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Poincaré-Abbildung

Abbildung in der Mathematik
Illustration der Wiederkehr einer Trajektorie nach .

Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche , dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte den jeweils nächsten zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamisches System.

BeispielBearbeiten

 
Poincaré-Schnitt für eine periodische Trajektorie  

Betrachte die Differentialgleichung   und bezeichne mit   den Fluss, also die Lösung zur Anfangsbedingung  . Angenommen, es gibt eine periodische Trajektorie, also eine Lösung  , die bei   startet und nach einer bestimmten Zeit   wieder dorthin zurückkehrt,  . Dann kann man eine Fläche   wählen, die transversal zur Trajektorie   ist und diese in   schneidet. Alle Trajektorien, die in Punkten   in der Nähe von   starten, werden dann nach einer bestimmten Zeit wieder die Fläche schneiden. Es gibt also eine kleinste positive Zeit  , für die   gilt. Dann ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch  . Speziell für die periodische Trajektorie erhält man einen Fixpunkt:  . Die Frage, ob die periodische Trajektorie stabil ist, ist nun äquivalent zur Frage, ob der entsprechende Fixpunkt der Poincaré-Abbildung stabil ist.

AnwendungBearbeiten

Die Poincaré-Abbildung ist besonders zur Untersuchung der geometrischen Strukturen chaotischer Attraktoren geeignet, da die zeitliche Diskretisierung eine wesentliche Vereinfachung darstellt.[1]

In der Kardiologie findet die Darstellung bei der Auswertung eines Langzeit-EKGs Verwendung. Durch Anwendung auf die Abstände zwischen den jeweiligen Herzschlägen kann auf Herzrhythmusstörungen wie Vorhofflimmern rückgeschlossen werden.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Manfred von Ardenne et al.: Effekte der Physik und ihre Anwendungen. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt 2005. ISBN 3-8171-1682-9, S. 1130