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Die im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe ist die alternierende Gruppe 5-ten Grades. Sie hat 60 Elemente und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe und die kleinste nicht-auflösbare Gruppe. Sie findet eine geometrische Realisierung als Gruppe der Rotationen des Ikosaeders.

DefinitionenBearbeiten

 
Der Zykel (234) als Abbildung

Wir betrachten die Menge aller bijektiven Abbildungen der 5-elementigen Menge   in sich. Diese bildet mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Verknüpfung eine Gruppe; man nennt diese Verknüpfung auch Produkt und schreibt sie als   oder ganz ohne Verknüpfungszeichen. Dies ist die symmetrische Gruppe   mit   Elementen.

Solche Abbildungen nennt man Permutationen und verwendet für sie die sogenannte Zykelschreibweise   mit verschiedenen Elementen  . Die Abbildung   bildet jedes Element in der Zykelliste auf das rechts neben ihm stehende ab und schließlich das letzte der Liste auf das erste. Der Zykel   bildet also 2 auf 3, 3 auf 4 und 4 auf 2 ab und lässt die Elemente 1 und 5 fest. Ein Zykel   der Länge 2 vertauscht demnach nur   und   und lässt alle anderen Elemente fest, solche Abbildungen nennt man Transpositionen. Verschiedene Zykel können dieselbe Permutation beschreiben, es gilt etwa  , Eindeutigkeit erhält man durch die Vereinbarung, die kleinste im Zykel vorkommende Zahl an den Anfang zu stellen.

Man kann jede Permutation als Produkt von Zykeln schreiben, sogar als Produkt von Transpositionen. Die Darstellung als Produkt von Transpositionen ist nicht eindeutig. Siehe zum Beispiel

 

Wir verwenden hier die bei Abbildungen übliche Reihenfolge, das heißt zuerst wird die Abbildung   angewendet, dann  . (Das wird in der Literatur nicht einheitlich so gehandhabt; Autoren, die Operationen und Funktionen auf die rechte Seite der abzubildenden Elemente schreiben, verwenden hier genau die umgekehrte Konvention.) Eindeutig ist aber, ob für die Darstellung einer Permutation als Produkt von Transpositionen eine gerade oder ungerade Anzahl von Transpositionen erforderlich ist, entsprechend nennt man die Permutationen gerade oder ungerade.

Dann ist klar, dass das Produkt von geraden Permutationen wieder gerade ist, denn die Anzahlen der verwendeten Transpositionen addieren sich bei der Verknüpfung. Die geraden Permutation bilden daher eine Untergruppe, das ist die alternierende Gruppe  .

Selbstverständlich sind analoge Begriffsbildungen für   an Stelle von   möglich, das führt dann zur alternierenden Gruppe An. In diesem Artikel behandeln wir den Fall  .

Elementare EigenschaftenBearbeiten

Anzahl der ElementeBearbeiten

Ist   irgendeine Permutation, so ist   genau dann gerade bzw. ungerade, wenn   ungerade bzw. gerade ist. Also gibt es genauso viele gerade wie ungerade Permutationen und daraus folgt, dass   60 Elemente hat.

DreierzykelBearbeiten

Ein Dreierzykel, das heißt ein Zykel   der Länge drei, ist gerade, denn

 .

Ein Dreierzykel   ist offenbar eine Abbildung, die jedes der Elemente aus   auf ein jeweils anderes Element dieser Dreiermenge abbildet und die anderen beiden Elemente aus   fest lässt; davon gibt es genau zwei solcher Abbildungen, nämlich   und  . Da es insgesamt   solcher Dreiermengen gibt, kommen wir insgesamt auf 20 Dreierzykel. Da umgekehrt

    für   paarweise verschieden
    für   paarweise verschieden,

ist jede gerade Permutation ein Produkt von Dreierzykeln, das heißt die Gruppe   wird von den Dreierzyklen erzeugt.

OrdnungenBearbeiten

Wie in jeder Gruppe gibt es genau ein Element der Ordnung 1, nämlich das neutrale Element.

Die Elemente der Ordnung 2 erhält man aus Transpositionen, die ja offenbar die Ordnung 2 haben. Da   nur gerade Permutationen enthält, sind die Permutationen der Ordnung 2 genau die Produkte aus zwei elementfremden Transpositionen   mit paarweise verschiedenen  . Es gibt 5 Möglichkeiten für eine Vierermenge   (jeweils ein Element gehört nicht dazu) und zu jeder solchen Vierermenge kann man die drei verschiedenen Elemente   der Ordnung 2 bilden, das macht insgesamt   Elemente der Ordnung 2.

Die Elemente der Ordnung 3 sind die oben erwähnten 20 Dreierzykel.

Alle Fünferzykel   sind Produkte aus zwei Dreierzykel und daher Elemente der   und haben offenbar die Ordnung 5. Da alle 5 Zahlen in   vorkommen, ist auch die 1 dabei, die man an die erste Stelle setzt. Es gibt daher genau die Fünferzykel   mit paarweise verschiedenen  , und dazu gibt es   Möglichkeiten. Es gibt demnach 24 Elemente der Ordnung 5.

Damit haben wir die Ordnungen von 1+15+20+24 = 60 Elementen bestimmt, es gibt also keine Elemente weiterer Ordnungen. Wir erhalten damit folgende Übersicht:

Ordnung Anzahl Typisches Element Beschreibung
1 1   neutrales Element
2 15   zwei elementfremde Transpositionen
3 20   Dreierzykel
5 24   Fünferzykel

PräsentationBearbeiten

Eine Präsentation durch Erzeugende und Relationen sieht so aus: Die Gruppe   wird durch zwei Erzeugende   und die Relationen

 

definiert. Das heißt jede Gruppe, die von zwei Elementen   erzeugt wird, die zusätzlich die genannten Relationen erfüllen, ist isomorph zu  .

Die   selbst ist von   und   erzeugt, und diese Elemente erfüllen die angegebenen Relationen.[1]

Transitive Operation auf 6 ElementenBearbeiten

Die Gruppe   hat 24 Elemente der Ordnung 5, von denen jeweils 4 zusammen mit dem neutralen Element eine Untergruppe der Ordnung 5 bilden, es gibt daher sechs Untergruppen der Ordnung 5, die gleichzeitig die 5-Sylowgruppen sind. Da die Gruppe mittels Konjugation transitiv auf den sechs 5-Sylowgruppen operiert, denn je zwei 5-Sylowgruppen sind konjugiert, erhalten wir insgesamt, dass   transitiv auf einer sechselementigen Menge operiert. Diese Operation ist sogar treu. Hiervon gilt folgende Umkehrung:[2]

  • Jede 60-elementige transitive Permutationsgruppe auf 6 Elementen ist isomorph zu  .

A5 ist nicht auflösbarBearbeiten

Zu einer beliebigen Gruppe   ist die Kommutatorgruppe   definiert als die von allen Kommutatoren   erzeugte Untergruppe. Induktiv erklärt man   und nennt die Gruppe auflösbar, wenn es ein   gibt mit  .

Die Gruppe   ist nicht auflösbar. Ist nämlich   ein Dreierzykel, so seien   die beiden nicht darin vertretenen Zahlen aus  . Dann rechnet man

 
 
 ,

das heißt, jeder Dreierzykel ist ein Kommutator und daher aus  . Da die Dreierzykel nach obigem die Gruppe   erzeugen, folgt   und damit   für alle  . Daher ist   nicht auflösbar.[3]

  ist die kleinste nicht auflösbare Gruppe. Bekanntlich ist jede p-Gruppe, das heißt Gruppe der Ordnung   für eine Primzahl  , auflösbar. Ferner sind Gruppen der Ordnung   mit Primzahlen   und   nach dem Satz von Burnside auflösbar. Schließlich sind Gruppen der Ordnung   mit Primzahlen   und   auflösbar.[4] Die kleinste Ordnung, die für eine nicht-auflösbare Gruppe überhaupt in Frage kommt, ist damit  .   ist daher eine nicht-auflösbare Gruppe kleinstmöglicher Ordnung, man kann sogar zeigen, dass sie bis auf Isomorphie die einzige nicht-auflösbare Gruppe der Ordnung 60 ist.

Aus der Nicht-Auflösbarkeit von   ergibt sich leicht, dass alle   und alle   mit   nicht auflösbar sind, denn Untergruppen auflösbarer Gruppen sind wieder auflösbar und all diese Gruppen enthalten eine zu   isomorphe Untergruppe.

A5 ist einfachBearbeiten

Eine Gruppe   heißt einfach, wenn sie neben den trivialen Normalteilern   und   keine weiteren Normalteiler enthält. Da Kommutatorgruppen Normalteiler sind, haben auflösbare Gruppen, die nicht zyklisch von Primzahlordnung sind, stets Normalteiler, aber auch nicht-auflösbare Gruppen können Normalteiler haben, wie das Beispiel   zeigt, die   als Normalteiler hat. Daher ist folgende Aussage eine Verschärfung der Nicht-Auflösbarkeit:

  •   ist einfach.

Das ergibt sich leicht aus der Tatsache, dass   eine nicht-auflösbare Gruppe kleinstmöglicher Ordnung ist. Wäre nämlich   ein nicht-trivialer Normalteiler, so hätten   und   eine echt kleinere Ordnung und wären daher auflösbar. Aus den bekannten Sätzen über auflösbare Gruppen folgte daraus die Auflösbarkeit von  , was den gewünschten Widerspruch ergibt.

Das gerade gegebene Argument für die Einfachheit der   ist durchaus nicht-trivial, denn es verwendet den Satz von Burnside, der in der Minimalität von 60 für die Ordnung einer nicht-auflösbaren Gruppe steckt. Allerdings benötigt man den Satz von Burnside nicht in voller Stärke, die ohne Darstellungstheorie zu beweisende Auflösbarkeit von Gruppen der Ordnung   mit   ist ausreichend.[5]

In einem einfacheren Beweis zeigt man zunächst, dass alle Dreierzykel konjugiert sind und anschließend, dass jeder von der einelementigen Untergruppe verschiedene Normalteiler mindestens einen Dreierzykel enthalten muss. Der Normalteiler enthält dann alle Konjugierten dieses Dreierzykels, denn Normalteiler sind ja definitionsgemäß unter Konjugation stabil, und daher alle Dreierzykel. Da diese aber bereits   erzeugen, folgt  , das heißt es gibt keine nicht-trivialen Normalteiler in  .[6] Dieser Beweis gilt für alle  .

Ein weiterer einfacherer und auf die   zugeschnittener Beweis unter Verwendung der Sylow-Sätze findet sich im unten angegebenen Lehrbuch von B. Huppert.[7] Darüber hinaus wird dort gezeigt:

  • Ist   eine einfache Gruppe der Ordnung 60, so ist  .

CharaktertafelBearbeiten

Die Charaktertafel der   sieht wie folgt aus:[8]

           
         
           
           
           
           
           

VorkommenBearbeiten

SymmetriegruppeBearbeiten

Die   tritt als Rotationsgruppe des Ikosaeders auf, daher nennt man sie auch die Ikosaedergruppe. Um einen Überblick über die möglichen Rotationen, die den Ikosaeder in sich überführen, zu erhalten, betrachten wir, wie sie sich auf die Kanten auswirken. Die 30 Kanten des Ikosaeders zerfallen in 5 Klassen paralleler Kanten, wobei jede dieser Klasse 6 parallele Kanten enthält. Da Rotationen des Ikosaeders Parallelität von Kanten erhalten müssen, permutieren sie diese 5 Klassen und man erhält einen Homomorphismus von der Ikosaedergruppe in die  . Eine genauere Betrachtung zeigt dann, dass es sich um einen injektiven Homomorphismus handelt, dessen Bild gerade   ist. Daher ist die Ikosaedergruppe isomorph zur  .[9]

Die Elemente der   entsprechen damit folgenden Drehungen:

Die 30 Kanten bestimmen 15 Rotationsachsen durch die Mittelpunkte von Paaren gegenüberliegender Kanten, und um jede Achse ist eine Rotation um   möglich. Das sind die 15 Elemente der Ordnung 2.

Die 20 Seitenflächen bestimmen 10 Rotationsachsen durch die Mittelpunkte von Paaren gegenüberliegender Seitenflächen, und um jede dieser Achsen ist eine Rotation um   oder   möglich, das sind die 20 Elemente der Ordnung 3.

Die 12 Ecken bestimmen 6 Rotationsachsen durch Paare gegenüberliegender Ecken, zu jeder Achse gibt es 4 Drehungen um  ,   der Ordnung 5, das sind insgesamt die 24 Drehungen der Ordnung 5.

GaloisgruppeBearbeiten

Das Polynom

 

hat eine zur   isomorphe Galoisgruppe.[10] Nach Sätzen der Galoistheorie bedeutet das wegen der oben festgestellten Nicht-Auflösbarkeit der Gruppe, dass die Nullstellen des Polynoms nicht durch Radikale der Koeffizienten dargestellt werden können. Das belegt den Satz von Abel-Ruffini, nach dem es für Polynome ab dem Grad 5 keine allgemeinen Lösungsformeln gibt, die aus Wurzeln und arithmetischen Operationen der Koeffizienten bestehen.

PSL2(4) und PSL2(5)Bearbeiten

Die projektiven linearen Gruppen   für einen endlichen Körper   mit   Elementen sind mit Ausnahme von   und   einfach und haben   Elemente. Demnach gilt

 
 .

Da alle einfachen Gruppen der Ordnung 60 wie oben erwähnt isomorph zur   sind, folgt

 .[11]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. B. Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kapitel I, Beispiel 19.9.
  2. B. Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kapitel II, Hilfssatz 8.25.
  3. Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. Mit 287 Übungsaufgaben. 2. Auflage. Hanser, München / Wien 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 2.6.5.
  4. B. Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kapitel I Satz 8.9, Satz 8.13 und Kapitel V Satz 7.3.
  5. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag, 1996, ISBN 0-387-94461-3, Abschnitt 5.4.1.
  6. Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. Mit 287 Übungsaufgaben. 2. Auflage. Hanser, München / Wien 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 2.4.16.
  7. B. Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kapitel I, Satz 8.14.
  8. J. L. Alperin, R.B. Bell: Groups and Representations, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94525-3, Kap. 6, Beispiel 9.
  9. K. Lamotke: Regular Solids and Isolated Singularities. Vieweg-Verlag, Braunschweig 1986, ISBN 3-528-08958-X, §5: The Rotation Groups of the Platonic Solids.
  10. John Swallow: Exploratory Galois Theory. Cambridge University Press, Cambridge, UK / New York 2004, ISBN 0-521-83650-6, S. 176 (hinter Theorem 34.7).
  11. B. Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kapitel II, Satz 6.14.