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Lineares zeitinvariantes System

Modellkonzept der Systemtheorie

Als ein lineares zeitinvariantes System, auch als LZI-System und LTI-System (englisch linear time-invariant system) wird ein System bezeichnet, wenn sein Verhalten sowohl die Eigenschaft der Linearität aufweist als auch unabhängig von zeitlichen Verschiebungen ist. Diese Unabhängigkeit von zeitlichen Verschiebungen wird als Zeitinvarianz bezeichnet.

Die Bedeutung dieser Systeme liegt darin, dass sie besonders einfache Transformationsgleichungen aufweisen und der Systemanalyse damit leicht zugänglich sind. Viele technische Systeme wie in der Nachrichten- oder Regelungstechnik weisen, zumindest in guter Näherung, diese Eigenschaften auf. Ein System kann in diesem Zusammenhang beispielsweise ein Übertragungssystem sein. Einige LZI-Systeme lassen sich durch lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben.

Inhaltsverzeichnis

EigenschaftenBearbeiten

LinearitätBearbeiten

 
Überlagerungsprinzip

Ein System heißt dann linear, wenn jede Summe von beliebig vielen Eingangssignalen   zu einer dazu proportionalen Summe von Ausgangssignalen   führt. Es muss damit das Superpositionsprinzip, auch als Überlagerungsprinzip bezeichnet, gelten. Mathematisch wird dies durch eine Transformation  , welche die Übertragungsfunktion des Systems darstellt, zwischen den Eingangs- und Ausgangssignalen beschrieben:

 

Die konstanten Koeffizienten   stellen die einzelnen Proportionalitätsfaktoren dar.

Anschaulich wird dabei am Eingang des Systems ein Signal angelegt und die Reaktion beobachtet. Danach wird davon unabhängig die Reaktion auf ein zweites Signal untersucht. Beim Anlegen eines Eingangssignals, das die Summe aus den beiden zuvor begutachteten Signalen bildet, lässt sich feststellen, dass die Reaktion am Ausgang der Addition der beiden einzelnen Antworten entspricht, wenn das System linear ist.

ZeitinvarianzBearbeiten

 
Verschiebungsprinzip

Ein System heißt dann zeitinvariant, wenn für jede beliebige Zeitverschiebung um t0 gilt:

 

Für die Zeitinvarianz muss das Ausgangssignal den Zeitbezug zum Eingangssignal beibehalten und identisch reagieren. Dieses Prinzip wird auch als Verschiebungsprinzip bezeichnet.

Zusammenhang mit FaltungsintegralBearbeiten

Das beliebig verlaufende Eingangssignal   kann durch Anwendung des Superpositionssatzes und der Zeitinvarianz durch eine zeitliche Abfolge von einzelnen Rechteckimpulsen angenähert werden. Im Grenzübergang für einen Rechteckimpuls, dessen Dauer gegen 0 geht, nähert sich das Ausgangssignal einer Form an, welche nur noch von der Übertragungsfunktion des Systems abhängt, aber nicht mehr von dem Verlauf des Eingangssignals.

Mathematisch werden diese gegen die zeitliche Dauer von null strebenden Rechteckimpulse durch Dirac-Impulse   beschrieben und die Summen in der Transformationsgleichung gehen in Integrale über. Das Eingangssignal   lässt sich gleichwertig als Faltungsintegral bzw. mit dem Symbol   für die Faltungsoperation ausdrücken als:

 

Das Ausgangssignal   ist über das Faltungsintegral

 

mit dem Eingangssignal   verknüpft, wobei   die Übertragungsfunktion des Systems darstellt. Ist das Eingangssignal ein Dirac-Impuls, so wird   auch als Impulsantwort bezeichnet.

Lösung von linearen zeitinvarianten DifferentialgleichungenBearbeiten

Gegeben ist ein explizites lineares System von Differentialgleichungen in der Form

 

mit dem Zustandsvektor  , der Systemmatrix  ,dem Eingang  , dem Eingangsvektor   und der Anfangsbedingung  . Die Lösung besteht aus einem homogenen und einem partikulären Anteil.

Homogene LösungBearbeiten

Man erhält die homogene Differentialgleichung, indem man den Eingang gleich null setzt.

 

Diese Lösung kann nun durch eine Taylorreihendarstellung beschrieben werden:

 

wobei   die Einheitsmatrix ist. Setzt man diese Lösung obere Gleichung ein, erhält man:

 

Nun können durch einen Koeffizientenvergleich die unbekannten Matrizen   bestimmt werden:

 

Folgende Schreibweise ist für die Fundamentalmatrix   weit verbreitet:

 

Partikuläre LösungBearbeiten

Ausgehend von   und   folgt:

 

Die partikuläre Lösung sucht man in der Form:

 

wobei   ein unbekannter Funktionsvektor mit   ist. Aus den beiden oberen Gleichungen folgt:

 

Damit kann   bestimmt werden:

 

Man erhält durch Integration unter Zuhilfenahme der Eigenschaften der Fundamentalmatrix:

 

Die Lösung einer linearen zeitinvarianten Differenzialgleichung lautet:

 

LZI-Systeme in verschiedenen Formen der DarstellungBearbeiten

Der folgende Teil beschränkt sich auf Systeme mit endlich vielen inneren Freiheitsgraden.

ZeitbereichBearbeiten

Die gebräuchlichste Systemdarstellung im Zeitbereich, die Zustandsraumdarstellung, hat die allgemeine Form

 

Hierin sind die Vektoren   Eingangsvektor,   Zustandsvektor und   Ausgangsvektor. Sind die Matrizen   Systemmatrix,   Eingangsmatrix,   Ausgangsmatrix und   Durchgriffsmatrix konstant, so ist das System linear und zeitinvariant. Zur Addition und Multiplikation von Vektoren und Matrizen siehe Matrix (Mathematik).

BildbereichBearbeiten

Für einfachere Systeme, insbesondere SISO-Systeme (Single Input, Single Output Systeme) mit nur je einer Ein- und Ausgangsgröße, wird auch oft noch die Beschreibung durch eine Übertragungsfunktion ("Bildbereich" oder "Frequenzbereich") gewählt

 

Hierin ist   das Zählerpolynom in  , und   das Nennerpolynom in  . Sind alle Koeffizienten beider Polynome konstant, ist das System zeitinvariant.

Die Übertragungsfunktion bietet sich zur graphischen Darstellung als Ortskurve oder Bodediagramm an.

BeispieleBearbeiten

  • Elektrotechnik: Filter-Schaltungen oder Verstärker
  • Mechanik: Getriebe
  • Thermodynamik: Zentralheizung, Motorkühlung
  • Wandler zwischen den zuvor genannten Systemarten: Elektromotor (Strom-Kraft), Temperatursensor (Temperatur-Strom)
  • Mathematisch (Digitale Simulation): Regler aller Art z. B. PID-Regler

Beispiel aus der MechanikBearbeiten

Der freie Fall ohne Reibung wird beschrieben durch die Differentialgleichung

 

mit dem Weg  , der Beschleunigung an der Erdoberfläche   und der Masse des fallenden Gegenstandes  . Übertragen in die Zustandsraumdarstellung und unter herauskürzen von   erhält man die Zustandsdifferentialgleichung

 

wobei   als (in der Regel konstanter) äußerer Einfluss betrachtet wird, und damit ein (das einzige) Glied des Eingangsvektors bildet. Interessiert man sich naheliegender Weise für die momentane Position   und Geschwindigkeit  , lautet die Ausgangsgleichung

 

mit einer 1-Matrix als Ausgangsmatrix und einer Nullmatrix als Durchgriffsmatrix, da die Ausgänge identisch mit den Zuständen sind. In dieser Betrachtung handelt es sich um ein LZI System, da alle Matrizen des linearen Differentialgleichungssystems konstant, also zeitinvariant, sind.

Berücksichtigt man aber, dass die Erdbeschleunigung g abhängig ist vom Abstand der Massenschwerpunkte

 

mit der Erdmasse   und dem Erdradius  , so ist das System nichtlinear abhängig vom Zustand z, also kein LZI System.

Wird die Erdbeschleunigung   aufgrund einer meist sehr viel kleineren Höhe   gegenüber dem Erdradius   weiterhin als konstant betrachtet

 

aber die Reibung zwischen betrachteter Masse und Luft als sehr viel einflussreicher in linearer Abhängigkeit von   linear berücksichtigt (siehe auch Fall mit Luftwiderstand#Fall mit Stokes-Reibung), erhält man die Zustandsdifferentialgleichung

 

mit dem Reibkoeffizienten  . Wird   als Formkonstante des fallenden Gegenstandes betrachtet, handelt es sich nach wie vor um ein LZI System.

LiteraturBearbeiten

  • Heinz Unbehauen: Regelungstechnik 1, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, ISBN 3-528-93332-1
  • Alan V. Oppenheim, Roland W. Schafer, John R. Buck: Zeitdiskrete Signalverarbeitung, Pearson/München, ISBN 3-8273-7077-9