Satz von Kato-Rellich

mathematischer Lehrsatz

Der Satz von Kato-Rellich ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Funktionalanalysis. Benannt wurde er nach dem japanischen Mathematiker Tosio Kato und dem deutschen Mathematiker Franz Rellich.

Notation und Terminologie

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Im Folgenden bezeichne   einen komplexen Hilbertraum mit Skalarprodukt   und zugehöriger Norm  .

  • Ein dicht definierter, linearer Operator ist eine lineare Abbildung  , wobei   einen dichten Untervektorraum von   bezeichne. Derartige Operatoren können beschränkt oder unbeschränkt sein, darüber wird hier keine Annahme getroffen.
  • Man bezeichnet einen dicht definierten, linearen Operator   als symmetrisch, falls   für alle   gilt.
  • Zu einem dicht definierten, linearen Operator   lässt sich der adjungierte Operator wie folgt definieren: Man definiert den Raum   als die Menge aller  , für die gilt, dass das lineare Funktional  , welches durch   für   definiert ist, stetig ist. Da der Definitionsbereich   dicht definiert ist, besitzt dieses Funktional eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf  . Daher existiert nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz ein eindeutig bestimmtes Element   mit der Eigenschaft  . Man setzt nun   und erhält dadurch einen Operator   mit der Eigenschaft   für alle   und alle  .
  • Man nennt einen dicht definierten, linearen   selbstadjungiert, falls   und   symmetrisch ist.

Formulierung des Satzes

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Um den Satz zu formulieren, wird der Begriff eines relativ beschränkten Operators benötigt:

Seien   und   zwei dicht definierte, lineare Operatoren. Man bezeichnet   als relativ beschränkt bezüglich   oder kurz  -beschränkt, falls   gilt und zwei positive reelle Zahlen   und   existieren, so dass die folgende Ungleichung für alle   erfüllt ist:

 

Das Infimum aller Zahlen  , für die ein   existiert, sodass die obige Ungleichung für alle   erfüllt ist, wird als relative Schranke von   bezüglich   bezeichnet.

Satz (von Kato-Rellich):

Es sei   ein selbstadjungierter Operator und   ein symmetrischer Operator. Ist der Operator   relativ beschränkt bezüglich   mit einer relativen Schranke  , dann ist der Operator   selbstadjungiert.

Beweis des Satzes

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Der Operator   ist offensichtlich wohldefiniert, da  . Des Weiteren ist er nach Voraussetzung symmetrisch. Ein symmetrischer Operator   ist genau dann selbstadjungiert, wenn ein   existiert, sodass  , wobei   das Bild von   bezeichnet.[1] Daher reicht es zu zeigen, dass ein   existiert, sodass   gilt.

Sei  . Die Beweisidee des Satzes von Kato-Rellich ist nun, den Operator   als   zu schreiben. Das ist möglich, da nach Voraussetzung   selbstadjungiert ist und daher   existiert. Da weiters  , genügt es zu zeigen, dass   einen beschränkten inversen Operator hat.

Nach Voraussetzung gilt für alle   die Ungleichung

 .

Des Weiteren gilt für alle   die Gleichheit   und daher mit  

 

und

 .

Kombiniert man die soeben genannten Ungleichungen, findet man, dass für alle   die Abschätzung

 .

gilt. Da  , ist es möglich,   groß genug zu wählen, sodass   gilt, womit die Ungleichung

 

für alle   gezeigt ist. Es folgt, dass   invertierbar ist mit einem beschränkten inversen Operator (siehe Neumann-Reihe). Damit ist   gezeigt.

Anwendungen

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Anwendung findet der Satz von Kato-Rellich zum Beispiel in der Quantenmechanik:

Sei   mit   und  . Dann lässt sich mithilfe des Satzes von Kato-Rellich zeigen, dass der Hamiltonoperator   mit dem Laplace-Operator   selbstadjungiert ist, wenn man als Definitionsbereich den Sobolev-Raum   wählt.

Literatur

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  • Leon Armenovich Takhtadzhi͡an: Quantum Mechanics for Mathematicians (= Graduate Studies in Mathematics. Volume 95). American Mathematical Soc., Providence, Rhode Island 2008.
  • Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. (= Graduate Studies in Mathematics. Volume 99). American Mathematical Soc., Providence, Rhode Island 2009.

Einzelnachweise

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  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, S. 349 (Satz VII.2.8.).