Z-Transformation

Methode zur Beschreibung zeitdiskreter Systeme

Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich (zyklisch) abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Sie ist aus der Laplace-Transformation entstanden und hat auch ähnliche Eigenschaften und Berechnungsregeln. Die z-Transformation gilt für Signale im diskreten Zeitbereich (Wertefolgen), während die Laplace-Transformation für entsprechende Berechnungen im kontinuierlichen Zeitbereich dient. (Bezüglich des Zusammenhangs zwischen z-Transformation und Laplace-Transformation siehe auch: Matched-z-Transformation.)

Ein Vorteil der Anwendung der z-Transformation ergibt sich, wenn eine Wertefolge und eine systembeschreibende Differenzengleichung in eine algebraisch zusammengefasste z-Übertragungsfunktion überführt wird. Die z-Übertragungsfunktion dient der Systemanalyse, d. h. der Analyse des Systemverhalten bei verschiedenen Anregungen und insbesondere auch der Stabilitätsanalyse. Der Verlauf der Systemausgangsgröße kann bei gegebener Eingangsgröße durch verschiedene Methoden der inversen z-Transformation in den zeitdiskreten Bereich und dann im Zeitbereich dargestellt werden.

Die z-Transformation wird größtenteils für die digitale Steuer- und Regelungstechnik und zur Berechnung digitaler Filter angewendet. Man kann sie aber auch zur Gewinnung von expliziten Formeln für rekursiv definierte Zahlenfolgen einsetzen.

Einführung in die z-TransformationBearbeiten

Geschichtliche EntwicklungBearbeiten

Die grundsätzlichen Ideen zur z-Transformation gehen auf Pierre-Simon Laplace zurück und wurden 1947 von Witold Hurewicz zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet.[Einzelnachweise 1]

Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ eingeführt, im Jahr 1952 erfolgte die heute übliche Begriffsfestlegung z-Transformation durch John R. Ragazzini und Lotfi A. Zadeh bei Arbeiten mit zeitdiskreten Daten im Rahmen der Regelungstechnik an der Columbia University.[Einzelnachweise 2][Einzelnachweise 3]

Die Modifizierte z-Transformation geht auf Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury aus dem Jahr 1958 zurück.[Einzelnachweise 4]

Bedeutung der z-Transformation und AnwendungBearbeiten

Der z-Bereich ist eine abstrakte mathematische Welt, die eine Reihe von Eigenschaften hat, die bei Untersuchungen von Systemeigenschaften sehr hilfreich ist (Zitat: Vorlesungsskript Uni Wien).

Abgetastete Signale werden benötigt, wenn Computer zeitinvariante dynamische Systeme und Signale zeitdiskret in Form von Differenzengleichungen berechnen sollen. Dabei geht es meist um die Anwendung für die digitale Regelung und Regelstrecken.

Abgetastete Signale im Abstand   können mit Hilfe der z-Transformation mathematisch definiert werden. Die zeitkontinuierliche Beschreibung des abgetasteten Signals als modulierte Impulsfolgen mit   stellt nur eine mathematische Modellvorstellung dar. Die unendlich hohen und schmalen Dirac-Impulse existieren in Wirklichkeit nicht. In der Realität müssen die zeitlichen Abtastfolgen sehr klein im Verhältnis der Systemzeitkonstanten liegen, anderenfalls wird das Rechenergebnis ungenau. Die rekursiven Differenzengleichungen bilden nur Annäherungen an eine gewünschte Originalfunktion.

Die z-Transformation hat für diskrete Systeme dieselbe Bedeutung, wie die Laplace-Transformation für kontinuierliche Systeme. Das Verständnis der Anwendung der z-Transformation im Gegensatz zur Laplace-Transformation ist ungleich schwieriger, weil die Abtastung bei Einsatz von Mikrocomputern eine Ein-Ausgangshardware mit Zeitverhalten darstellt. Für die Beschreibung dynamischer Systeme z. B. bei Reglern zur Parametrisierung müssen Regelstrecken identifiziert und Differenzengleichungen gebildet werden.

Die Anwendung der z-Transformation erleichtert die Prozedur der Berechnung der zeitdiskreten Signalfolgen mit Differenzengleichungen zu z-Übertragungsfunktionen. Diese werden mit inverser z-Transformation zurück vom z-Bereich in den k-Bereich der abgetasteten Signale transformiert und liefern damit als Ausgangsgröße Signalfolgen im diskreten Zeitbereich.

Mit Hilfe der z-Transformation können aus systembeschreibenden Differenzengleichungen mit zeitdiskreten Signalen zu z-Übertragungsfunktionen als gebrochen rationale Funktionen berechnet werden, die – ähnlich bei der Laplace-Transformation – durch Pole und Nullstellen das Systemverhalten identifizieren. Damit sind algebraische Operationen mit anderen z-transformierten Systemen und z-transformierten Signalen möglich.

Gleichungen und Eigenschaften der z-TransformationBearbeiten

Die häufig verwendeten z-Transformationsbeziehungen zwischen dem k- und z-Bereich werden in Tabellenform dargestellt und erleichtern damit die Berechnungen (siehe #Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)).

Definitionen der verwendeten Variablen und Parameter:

  = Signal im Bildbereich;   = z-Variable;   = Abtastzeit,   = Abtastfolge = Nummerierung eines Folgegliedes,   = Zahl bestimmter Abtastschritte, z. B. bei Verschiebungen.

Bilaterale z-TransformationBearbeiten

Die bilaterale z-Transformation eines Signals   ist die formale Laurent-Reihe  :

 ,

wobei   alle ganzen Zahlen durchläuft und   im Allgemeinen eine komplexe Zahl der Form:

 

ist.   ist der Betrag von   und   der Winkel der komplexen Zahl in Polarkoordinaten. Alternativ kann   auch in kartesischer Form als Realteil   und Imaginärteil   beschrieben werden.

Unter gewissen Konvergenzbedingungen ist die z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrierbare Funktion auf dem Einheitskreis.

Unilaterale z-TransformationBearbeiten

Substituiert man in der Beschreibung einer Abtastfolge im Laplace-Bereich den Ausdruck   durch  , so erhält man eine Potenzreihe in  :

 

Dabei ist

 

Wenn   nur nichtnegative   Werte hat, kann die unilaterale z-Transformation definiert werden:

 

In der Signalverarbeitung wird die unilaterale z-Transformation für kausale Signale verwendet.

Eigenschaften wie Linearität, Verschiebung, Faltung, DifferentiationBearbeiten

  • Linearität. Die z-Transformierte von zwei linear verknüpften Signalen ist die lineare Verknüpfung der beiden z-transformierten Signale.
 
  • Verschiebung. Wird das Signal im Zeitbereich um k nach rechts verschoben, so muss die z-Transformierte mit   multipliziert werden. Bei der Verschiebung nach links kommen noch weitere Terme hinzu.
 
 
  • Faltung. Die Faltung von zwei Signalen im Zeitbereich entspricht dem Produkt im Frequenzbereich.
 
  • Differentiation .
 

Zusätzliche Eigenschaften der unilateralen z-TransformationBearbeiten

Es sei   und   deren z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert.

 

Dann gelten folgende Regeln:

 

Inverse z-TransformationBearbeiten

Die inverse z-Transformation kann mit der Formel

 

berechnet werden, wobei C eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die im Konvergenzbereich von   liegt.

Die (unilaterale) z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.

Inverse unilaterale z-TransformationBearbeiten

Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet   und  .

Mit ResiduumBearbeiten

 ,
  für  

Mit Laurent-ReiheBearbeiten

Der Integrand   wird in eine Laurent-Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient −1 der Laurent Reihe, also  .

Bei der Entwicklung in eine Reihe sind der binomische Lehrsatz und grundlegende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nützlich.

Beispiel 1Bearbeiten
 ,
 .
Beispiel 2Bearbeiten
 ,
 .

Bei wesentlicher SingularitätBearbeiten

 .

Grundlagen der z-TransformationBearbeiten

Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch Differenzengleichungen oder als z-Transformierte beschrieben. Im Gegensatz dazu wird die Laplace-Transformation für kontinuierlichen Signale und Systeme verwendet.

Definition der Formelzeichen und Systemgrößen nachfolgender SystemdarstellungenBearbeiten

Liste der wichtigsten Formelzeichen und Systemgrößen, die im Folgenden verwendet werden:

Formelzeichen Erklärung Bemerkung
  Eingangssignal Werden in der Regelungstechnik Regler und Regelstrecke gleichzeitig betrachtet, wird die Eingangsgröße
des Reglers als   (Regelabweichung) bezeichnet.
Die Ausgangsgröße des Reglers   ist dann gleichzeitig die Eingangsgröße der Regelstrecke.
  Ausgangssignal meist Systemantwort, bei Regelkreisen die Regelgröße.
Kleinbuchstaben Zeitbereich z. B.: f, u, y
Großbuchstaben Bildbereich z. B.: F, U, Y, G
  Abtastzeit Zeitlicher Abstand der Abtastungen eines zeitdiskreten Signals.
Mit der Frequenz   wird ein kontinuierliches Signal abgetastet.
  Zeitintervall   ist ein Parameter der diskreten Zeit, keine reale Zeit. In Verbindung mit Abtastung kann   sein.
  wird z. B. bei der Berechnung der Differenzengleichungen verwendet.
  Abtastfolge   in einer unendlichen oder   einer endlichen Folge.
  wird auch für die Nummerierung der Werte in einer Folge verwendet.
  Abtastschritte  .
(n ist auch eine Bezeichnung für die Potenz der s-Variablen eines Nennerpolynoms)
  Wertefolge Eine Folge der Werte:  
  Signal im Zeitbereich Zeitsignal (allgemein)
  Zeitdiskretes Signal Wert des Signals   zum Zeitpunkt  .
Vereinfachte Schreibweise ist z. B.   oder  .
  Laplace Variable
e Eulersche Zahl e = Eulersche Zahl ≈ 2,71828.
  Laplace-Transformiert Laplace-Transformiertes Signal für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad:   und Nennergrad:  
  Laplace-Transformiert Laplace-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad:   und Nennergrad:  
  z-Variable
 ,   z-transformiert z-transformiertes Signal bzw. z-Übertragungsfunktion für diskrete Systeme:
Polynomfunktion mit Zählergrad:   und Nennergrad:  
  Zeitkonstante Zeitkonstante eines dynamischen Systems.
Bei mehreren Zeitkonstanten des dynamischen Systems werden die Zeitkonstanten indiziert:  

Vergleich der diskreten und der kontinuierlichen ÜbertragungssystemeBearbeiten

VERGLEICH diskretes System kontinuierliches System
Eigenschaften der betrachteten Systeme
  • Linear, zeitinvariant, dynamisch
  • Mindestens ein Eingangssignal   und ein Ausgangssignal  
Ein-/Ausgangssignal reelle Folge, Zeitreihe mit fortlaufendem konstanten Zeitintervalls   kontinuierliches reelles Signal
Systembeschreibung im Zeitbereich Differenzengleichung gewöhnliche Differentialgleichungen
Transformation in den Bildbereich mit z-Transformation mit Laplace-Transformation
Operator-Schreibweise der Transformation    
Inverse Transformation    
Systembeschreibung im Bildbereich z-Übertragungsfunktion s-Übertragungsfunktion
Allgemeine Eigenschaften im Bildbereich:

Beziehung der Stabilität in der z-Ebene.
Stabilität: Pole im Inneren des z-Einheitskreises.
Grenzstabilität: Pole auf der z-Kreislinie.

Nullstellenanalyse für Übertragungsfunktionen G(s), G(z).
Die Übertragungsfunktion wird im Bildbereich als Bruch mit Zähler- und Nennerpolynom dargestellt.

  • Übertragungsfunktion = Ausgangssignal / Eingangssignal = Zählerpolynom / Nennerpolynom
  • Die Auswertung des Nennerpolynoms führt zu Aussagen über die Stabilität des Systems.
  • Stabilitätsgebiet „linke s-Halbebene“ wird in das Innere eines Einheitskreises der z-Ebene transformiert.
  • Einheitskreis mit Radius 1, Ordinate = Imaginärteil von z, Abszisse = Realteil von z.
  • Ablesung: Stabilität, Grenzstabilität, bei Instabilität liegen die Pole außerhalb des Einheitskreises.

Grundlagen Differenzengleichungen für lineare zeitinvariante SystemeBearbeiten

Für die numerische Berechnung des Systemverhaltens eines zeitdiskreten dynamischen Systems können Differenzengleichungen   verwendet werden. Mit ihrer Hilfe lässt sich das Systemverhalten (der Verlauf der Systemausgangsgröße   ) für ein gegebenes Eingangssignal   im zeitdiskreten Bereich   berechnen.

Differenzengleichungen entstehen meist aus systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation werden zeitdiskret durch Summen- und Differenzenbildung angenähert.

Die Differenzengleichungen beschreiben mit dem Approximationsalgorithmus für ein kleines Zeitintervall   die Signaländerungen nach jedem Zeitintervall als Funktion des betreffenden Teilsystems (Linearfaktoren im s-Bereich) und des Eingangssignals. Mit der fortlaufenden Wiederholung der Berechnung mit dem Zeitintervall   und Addition der Änderungsergebnisse zum vorherigen Ergebnis ergibt sich der Signalverlauf eines Systems über die Zeit  .

Es bestehen verschiedene mathematische Verfahren, zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme zu beschreiben und umzuwandeln.

Differenzengleichungen der einfachsten Art beziehen sich auf die den Linearfaktoren der Übertragungsfunktion G(s) zugehörigen Differenzialgleichungen erster Ordnung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Diese Beziehung ist von großer Bedeutung, weil nur 4 verschiedene Typen von Differenzengleichungen erster Ordnung existieren, mit denen alle Formen von linearen Übertragungssystemen gebildet werden können, auch solche mit Schwingungsanteilen mit konjugiert komplexen Polen oder Nullstellen. Diese Teilsysteme können beliebig multiplikativ, additiv, zurück gekoppelt oder strukturell vermascht sein und gelten sowohl für den s-Bereich wie auch im diskreten Zeitbereich.

Meistens wird zur Aufstellung der Differenzengleichungen das Euler-Streckenzugverfahren nach dem Rückwärts- oder Vorwärts-Differenzenquotienten als einfachstes numerisches Verfahren verwendet. Nach diesem Verfahren können aus den zugehörigen Differenzialgleichungen der 4 Elementarsysteme erster Ordnung der Übertragungsfunktionen G(s) Differenzengleichungen gebildet werden, indem z. B. an Stelle des Differenzialquotienten mit   der Rückwärts-Differenzenquotient   näherungsweise eingeführt wird.

In der Regel wird davon ausgegangen, dass die inneren Systemspeicher des Übertragungssystems sich im Ruhezustand befinden und die Anfangswerte bei t = 0 für   und alle Ableitungen von   Null sind.

Beispiel der Entwicklung der Differenzengleichung der Integration (I-Glied) aus der Differenzialgleichung:

Die Übertragungsfunktion des I-Gliedes lautet:
 

Die zugehörige Differenzialgleichung lautet:

 

Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten   eingesetzt.

Anstelle der kontinuierlichen Systemgrößen   und   treten die aktuellen zeitdiskreten Werte   und  :

 

Damit lautet die nach   umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes:

 

In gleicher Weise können die Differenzengleichungen von Systemen erster Ordnung aus den zugehörigen Differenzialgleichungen abgeleitet werden.

Tabelle der Differenzengleichungen (Euler-Rückwärts) der Elementarsysteme G(s) erster Ordnung
Elementarsysteme P-Glied I-Glied D-Glied PD1-Glied PT1-Glied
Übertragungsfunktion          
Differenzengleichungen
 
         

(Mit K = Verstärkungsfaktor,   = aktuelle Ausgangsgröße,   = vorherige Ausgangsgröße, T = Zeitkonstante,   = aktuelle Eingangsgröße)

Die einmalige Anwendung einer Differenzengleichung   zum Zeitpunkt   ergibt für eine gegebene Eingangsfolge   ein Folgeglied der Ausgangsfolge  . Jedes Folgeglied   bezieht sich auf eine zurückliegende Folge  . Deshalb wird eine solche Differenzengleichung als Rekursionsgleichung bezeichnet, weil jedes Folgeglied eine Funktion des vorherigen Folgegliedes ist.

Die rekursive Anwendung von Differenzengleichungen zur Berechnung von Eingangs-Wertefolgen zu Ausgangs-Wertefolgen bedeutet die angenäherte Lösung der systembeschreibenden Differentialgleichung des Systemausgangssignals   von Wertefolgen (Berechnungspunkten)  .

Mit Hilfe eines Personal Computers kann das Systemverhalten eines dynamischen Systems oder eines Regelkreises mit Differenzengleichungen vollständig simuliert werden. Dabei wird eine endliche Anzahl   von Berechnungsfolgen (Wertefolgen) festgelegt und die Rechenergebnisse der Teilsysteme – das Systemverhalten – tabellarisch und grafisch als Berechnungspunkte im Abstand   dargestellt. Die Differenzengleichung enthält bereits die Lösungsvorschrift der Systemausgangsgröße in Annäherung an die systembeschreibende Differentialgleichung.

Handelt es sich bei dem dynamischen System um eine Hardware mit einer im zeitlichen Abstand   abgetasteten Eingangsfolge  , die über einen Mikrocomputer mit Differenzengleichungen zu einer Ausgangsfolge   berechnet wird, kann mit Hilfe eines Haltegliedes eine treppenförmig gestufte quasi kontinuierliche Ausgangsgröße y(t) als Beispiel der prinzipiellen Funktion eines digitalen Reglers erreicht werden. Regelstrecken liegen in der Praxis meist als kontinuierliche Systeme vor, die eine kontinuierliche Stellgröße benötigen.

Differenzengleichungen höherer OrdnungBearbeiten

Differenzengleichungen können auch aus gewöhnlichen Differenzialgleichungen höherer Ordnung entwickelt werden, wenn ab dem Zeitpunkt   die letzten vergangenen Ausgangs-Wertefolgen mit   und die Eingangs-Wertefolgen mit   bekannt sind.

Zeitkontinuierliche lineare Systeme werden im Zeitbereich durch die gewöhnlichen Differenzialgleichungen  -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für   beschrieben. Dabei sind   und   die höchsten Ableitungen der Ausgangssignale   und Eingangssignale  .

Eine gegebene gewöhnliche Differentialgleichung wird durch den Koeffizienten   dividiert, um   freistellen zu können. Diese Form der Differentialgleichung wird entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.

 .

Diese Differentialgleichung kann in eine Differenzengleichung überführt werden:

  •   wird vereinfacht als   geschrieben und entspricht einem aktuellen Folgeglied.
  • Die kontinuierlichen Systemgrößen   und   werden zeitdiskret dargestellt.
  • Die Ableitungen im Zeitbereich   werden entsprechend der Ordnung durch Differenzenquotienten   der zugehörigen Ordnung ersetzt.
Jede Ableitung der Systemgrößen wird im zeitdiskreten Bereich entsprechend der Ordnung als zurückliegende Folgeglieder der Eingangs- und Ausgangsfolgen k-1 bis k-n oder k-m berücksichtigt.

Daraus folgt die Differenzengleichung:

 .

Damit kann die allgemeine Form der Differenzengleichung nach   aufgelöst werden:

 .

Für die numerische Berechnung eines dynamischen Systems wird die s-Übertragungsfunktion oder die zugehörige Differentialgleichung benötigt. Die Umsetzung einer systembeschreibenden Differentialgleichung in eine angenäherte Differenzengleichung zur Beschreibung von Eingangsfolgen und Ausgangsfolgen eines dynamischen Systems wird ermöglicht, wenn die Differentiale der Differentialgleichung durch Rückwärts-Differenzenquotienten über die Abtastperiode ersetzt werden.[Einzelnachweise 5]

Die folgenden Ableitungen der Differentialquotienten in Differenzenquotienten der 1. 2. und 3. Ordnung sind gegeben:

Differenzenquotient 1. Ordnung:

 

Der Differenzenquotient 2. Ordnung entsteht aus Differenzen der Differenz:

 

Der Differenzenquotient 3. Ordnung lautet:

 

Nach erfolgtem Einsetzen der Differenzenquotienten in die Differenzengleichung eines dynamischen Systems lassen sich die neuen Koeffizienten aus den Koeffizienten der Differentialgleichung berechnen.

Beispiel der Entwicklung einer Differenzengleichung zur Berechnung der Sprungantwort eines  -Gliedes mit konjugiert komplexen Polen:

 
Sprungantwort eines PT2-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen. TA = 0,01 s
 
Gegeben: Übertragungsfunktion im s-Bereich:
 
Sprungfunktion: u(t)=1

Gesucht: Differenzengleichung   zur numerischen Bestimmung des System-Zeitverhaltens.

Zugehörige Differentialgleichung nach dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation:

 

Die Differenzenquotienten für   und   werden in die nachfolgende Differenzengleichung eingesetzt:

 

Die Brüche werden in einzelne additive Terme aufgelöst, um   freistellen zu können:

 
 

Berechnungsbeispiel für einige Werte der Ausgangsfolge   mit  :

 .
 .
 .
 .

Diese Differenzengleichung entspricht einem Rekursionsalgorithmus eines dynamischen Systems, der schrittweise mit einem digitalen Rechner gelöst werden kann.

Die rekursive Berechnung der Differenzengleichung 2. Ordnung bezieht sich für die aktuelle Ausgangsfolge   durch Einsetzen der zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge   und   in die Gleichung. Für das 1. Folgeglied der Berechnungsfolge k=0 sind die zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge noch nicht verfügbar und damit Null. Die Anzahl   der Glieder der Ausgangsfolge wird durch die diskrete Zeit   und durch die gewünschte zu beobachtende Gesamtzeit des Einschwingvorgangs bestimmt.

Anwendung zeitdiskreter Signale und dynamischer SystemeBearbeiten

Die z-Transformation wird auf zeitdiskrete Signale  , auf die systembeschreibenden Differenzengleichungen   und auf Übertragungsfunktionen des s- und z-Bereiches meist mit Hilfe der Korrespondenztabellen angewendet.

 
Funktionsblöcke eines digitalen Reglers.

Das nebenstehende Bild ist ein Beispiel der Darstellung der Signalarten und Systeme an einem aufgeschnittenen digitalen Regelkreis mit einer kontinuierlichen Regelstrecke.

Abtastsysteme wandeln in Verbindung mit A/D-Wandlern ein kontinuierliches Signal in ein zeitdiskretes Signal als Wertefolge um. D/A-Wandler in Verbindung mit Haltesystemen nullter Ordnung wandeln eine Wertefolge in ein gestuftes zeitkontinuierliches Signal um.

z-Transformation einer Wertefolge (Impulsfolge)Bearbeiten

Eine Wertefolge besteht aus   oder   vielen Folgegliedern. Das Objekt mit der Nummer i wird i-tes Folgeglied oder i-te Komponente der Folge genannt. Die abgetasteten und digitalisierten Signale entsprechen einer Folge von modulierten impulsförmigen Signalen   im Abstand  , die erst nach der A/D-Wandlung mit einer Haltestufe zu einem gestuften quasi kontinuierlichem Signal   werden.

Die Laplace-Transformation bezieht sich auf die Ableitungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung und ersetzt diese nach dem Laplace-Differentiationssatz durch die komplexe Variable  . Ein Exponent von s kennzeichnet die Ordnung der Ableitung.

Die z-Transformation transformiert eine Impulsfolgefunktion   oder eine Zahlenfolge   in eine Funktion   mit der z-Variable  .

Da die Berechnungen mit Impulsfunktionen oder Folgen aufwendig sind, ist es sinnvoll, diese durch einfachere Berechnungen im z-Bildbereich auszuführen. Die z-Transformation von Impulsfolgen kann als diskrete Laplace-Transformation aufgefasst werden.[Einzelnachweise 6]

Die zu diskreten Zeitpunkten abgetasteten kontinuierlichen Eingangssignale entsprechen mit der Eingangsgröße modulierten (gewichteten)  -Impulsfolgen, die mit der z-Transformation berechnet werden.

Beim Übergang von kontinuierlichen Systemen f(t) zu Abtastsystemen   mit der Abtastfolge   gehen lineare zeitinvariante Differenzialgleichungen in zeitinvariante Differenzengleichungen der Abtastzeit TA beziehungsweise der Abtastfrequenz   der Funktion   über.

 
Ideale Abtastung eines kontinuierlichen Signals   im Abstand   durch eine Sample-and-Hold-Schaltung nullter Ordnung.

Kontinuierliche Signale z. B. die Regelabweichung   eines Regelkreises mit einer analog arbeitenden Regelstrecke werden zu gleichen Zeitabständen   abgetastet. Ein Abtaster mit A/D-Wandler erzeugt aus einem zeitkontinuierlichen Regler-Eingangssignal   ein zeitdiskretes Signal  . Es können sowohl abgetastete Regler-Eingangssignale   als auch Differenzengleichungen  , die im diskreten Zeitbereich den Regelalgorithmus eines Reglers beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung   im  -Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(k).

Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereiches stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.

Eine einzelne Abtastung eines kontinuierlichen Signals u(t) an einer beliebigen Stelle des Signalverlaufs z. B. zum Zeitpunkt   wird als Modulation von u(t) mit einem Dirac-Impuls mit   beschrieben.[Einzelnachweise 7][Einzelnachweise 8]

Damit ergibt sich für die Multiplikation des Eingangssignals u(t) mit dem Dirac-Impuls:

 

Wird nun periodisch mit zu den Zeitpunkten   das Signal u(t) abgetastet, kann das abgetastete Signal   als Multiplikation einer  -Impulsfolge mit u(t) betrachtet werden.

Die Impulsfolgefunktion bezieht sich auf die Summengrenzen von   zu  

 

Mit dem Übergang der Summengrenzen von   zu   wird die Impulsfolgefunktion:

 

Die Impulsfolgefunktion wird der Laplace-Transformation unterzogen:

 

Mit der z-Variablen   und   wird die Gleichung vereinfacht zu der z-Transformierten des kontinuierlichen Signals  .

Mit   wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.

Damit lautet die z-Transformation eines abgetasteten kontinuierlichen Signals   mit der Folge   und der Wertefolge  :

 

oder allgemein als Funktion  :

 

Rechenregeln der z-TransformationBearbeiten

Wie die Laplace-Transformation wird die z-Transformation durch Sätze und Rechenregeln definiert, dennoch bestehen in einigen Funktionen große Unterschiede.

Die Transformationen und Rücktransformationen der z-Transformation erfolgen meist mit Hilfe von Transformations-Tabellen. In der Fachliteratur werden in Tabellen die Zeitfunktionen f(t), die Laplace-Transformierten f(s) und die z-Transformierten f(z) dargestellt. Nicht vorhandene Zeitfunktionen für die inverse z-Transformation können wie bei der Laplace-Transformation durch die Partialbruchzerlegung bestimmt werden.

Die Verfahren der Anwendung der Rechenregeln der z-Transformationen sind umfangreich und können in diesem Abschnitt nur angedeutet werden. Die nachstehenden meist tabellarisch aufgeführten Verfahren sind in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik oder in Vorlesungsmanuskripten der z-Transformation zu finden.

  • Diese Rechenregeln beziehen sich auf Linearitätssätze, Multiplikationssatz, Divisionssatz, Ähnlichkeitssätze, Dämpfungssatz, Verschiebungssätze (rechts-links), Differenzensätze (Rückwärts-Vorwärts), Summationssatz, Faltungssatz, Grenzwertsätze.
  • Die z-Transformationen und die z-Rücktransformationen können mit Hilfe von Transformations-Tabellen und verschiedenen noch dargestellten Verfahren durchgeführt werden.

Die nachfolgenden mathematischen Beziehungen gelten für Systeme mit einem Eingangssignal   und einem Ausgangssignal  . Für einen digitalen Regler müssen die zugehörigen Größen des Eingangssignals   und Ausgangssignals   in die Gleichungen eingesetzt werden.

 
Vergleich der z-Transformation und der Laplace-Transformation.
Mit   wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.

Die wichtigsten Eigenschaften der z-Transformation:[Einzelnachweise 9]

  • Grundlagen der Definitionen im z-Bereich:
z-Variable:
 
z-Transformierte einer Folge  :
 
Inverse z-Transformation von F(z):
 
  • Für Grenzbetrachtungen treten häufig folgende Fälle auf:
Für den s-Bildbereich gilt für die s-Variable.
 
 
Für den z-Bildbereich gilt für die z-Variable:
 
 
  • Anfangswert einer zeitdiskreten Folge:
 
  • Rückwärtsverschiebung (nach rechts):
Totzeiten innerhalb eines Digitalreglers entstehen durch die Signalabtastung über A/D-Wandler, D/A-Wandler und durch die Rechenzeit des Mikrocomputers. Die Berechnung einer Totzeit   einer Abtastfolge entspricht einer Rückwärtsverschiebung (Rechtsverschiebung) der Abtastfolge (Zahlenwerte) um d Abtastschritte von  . Diese mathematische Operation bedeutet im s-Bereich für die Totzeit   und im z-Bereich:
 
  • Vorwärtsverschiebung (nach links):
Eine Vorhersage um die Zeit   einer Wertefolge entspricht einer Vorwärtsverschiebung nach links um d-Abtastschritte. Diese Operation entspricht der Laplace-Transformierten   und bedeutet im z-Bereich:
 
  • Differentiation:
Die Differenz zweier aufeinander folgender Abtastwerte dividiert durch die Abtastzeit entspricht der Annäherung an einen Differenzialquotienten im Zeitbereich.
 
  • Integration:
Wird die Summe aller Abtastwerte mit der Abtastzeit TA multipliziert, entsteht in Annäherung an den Zeitbereich die numerische Integration. Im s-Bereich entspricht die Integration 1 / s. Im z-Bereich gilt für die Integration:
 
  • Gewichtsfolge:
Die z-Übertragungsfunktion G(z) ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge g(k).
 
In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines linearen, zeitdiskreten dynamischen Systems enthalten.
  • Multiplikation:
Ausgangssignal als Funktion des Eingangssignals und der z-Übertragungsfunktion
 
 

Im Bildbereich steht die Multiplikation an Stelle der Faltungssumme, wie bei zeitkontinuierlichen Systemen an Stelle des Faltungsintegrals.

Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)Bearbeiten

[Einzelnachweise 10]

Funktion im
Zeitbereich f(t)
Laplace-Transformierte
im Bildbereich F(s)
Diskrete Laplace-Transformierte
nach der z-Transformation  
δ-Impuls 1 1
Einheits-
sprung 1
   
t    
     
     
     
     
     
     
     
     
     
 
     
     
     
TA = Abtastzeit, a oder b = Zahlenwert der Nullstelle (Pol) im s-Bereich, T1 = Zeitkonstante der s-Übertragungsfunktion.

Tabelle der Korrespondenzen der zeitdiskreten Funktionen   zum z-Bereich   (Auszüge)Bearbeiten

Name der
Zeitfunktion
Wertefolge   z-Transformierte
 -Impulsfolge   1
Sprungfolge    
Anstiegsfolge  
 
 
Potenzfolge    
e-Funktionsfolge    
Sinusfunktionsfolge    
Kosinusfunktionsfolge    
Abklingende Sinus-
funktionsfolge
   
Abklingende Cosinus-
funktionsfolge
   
Linearitätssatz    
Rechts-Verschiebesatz    
Faltungssumme    
Anfangswertsatz    
Endwertsatz    

Z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) von zeitdiskreten ElementenBearbeiten

Übersicht:

  • Die Differenzengleichungen   können ausschließlich mit Hilfe des Linearitätssatzes und Verschiebungssatzes in den komplexen z-Bildbereich und in die z-Übertragungsfunktionen   überführt werden.
Wendet man auf die einzelnen Terme der Differenzengleichung den Linearitäts- und den rechts-Verschiebungssatz an und bringt alle Terme mit   auf die linke Seite und alle Terme mit   auf die rechte Seite der Differenzengleichung, so lässt sich das Verhältnis   mit den verbleibenden Elementen als gebrochen-rationale Funktion darstellen.
Die z-Übertragungsfunktion lautet:
 
  • Gegebene Übertragungsfunktionen des s-Bereiches in Verbindung mit Haltegliedern und Abtastelementen können ebenfalls mit Hilfe der Korrespondenztabellen als z-Übertragungsfunktion transformiert werden.
  • Die Rücktransformation von der z-Übertragungsfunktion in den zeitdiskreten Bereich als Differenzengleichung erfolgt durch den invers angewendeten Linearitätssatz und Verschiebungssatz für alle einzelnen Terme. Durch die kreuzweise Multiplikation von   und   mit den Polynomen im Zähler und Nenner der z-Übertragungsfunktion entsteht wieder eine Differenzengleichung  , wenn die einzelnen Terme der inversen Transformation unterzogen werden.

Mit der so errechneten Differenzengleichung des Übertragungssystems ist man nun in der Lage, für eine gegebene Eingangserregung   des Systems die Ausgangsfolgen des Systems   zu berechnen. Dies ist auf verschiedenen Arten möglich.

  • Analytische Berechnung mit Hilfe der Korrespondenztabellen der z-Transformation,
  • Rekursive Berechnung von Systemantworten der Differenzengleichungen mit Bezug auf zurückliegende Folgen k.

Entstehung der z-Übertragungsfunktion:

Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch eine rekursive Differenzengleichung beschrieben.

Wie bei zeitkontinuierlichen Systemen   und der Übertragungsfunktion   besteht eine vergleichbare Beziehung bei den zeitdiskreten Systemen zwischen der Gewichtsfolge   und z-Übertragungsfunktion G(z). Die Übertragungsfunktion   ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge  .

 
Beziehung der Gewichtsfolge   zur z-Übertragungsfunktion  .
 

In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines dynamischen Systems enthalten. Zur Systemberechnung wird der Verlauf des Eingangssignals U(z) und das Systemverhalten G(z) oder g(k) benötigt.

Für die Ermittlung der z-Übertragungsfunktion ist die Gewichtsfunktion g(t) die Systemantwort (Impulsantwort) auf die Vorgabe eines Eingangs-DIRAC-Impulses  (t).

Bei der Laplace-Transformation eines Systems lautet die Übertragungsfunktion:

 

Aus der Gewichtsfunktion wird die Impulsfolgefunktion   oder die Gewichtsfolge g(kTA) gebildet und in den z-Bereich transformiert. Die z-Übertragungsfunktion von zeitkontinuierlichen Systemen ergibt sich mit folgender Vorschrift:

 

Die Berechnung der Impulsübertragung von linearen zeitdiskreten Systemen vereinfacht sich, wenn aus der Differenzengleichung mit der z-Transformation die z-Übertragungsfunktion bestimmt wird. So können z. B. die Regelalgorithmen eines digitalen Reglers mit Differenzengleichungen formuliert werden.[Einzelnachweise 11][Einzelnachweise 12]

Ist die z-Übertragungsfunktion eines Systems G(z) gegeben, lässt sich die zugehörige z-Differenzengleichung bestimmen:

  • durch Ausmultiplizieren von Zähler und Nenner   und   und Gleichungsumstellung nach y(z),
  • Anwendung des rechts-Verschiebesatzes der z-Transformation zur Bestimmung der Ausgangsgröße  .

Es wird eine lineare Differenzengleichung eines Regelalgorithmus gegeben:

Die Eingangssignale der Differenzengleichung sind wieder   und die Ausgangssignale  .

 

Unter der Voraussetzung, dass die Anfangswerte des zeitdiskreten Systems gleich Null sind, wird die Differenzengleichung transformiert. Mit den Rechenregeln des rechts-Verschiebungssatzes ergibt sich die Transformationsvorschrift:

 ,
 

Die z-transformierte Differenzengleichung ergibt sich zu:

 

Durch Ausklammern des Quotienten Y(z) / U(z) kann die Impulsübertragungsfunktion G(z) gebildet werden.

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion:

 

Bei der Berechnung von Differenzengleichungen mit dem Digitalrechner ist die von n-Schritten nach rechts verschobene Gleichung besser geeignet.

 

Damit lautet die z-Übertragungsfunktion mit negativen Exponenten von z:

 

Beispiel: Für eine gegebenen Differenzengleichung 3. Ordnung lautet die z-Übertragungsfunktion für Ordnungen m = 2 und n = 3:

 

Mit der rechts-Verschiebung der zugehörigen Differenzengleichung um n = 3 Abtastschritte   lautet die z-Übertragungsfunktion:

 

Es fällt auf, dass die z-Transformation einer Differenzengleichung eine große Ähnlichkeit mit der Polynomform einer s-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme hat. Ebenso fällt auf, dass die z-Übertragungsfunktion negative Potenzen hat. Allgemein werden z-Übertragungsfunktionen mit negativen Potenzen von z dargestellt.

Jede z-Übertragungsfunktion mit negativen Potenzen von z kann in eine Form mit positiven Potenzen von z gebracht werden, wenn Zähler und Nenner der z-Übertragungsfunktion mit der höchsten vorkommenden inversen z-Potenz multipliziert werden. Für die z-Übertragungsfunktion der Form mit positiven Exponenten muss gelten: Nennerpolynom > Zählerpolynom. Ist diese Bedingung erfüllt, ist G(z) kausal.

Es können sowohl abgetastete Eingangssignale u(kTA) als auch Differenzengleichungen f(kTA), die im diskreten Zeitbereich das Verhalten eines Systems (z. B. den Regelalgorithmus eines Reglers) beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung   im  -Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(kTA).

Die typische Anwendung der z-Transformation eines digitalen Systems, eines digitalen Reglers oder eines digitalen Filters, für den Regelalgorithmus lautet wie folgt:

  • Die Abtastfolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) wird transformiert als z-Übertragungsfunktion  ,
  • Die Differenzengleichung   des gewünschten Reglerverhaltens wird transformiert als z-Übertragungsfunktion  ,
  • Die z-transformierten Systeme werden algebraisch entsprechend der z-Rechenregeln zusammengefasst,
  • Mit der inversen z-Transformation des z-Produktes von Signal und Regelalgorithmus entsteht der Berechnungsalgorithmus des digitalen Reglers (Mikro Computers) wieder als Differenzengleichung.

Die Analyse und die Synthese diskreter Signale und Systeme lässt sich mit der z-Transformation erleichtern, setzt aber auch umfangreiches mathematisches Spezialwissen voraus.

Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereich stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.

Z-Übertragungsfunktion einer TotzeitBearbeiten

Eine Totzeit Tt hat im Zeitbereich das Verhalten  .

Im s-Bereich lautet die Übertragungsfunktion eines Totzeitsystems:

 

Es handelt sich hier bei der Verbindung einer s-Übertragungsfunktion als gebrochen-rationalen Funktion mit einem Totzeitglied um eine transzendente Funktion, die als Anhang einer Übertragungsfunktion – beispielsweise einer Regelstrecke – multiplikativ zugeordnet wird, mit der Einschränkung, dass keine algebraische Behandlung erlaubt ist.

Im z-Bereich entspricht eine Totzeit   einer Rückwärtsverschiebung (Verschiebung nach rechts) der Abtastfolgen um d Abtastschritte. Die z-Übertragungsfunktion des Totzeitgliedes in Verbindung mit weiteren z-Übertragungssystemen bleibt gebrochen-rational (Bruch mit Zähler- und Nennerpolynom).

Für die z-Transformation der Abtastfolge für das Signal   gilt:

 

Anders als bei der Laplace-Transformation bedeutet ein Totzeitglied in Verbindung mit einer z-Übertragungsfunktion keine Einschränkung der bestehenden Form der gebrochen-rationalen Funktion. Eine z-Übertragungsfunktion mit einer mit   Abtastschritten   definierten Totzeit   wird durch Hinzufügen eines Terms   berücksichtigt. Es können beliebige algebraische Operationen durchgeführt werden.

Beispiel einer z-Übertragungsfunktion mit Totzeit:

 

Z-Übertragungsfunktion von zeitkontinuierlichen Elementen G(s) mit Abtaster und HaltegliedBearbeiten

Definition der Signale: Allgemein gilt für den Zeitbereich  , zeitdiskreten Bereich   und Bildbereich  ,   die Eingangsgröße   und die Ausgangsgröße  .

Abtastsysteme erlauben eine Umwandlung kontinuierlicher Signale in zeitdiskrete Abtastfolgen (Impulsfolgen). Halteglieder erlauben eine Umwandlung zeitdiskreter Ausgangsfolgen (Impulsfolgen) in kontinuierliche gestufte Signale im Zeitbereich. Ein Abtaster setzt ein kontinuierliches Signal   in Verbindung mit einem nachgeschalteten A/D-Wandler in eine Zahlenfolge   mit digitalen Werten um.

Ein Halteglied nullter Ordnung setzt eine Zahlenfolge   mit einem vorgeschalteten D/A-Wandler in ein gestuftes kontinuierliches Signal   um. Bei der Reihenschaltung von einem Abtastsystem (gewichteter δ-Abtaster) und einem Halteglied handelt es sich um die Umwandlung einer aus einem kontinuierlichen Eingangssignal modulierten Impulsfolge in eine gestufte Treppenfunktion  , die in ein kontinuierliches dynamisches System eingeleitet werden kann.

Liegt ein kontinuierliches dynamisches System vor, erlaubt die Abtastung eines kontinuierlichen Signals, z. B. eine Regelabweichung, die Verarbeitung einer zeitdiskreten Eingangsfolge in einem Mikrocomputer als Regelalgorithmus zu einer zeitdiskreten Ausgangsfolge. Die über ein Halteglied geleitete Ausgangsfolge erzeugt ein quasi stetiges gestuftes Ausgangssignal zu einer analogen zeitabhängigen Stellgröße.

Je nach Anwendung des kontinuierlichen Systems  , beispielsweise in der Regelungstechnik, werden unterschiedlich Funktionsblöcke zusammengefasst, die auch mehrere Abtaster und Halteglieder enthalten können.

Um ein kontinuierliches System   in eine z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) zu definieren, muss es im Eingang durch eine Abtastfolge   als Eingangsfolge und am Ausgang des Systems zeitsynchron durch einen Abtaster die Ausgangsfolge   zur Verfügung stellen.

 
Berechnung der Varianten kontinuierlicher Systeme   mit Abtaster und Halteglied.

Je nachdem wie die Reihenfolge der Funktionsblöcke eines Haltegliedes  , eines Systems   und eines Abtasters festgelegt sind, können diese Funktionsblöcke als ein Teil einer offenen Regelstrecke betrachtet werden. Die wären z. B.:

  • Ein Haltegliedsystem mit analogem Ausgang, ein dynamisches System   und Abtastsystem für eine Ausgangsfolge,
  • Ein Abtastsystem einer analogen Regelabweichung, Mikroprozessor für den Regelalgorithmus des Systems   und ein Haltegliedsystem für die Ausgabe eines kontinuierlichen Signals als Stellgröße für eine kontinuierliche Regelstrecke.

Das obere Grafikbild zeigt die Kombination der Funktionsblöcke Halteglied, kontinuierliches System   und Abtaster.

Damit ein kontinuierliches System   in eine (Impuls-)Übertragungsfunktion   definiert werden kann, muss das System durch eine Impulsfolge (Wertefolge) gespeist und am Ausgang ein Abtaster eingesetzt sein, der synchron zur Eingangsfolge eine Ausgangsfolge realisiert. Das Halteglied vor dem dynamischen System wandelt die Impulsfolge in ein quasikontinuierliches Signal um. Das kontinuierliche System-Ausgangssignal wird über einen Abtaster als Ausgangsfolge definiert.

Die s-Übertragungsfunktion des Haltegliedes   nullter Ordnung lautet: [Einzelnachweise 13]

 

Die z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) des Haltegliedes   und der Regelstrecke   wird durch die z-Transformation von   berechnet.

Die z-Übertragungsfunktion von Halteglied und Regelstrecke lautet:

 

In diese Gleichung wird   eingesetzt:

 

Eine Multiplikation mit   entspricht im z-Bereich eine Rechtsverschiebung um einen Abtastzyklus   und damit einer Multiplikation mit  .

 

Die z-Übertragungsfunktion der Reihenschaltung eines Haltegliedes nullter Ordnung mit einem kontinuierlichen System ergibt sich aus der Laplace-Transformierten der Sprungantwort  , multipliziert mit  . (Siehe Tabelle  ):

 

Analog wie bei der Regelstrecke   kann für die im 2. Teil des Bildes dargestellte Anordnung der Funktionsblöcke Abtaster, Regelalgorithmus des Reglers und Halteglied die gleiche Form der Gleichung der z-Transformation benutzt werden. Ein- und Ausgangsgröße und die Systemgröße des Reglers   werden getauscht:

 

Um die z-Transformation des kontinuierlichen Systems   bilden zu können, werden die Korrespondenztabellen angewendet. Steht für die gegebene s-Übertragungsfunktion   kein Eintrag für die z-Transformation zur Verfügung, muss eine Partialbruchzerlegung von   vorgenommen werden.

Beispiel: z-Transformation eines  -Gliedes.

 

Gesucht z-Übertragungsfunktion   des kombinierten Systems:

 

Partialbruchzerlegung von

 

z-Transformation der Partialbrüche in den z-Bereich:

 

Durch Ausmultiplizieren der Brüche ergibt sich die z-Transformation:

 

Z-Übertragungsfunktionen der StandardreglerBearbeiten

Es gelten hier allgemein die formalen Begriffe der Ein- und Ausgangsgrößen der Systemtheorie: Eingangssignal =  , Ausgangssignal  . Für die Belange der Regler gelten die Eingangs- und Ausgangsgrößen des Reglers zu einem Regelkreis lauten:   und  .

Die Regelalgorithmen mit den allgemeinen Koeffizienten lauten nach der rekursiven Rechenvorschrift: [Einzelnachweise 14]

 

Die z-Transformation der Differenzengleichung liefert die z-Übertragungsfunktion GR(z) des Reglers:

 

Tabelle der z-Übertragungsfunktionen der Standardregler (Typ II, Obersumme)

(ai = Koeffizienten des Nennerpolynoms, bi = Koeffizienten der Zählerpolynoms, TI = TN = 1 / KI = Zeitkonstante = Nachstellzeit, TV = Vorhaltezeit, TA = Abtastzeit)

Reglerart z-Übertragungsfunktion GR(z) der Standardregler
P-Regler  
I-Regler  

 
PD-Regler  

 
PI-Regler  

 
PID-Regler  

 

Umwandlung einer z-Übertragungsfunktion in eine DifferenzengleichungBearbeiten

Eine gegebene z-Übertragungsfunktion lässt sich in eine Differenzengleichung umwandeln. Dazu sind folgende Schritte erforderlich.[Einzelnachweise 15]

Die Übertragungsfunktion wurde durch den Koeffizienten   dividiert, um   freistellen zu können.

Diese Form der Übertragungsfunktion wurde entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.

 
  • Die Systemausgangsgröße Y(z) und die Systemeingangsgröße U(z) werden kreuzweise mit den Polynomen der z-Übertragungsfunktion multipliziert:
 
  • Die Zähler- und Nennerpolynome werden durch die höchste Potenz von z dividiert:
 
  • Mit der Anwendung des Rechtsverschiebungssatzes der z-Transformation entsteht die Differenzengleichung:
 
  • Die Differenzengleichung wird nach y(k) aufgelöst. Damit entsteht eine Rekursionsgleichung zur Berechnung der Ausgangsgröße   des Systems für beliebige Eingangssignale  .
 

Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich f(kTA)Bearbeiten

Für die Programmierung des Mikrocomputers des Digitalreglers werden Differenzengleichungen benötigt, die durch Überführung der z-Übertragungsfunktion des z-Bildbereiches in den diskreten Zeitbereich f(k) gewonnen wird.

Die inverse z-Transformation liefert für F(z) wieder die Werte der Zahlenfolge:

  für  .[Einzelnachweise 16]

Dazu sind drei Verfahren gegeben:

Durch die Polynomdivision wird die z-Transformierte F(z) in eine konvergierende Potenzreihe nach   entwickelt. Dividiert man das Zählerpolynom von F(z) durch das Nennerpolynom nach den Regeln der Polynomdivision, so ergibt sich die gewünschte Potenzreihe. Die Vorfaktoren der Potenzen von z sind die gesuchten Werte der Zahlenfolge  .
  • Partialbruchzerlegung
Die Rücktransformation von F(z) erfolgt durch die Partialbruchzerlegung mit Hilfe der zugehörigen Korrespondenztabelle. Die Partialbrüche sollen die Form   haben. Die inverse z-Transformation ergibt   als Summe der rücktransformierten Partialbrüche.
Die inverse z-Transformation ist über das komplexe Umlaufintegral bestimmt. Die Lösung des Integrals lässt sich auf die Bestimmung der Residuen   zurückführen.
 

Berechnungsbeispiele zur z-TransformationBearbeiten

Beispiel 1: z-Transformierte der Sprungfunktion der Eingangsgröße  :

Die z-Transformierte der normierten Sprungfunktion   für   ist zu ermitteln.

Lösung:

Die kontinuierliche Eingangsgröße   wird als Sprungfunktion (Einheitssprung) zum Zeitpunkt   mit dem Wert 1 abgetastet.

Durch Abtastung entsteht eine Wertefolge mit konstanten Amplituden = 1.

 

oder die Impulsfolgefunktion:

 

Die z-Transformation lautet damit: