenzgrad herangezogen werden. Über eine zuvor festgelegte Farbtabelle, die jedem Wert   eine Farbe zuordnet, wird in diesem Fall dem Bildpunkt eine Farbe zugewiesen.

Um in ästhetischer Hinsicht harmonische Grenzen zwischen aufeinanderfolgenden Farben zu erreichen, wird in der Praxis für die Grenze   nicht der kleinste mögliche Wert   gewählt, sondern ein Wert deutlich größer als  , da andernfalls die Farbstreifenbreite oszilliert. Je größer dieser Wert gewählt wird, desto besser entsprechen die Farbgrenzen Äquipotentiallinien, die erhalten werden, wenn die Mandelbrot-Menge als elektrisch geladenen Leiter interpretiert wird. Für kontinuierliche Farbverläufe, wie in der obigen Zoom-Bilderserie, ist eine Auswertung des Faktors erforderlich, um den   bei der ersten Überschreitung übertroffen wurde.

Da die Zahl der Iterationsschritte  , bevor die Grenze   überschritten wird, beliebig groß sein kann, muss für die praktische Durchführung der Rechnung ein Abbruchkriterium in Form einer maximalen Zahl von Iterationsschritten festgelegt werden. Werte von  , deren Folgen danach die Grenze   noch nicht überschritten haben, werden zu   gerechnet. Je geringer der Abstand von   zu   ist, desto größer ist die Zahl  , nach der   überschritten wird. Je stärker die Vergrößerung ist, mit der der Rand von   dargestellt wird, desto größer muss die maximale Zahl von Iterationsschritten gewählt werden, und umso länger fällt die Rechenzeit aus. Konvergiert die Folge für einen Startwert  , so kann die Berechnung der Folge schon früher abgebrochen werden.

Grafisch besonders reizvoll ist die Darstellung des Randes von   mit seinem Formenreichtum. Je stärker die gewählte Vergrößerung ist, umso komplexere Strukturen lassen sich dort finden. Mit entsprechenden Computerprogrammen lässt sich dieser Rand wie mit einem Mikroskop mit beliebiger Vergrößerung darstellen. Die beiden einzigen künstlerischen Freiheiten, die dabei bestehen, sind die Wahl des Bildausschnittes sowie die Zuordnung von Farben zum Divergenzgrad.

Zur Untersuchung interessanter Strukturen sind häufig Vergrößerungen erforderlich, die mit hardwareunterstützter Datentypen aufgrund deren limitierter Genauigkeit nicht berechnet werden können. Manche Programme enthalten daher Langzahl-Arithmetik-Datentypen mit beliebig wählbarer Genauigkeit. Damit sind (fast) beliebige Vergrößerungsfaktoren möglich.

ProgrammbeispielBearbeiten

Iteration über alle BildpunkteBearbeiten

Das folgende Programmbeispiel geht davon aus, dass die Pixel des Ausgabegerätes durch Koordinaten x und y mit einem Wertebereich von 0 bis jeweils xpixels-1 und ypixels-1 adressierbar sind. Die Berechnung des dem Pixel zugeordneten komplexen Zahlenwerts c mit dem Realteil cre und dem Imaginärteil cim erfolgt durch lineare Interpolation zwischen (re_min, im_min) und (re_max, im_max).

Die maximale Anzahl von Iterationsschritten ist max_iter. Wird dieser Wert überschritten, so wird das entsprechende Pixel der Menge   zugeordnet. Der Wert von max_iter sollte mindestens 100 betragen. Bei stärkerer Vergrößerung sind zur korrekten Darstellung der Strukturen teilweise erheblich größere Werte erforderlich und damit deutlich längere Rechenzeiten.

PROCEDURE Apfel (re_min, im_min, re_max, im_max, max_betrag_2: double,
                 xpixels, ypixels, max_iter: integer)
  FOR y = 0 TO ypixels-1
    c_im = im_min + (im_max-im_min)*y/ypixels

    FOR x = 0 TO xpixels-1
      c_re = re_min + (re_max-re_min)*x/xpixels

      iterationen = Julia (c_re, c_im, c_re, c_im, max_betrags_2, max_iter)
      farb_wert   = waehle_farbe (iterationen, max_iter)
      plot (x, y, farb_wert)
    NEXT

  NEXT
END PROCEDURE

Iteration eines BildpunktesBearbeiten

Die Iteration von n nach n+1 für einen Punkt c der komplexen Zahlenebene erfolgt durch die Iteration

 ,

die sich mittels der Zerlegung der komplexen Zahl z in ihren Realteil x und Imaginärteil y in zwei reelle Berechnungen

 

und

 

zerlegen lässt. Hier haben wir die folgende Identität benutzt:

 

Falls das Quadrat des Betrags der (n+1)-ten Zahl, gegeben durch

 

den Wert max_betrag_2 (mindestens 2 · 2 = 4) überschreitet, wird die Iteration abgebrochen, und die Anzahl der bislang erfolgten Iterationsschritte für die Zuordnung eines Farbwertes verwendet. Falls das Quadrat des Betrags nach einer gegebenen maximalen Anzahl von Iterationsschritten den max_betrag_2 nicht überschritten hat, wird angenommen, dass die Iteration beschränkt bleibt, und die Iterationsschleife abgebrochen.

Die folgende Funktion führt die beschriebene Iteration durch. x und y sind die iterativ benutzten Variablen für die Iterationswerte; xx, yy, xy und remain_iter sind Hilfsvariablen.

 FUNCTION Julia (x, y, xadd, yadd, max_betrag_2: double, max_iter: integer): integer
   remain_iter = max_iter
   xx = x*x
   yy = y*y
   xy = x*y
   betrag_2 = xx + yy

   WHILE (betrag_2 <= max_betrag_2) AND (remain_iter > 0)
     remain_iter = remain_iter - 1
     x  = xx - yy + xadd
     y  = xy + xy + yadd
     xx = x*x
     yy = y*y
     xy = x*y
     betrag_2 = xx + yy
   END

   Julia = max_iter - remain_iter
 END FUNCTION

Wird ein kontinuierlicherer Farbverlauf gewünscht, so bietet sich alternativ die Formel

    Julia = max_iter - remain_iter  log(log(betrag_2) / log(4)) / log(2)

an, die keine ganzen, sondern reelle Werte liefert. Für die Folge mit c = 0 und dem Startwert z0 = 2 liefert diese Formel den Wert null. Es ergibt sich ferner eine von max_betrag_2 unabhängige Farbgebung, sofern dieser Wert groß gegen 1 ist.

Ein erheblicher Teil der Rechenzeit wird dort benötigt, wo die Zahlenfolge nicht divergiert. Moderne Programme bemühen sich, mit verschiedenen Verfahren die Rechenzeit für diese Stellen zu reduzieren. Eine Möglichkeit besteht darin, die Rechnung bereits abzubrechen, wenn die Zahlenfolge konvergiert ist oder sich in einem periodischen Zyklus gefangen hat. Andere Programme nutzen aus, dass jeder Punkt im Inneren einer geschlossenen Kurve, die nur Punkte aus   enthält, ebenfalls dazugehört.

 
Computergenerierte Landschaft einer Insel in Form der Mandelbrot-Menge, gerendert mit dem Programm Terragen.

Rezeption in der ÖffentlichkeitBearbeiten

Außerhalb der Fachwelt wurde die Mandelbrot-Menge vor allem durch den ästhetischen Wert der Computergrafiken bekannt, der durch künstlerische Farbgestaltung des Außenbereichs, der nicht zur Menge gehört, unterstützt wird. Sie erlangte durch Publikationen von Bildern in den Medien Ende der 1980er Jahre einen für ein mathematisches Thema dieser Art ungewöhnlich großen Bekanntheitsgrad und dürfte das populärste Fraktal, möglicherweise das populärste Objekt der zeitgenössischen Mathematik sein.[10]

Die Mandelbrot-Menge wird als das formenreichste geometrische Gebilde bezeichnet. Sie hat Computerkünstler inspiriert und zu einem Aufschwung fraktaler Konzepte beigetragen. Dabei finden zahlreiche Modifikationen des Algorithmus Anwendung, welcher der Mandelbrot-Menge zugrunde liegt.

Ein weiterer Aspekt ist der extreme Kontrast zwischen diesem und der Einfachheit des zugrunde liegenden Algorithmus, der an biologische Systeme erinnert, bei denen nach naturwissenschaftlicher Sicht ebenfalls aus einer vergleichsweise geringen Zahl von Regeln äußerst komplexe Systeme entstehen können, sowie die Nähe zur Chaosforschung, die ebenfalls in der Öffentlichkeit großes Interesse geweckt hatte.

Die Bezeichnung ,Apfelmännchen‘ leitet sich von der geometrischen Grobform einer um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedrehten Mandelbrot-Menge her.

Der US-amerikanische Musiker Jonathan Coulton hat ein Lied über die Mandelbrot-Menge veröffentlicht, in dem Benoît Mandelbrot dafür gedankt wird, dass er Ordnung in das Chaos gebracht habe.[11]

BerechnungsgeschwindigkeitBearbeiten

Berechnungen nahmen beim Stand der Technik Ende der 1980er Jahre viel Zeit in Anspruch. Vergleichsweise zeigt dies eine Aufstellung durch die Anzahl der Iterationen, die verschiedene CPUs pro Sekunde durchführen konnten.

CPU Genauigkeit (Software) Geschwindigkeit
in Iterationen/sec
Rechendauer für
8,8 Mrd. Iterationen
Z80 @1,75 MHz 32 bit Gleitkomma (1.) 9 31 Jahre[12]
Z80 @2,45 MHz 32 bit Integer (2.) 280 01 Jahr
80386 SX/20 +
IIT 3C87SX/20
32 bit Integer (3.) 130.000 19 Stunden
80 bit Gleitkomma (FPU) (3.) 75.000 33 Stunden
80 bit Gleitkomma (Emulation Borland) (3.) 2.000 51 Tage
Pentium 90 32 bit Integer (3.) 1.450.000 01 Stunde 40 Minuten
80 bit Gleitkomma (3.) 2.900.000 50 Minuten
2 x
Xeon E5-2623 v3
32 bit Gleitkomma (4.) 50.000.000.000 0,177 Sekunden
64 bit Gleitkomma (4.) 25.000.000.000 0,35 Sekunden
Eingesetzte Software
  1. BASIC-Interpreter
  2. Assembler
  3. Borland C++ mit integriertem Assembler
  4. Visual Studio C++ mit Intel Intrinsics, Nutzung von AVX2 und Fused multiply-add, multithreaded, 2 Threads pro Core

LiteraturBearbeiten

  • Benoît Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. ISBN 3-7643-2646-8.
  • John Briggs, F. David Peat: Die Entdeckung des Chaos. ISBN 3-446-15966-5.
  • Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: The Beauty of Fractals. ISBN 0-387-15851-0.
  • Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe: The Science of Fractal Images. ISBN 0-387-96608-0.
  • Karl Günter Kröber: Das Märchen vom Apfelmännchen – 1. Wege in die Unendlichkeit. ISBN 3-499-60881-2.
  • Karl Günter Kröber: Das Märchen vom Apfelmännchen – 2. Reise durch das malumitische Universum. ISBN 3-499-60882-0.
  • Dierk Schleicher: On Fibers and Local Connectivity of Mandelbrot and Multibrot Sets, in: M.Lapidus, M. van Frankenhuysen (eds): Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 72, American Mathematical Society (2004), 477-507, 1999, pdf

WeblinksBearbeiten

  Commons: Mandelbrot-Menge – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Robert Brooks, J. Peter Matelski: The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C). In: Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference. In: Annals of Mathematics Studies. Band 97, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1981, S. 65–71. PDF.
  2. Benoît Mandelbrot: Fractal aspects of the iteration of   for complex  . In: Annals of the New York Academy of Sciences. 357, 249–259.
  3. Adrien Douady, John H. Hubbard: Etude dynamique des polynômes complexes. In: Prépublications mathémathiques d’Orsay. 2/4, 1984/1985 (PDF; 4,88 MB).
  4. Robert P. Manufo: Escape Radius. Bei: mrob.com. 19. November 1997.
  5. Lei Tan: Similarity between the Mandelbrot set and the Julia sets. In: Communications in Mathematical Physics. 1990, Band 134, Nr. 3, S. 587–617. PDF. Bei: ProjectEuclid.org.
  6. Mitsuhiro Shishikura: The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets. März 1998, Band 147, Nr. 2, S. 225-267. Online. Bei: JStor.org.
  7. John H. Hubbard: Local connectivity of Julia Sets and bifurcation loci. Three Theorems of J.-C. Yoccoz. Hubbard zitiert in seiner Arbeit auf Seite 511 ein unveröffentlichtes Manuskript von J.-C. Yoccoz. PDF. 1993.
  8. Numerical estimation of the area of the Mandelbrot set (2012), online
  9. Nach einer entsprechenden Koordinatentransformation. Für Details siehe die Bildbeschreibung.
  10. Peitgen, Jürgens, Saupe: Chaos, Bausteine der Ordnung. Rowohlt, ISBN 3-499-60551-1, S. 431.
  11. Jonathan Coulton: Mandelbrot set.
  12. Eine 1986 gestartete Berechnung wäre, wenn der Computer durchgelaufen wäre, heutzutage fertig.
  Dieser Artikel wurde am 13. Oktober 2005 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen.