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Z-Transformation

Methode zur Beschreibung zeitdiskreter Systeme

Die z-Transformation ist eine mathematische Methode, um zyklisch abgetastete kontinuierliche Signale im Zusammenhang mit dynamischen Systemen im z-Bereich berechenbar zu machen (vgl. Matched-Z-Transformation).

Die z-Transformation ist aus der Laplace-Transformation entstanden und hat auch ähnliche Eigenschaften und Berechnungsregeln. Sie erlaubt für die digitale Signalverarbeitung mit Computern (Mikrocomputern) die Berechnung von impulsförmig abgetasteten und digitalisierten Signalfolgen (Wertefolgen) in Verbindung mit kontinuierlichen dynamischen Systemen oder den zugehörigen systembeschreibenden linearen Differenzengleichungen .

Ein Vorteil der Anwendung der z-Transformation ergibt sich, wenn eine Wertefolge und eine systembeschreibende Differenzengleichung in eine algebraisch zusammengefasste z-Übertragungsfunktion überführt wird. Die Übertragungsfunktion des z-Bereiches dient der Systemanalyse und dem Systemverhalten. Der Verlauf der Systemausgangsgröße kann bei gegebener Eingangsgröße durch verschiedene Methoden der inversen z-Transformation in den zeitdiskreten Bereich und dann im Zeitbereich dargestellt werden.

Die Anwendung der z-Transformation bezieht sich größtenteils auf Digitalrechner-geführte Anlagen, die Steuer- und Regelungstechnik und digitale Filter, man kann sie aber auch zur Gewinnung von expliziten Formeln für rekursiv definierte Zahlenfolgen einsetzen.

Inhaltsverzeichnis

Einführung in die z-TransformationBearbeiten

Geschichtliche EntwicklungBearbeiten

Die grundsätzlichen Ideen zur z-Transformation gehen auf Pierre-Simon Laplace zurück und wurde 1947 durch Witold Hurewicz zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet.[Einzelnachweise 1]

Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ eingeführt, im Jahr 1952 erfolgte die heute übliche Begriffsfestlegung z-Transformation durch John R. Ragazzini und Lotfi A. Zadeh bei Arbeiten mit zeitdiskreten Daten im Rahmen der Regelungstechnik an der Columbia University.[Einzelnachweise 2][Einzelnachweise 3]

Die Modifizierte z-Transformation geht auf Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury aus dem Jahr 1958 zurück.[Einzelnachweise 4]

Definition der SystemgrößenBearbeiten

Folgende Systemgrößen werden für die verschiedenen  -,  -,  - und  -Bereiche verwendet:

  • Eingangssignal  , Ausgangssignal  .
Werden in der Regelungstechnik Regler und Regelstrecke gleichzeitig betrachtet, wird die Eingangsgröße als   (Regelabweichung) bezeichnet, die Ausgangsgröße   ist gleichzeitig die Eingangsgröße der Regelstrecke. Die Ausgangsgröße der Regelstrecke ist  . Im Zeitbereich werden diese Größen als Kleinbuchstaben, im Bildbereich als Großbuchstaben geschrieben.
  • Zeitdiskrete Signale:   vereinfacht als   oder  .
  • Zeitkonstante:  , bei mehreren Zeitkonstanten des dynamischen Systems werden die Zeitkonstanten indiziert:  .
  • Diskrete Zeit:   ist ein Parameter der Zeit (Zeitabschnitt), keine reale Zeit.
Bei der rekursiven Simulation mit Differenzengleichungen 1. Ordnung eines dynamischen Systems mit dem Digitalrechner erfolgt keine Abtastung. Jedes berechnete Glied von   der endlichen Ausgangsfolge bezieht sich auf das um   zurückliegende Glied. Auf diese Weise entstehen Eingangsfolgen und Ausgangsfolgen aller benutzten Differenzengleichungen von Teilsystemen für eine bestimmte Folge von  . Die gleichen Differenzengleichungen werden bis   wiederholt berechnet und gespeichert.
  • Abtastzeit:   ist eine reale Zeit, üblich ist:  .
  • Abtastfolge:   unendlichen oder   einer endlichen Folge.
  • Wertefolge:  
Die Abtastfolge   bedeutet eine Nummerierung der Folgeglieder der Wertefolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) oder des Ausgangssignals (Ausgangsfolge) eines Systems.
  • Funktion im Zeitbereich:   und  ; Funktion im Bildbereich:   und  .
  • Zählergrad:   und Nennergrad:   kennzeichnen die Rangfolge der Koeffizienten der s-Übertragungsfunktion und der z-Übertragungsfunktion.
  • e = Eulersche Zahl ≈ 2,71828.

Grundlagen z-TransformationBearbeiten

Die Laplace-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlichen Signalen und linearen zeitinvarianten dynamischen Systemen.

Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch Differenzengleichungen oder als z-Transformierte beschrieben.

Zeitinvariante lineare dynamische Systeme   haben mindestens einen Systemeingang und einen Systemausgang für das Eingangssignal   und Ausgangssignal  . Das Systemverhalten wird im Zeitbereich durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben. Mit der Laplace-Transformation kann eine gewöhnliche Differentialgleichung in den sogenannten Bildbereich   (s-Bereich, komplexer Frequenzbereich) überführt werden. Das Systemverhalten im Bildbereich wird durch die s-Übertragungsfunktion bestimmt und kann algebraisch behandelt werden.

Diskrete Zeit: Die Zeitdiskretisierung eines kontinuierlichen Signals oder eines dynamischen zeitinvarianten Übertragungssystems bedeutet der Übergang der Berechnung eines kontinuierlichen Signals oder Systems   mit unendlicher hoher Auflösung zu einem Signal oder Systems   mit einer endlichen Auflösung eines fortlaufenden konstanten Zeitintervalls  . Das Zeitintervall   muss genügend klein sein, damit dominante Systembewegungen auch erfasst werden können, bzw. der Approximationsfehler gegenüber dem Verlauf der analytischen Funktion gering ist. Es werden hier zur Kennzeichnung der physikalischen Unterschiede der Zeitdiskretisierung folgende Definitionen festgelegt:

  •   ist ein Parameter der diskreten Zeit, keine reale Zeit.   wird z. B. bei der Berechnung der Differenzengleichungen verwendet.
  •   (auch   oder  ) ist eine reale Zeit, mit der ein kontinuierliches Signal im Takt von   abgetastet wird.
 
Ideale Abtastung eines kontinuierlichen Signals   im Abstand   durch eine Sample-and-Hold-Schaltung nullter Ordnung.

Abtastfolge und Wertefolge: In der Mathematik wird eine Auflistung von endlich und unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten als Folge bezeichnet.

Die Abtastfolge   bedeutet eine Nummerierung der Folgeglieder der Wertefolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) und des Ausgangssignals (Ausgangsfolge) eines Systems.

Eine Wertefolge besteht aus   oder   vielen Folgegliedern. Das Objekt mit der Nummer i wird i-tes Folgeglied oder i-te Komponente der Folge genannt. Die abgetasteten und digitalisierten Signale entsprechen einer Folge von modulierten impulsförmigen Signalen   im Abstand  , die erst nach der A/D-Wandlung mit einer Haltestufe zu einem gestuften quasi kontinuierlichem Signal   werden.

Die z-Transformierten und die Laplace-Transformierten verhalten sich ähnlich bei der algebraische Behandlung der Einzelsysteme des z- und s-Bereichs und in den Transformations-Rechenregeln. Sowohl im z- wie auch im s-Bereich lassen sich die Übertragungsfunktionen   oder   der dynamischen Systeme mittels Nullstellenzerlegung der Systemanalyse und Systemsynthese unterziehen.

Trotz der ähnlichen Eigenschaften der z-Transformierten im Vergleich zur s-Transformierten besteht bei der Behandlung von Signalen und dynamischen Systemen mit der z-Transformation ein höherer mathematischer und signaltechnischer Schwierigkeitsgrad.

Während die Laplace-Transformation sich mit Signalen und dynamischen Systemen   des Zeitbereichs zur Wandlung in den Bildbereich   und umgekehrt, mit der inversen Laplace-Transformation in den Zeitbereich befasst, hat die Behandlung mit der z-Transformation zum z-Bereich weitere mathematische Zwischenformen. Es handelt sich bei der z-Transformation um die Beziehungen der Signale und dynamische Systeme vom Zeitbereich in den:

  • Zeitdiskreten Bereich  : Kontinuierliche Signale   werden zu Signalfolgen impulsförmig abgetastet mit der Folge   zu Wertefolgen   im zeitlichen Abstand  .
  • Digitale Signalberechnung mit Differenzengleichungen  ,
  • Überführung in den z-Bereich   und zurück in den diskreten Zeitbereich   und Zeitbereich  .

Bezeichnung der Transformationen im  -,  -,  - und  -Bereich:

  • Laplace-Transformierte einer Zeitfunktion f(t) ergibt sich zu:
 
  • Inverse Laplace-Transformation von F(s):
 
  • z-Transformierte einer Wertefolge  :
 
  • Inverse z-Transformation von F(z):
 

Z-Transformation von AbtastsignalenBearbeiten

Die z-Transformation eines abgetasteten Signals   entspricht dem Austausch der komplexen Variable   der s-Transformierten durch die komplexe z-Variable  . Dadurch wird eine unendliche Summe der Exponentialterme in eine Potenzreihe in   überführt (spezielle Laurent-Reihe).

 

Für die z-Transformation eines zeitdiskreten Eingangssignals   in vereinfachter Schreibweise   gilt:

 

Grundlagen Differenzengleichungen für lineare zeitinvariante SystemeBearbeiten

Für die numerische Berechnung des Systemverhaltens eines dynamischen Systems g(t) oder im Zusammenhang mit der z-Transformation werden Differenzengleichungen   benötigt. Mit ihrer Hilfe lässt sich das Systemverhalten, die Systemausgangsgröße y(t), dynamischer Systeme g(t) für ein gegebenes Eingangssignal   im zeitdiskreten Bereich   berechnen.

Differenzengleichungen entstehen meist aus systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation werden zeitdiskret durch Summen- und Differenzenbildung angenähert.

Die Differenzengleichungen beschreiben mit dem Approximationsalgorithmus für ein kleines Zeitintervall   die Signaländerungen nach jedem Zeitintervall als Funktion des betreffenden Teilsystems (Linearfaktoren im s-Bereich) und des Eingangssignals. Mit der fortlaufenden Wiederholung der Berechnung mit dem Zeitintervall   und Addition der Änderungsergebnisse zum vorherigen Ergebnis ergibt sich der Signalverlauf eines Systems über die Zeit  .

Es bestehen verschiedene mathematische Verfahren, zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme zu beschreiben und umzuwandeln.

Differenzengleichungen der einfachsten Art beziehen sich auf die den Linearfaktoren der Übertragungsfunktion G(s) zugehörigen Differenzialgleichungen erster Ordnung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Diese Beziehung ist von großer Bedeutung, weil nur 4 verschiedene Typen von Differenzengleichungen erster Ordnung existieren, mit denen alle Formen von linearen Übertragungssystemen gebildet werden können, auch solche mit Schwingungsanteilen mit konjugiert komplexen Polen oder Nullstellen. Diese Teilsysteme können beliebig multiplikativ, additiv, zurück gekoppelt oder strukturell vermascht sein und gelten sowohl für den s-Bereich wie auch im diskreten Zeitbereich.

Meistens wird zur Aufstellung der Differenzengleichungen das explizite Euler-Rückwärtsverfahren der Rechteckapproximation als einfachstes Verfahren verwendet. Nach diesem Verfahren können aus den zugehörigen Differenzialgleichungen der 4 Elementarsysteme G(s) erster Ordnung der Übertragungsfunktionen Differenzengleichungen gebildet werden, indem an Stelle des Differenzialquotienten mit   der Differenzenquotient   näherungsweise eingeführt wird.

In der Regel wird davon ausgegangen, dass die inneren Systemspeicher des Übertragungssystems sich im Ruhezustand befinden und die Anfangswerte bei t = 0 für   und alle Ableitungen von   Null sind.

Beispiel der Entwicklung der Differenzengleichung der Integration (I-Glied) aus der Differenzialgleichung:

Die Übertragungsfunktion des I-Gliedes lautet:
 

Die zugehörige Differenzialgleichung lautet:

 

Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten   eingesetzt.

Anstelle der kontinuierlichen Systemgrößen   und   treten die aktuellen zeitdiskreten Werte   und  :

 .

Damit lautet die nach   umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes:

 

In gleicher Weise können die Differenzengleichungen von Systemen erster Ordnung aus den zugehörigen Differenzialgleichungen abgeleitet werden.

Tabelle der Differenzengleichungen (Euler-Rückwärts) der Elementarsysteme G(s) erster Ordnung
Elementarsysteme P-Glied I-Glied D-Glied PD1-Glied PT1-Glied
Übertragungsfunktion          
Differenzengleichungen
 
         

(Mit K = Verstärkungsfaktor,   = aktuelle Ausgangsgröße,   = vorherige Ausgangsgröße, T = Zeitkonstante,   = aktuelle Eingangsgröße)

Die einmalige Anwendung einer Differenzengleichung   zum Zeitpunkt   ergibt für eine gegebene Eingangsfolge   ein Folgeglied der Ausgangsfolge  . Jedes Folgeglied   bezieht sich auf eine zurückliegende Folge  . Deshalb wird eine solche Differenzengleichung als Rekursionsgleichung bezeichnet, weil jedes Folgeglied eine Funktion des vorherigen Folgegliedes ist.

Die rekursive Anwendung von Differenzengleichungen zur Berechnung von Eingangs-Wertefolgen zu Ausgangs-Wertefolgen bedeutet die angenäherte Lösung der systembeschreibenden Differentialgleichung des Systemausgangssignals   von Wertefolgen (Berechnungspunkten)  .

Mit Hilfe eines Personal Computers kann das Systemverhalten eines dynamisches Systems oder eines Regelkreises mit Differenzengleichungen vollständig simuliert werden. Dabei wird eine endliche Anzahl   von Berechnungsfolgen (Wertefolgen) festgelegt und die Rechenergebnisse der Teilsysteme – das Systemverhalten – tabellarisch und grafisch als Berechnungspunkte im Abstand   dargestellt. Die Differenzengleichung enthält bereits die Lösungsvorschrift der Systemausgangsgröße in Annäherung an die systembeschreibende Differentialgleichung.

Handelt es sich bei dem dynamischen System um eine Hardware mit einer im zeitlichen Abstand   abgetasteten Eingangsfolge  , die über einen Mikrocomputer mit Differenzengleichungen zu einer Ausgangsfolge   berechnet wird, kann mit Hilfe eines Haltegliedes eine treppenförmig gestufte quasi kontinuierliche Ausgangsgröße y(t) als Beispiel der prinzipiellen Funktion eines digitalen Reglers erreicht werden. Regelstrecken liegen in der Praxis meist als kontinuierliche Systeme vor, die eine kontinuierliche Stellgröße benötigen.

Differenzengleichungen höherer OrdnungBearbeiten

Differenzengleichungen können auch aus gewöhnlichen Differenzialgleichungen höherer Ordnung entwickelt werden, wenn ab dem Zeitpunkt   die letzten vergangenen Ausgangs-Wertefolgen mit   und die Eingangs-Wertefolgen mit   bekannt sind.

Zeitkontinuierliche lineare Systeme werden im Zeitbereich durch die gewöhnlichen Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für   beschrieben. Dabei sind n und m die höchsten Ableitungen der Ausgangssignale   und Eingangssignale  .

Eine gegebene gewöhnliche Differentialgleichung wird durch den Koeffizienten   dividiert, um   freistellen zu können. Diese Form der Differentialgleichung wird entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.

 .

Diese Differentialgleichung kann in eine Differenzengleichung überführt werden:

  •   wird vereinfacht als   geschrieben und entspricht einem aktuellen Folgeglied.
  • Die kontinuierlichen Systemgrößen   und   werden zeitdiskret dargestellt.
  • Die Ableitungen im Zeitbereich   werden entsprechend der Ordnung durch Differenzenquotienten   der zugehörigen Ordnung ersetzt.
Jede Ableitung der Systemgrößen wird im zeitdiskreten Bereich entsprechend der Ordnung als zurückliegende Folgeglieder der Eingangs- und Ausgangsfolgen k-1 bis k-n oder k-m berücksichtigt.

Daraus folgt die Differenzengleichung:

 .

Damit kann die allgemeine Form der Differenzengleichung nach   aufgelöst werden:

 .

Für die numerische Berechnung eines dynamischen Systems wird die s-Übertragungsfunktion oder die zugehörige Differentialgleichung benötigt. Die Umsetzung einer systembeschreibenden Differentialgleichung in eine angenäherte Differenzengleichung zur Beschreibung von Eingangsfolgen und Ausgangsfolgen eines dynamischen Systems wird ermöglicht, wenn die Differentiale der Differentialgleichung durch Rückwärts-Differenzenquotienten über die Abtastperiode ersetzt werden.[Einzelnachweise 5]

Die folgenden Ableitungen der Differentialquotienten in Differenzenquotienten der 1. 2. und 3. Ordnung sind gegeben:

Differenzenquotient 1. Ordnung:

 

Der Differenzenquotient 2. Ordnung entsteht aus Differenzen der Differenz:

 

Der Differenzenquotient 3. Ordnung lautet:

 

Nach erfolgtem Einsetzen der Differenzenquotienten in die Differenzengleichung eines dynamischen Systems lassen sich die neuen Koeffizienten aus den Koeffizienten der Differentialgleichung berechnen.

Beispiel der Entwicklung einer Differenzengleichung zur Berechnung der Sprungantwort eines  -Gliedes mit konjugiert komplexen Polen:

 
Sprungantwort eines PT2-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen. TA = 0,01 s
 
Gegeben: Übertragungsfunktion im s-Bereich:
 
Sprungfunktion: u(t)=1

Gesucht: Differenzengleichung   zur numerischen Bestimmung des System-Zeitverhaltens.

Zugehörige Differentialgleichung nach dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation:

 

Die Differenzenquotienten für   und   werden in die nachfolgende Differenzengleichung eingesetzt:

 

Die Brüche werden in einzelne additive Terme aufgelöst, um   freistellen zu können:

 
 

Berechnungsbeispiel für einige Werte der Ausgangsfolge   mit  :

 .
 .
 .
 .

Diese Differenzengleichung entspricht einem Rekursionsalgorithmus eines dynamischen Systems, der schrittweise mit einem digitalen Rechner gelöst werden kann.

Die rekursive Berechnung der Differenzengleichung 2. Ordnung bezieht sich für die aktuelle Ausgangsfolge   durch Einsetzen der zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge   und   in die Gleichung. Für das 1. Folgeglied der Berechnungsfolge k=0 sind die zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge noch nicht verfügbar und damit Null. Die Anzahl   der Glieder der Ausgangsfolge wird durch die diskrete Zeit   und durch die gewünschte zu beobachtende Gesamtzeit des Einschwingvorgangs bestimmt.

Z-Transformation zeitdiskreter Signale und dynamischer SystemeBearbeiten

Die z-Transformation wird auf zeitdiskrete Signale  , auf die systembeschreibenden Differenzengleichungen   und auf Übertragungsfunktionen des s- und z-Bereiches meist mit Hilfe der Korrespondenztabellen angewendet.

 
Funktionsblöcke eines digitalen Reglers.

Das nebenstehende Bild ist ein Beispiel der Darstellung der Signalarten und Systeme an einem aufgeschnittenen digitalen Regelkreis mit einer kontinuierlichen Regelstrecke.

Abtastsysteme wandeln in Verbindung mit A/D-Wandlern ein kontinuierliches Signal in ein zeitdiskretes Signal als Wertefolge um. D/A-Wandler in Verbindung mit Haltesystemen nullter Ordnung wandeln eine Wertefolge in ein gestuftes zeitkontinuierliches Signal um.

Rechenregeln der z-TransformationBearbeiten

Wie die Laplace-Transformation wird die z-Transformation durch Sätze und Rechenregeln definiert, dennoch bestehen in einigen Funktionen große Unterschiede.

Die Transformationen und Rücktransformationen der z-Transformation erfolgen meist mit Hilfe von Transformations-Tabellen. In der Fachliteratur werden in Tabellen die Zeitfunktionen f(t), die Laplace-Transformierten f(s) und die z-Transformierten f(z) dargestellt. Nicht vorhandene Zeitfunktionen für die inverse z-Transformation können wie bei der Laplace-Transformation durch die Partialbruchzerlegung bestimmt werden.

Die Verfahren der Anwendung der Rechenregeln der z-Transformationen sind umfangreich und können in diesem Abschnitt nur angedeutet werden. Die nachstehenden meist tabellarisch aufgeführten Verfahren sind in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik oder in Vorlesungsmanuskripten der z-Transformation zu finden.

  • Diese Rechenregeln beziehen sich auf Linearitätssätze, Multiplikationssatz, Divisionssatz, Ähnlichkeitssätze, Dämpfungssatz, Verschiebungssätze (rechts-links), Differenzensätze (Rückwärts-Vorwärts), Summationssatz, Faltungssatz, Grenzwertsätze.
  • Die z-Transformationen und die z-Rücktransformationen können mit Hilfe von Transformations-Tabellen und verschiedenen noch dargestellten Verfahren durchgeführt werden.

Die nachfolgenden mathematischen Beziehungen gelten für Systeme mit einem Eingangssignal   und einem Ausgangssignal  . Für einen digitalen Regler müssen die zugehörigen Größen des Eingangssignals   und Ausgangssignals   in die Gleichungen eingesetzt werden.

 
Vergleich der z-Transformation und der Laplace-Transformation.
Mit   wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.

Die wichtigsten Eigenschaften der z-Transformation:[Einzelnachweise 6]

  • Grundlagen der Definitionen im z-Bereich:
z-Variable:
 
z-Transformierte einer Folge  :
 
Inverse z-Transformation von F(z):
 
  • Für Grenzbetrachtungen treten häufig folgende Fälle auf:
Für den s-Bildbereich gilt für die s-Variable.
 
 
Für den z-Bildbereich gilt für die z-Variable:
 
 
  • Anfangswert einer zeitdiskreten Folge:
 
  • Rückwärtsverschiebung (nach rechts):
Totzeiten innerhalb eines Digitalreglers entstehen durch die Signalabtastung über A/D-Wandler, D/A-Wandler und durch die Rechenzeit des Mikrocomputers. Die Berechnung einer Totzeit   einer Abtastfolge entspricht einer Rückwärtsverschiebung (Rechtsverschiebung) der Abtastfolge (Zahlenwerte) um d Abtastschritte von  . Diese mathematische Operation bedeutet im s-Bereich für die Totzeit   und im z-Bereich:
 
  • Vorwärtsverschiebung (nach links):
Eine Vorhersage um die Zeit   einer Wertefolge entspricht einer Vorwärtsverschiebung nach links um d-Abtastschritte. Diese Operation entspricht der Laplace-Transformierten   und bedeutet im z-Bereich:
 
  • Differentiation:
Die Differenz zweier aufeinander folgender Abtastwerte dividiert durch die Abtastzeit entspricht der Annäherung an einen Differenzialquotienten im Zeitbereich.
 
  • Integration:
Wird die Summe aller Abtastwerte mit der Abtastzeit TA multipliziert, entsteht in Annäherung an den Zeitbereich die numerische Integration. Im s-Bereich entspricht die Integration 1 / s. Im z-Bereich gilt die Integration:
 
  • Gewichtsfolge:
Die z-Übertragungsfunktion G(z) ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge g(k).
 
In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines linearen, zeitdiskreten dynamischen Systems enthalten.
  • Multiplikation:
Ausgangssignal als Funktion des Eingangssignals und der z-Übertragungsfunktion
 
 

Im Bildbereich steht die Multiplikation an Stelle der Faltungssumme, wie bei zeitkontinuierlichen Systemen an Stelle des Faltungsintegrals.

Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)Bearbeiten

[Einzelnachweise 7]

Funktion im
Zeitbereich f(t)
Laplace-Transformierte
im Bildbereich F(s)
Diskrete Laplace-Transformierte
nach der z-Transformation  
δ-Impuls 1 1
Einheits-
sprung 1
   
t    
     
     
     
     
     
     
     
     
     
 
     
     
     
TA = Abtastzeit, a oder b = Zahlenwert der Nullstelle (Pol) im s-Bereich, T1 = Zeitkonstante der s-Übertragungsfunktion.

Tabelle der Korrespondenzen der zeitdiskreten Funktionen   zum z-Bereich   (Auszüge)Bearbeiten

Name der
Zeitfunktion
Wertefolge   z-Transformierte
 -Impulsfolge   1
Sprungfolge    
Anstiegsfolge  
 
 
Potenzfolge    
e-Funktionsfolge    
Sinusfunktionsfolge    
Kosinusfunktionsfolge    
Abklingende Sinus-
funktionsfolge
   
Abklingende Cosinus-
funktionsfolge
   
Linearitätssatz    
Rechts-Verschiebesatz    
Faltungssumme    
Anfangswertsatz    
Endwertsatz    

Z-Transformation einer Wertefolge (Impulsfolge)Bearbeiten

Die Laplace-Transformation bezieht sich auf die Ableitungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung und ersetzt diese nach dem Laplace-Differentiationssatz durch die komplexe Variable  . Ein Exponent von s kennzeichnet die Ordnung der Ableitung.

Die z-Transformation transformiert eine Impulsfolgefunktion   oder eine Zahlenfolge   in eine Funktion   mit der z-Variable  .

Da die Berechnungen mit Impulsfunktionen oder Folgen aufwendig sind, ist es sinnvoll, diese durch einfachere Berechnungen im z-Bildbereich auszuführen. Die z-Transformation von Impulsfolgen kann als diskrete Laplace-Transformation aufgefasst werden.[Einzelnachweise 8]

Die zu diskreten Zeitpunkten abgetasteten kontinuierlichen Eingangssignale entsprechen mit der Eingangsgröße modulierten (gewichteten)  -Impulsfolgen, die mit der z-Transformation berechnet werden.

Beim Übergang von kontinuierlichen Systemen f(t) zu Abtastsystemen   mit der Abtastfolge   gehen lineare zeitinvariante Differenzialgleichungen in zeitinvariante Differenzengleichungen der Abtastzeit TA beziehungsweise der Abtastfrequenz   der Funktion   über.

Kontinuierliche Signale z. B. die Regelabweichung   eines Regelkreises mit einer analog arbeitenden Regelstrecke werden zu gleichen Zeitabständen   abgetastet. Ein Abtaster mit A/D-Wandler erzeugt aus einem zeitkontinuierlichen Regler-Eingangssignal   ein zeitdiskretes Signal  . Es können sowohl abgetastete Regler-Eingangssignale   als auch Differenzengleichungen  , die im diskreten Zeitbereich den Regelalgorithmus eines Reglers beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung   im  -Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(k).

Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereiches stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.

Eine einzelne Abtastung eines kontinuierlichen Signals u(t) an einer beliebigen Stelle des Signalverlaufs z. B. zum Zeitpunkt   wird als Modulation von u(t) mit einem Dirac-Impuls mit   beschrieben.[Einzelnachweise 9][Einzelnachweise 10]

Damit ergibt sich für die Multiplikation des Eingangssignals u(t) mit dem Dirac-Impuls:

 

Wird nun periodisch mit zu den Zeitpunkten   das Signal u(t) abgetastet, kann das abgetastete Signal   als Multiplikation einer  -Impulsfolge mit u(t) betrachtet werden.

Die Impulsfolgefunktion bezieht sich auf die Summengrenzen von   zu  

 

Mit dem Übergang der Summengrenzen von   zu   wird die Impulsfolgefunktion:

 

Die Impulsfolgefunktion wird der Laplace-Transformation unterzogen:

 

Mit der z-Variablen   und   wird die Gleichung vereinfacht zu der z-Transformierten des kontinuierlichen Signals  .

Mit   wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.

Damit lautet die z-Transformation eines abgetasteten kontinuierlichen Signals   mit der Folge   und der Wertefolge  :

 

oder allgemein als Funktion  :

 

Z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) von zeitdiskreten ElementenBearbeiten

Übersicht:

  • Die Differenzengleichungen   können ausschließlich mit Hilfe des Linearitätssatzes und Verschiebungssatzes in den komplexen z-Bildbereich und in die z-Übertragungsfunktionen   überführt werden.
Wendet man auf die einzelnen Terme der Differenzengleichung den Linearitäts- und den rechts-Verschiebungssatz an und bringt alle Terme mit   auf die linke Seite und alle Terme mit   auf die rechte Seite der Differenzengleichung, so lässt sich das Verhältnis   mit den verbleibenden Elementen als gebrochen-rationale Funktion darstellen.
Die z-Übertragungsfunktion lautet:
 
  • Gegebene Übertragungsfunktionen des s-Bereiches in Verbindung mit Haltegliedern und Abtastelementen können ebenfalls mit Hilfe der Korrespondenztabellen als z-Übertragungsfunktion transformiert werden.
  • Die Rücktransformation von der z-Übertragungsfunktion in den zeitdiskreten Bereich als Differenzengleichung erfolgt durch den invers angewendeten Linearitätssatz und Verschiebungssatz für alle einzelnen Terme. Durch die kreuzweise Multiplikation von   und   mit den Polynomen im Zähler und Nenner der z-Übertragungsfunktion entsteht wieder eine Differenzengleichung  , wenn die einzelnen Terme der inversen Transformation unterzogen werden.

Mit der so errechneten Differenzengleichung des Übertragungssystems ist man nun in der Lage, für eine gegebene Eingangserregung   des Systems die Ausgangsfolgen des Systems   zu berechnen. Dies ist auf verschiedenen Arten möglich.

  • Analytische Berechnung mit Hilfe der Korrespondenztabellen der z-Transformation,
  • Rekursive Berechnung von Systemantworten der Differenzengleichungen mit Bezug auf zurückliegende Folgen k.

Entstehung der z-Übertragungsfunktion:

Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch eine rekursive Differenzengleichung beschrieben.

Wie bei zeitkontinuierlichen Systemen   und der Übertragungsfunktion   besteht eine vergleichbare Beziehung bei den zeitdiskreten Systemen zwischen der Gewichtsfolge   und z-Übertragungsfunktion G(z). Die Übertragungsfunktion   ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge  .

 
Beziehung der Gewichtsfolge   zur z-Übertragungsfunktion  .
 

In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines dynamischen Systems enthalten. Zur Systemberechnung wird der Verlauf des Eingangssignals U(z) und das Systemverhalten G(z) oder g(k) benötigt.

Für die Ermittlung der z-Übertragungsfunktion ist die Gewichtsfunktion g(t) die Systemantwort (Impulsantwort) auf die Vorgabe eines Eingangs-DIRAC-Impulses  (t).

Bei der Laplace-Transformation eines Systems lautet die Übertragungsfunktion:

 

Aus der Gewichtsfunktion wird die Impulsfolgefunktion   oder die Gewichtsfolge g(kTA) gebildet und in den z-Bereich transformiert. Die z-Übertragungsfunktion von zeitkontinuierlichen Systemen ergibt sich mit folgender Vorschrift:

 

Die Berechnung der Impulsübertragung von linearen zeitdiskreten Systemen vereinfacht sich, wenn aus der Differenzengleichung mit der z-Transformation die z-Übertragungsfunktion bestimmt wird. So können z. B. die Regelalgorithmen eines digitalen Reglers mit Differenzengleichungen formuliert werden.[Einzelnachweise 11][Einzelnachweise 12]

Ist die z-Übertragungsfunktion eines Systems G(z) gegeben, lässt sich die zugehörige z-Differenzengleichung bestimmen:

  • durch Ausmultiplizieren von Zähler und Nenner   und   und Gleichungsumstellung nach y(z),
  • Anwendung des rechts-Verschiebesatzes der z-Transformation zur Bestimmung der Ausgangsgröße  .

Es wird eine lineare Differenzengleichung eines Regelalgorithmus gegeben:

Die Eingangssignale der Differenzengleichung sind wieder   und die Ausgangssignale  .

 

Unter der Voraussetzung, dass die Anfangswerte des zeitdiskreten Systems gleich Null sind, wird die Differenzengleichung transformiert. Mit den Rechenregeln des rechts-Verschiebungssatzes ergibt sich die Transformationsvorschrift:

 ,
 

Die z-transformierte Differenzengleichung ergibt sich zu:

 

Durch Ausklammern des Quotienten Y(z) / U(z) kann die Impulsübertragungsfunktion G(z) gebildet werden.

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion:

 

Bei der Berechnung von Differenzengleichungen mit dem Digitalrechner ist die von n-Schritten nach rechts verschobene Gleichung besser geeignet.

 

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion mit negativen Exponenten von z:

 

Beispiel: Für eine gegebenen Differenzengleichung 3. Ordnung lautet die z-Übertragungsfunktion für Ordnungen m = 2 und n = 3:

 

Mit der rechts-Verschiebung der zugehörigen Differenzengleichung um n = 3 Abtastschritte   lautet die z-Übertragungsfunktion:

 

Es fällt auf, dass die z-Transformation einer Differenzengleichung eine große Ähnlichkeit mit der Polynomform einer s-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme hat. Ebenso fällt auf, dass die z-Übertragungsfunktion negative Potenzen hat. Allgemein werden z-Übertragungsfunktionen mit negativen Potenzen von z dargestellt.

Jede z-Übertragungsfunktion mit negativen Potenzen von z kann in eine Form mit positiven Potenzen von z gebracht werden, wenn Zähler und Nenner der z-Übertragungsfunktion mit der höchsten vorkommenden inversen z-Potenz multipliziert werden. Für die z-Übertragungsfunktion der Form mit positiven Exponenten muss gelten: Nennerpolynom > Zählerpolynom. Ist diese Bedingung erfüllt, ist G(z) kausal.

Es können sowohl abgetastete Eingangssignale u(kTA) als auch Differenzengleichungen f(kTA), die im diskreten Zeitbereich das Verhalten eines Systems (z. B. den Regelalgorithmus eines Reglers) beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung   im  -Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(kTA).

Die typische Anwendung der z-Transformation eines digitalen Systems, eines digitalen Reglers oder eines digitalen Filters, für den Regelalgorithmus lautet wie folgt:

  • Die Abtastfolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) wird transformiert als z-Übertragungsfunktion  ,
  • Die Differenzengleichung   des gewünschten Reglerverhaltens wird transformiert als z-Übertragungsfunktion  ,
  • Die z-transformierten Systeme werden algebraisch entsprechend der z-Rechenregeln zusammengefasst,
  • Mit der inversen z-Transformation des z-Produktes von Signal und Regelalgorithmus entsteht der Berechnungsalgorithmus des digitalen Reglers (Mikro Computers) wieder als Differenzengleichung.

Die Analyse und die Synthese diskreter Signale und Systeme lässt sich mit der z-Transformation erleichtern, setzt aber auch umfangreiches mathematisches Spezialwissen voraus.

Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereich stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.

Z-Übertragungsfunktion einer TotzeitBearbeiten

Eine Totzeit Tt hat im Zeitbereich das Verhalten  .

Im s-Bereich lautet die Übertragungsfunktion eines Totzeitsystems:

 

Es handelt sich hier bei der Verbindung einer s-Übertragungsfunktion als gebrochen-rationalen Funktion mit einem Totzeitglied um eine transzendente Funktion, die als Anhang einer Übertragungsfunktion – beispielsweise einer Regelstrecke – multiplikativ zugeordnet wird, mit der Einschränkung, dass keine algebraische Behandlung erlaubt ist.

Im z-Bereich entspricht eine Totzeit   einer Rückwärtsverschiebung (Verschiebung nach rechts) der Abtastfolgen um d Abtastschritte. Die z-Übertragungsfunktion des Totzeitgliedes in Verbindung mit weiteren z-Übertragungssystemen bleibt gebrochen-rational (Bruch mit Zähler- und Nennerpolynom).

Für die z-Transformation der Abtastfolge für das Signal   gilt:

 

Anders als bei der Laplace-Transformation bedeutet ein Totzeitglied in Verbindung mit einer z-Übertragungsfunktion keine Einschränkung der bestehenden Form der gebrochen-rationalen Funktion. Eine z-Übertragungsfunktion mit einer mit   Abtastschritten   definierten Totzeit   wird durch hinzufügen von eines Terms   berücksichtigt. Es können beliebige algebraische Operationen durchgeführt werden.

Beispiel einer z-Übertragungsfunktion mit Totzeit:

 

Z-Übertragungsfunktion von zeitkontinuierlichen Elementen G(s) mit Abtaster und HaltegliedBearbeiten

Definition der Signale: Allgemein gilt für den Zeitbereich  , zeitdiskreten Bereich   und Bildbereich  ,   die Eingangsgröße   und die Ausgangsgröße  .

Abtastsysteme erlauben eine Umwandlung kontinuierlicher Signale in zeitdiskrete Abtastfolgen (Impulsfolgen). Halteglieder erlauben eine Umwandlung zeitdiskreter Ausgangsfolgen (Impulsfolgen) in kontinuierliche gestufte Signale im Zeitbereich. Ein Abtaster setzt ein kontinuierliches Signal   in Verbindung mit einem nachgeschalteten A/D-Wandler in eine Zahlenfolge   mit digitalen Werten um.

Ein Halteglied nullter Ordnung setzt eine Zahlenfolge   mit einem vorgeschalteten D/A-Wandler in ein gestuftes kontinuierliches Signal   um. Bei der Reihenschaltung von einem Abtastsystem (gewichteter δ-Abtaster) und einem Halteglied handelt es sich um die Umwandlung einer aus einem kontinuierlichen Eingangssignal modulierten Impulsfolge in eine gestufte Treppenfunktion  , die in ein kontinuierliches dynamisches System eingeleitet werden kann.

Liegt ein kontinuierliches dynamisches System vor, erlaubt die Abtastung eines kontinuierlichen Signals, z. B. eine Regelabweichung, die Verarbeitung einer zeitdiskreten Eingangsfolge in einem Mikrocomputer als Regelalgorithmus zu einer zeitdiskreten Ausgangsfolge. Die über ein Halteglied geleitete Ausgangsfolge erzeugt ein quasi stetiges gestuftes Ausgangssignal zu einer analogen zeitabhängigen Stellgröße.

Je nach Anwendung des kontinuierlichen Systems  , beispielsweise in der Regelungstechnik, werden unterschiedlich Funktionsblöcke zusammengefasst, die auch mehrere Abtaster und Halteglieder enthalten können.

Um ein kontinuierliches System   in eine z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) zu definieren, muss es im Eingang durch eine Abtastfolge   als Eingangsfolge und am Ausgang des Systems zeitsynchron durch einen Abtaster die Ausgangsfolge   zur Verfügung stellen.

 
Berechnung der Varianten kontinuierlicher Systeme   mit Abtaster und Halteglied.

Je nachdem wie die Reihenfolge der Funktionsblöcke eines Haltegliedes  , eines Systems   und eines Abtasters festgelegt sind, können diese Funktionsblöcke als ein Teil einer offenen Regelstrecke betrachtet werden. Die wären z. B.:

  • Ein Haltegliedsystem mit analogem Ausgang, ein dynamisches System   und Abtastsystem für eine Ausgangsfolge,
  • Ein Abtastsystem einer analogen Regelabweichung, Mikroprozessor für den Regelalgorithmus des Systems   und ein Haltegliedsystem für die Ausgabe eines kontinuierlichen Signals als Stellgröße für eine kontinuierliche Regelstrecke.

Das obere Grafikbild zeigt die Kombination der Funktionsblöcke Halteglied, kontinuierliches System   und Abtaster.

Damit ein kontinuierliches System   in eine (Impuls-)Übertragungsfunktion   definiert werden kann, muss das System durch eine Impulsfolge (Wertefolge) gespeist und am Ausgang ein Abtaster eingesetzt sein, der synchron zur Eingangsfolge eine Ausgangsfolge realisiert. Das Halteglied vor dem dynamischen System wandelt die Impulsfolge in ein quasikontinuierliches Signal um. Das kontinuierliche System-Ausgangssignal wird über einen Abtaster als Ausgangsfolge definiert.

Die s-Übertragungsfunktion des Haltegliedes   nullter Ordnung lautet: [Einzelnachweise 13]

 

Die z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) des Haltegliedes   und der Regelstrecke   wird durch die z-Transformation von   berechnet.

Die z-Übertragungsfunktion von Halteglied und Regelstrecke lautet:

 

In diese Gleichung wird   eingesetzt:

 

Eine Multiplikation mit   entspricht im z-Bereich eine Rechtsverschiebung um einen Abtastzyklus   und damit einer Multiplikation mit  .

 

Die z-Übertragungsfunktion der Reihenschaltung eines Haltegliedes nullter Ordnung mit einem kontinuierlichen System ergibt sich aus der Laplace-Transformierten der Sprungantwort  , multipliziert mit  . (Siehe Tabelle  ):

 

Analog wie bei der Regelstrecke   kann für die im 2. Teil des Bildes dargestellte Anordnung der Funktionsblöcke Abtaster, Regelalgorithmus des Reglers und Halteglied die gleiche Form der Gleichung der z-Transformation benutzt werden. Ein- und Ausgangsgröße und die Systemgröße des Reglers   werden getauscht:

 

Um die z-Transformation des kontinuierlichen Systems   bilden zu können, werden die Korrespondenztabellen angewendet. Steht für die gegebene s-Übertragungsfunktion   kein Eintrag für die z-Transformation zur Verfügung, muss eine Partialbruchzerlegung von   vorgenommen werden.

Beispiel: z-Transformation eines  -Gliedes.

 

Gesucht z-Übertragungsfunktion   des kombinierten Systems:

 

Partialbruchzerlegung von

 

z-Transformation der Partialbrüche in den z-Bereich:

 

Durch Ausmultiplizieren der Brüche ergibt sich die z-Transformation:

 

Z-Übertragungsfunktionen der StandardreglerBearbeiten

Es gelten hier allgemein die formalen Begriffe der Ein- und Ausgangsgrößen der Systemtheorie: Eingangssignal =  , Ausgangssignal  . Für die Belange der Regler gelten die Eingangs- und Ausgangsgrößen des Reglers zu einem Regelkreis lauten:   und  .

Die Regelalgorithmen mit den allgemeinen Koeffizienten lauten nach der rekursiven Rechenvorschrift: [Einzelnachweise 14]

 

Die z-Transformation der Differenzengleichung liefert die z-Übertragungsfunktion GR(z) des Reglers:

 

Tabelle der z-Übertragungsfunktionen der Standardregler (Typ II, Obersumme)

(ai = Koeffizienten des Nennerpolynoms, bi = Koeffizienten der Zählerpolynoms, TI = TN = 1 / KI = Zeitkonstante = Nachstellzeit, TV = Vorhaltezeit, TA = Abtastzeit)

Reglerart z-Übertragungsfunktion GR(z) der Standardregler
P-Regler  
I-Regler  

 
PD-Regler  

 
PI-Regler  

 
PID-Regler  

 

Umwandlung einer z-Übertragungsfunktion in eine DifferenzengleichungBearbeiten

Eine gegebene z-Übertragungsfunktion lässt sich in eine Differenzengleichung umwandeln. Dazu sind folgende Schritte erforderlich.[Einzelnachweise 15]

Die Übertragungsfunktion wurde durch den Koeffizienten   dividiert, um   freistellen zu können.

Diese Form der Übertragungsfunktion wurde entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.

 
  • Die Systemausgangsgröße Y(z) und die Systemeingangsgröße U(z) werden kreuzweise mit den Polynomen der z-Übertragungsfunktion multipliziert:
 
  • Die Zähler- und Nennerpolynome werden durch die höchste Potenz von z dividiert:
 
  • Mit der Anwendung des Rechtsverschiebungssatzes der z-Transformation entsteht die Differenzengleichung:
 
  • Die Differenzengleichung wird nach y(k) aufgelöst. Damit entsteht eine Rekursionsgleichung zur Berechnung der Ausgangsgröße   des Systems für beliebige Eingangssignale  .
 

Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich f(kTA)Bearbeiten

Für die Programmierung des Mikrocomputers des Digitalreglers werden Differenzengleichungen benötigt, die durch Überführung der z-Übertragungsfunktion des z-Bildbereiches in den diskreten Zeitbereich f(k) gewonnen wird.

Die inverse z-Transformation liefert für F(z) wieder die Werte der Zahlenfolge:

  für  .[Einzelnachweise 16]

Dazu sind drei Verfahren gegeben:

Durch die Polynomdivision wird die z-Transformierte F(z) in eine konvergierende Potenzreihe nach   entwickelt. Dividiert man das Zählerpolynom von F(z) durch das Nennerpolynom nach den Regeln der Polynomdivision, so ergibt sich die gewünschte Potenzreihe. Die Vorfaktoren der Potenzen von z sind die gesuchten Werte der Zahlenfolge  .
  • Partialbruchzerlegung
Die Rücktransformation von F(z) erfolgt durch die Partialbruchzerlegung mit Hilfe der zugehörigen Korrespondenztabelle. Die Partialbrüche sollen die Form   haben. Die inverse z-Transformation ergibt   als Summe der rücktransformierten Partialbrüche.
Die inverse z-Transformation ist über das komplexe Umlaufintegral bestimmt. Die Lösung des Integrals lässt sich auf die Bestimmung der Residuen   zurückführen.
 

Berechnungsbeispiele zur z-TransformationBearbeiten

Beispiel 1: z-Transformierte der Sprungfunktion der Eingangsgröße  :

Die z-Transformierte der normierten Sprungfunktion   für   ist zu ermitteln.

Lösung:

Die kontinuierliche Eingangsgröße   wird als Sprungfunktion (Einheitssprung) zum Zeitpunkt   mit dem Wert 1 abgetastet. Durch Abtastung entsteht eine Wertefolge mit konstanten Amplituden = 1.

 

oder die Impulsfolgefunktion:

 

Die z-Transformation lautet damit:

 

Der Grenzwert für   für   und   (Konvergenz) ist Null.
Die z-Transformierte der Einheitssprungfunktion ist damit:

 

Beispiel 2: z-Transformierte des Produktes einer Exponentialfunktion f(t) mit dem Einheitssprung u(t)=1:

Gegeben: Exponentialfunktion  

Einheitssprung   = 1 für t>0.

Gesucht: Ergebnis der beiden Beziehungen als Produkt im z-Bereich:

Die Ausgangswertefolge   lautet:

 

Daraus ergibt sich die z-Transformierte:

 

Substituiert man

 ,

so lautet die z-Transformierte

 

Beispiel 3: Ermittlung der z-Übertragungsfunktion aus einem Verzögerungsglied 1. Ordnung

Gegeben: Übertragungsfunktion G(s) des PT1-Gliedes mit der Verstärkung K und der Zeitkonstante T1:

  Polstelle des Nennerpolynoms.
Anmerkung: Die Zeitkonstantendarstellung der Übertragungsfunktion ist der Pol- Nullstellendarstellung mathematisch identisch.

Gesucht: z-Übertragungsfunktion   aus  .

Dazu wird zuerst die Gewichtsfunktion g(t) des PT1-Gliedes ermittelt.

Aus einer Laplace-Korrespondenztabelle findet man für das Zeitverhalten   der Übertragungsfunktion   für die Gewichtsfunktion (Impulsantwort):

 .

Die Verstärkung K wurde für den Transfer in den Zeitbereich nicht berücksichtigt und wird wieder eingesetzt.

 

Für die Eingangsimpulsfolge   wird die z-Transformation angewendet.

Aus einer in Fachbüchern der Regelungstechnik dargestellten Korrespondenztabelle wird für   als Gewichtsfunktion (Impulsantwort) die zugehörige F(z)-Funktion entnommen. Der Faktor   hat keine Auswirkungen auf die Transformation und wird später berücksichtigt:

 

Daraus ergibt sich unter Berücksichtigung des Faktors   die gesuchte z-Übertragungsfunktion, die gerne vereinfacht dargestellt wird:

 

Beispiel 4: z-Übertragungsfunktion einer Differenzengleichung für den Integralalgorithmus:

Definition der Signale:
Analoge Regeldifferenz =  , Abgetastete Regeldifferenz =  ,
Reglerausgangsgröße =  , Zeitkonstante  .

Gegeben: Differenzengleichung:

 
(Differenzengleichung nach Euler-Vorwärts, wegen  ) entsteht "Untersumme".

Gesucht: z-Übertragungsfunktion.

Nach der Transformationsvorschrift ändern sich die Größen:

 

Daraus folgt für die z-Transformation:

 

Wird U(z) / E(z) ausgeklammert, entsteht die z-Übertragungsfunktion des Integralalgorithmus:

 

Für die gleiche Differenzengleichung des Integrationsalgorithmus nach Euler-Rückwärts (Obersumme):

 

lautet die z-Übertragungsfunktion mit  :

 

Aus der Übertragungsfunktion GR(z) wird die Stellgröße des Reglers U(z) abgeleitet mit der Regelabweichung E(z) = W(z) - Y(z):

Anwendung der z-Übertragungsfunktion für einen digitalen PI-Regler mit Abtastfunktion und HaltegliedBearbeiten

Das nachfolgende Berechnungsbeispiel zeigt die über die z-Transformation ermittelte Differenzengleichung eines digitalen PI-Reglers im Vergleich mit den Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts.

Digitale Regler in industriellen Erzeugnissen werden gegenüber analogen Reglern zunehmend in großen Stückzahlen produziert. Dafür sind verschiedene Gründe gegeben:

  • Die Integrationsrate der Mikrorechner hat soweit zugenommen, dass die Schnittstellen wie AD- und DA-Wandler wie auch Haltefunktionen Bestandteil eines einzigen hochintegrierten Bausteins sind.
  • Kostengünstige Produktion der Hardware und deren Prüfung,
  • Jederzeit - vor Anlagen-Auslieferung - können per Software Parameteränderungen oder Regler-Struktur-Änderungen geändert werden.

Mit der Anwendung der z-Transformation auf abgetastete Signale und des gewünschten Regelalgorithmus entsteht die z-Übertragungsfunktion.

Die Hauptaufgabe der Realisierung eines digitalen Reglers ist die Aufstellung der z-Übertragungsfunktion des Reglers bzw. das Finden der zur Programmierung des Mikrocomputers benötigten Rekursionsgleichung. Das nachstehende Berechnungsbeispiel aus einem Fachbuch zeigt einen digitalen PI-Regler, der durch eine Reihenschaltung von Halteglied, Reglerfunktion GR(s) und Abtaster approximiert wird.

Die gesuchte z-Übertragungsfunktion des digitalen Reglers D(z) besteht aus dem Produkt von Halteglied   und Reglerfunktion GR(s):

 

Berechnungsbeispiel eines PI-Reglers als Reihenschaltung von idealem Abtaster, PI-Regleralgorithmus und Halteglied.[Einzelnachweise 17]

Gegeben: s-Übertragungsfunktion eines PI-Reglers GR:
 

Parameter des PI-Reglers mit folgenden Zahlenwerten:

Verstärkung:  ; Zeitkonstante:  ; Abtastzeit:  ;

Gesucht: z-Übertragungsfunktion und daraus die Differenzengleichung mit dem Regelalgorithmus des PI-Reglers:

 

Nach Anwendung der oben stehenden abgeleiteten Gleichung mit Eintrag der PI-Komponenten für   müssen die Komponenten des s-Bereichs in den z-Bereich transformiert werden:

 

Die Terme des s-Bereichs werden z-transformiert:

 

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion des Reglers mit Zahlenwerten:

 

Diese z-Übertragungsfunktion wird in Operatorendarstellung nach U(z) geordnet und als Differenzengleichung   im Mikroprozessor programmiert.

 
 

Durch Anwendung der Rechtsverschiebung um einen Abtastschritt "-1" ergibt sich für Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich die Differenzengleichung  .

 

Diese Gleichung nach   aufgelöst ergibt:

 

In vereinfachter Schreibweise lautet die Differenzengleichung eines PI-Reglers für ein abgetastetes Regelsystem mit Halteglied bei TA = 0,1 [s]:

 

Zum Vergleich die errechnete Differenzengleichung für TA = 0,01 [s] zur besseren Annäherung an die analytische Funktion:

 
 
Sprungantwort eines digitalen PI-Reglers mit A/D-Wandler und Abtast-Halteglied am Reglerausgang.
Tabelle zur grafischen Darstellung der Sprungantwort des PI-Reglers mit TA = 0,1 [s] und e(k) = 1,
im Vergleich mit einer direkten Anwendung von Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts.
Folge k Zeit TA
[sec]
Differenzengleichung aus z-Transformation
Ausgangssignal  
Differenzengleichung
Euler-Rückwärts
  Untersumme
Differenzengleichung
Euler-Rückwärts
  Obersumme
0 0   2,0000 2,1333
1 0,1