In der Mathematik sind relativ hyperbolische Gruppen ein Konzept der geometrischen Gruppentheorie, welches den Begriff der hyperbolischen Gruppe verallgemeinert und insbesondere die Fundamentalgruppen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens umfasst, während nur die Fundamentalgruppen kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten hyperbolische Gruppen sind.

Die relative Hyperbolizität einer Gruppe ist relativ zu einer Familie von Untergruppen definiert. Man spricht auch von relativ hyperbolischen Gruppen als Gruppen, die relativ zu einer echten Untergruppe hyperbolisch sind.

Definition

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Sei   eine endlich erzeugte Gruppe und   eine endliche Menge von Konjugationsklassen von Untergruppen von  .

  ist relativ hyperbolisch, wenn es eine eigentlich diskontinuierliche Gruppenwirkung von   durch Isometrien auf einem eigentlichen hyperbolischen Raum   gibt, so dass

Während der Raum   auch bis auf Quasi-Isometrie nicht eindeutig bestimmt ist, ist der Rand im Unendlichen   eindeutig bestimmt und wird als Rand im Unendlichen   der relativ hyperbolischen Gruppe bezeichnet.

Für eine Untergruppe   sagt man auch, dass das Paar   relativ hyperbolisch oder   hyperbolisch relativ zu   ist, wenn für die Menge   der zu   konjugierten Untergruppen   relativ hyperbolisch ist. Analog sagt man für eine endliche Menge von Untergruppen  , dass   hyperbolisch relativ zu   ist, wenn ür die Menge   der zu einer von   konjugierten Untergruppen   relativ hyperbolisch ist.

Äquivalente Definitionen

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Bowditchs Definition

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Eine Gruppe   wirke auf einem feinen, hyperbolischen Graphen   mit endlichen Kanten-Stabilisatoren und endlich vielen Orbiten von Kanten.   sei die Menge der Stabilisatoren von Knoten unendlicher Valenz. Dann ist das Paar   relativ hyperbolisch.

Farbs Definition

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Zu einer endlich erzeugten Gruppe   und einer endlichen Menge   von Konjugationsklassen von Untergruppen von   sei   der Graph, dessen Knoten die Knoten des Cayleygraphen   sowie   für jedes   und dessen Kanten die von   (mit Länge 1) sowie die zwischen (mit Länge 1/2) sind.   ist relativ hyperbolisch, wenn dieser Graph hyperbolisch ist und wenn beschränkte Nebenklassen-Penetration (bounded coset penetration, BCP) gilt, d. h.  , so dass wenn   zwei  -Quasigeodäten ohne Backtracking mit   und   sind, dann gilt:

  • wenn   ein   penetriert,   aber nicht, dann ist der Abstand zwischen den Eingangs- und Ausgangsknoten von   höchstens  ,
  • wenn   beide ein   penetrieren, dann ist der Abstand der Eingangsknoten von   und   höchstens   und der Abstand der Ausgangsknoten von   und   höchstens  .

Der Rand im Unendlichen ist dann die Vereinigung  .

Spezialfälle

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  • Sei   eine hyperbolische Fläche mit zusammenhängendem, total geodätischem Rand. Dann ist die Fundamentalgruppe   eine freie Gruppe  . Das Paar   ist relativ hyperbolisch und sein Rand im Unendlichen ist eine Cantormenge. Wenn   die Homotopieklasse der Randkurve und   die von ihr erzeugte zyklische Untergruppe von   ist, dann ist für ihre Konjugationsklasse   das Paar   ebenfalls eine relativ hyperbolische Gruppe, deren Rand im Unendlichen ein Kreis (der Rand im Unendlichen der hyperbolischen Ebene) ist.
  • Sei   eine CAT(0)-Gruppe mit isolierten Flachs und bestehe   aus den (Konjugationsklassen der) Stabilisatoren der Flachs. Dann ist das Paar   relativ hyperbolisch und sein Rand im Unendlichen entsteht aus dem von   durch Kollabieren der Ränder im Unendlichen der Flachs zu jeweils einem Punkt.[1] Sei zum Beispiel   die Fundamentalgruppe einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit endlichen Volumens, dann ist sie eine CAT(0)-Gruppe und ihr Rand im Unendlichen ist ein Sierpinski-Teppich, in der universellen Überlagerung bilden Horosphären eine Familie isolierter Flachs und das so definierte Paar   hat als Rand im Unendlichen eine Sphäre.
  • Sei   eine hyperbolische Gruppe und   eine fast-malnormale Familie quasikonvexer Untergruppen, dann ist   eine relativ hyperbolische Gruppe, deren Rand im Unendlichen man aus dem von   durch Kollabieren der Ränder im Unendlichen der Untergruppen in den Konjugationsklassen von   erhält.[2] Sei zum Beispiel   die Fundamentalgruppe einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit mit total geodätischem Rand und bestehe   aus den Konjugationsklassen der Fundamentalgruppen der Randkomponenten, dann ist   relativ hyperbolisch und der Rand im Unendlichen ist eine Sphäre.

Beispiele

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  • Für eine hyperbolische Gruppe   ist   relativ hyperbolisch.
  • Sei   eine kompakte Mannigfaltigkeit mit zusammenhängendem Rand. Wenn das Innere von   eine hyperbolische Metrik endlichen Volumens besitzt, dann ist   relativ hyperbolisch.
  • Das Paar   ist nicht relativ hyperbolisch.
  • Die Abbildungsklassengruppe einer Fläche vom Geschlecht   ist zu keiner echten Untergruppe relativ hyperbolisch.
  • Die äußere Automorphismengruppe einer freien Gruppe vom Rang   ist zu keiner echten Untergruppe relativ hyperbolisch.
  • Wenn   relativ hyperbolisch und   hyperbolisch ist, dann ist   hyperbolisch.

Literatur

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  • B. Bowditch: Relatively hyperbolic groups, Int. J. Alg. Comp. 22 (2012)
  • Benson Farb: Relatively hyperbolic groups, Geom. Funct. Anal. 8 (1998), 810–840.
  • Daniel Groves, Jason Manning: Dehn filling in relatively hyperbolic groups, Isr. J. of Math. 168 (2008), 317–429.

Einzelnachweise

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  1. C. Hruska, B. Kleiner: Hadamard spaces with isolated flats, with an appendix written jointly with Mohamad Hindawi, Geom. Topol. 9 (2005), 1501–1538
  2. J. Manning, O. Wang: Cohomology of the Bowditch boundary, Preprint (2018)