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Grenzzyklus des Van-der-Pol-Oszillators

Ein Grenzzyklus oder Limit Cycle ist in der Mathematik und der Theorie dynamischer Systeme eine isolierte periodische Lösung eines autonomen Differentialgleichungssystems.[1]

Betrachtet man die Lösungen des Differentialgleichungssystems als Kurven im Phasenraum, so ist der Grenzzyklus eine geschlossene Kurve (Zyklus), auf die benachbarte Trajektorien im Grenzwert unendlicher Zeit entweder zulaufen oder sich entfernen. Falls benachbarte Lösungen selbst auch periodische Lösungen sind, so handelt es sich um keinen Grenzzyklus, da er keine isolierte periodische Lösung darstellt.

Laufen benachbarte Trajektorien im Grenzwert unendlicher Zeit auf den Grenzzyklus zu, so ist der Grenzzyklus ein eindimensionaler Attraktor und wird stabil genannt. Entfernen sich benachbarte Trajektorien dagegen im Grenzwert unendlicher Zeit (bzw. laufen im Grenzwert unendlich negativer Zeit auf den Grenzzyklus zu), so wird der Grenzzyklus instabil genannt.

In der Ebene macht der Satz von Poincaré-Bendixson Aussagen über die Existenz von Grenzzyklen. Grenzzyklen wurden zuerst von Henri Poincaré studiert. Der zweite Teil des 16. Hilbertproblems fragt nach einer oberen Grenze für die Anzahl der Grenzzyklen (und Aussagen über ihre relative Lage) für autonome Differentialgleichungssysteme in der Ebene

wobei P, Q Polynome vom Grad n sind. Das Problem wurde auch von Stephen Smale in seine Liste offener Probleme aufgenommen, der es neben der Riemannvermutung für das wenigsten greifbare der Hilbertprobleme hält. Smale schränkte das Problem weiter ein: P und Q seien Polynome vom maximalen Grad d. Gibt es eine obere Schranke für die Anzahl der Grenzzyklen mit einer universellen Konstante ? Bekannt ist, dass die Anzahl endlich ist (Juli Iljaschenko, Jean Écalle, nach Vorarbeiten von Henri Dulac).

Bei konservativen dynamischen Systemen und speziell dynamischen Systemen , in denen sich F als Gradient einer Potentialfunktion ausdrücken lässt, gibt es keine Grenzzyklen.[2]

Einführung anhand zweier BeispieleBearbeiten

 
Gegenbeispiel: Phasenraumportrait eines Pendels mit rot eingezeichneter Separatrix.

Dynamische Systeme sind Systeme von autonomen Differentialgleichungen der Form:

 

Die Lösung dieser Differentialgleichungen werden Trajektorien   genannt und beschreiben das Verhalten/die Entwicklung des Systems in der Zeit t. In der Theorie dynamischer Systeme ist die asymptotische Stabilität solcher Lösungen, also ihr Verhalten im zeitlichen Grenzwert   von Interesse. Ergeben sich nun im Grenzwert oszillierende Lösungen des Systems, so spiegeln sie sich als zyklische, geschlossene Kurve in diesem Phasenraum wider. Sie wird Grenzzyklus genannt. Wenn sich andere Trajektorien (mit unterschiedlichen Startbedingungen) dieser geschlossenen Kurve für große Zeiten t immer weiter annähern („hineinspiralen“), so handelt es sich um einen Attraktor („Anzieher“), bzw. stabilen Grenzzyklus. Ein klassisches Beispiel ist der Van-der-Pol-Oszillator, dessen Phasenraumportrait in obiger Abbildung gezeigt ist. Entfernen sich alle Trajektorien für   vom Grenzzyklus, so wird er instabil oder auch Repeller genannt.

Ein einfaches mathematisches Pendel hingegen hat zwar periodische Trajektorien, aber keinen Grenzzyklus. Das sieht man in nebenstehender Abbildung daran, dass sich keine Trajektorien an die Zyklen annähern, bzw. von ihnen entfernen, d. h. die Zyklen nicht isoliert auftreten. Nicht isoliert bedeutet hier, dass in jeder Umgebung des Zyklus wieder andere Zyklen liegen.

StabilitätBearbeiten

 
Poincaré Abbildung eines Grenzzyklus und benachbarter Trajektorien. Der Grenzzyklus durchstößt im blau dargestellten Poincaré-Schnitt nach einer bestimmten Periode immer wieder den gleichen Punkt, dieser Punkt ist ein Fixpunkt der Poincaré-Abbildung (auch Poincaré return map genannt). Der Abstand der Durchstoßpunkte dem Grenzzyklus benachbarter Trajektorien nimmt dagegen ab oder zu, je nachdem ob der Grenzzyklus stabil oder instabil ist.

Die Stabilität eines Grenzzyklus der Periode T wird durch seine Floquet-Multiplikatoren bestimmt. Der Grenzzyklus entspricht einem Fixpunkt in der Poincaré-Abbildung. Die Poincaré-Abbildung gewinnt man durch einen Schnitt (Poincaré-Schnitt) im Phasenraum, so dass der Grenzzyklus die Schnittebene senkrecht mit seiner Periode durchstößt (siehe blaue Schnittebene in nebenstehender Abbildung).

Die Stabilität des Grenzzyklus entspricht nun der Stabilität des Fixpunktes seiner Poincaré-Abbildung P.[3]

Sei x* der Fixpunkt von P so gilt  . Für einen Punkt x, der nahe am Fixpunkt liegt, also   gilt nun die Abbildung

 , mit k dem k-ten Durchstoßen des Poincaré-Schnittes.

Unter der Annahme, dass   klein ist, kann P als linear in der Nähe von x* angenommen werden (DP(x*) ist die Jacobimatrix von P an x*) und es folgt

 .

Die Eigenwerte   von DP(x*) bestimmen nun die Stabilität von x* und werden Floquet-Multiplikatoren des Grenzzyklus genannt. Ein Floquet-Multiplikator ist immer 1 und entspricht der Richtung der Bewegung auf dem Grenzzyklus. Dieser Multiplikator wird Goldstone Mode genannt.[4] Falls alle anderen Multiplikatoren vom Betrag her kleiner 1 sind, so ist der Grenzzyklus asymptotisch stabil, falls   für alle i außer der Goldstone Mode ist, so ist der Grenzzyklus instabil.

Neben stabilen und instabilen Grenzzyklen gibt es auch semistabile Grenzzyklen, d. h. außen liegende Trajektorien spiralen auf den Grenzzyklus zu und Trajektorien innerhalb des Grenzzyklus spiralen vom Grenzzyklus weg (oder umgekehrt).[5]

Hopf-BifurkationBearbeiten

 
Der Parameter   wird verändert. In den beiden oberen Fällen spiralen beide Trajektorien in einen Fixpunkt, bei negativem Parameter (untere Bilder) spiralen die beiden Trajektorien auf einen Grenzzyklus zu. Bei einem bestimmten Parameterwert von   zwischen −0,1 und 0,1 ist aus dem stabilen Fixpunkt ein stabiler Grenzzyklus entstanden, dieser Punkt wird Hopf-Bifurkation genannt.

Grenzzyklen entstehen generisch aus Hopf-Bifurkationen. Betrachtet man eine Lösung eines Systems von Differentialgleichungen mit einem freien Parameter und verändert diesen stetig, so können Bifurkationspunkte auftreten, d. h. die betrachtete Lösung verändert sich qualitativ. Aus einem Fixpunkt kann so ein Grenzzyklus entstehen und andersherum. Ein einfaches Beispiel ist das Anschalten eines Lasers. Solange der Pumpstrom unterhalb des Schwellstroms   liegt leuchtet er nicht, d. h. das ausgestrahlte elektrische Feld ist   und ein stabiler Fixpunkt. Sobald der Schwellstrom überschritten wird, fängt der Laser an zu leuchten und es gilt  . Hier handelt es sich um einen stabilen Grenzzyklus mit der Periode   und die bei   auftretende Bifurkation eine superkritische Hopf-Bifurkation.

AnwendungBearbeiten

Grenzzyklen werden in vielen naturwissenschaftlichen Modellen von Systemen mit selbsterhaltenden Oszillationen verwendet. Einige Beispiele sind:

QuellenBearbeiten

  1. Definition von Grenzzyklus auf PlanetMath.org (engl.)
  2. Zum Beispiel Johnstone, Limit cycles, van der Pol oscillator and Poincaré-Bendixson theorem, pdf
  3. K. T. Chau, Zheng Wang: Chaos in Electric Drive Systems: Analysis, Control and Application. John Wiley & Sons, 31 March 2011, ISBN 978-0-470-82836-6 (Abgerufen am 7. August 2012).
  4. Valentin Flunkert: Delay-Coupled Complex Systems: and Applications to Lasers. Springer, 1 July 2011, ISBN 978-3-642-20249-0, S. 159– (Abgerufen am 7. August 2012)., man beachte die Beziehung zwischen Floquet Exponent   und Floquet Multiplikator   mit T der Periode des Grenzzyklus.
  5. Richard H. Enns, George McGuire: Nonlinear Physics With Maple for Scientists and Engineers. Springer, 2000, ISBN 978-0-8176-4119-1, S. 260– (Abgerufen am 7. August 2012).
  6. E. E. Sel'kov: Self-Oscillations in Glycolysis 1. A Simple Kinetic Model. In: European Journal of Biochemistry. 4, Nr. 1, 1968, ISSN 1432-1033, S. 79–86. doi:10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x.
  7. Jean-Christophe Leloup, Didier Gonze, Albert Goldbeter: Limit Cycle Models for Circadian Rhythms Based on Transcriptional Regulation in Drosophila and Neurospora. In: Journal of Biological Rhythms. 14, Nr. 6, 1. Dezember 1999, ISSN 0748-7304, S. 433–448. doi:10.1177/074873099129000948.
  8. Till Roenneberg, Elaine Jane Chua, Ric Bernardo, Eduardo Mendoza: Modelling Biological Rhythms. In: Current Biology. 18, Nr. 17, 9. September 2008, ISSN 0960-9822, S. R826–R835. doi:10.1016/j.cub.2008.07.017.
  9. David B. Brückner, Alexandra Fink, Christoph Schreiber, Peter J. F. Röttgermann, Joachim Rädler, Chase P. Broedersz: Stochastic nonlinear dynamics of confined cell migration in two-state systems. In: Nature Physics. 15, Nr. 6, 2019, ISSN 1745-2481, S. 595–601. doi:10.1038/s41567-019-0445-4.

LiteraturBearbeiten

  • Cristoforo Sergio Bertuglia; Franco Vaio: Nonlinearity, chaos, and complexity: the dynamics of natural and social systems Oxford; New York: Oxford University Press, 2005, ISBN 9780198567905