Satz von Osgood (Funktionalanalysis)

Satz aus der Funktionalanalysis

Der Satz von Osgood ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen Funktionalanalysis und Topologie angesiedelt und nach dem Mathematiker William Fogg Osgood benannt ist. Er ist eng verbunden mit und sogar eine direkte Folgerung aus dem Kategoriensatz von Baire. Als Folgerung aus dem Satz von Osgood ergibt sich das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, eines der klassischen Resultate der Funktionalanalysis.[1][2][3]

Formulierung des Satzes

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Gegeben sei ein topologischer Raum   und darin eine Teilmenge   von zweiter Bairescher Kategorie.

Gegeben sei weiter eine Familie   von unterhalb stetigen reellwertigen Funktionen

 .

Hierfür sei vorausgesetzt, dass die Familie   auf   punktweise gleichmäßig nach oben beschränkt sei:

 

Dann gilt:

Es existiert eine nicht-leere offene Teilmenge   derart, dass die Familie   der auf   eingeschränkten Funktionen sogar gleichmäßig nach oben beschränkt ist, also der Bedingung
 
genügt.

Beweisskizze

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Unter den genannten Bedingungen ist die Supremumsfunktion  , definiert durch die Zuordnungsregel  , selbst wieder unterhalb stetig.[4]

Folglich genügt es, den Beweis nur für den Fall einer einzigen unterhalb stetigen reellen Funktion   zu führen. Zudem kann man von vornherein   voraussetzen.

Nun bildet man für   jeweils die Teilmenge  .

Diese   bilden wegen der genannten Halbstetigkeitsbedingung eine aus lauter abgeschlossenen Mengen bestehende Überdeckung von  . Da nun   nach Voraussetzung von zweiter Bairescher Kategorie ist, hat notwendigerweise eine dieser abgeschlossenen Teilmengen, etwa  , ein nicht-leeres Inneres. Nun setzt man   und gewinnt so die gesuchte offene Teilmenge.

Folgerungen

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Mit dem Satz von Osgood gelangt man direkt zum Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, wonach gilt:

Eine punktweise nach oben beschränkte Familie stetiger Operatoren von einem Banachraum in einen normierten Raum ist bezüglich der Operatornorm stets gleichmäßig nach oben beschränkt.

Denn zunächst ist der Satz von Osgood insbesondere anwendbar für den Fall, dass   ein Bairescher Raum ist und dass alle       stetig sind. Er gilt nach dem Baireschen Kategoriensatz dann sicher auch, wenn seine topologische Struktur durch eine vollständige Metrik erzeugt wird. In diesem Falle lässt sich die Aussage noch verschärfen und man gewinnt folgende spezielle Version des Osgoodschen Satzes:[1]

Ist   eine punktweise nach oben beschränkte Familie von stetigen reellwertigen Funktionen auf einem vollständigen metrischen Raum  , so existiert eine abgeschlossene Vollkugel   mit  .

Ausgehend von dieser speziellen Version kann man weiter verschärfen, indem man noch die besondere uniforme Struktur normierter Räume in Rechnung stellt, wonach alle abgeschlossenen Vollkugeln durch zentrische Streckung und Parallelverschiebung aus der abgeschlossenen Einheitskugel hervorgehen. Stellt man weiter in Rechnung, dass durch Verkettung eines stetigen Operators mit einer Norm – sofern möglich – stets eine unterhalb stetigen reellwertige Funktion entsteht,[5] so hat man das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.[2]

Verwandtes Resultat

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Eng verwandt mit den obigen Sätzen ist das folgende Lemma von Gelfand[6][7]:

Sei   ein normierter Raum und sei   eine nach unten halbstetige Seminorm[8] auf  . Ist diese Seminorm punktweise nach oben beschränkt auf einer Teilmenge der Zweiten Baireschen Kategorie, so existiert eine reelle Konstante   mit:
     .

Das Lemma lässt sich mit den gleichen Überlegungen wie oben aus dem Satz von Osgood herleiten. Es führt seinerseits (und in gleicher Weise wie oben) direkt zum Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.[7]

Weitere Folgerungen aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

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  • Jede schwach beschränkte Teilmenge – also damit jede schwach konvergente Folge – in einem normierten Vektorraums ist beschränkt.[9][10][11]
  • Ist   eine Familie stetiger linearer Operatoren von einem Banachraum   in einem normierten Raum   und ist   für jedes   schwach beschränkt in  , so ist   bezüglich der Operatornorm gleichmäßig nach oben beschränkt.[10]
  • Konvergiert eine Folge   stetiger linearer Operatoren von einem Banachraum   in einen normierten Raum   punktweise gegen eine Grenzfunktion  , so ist   ebenfalls ein stetiger linearer Operator und dabei gilt
 .[12]

Literatur

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Monographien

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  • Izrail M. Gelfand: Collected Papers. Volume I. Edited by S. G. Gindikin – V. W. Guillemin – A. A. Kirillov – B. Kostant – S. Sternberg. Springer Verlag, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-13619-3.
  • Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4., durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8351-0026-2 (MR2380292).
  • L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 1978, ISBN 3-87144-327-1 (MR0458199).
  • Ronald Larsen: Functional Analysis. An Introduction (= Pure and Applied Mathematics. Band 15). Marcel Dekker, New York 1973, ISBN 0-8247-6042-5 (MR0461069).
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).

Einzelnachweise

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  1. a b H. Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 2006, S. 246 ff.
  2. a b R. Larsen: Functional Analysis. An Introduction. 1973, S. 146 ff.
  3. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 132 ff.
  4. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 134.
  5. Es handelt sich sogar eine Seminorm.
  6. I. M. Gelfand: Collected Papers. 1987, S. 205 ff.
  7. a b L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. 1978, S. 107 ff.
  8. Kantorowitsch und Akilow nennen eine solche Seminorm   ein nach unten halbstetiges konvexes Funktional.
  9. H. Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 2006, S. 326.
  10. a b F. Hirzebruch, W. Scharlau: Titel? Jahr?, S. 37–38
  11. Dies folgt mit dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit aufgrund der Tatsache, dass sich jeder normierte Raum linear-isometrisch in seinen Bidualraum einbetten lässt.
  12. H. Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 2006, S. 248.