Random Walk

mathematisches Modell für eine Bewegung, bei der die einzelnen Schritte zufällig erfolgen

Ein Random Walk (deutsch zufällige (stochastische) Irrfahrt, zufällige Schrittfolge,[1] Zufallsbewegung, Zufallsweg) ist ein mathematisches Modell für eine Verkettung zufälliger Bewegungen. Es handelt sich um einen stochastischen Prozess in diskreter Zeit mit unabhängigen und identisch verteilten Zuwächsen. Random-Walk-Modelle eignen sich für nichtdeterministische Zeitreihen, wie sie beispielsweise in der Finanzmathematik zur Modellierung von Aktienkursen verwendet werden (siehe Random-Walk-Theorie). Mit ihrer Hilfe können auch die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Messwerten physikalischer Größen verstanden werden. Der Begriff geht zurück auf Karl Pearsons Aufsatz The Problem of the Random Walk aus dem Jahr 1905.[2] Die deutsche Bezeichnung Irrfahrt wurde von George Pólya erstmals im Jahr 1919 in der Arbeit Wahrscheinlichkeitstheoretisches über die „Irrfahrt“ verwendet.[3]

Simulation eines 2D-Random-Walk mit 229 Schritten und einer zufälligen Schrittweite aus dem Intervall [−0,5;0,5] für x- und y-Richtung

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit Werten in  , die alle die gleiche Verteilung besitzen. Dann heißt der durch

 

definierte stochastische Prozess   ein Random Walk in   oder ein d-dimensionaler Random Walk.[4][5] Hierbei ist   deterministisch, häufig wird   gewählt. Ein Random Walk ist also ein diskreter Prozess mit unabhängigen und stationären Zuwächsen.

Man kann Random Walks oder Irrfahrten analog auch in Riemannschen Mannigfaltigkeiten definieren. Bei Irrfahrten auf Graphen spricht man von Zufallspfaden.

Weist der Random Walk Korrelationen auf, so spricht man von einem korrelierten Random Walk.

Eindimensionaler FallBearbeiten

 
Übergangsgraph des eindimensionalen symmetrischen Random Walk
 
Acht Realisierungen eines einfachen eindimensionalen Random Walks mit Start in 0. Die Grafik zeigt die aktuelle Position in Abhängigkeit von der Nummer des Schrittes.

Der einfache eindimensionale Random Walk (siehe auch symmetrische einfache Irrfahrt) ist ein grundlegendes Einführungsbeispiel, das auf mehrere Dimensionen erweitert und verallgemeinert werden kann; er hat aber bereits selbst zahlreiche konkrete Anwendungen. Beim eindimensionalen Random Walk bilden die einzelnen Schritte einen Bernoulli-Prozess, das heißt, eine Folge von unabhängigen Bernoulli-Versuchen.

Eine beliebte Veranschaulichung lautet wie folgt (siehe auch Drunkard’s Walk): Ein desorientierter Fußgänger läuft in einer Gasse mit einer Wahrscheinlichkeit   einen Schritt nach vorne und mit einer Wahrscheinlichkeit   einen Schritt zurück. Seine zufällige Position nach   Schritten wird mit   bezeichnet, ohne Einschränkung sei seine Startposition  . Dann ist also   oder   für alle  .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  , dass er sich genau im  -ten Schritt an der Stelle   befindet? Antwort: Der Fußgänger hat insgesamt   Schritte gemacht, davon   Schritte nach vorne und   Schritte zurück. Seine Position nach   Schritten ist also   und die Wahrscheinlichkeit dafür lautet

 ,

denn die Anzahl der Schritte nach vorne folgt einer Binomialverteilung.

Oft interessiert man sich speziell für den ungerichteten oder symmetrischen Random Walk mit  . Dies ist auch die einzige Parameterwahl, die zu einer rekurrenten Markow-Kette führt, das heißt, dass der Läufer unendlich oft zum Ursprung zurückkehrt. Die aufsummierten Zufallsvariablen sind dann alle Rademacher-verteilt.

Wenn die Schritte mit   bezeichnet werden, gilt   oder   für alle   und  . Für den Erwartungswert der Schritte gilt jeweils  . Des Weiteren ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zurückgelegten Strecke symmetrisch um  , und auch der Erwartungswert ist  . Das Vorankommen des Fußgängers kann man dann nur durch den mittleren quadratischen Abstand vom Ausgangspunkt, also durch die Varianz der Binomialverteilung beschreiben:  . Wegen  ,  und   für alle   folgt daraus:

 

Die Standardabweichung   ist die Quadratwurzel aus der Varianz, also gilt  .[6]

Das ist ein wichtiges Ergebnis, mit dem eine charakteristische Eigenschaft von Diffusionsprozessen und brownscher Molekularbewegung wiedergefunden wird: Das mittlere Quadrat des Abstands eines diffundierenden Teilchens von seinem Ausgangsort wächst proportional zur Zeit.

 
Simulation mehrerer 1D-Random-Walks

Eine erste Verallgemeinerung besteht darin, dass bei jedem Schritt eine zufällige Schrittlänge zugelassen ist. Die nebenstehende Abbildung zeigt beispielsweise fünf Simulationen für   Schritte mit einer Schrittlänge, die im Intervall   gleichverteilt ist. In diesem Fall beträgt die Standardabweichung für jeden Schritt  . Die Standardabweichung einer derartigen Zufallsbewegung mit   Schritten beträgt dann   Einheiten. Sie ist als rote Linie für positive und negative Entfernungen eingezeichnet. Um diese Strecke wird sich der Fußgänger im Mittel fortbewegen. Die relative Abweichung   konvergiert gegen 0, die absolute Abweichung   wächst hingegen unbeschränkt.

Ist   die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an der Stelle   zum Zeitpunkt   zu finden und   die Anzahl der Schritte pro Zeitintervall. Die zeitliche Entwicklung von   kann wie folgt beschrieben werden: Es ergibt sich ein Zuwachs der Wahrscheinlichkeit durch Schritte, die mit der Wahrscheinlichkeit   für ein Schritt von   nach   vorkommen, von einem der benachbarten Orte   und   und einen Abfluss durch Schritte vom Ort   zu einem der Nachbarn   und  . Daraus ergibt sich die sogenannte Mastergleichung

 

wobei  .[7]

Allgemeiner FallBearbeiten

Satz von PólyaBearbeiten

Dimension   Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Start[8]
1 1
2 1
3 0.340537
4 0.193206
5 0.135178
6 0.104715
7 0.0858449
8 0.0729126

Nach dem Satz von Pólya ist die Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Start für einen vorgegebenen Startpunkt   für 1 Dimension und für 2 Dimensionen gleich 1 und für 3 oder mehr Dimensionen kleiner als 1. Ist die Wahrscheinlichkeit für eine Rückkehr zum Startpunkt eines Gitters mit D Dimensionen definiert als  , dann gilt:

  • Für   und   ist   rekurrent, es ist also   für alle  . Die symmetrische einfache Irrfahrt kehrt also fast sicher zu ihrem Startpunkt zurück und tut dies damit auch unendlich oft.
  • Für   ist   transient, es ist also   für alle  . Somit kehrt die symmetrische einfache Irrfahrt fast sicher nur endlich oft zu ihrem Startpunkt zurück.[8]

UngleichungenBearbeiten

Eindimensionaler Random WalkBearbeiten

Es sei   die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Zeitintervall   am Ausgangspunkt befindet. Dann existieren zwei Konstanten   und  , sodass für genügend große   und   mit   folgende Ungleichung gilt:[9]

 

Zweidimensionaler Random WalkBearbeiten

Es sei   die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Zeitintervall   am Ausgangspunkt befindet. Dann existiert eine Konstante  , sodass für genügend große   und   mit   folgende Ungleichung gilt:

 

Außerdem existiert eine Konstante  , sodass für genügend große   und   mit   folgende Ungleichung gilt:[9]

 

LiteraturBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ralf Sube: Physik: N-Z, S. 1345.
  2. Karl Pearson: The Problem of the Random Walk. In: Nature. Band 72, Nr. 1865, Juli 1905, S. 294, doi:10.1038/072294b0.
  3. Georg Pólya: Wahrscheinlichkeitstheoretisches über die „Irrfahrt“. In: Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich. Band 19, 1919, S. 75–86.
  4. Bert Fristedt, Lawrence Gray: A modern approach to probability theory. Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin 1997, ISBN 978-0-8176-3807-8, S. 165 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  5. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 445.
  6. Franz Embacher, Universität Wien: Random Walk in einer Dimension
  7. Prof. Heermann, Universität Heidelberg: Ein Beispiel: Der Random Walk
  8. a b Eric W. Weisstein: Pólya's Random Walk Constants. In: MathWorld (englisch).
  9. a b Itai Benjamini, Robin Pemantle, Yuval Peres, University of Pennsylvania: RANDOM WALKS IN VARYING DIMENSIONS