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Die Kreiszahl Pi wird mit der Monte-Carlo-Methode angenähert bestimmt durch das Vierfache der Wahrscheinlichkeit, mit der ein innerhalb des Quadrats zufällig gewählter Punkt in den Kreis fällt. Aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen sinkt mit steigender Anzahl von Experimenten die Varianz des Ergebnisses.

Monte-Carlo-Simulation oder Monte-Carlo-Studie, auch MC-Simulation, ist ein Verfahren aus der Stochastik, bei dem eine sehr große Zahl gleichartiger Zufallsexperimente die Basis darstellt. Es wird dabei versucht, analytisch nicht oder nur aufwendig lösbare Probleme mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie numerisch zu lösen. Als Grundlage ist vor allem das Gesetz der großen Zahlen zu sehen. Die Zufallsexperimente können entweder – etwa durch Würfeln – real durchgeführt werden oder in Computerberechnungen, bei denen zur Simulation von zufälligen Ereignissen mit geeigneten Algorithmen scheinbar zufällige Zahlen berechnet werden, die auch als Pseudozufallszahlen bezeichnet werden.

Zu den Pionieren der Monte-Carlo-Methode in den 1940er Jahren gehören Stanislaw Ulam, Nicholas Metropolis und John von Neumann.

ÜberblickBearbeiten

Anwendungen und ProblemlösungenBearbeiten

Anwendungen der Monte-Carlo-Simulation sind beispielsweise:

Mit der Monte-Carlo-Methode können Probleme mit statistischem Verhalten simuliert werden. Diese Methode hat deshalb besonders in der Physik wichtige Anwendungen gefunden, und zwei Bücher des Autors Kurt Binder gehören zu den meistzitierten Veröffentlichungen in dieser Wissenschaftssparte.

  • Es lässt sich der Weg eines einzelnen Regentropfens simulieren, der mit zufällig verteilten anderen Tropfen kollidiert. Nach der Simulation mehrerer konkreter Tropfen sind Aussagen über die durchschnittliche Tropfengröße möglich oder auch zu Temperatur und Tröpfchendichte, bei denen Schnee oder Hagel entstehen.
  • Für das Galtonbrett lässt sich die Verteilung der Kugeln auf die Fächer mittels der Binomialverteilung berechnen, falls für die Hindernisse die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nach rechts fällt, jeweils genau 50 % ist. Falls dies nicht gegeben ist, lässt sich das Gesamtexperiment in einer Monte-Carlo-Simulation modellieren. Hierzu wird für jedes Hindernis eine geeignete Wahrscheinlichkeit angenommen und eine hohe Anzahl von Kugelwürfen entsprechend dieser Wahrscheinlichkeiten simuliert.
  • Wenn keine analytische Formel für die Bewertung eines Finanzproduktes bekannt ist, lassen sich durch Monte-Carlo-Simulation geeignete Verteilungsannahmen der relevanten Zufallsgrößen finden und auf einfache Art komplexe Finanzkontrakte (wie „exotische“ Optionen) bepreisen.

Geschichte und Herkunft der BezeichnungBearbeiten

Enrico Fermi hatte in den 1930er Jahren die ersten Ideen zu Monte-Carlo-Simulationen. Ausgeführt wurden diese 1946 von Stanislaw Ulam und dem von ihm deshalb kontaktierten John von Neumann.[4] Dies geschah zur Zeit des 2. Weltkriegs während der Arbeit an einem damals geheimen Projekt am Los Alamos Scientific Laboratory, für das ein Codename nötig war. Es ging im Rahmen der Entwicklung der ersten Atombombe um die Neutronendiffusion in nuklearen Materialien.[5] Auch die mathematische Methode der Simulation musste geheim gehalten werden. Der Name Monte-Carlo wurde von Nicholas Metropolis geprägt und hängt wie folgt mit der Methode zusammen: Stan Ulam hatte einen Onkel, der sich zum Spielen immer Geld von Verwandten geliehen hatte, denn „er musste nach Monte Carlo gehen“.[6] Dies ist natürlich eine Anspielung auf die Spielbank Monte-Carlo im gleichnamigen Stadtteil des Stadtstaates Monaco.[7][8][9]

MathematikBearbeiten

Mathematisch ist das System ein wahrscheinlichkeitsgewichteter Weg im Phasenraum (allgemein Zustandsraum). Monte-Carlo-Simulationen sind besonders geeignet, um statistische Mittelwerte einer Größe  ,

 

oder hochdimensionale Integrale (Monte-Carlo-Integration) wie

 

zu berechnen.   soll in diesem Zusammenhang ein normiertes statistisches Gewicht (etwa ein Boltzmanngewicht) sein.   ist der Wert der Größe   im Zustand  . Die Summation bzw. Integration verläuft hier über einen Raum  , also der Phasenraum der Teilchen im System.

Häufig ist der Raum   so groß, dass die Summation nicht vollständig durchgeführt werden kann. Stattdessen erzeugt man nun eine Markow-Kette   von Zuständen in  , deren Häufigkeit wie das vorgegebene Gewicht   verteilt ist. Bereiche des Raumes   mit hohem Gewicht sollen also häufiger in der Markow-Kette vertreten sein als Bereiche mit niedrigem Gewicht. (Man spricht hier von Importance Sampling.) Gelingt dies, so lassen sich die Erwartungswerte einfach als arithmetisches Mittel der Größe   zu diesen Zuständen der Markow-Kette berechnen, also als

 

Dieser Zusammenhang basiert auf dem Gesetz der großen Zahlen. Je nach physikalischem System kann es schwierig sein, diese Markow-Kette zu erzeugen. Insbesondere ist sicherzustellen, dass die Markow-Kette tatsächlich den gesamten Raum   bedeckt und nicht nur einen Teil des Raumes abtastet. Man sagt: der Algorithmus muss ergodisch sein.

MethodenBearbeiten

Metropolis-Monte-CarloBearbeiten

Der von Nicholas Metropolis publizierte Metropolisalgorithmus zur Untersuchung statistisch-mechanischer Systeme mittels Computersimulation leitet sich von der Monte-Carlo-Integration ab.

Sequentielle Monte-Carlo-Methode (SMC)Bearbeiten

Sequentielle Monte-Carlo-Methoden eignen sich zur Bayesschen Zustandsschätzung von dynamischen Systemen. Ziel ist es, den Systemzustand als Funktion der Zeit auf Basis einer Reihe von Beobachtungen des Systems und A-priori-Kenntnissen der Systemdynamik zu schätzen. Dazu wird die komplizierte Wahrscheinlichkeitsdichte des Zustandes diskret durch eine Menge von Partikeln approximiert. Sequentielle Monte-Carlo-Methoden werden auch Partikelfilter genannt.

Quanten-Monte-Carlo-Methoden (QMC)Bearbeiten

Quanten-Monte-Carlo-Methoden werden zur Berechnung physikalischer Observablen in quantenfeldtheoretischen Modellen benutzt. Beispiele sind Modelle aus der theoretischen Festkörperphysik wie das Hubbard-Modell oder das tJ-Modell.

Kinetische Monte-Carlo-MethodeBearbeiten

Die kinetische Monte-Carlo-Methode erlaubt es den zeitlichen Fortschritt eines Systems zu simulieren.

Verbreitete Programmpakete mit Monte-Carlo-MethodenBearbeiten

  • MCNP, der Monte-Carlo N-Particle Transport Code, ist ein prototypisches, weltweit verbreitetes reaktorphysikalisches Programm, das sehr häufig angewendet wird, auch in der Kerntechnik und der Kernfusionstechnik.[10] Die aktuelle Version ist MCNP6.2. Auf der MCNP-Webseite[11] sind Handbücher und Release Notes als Internetdokumente zu finden, zum Beispiel der Band I des MCNP-Handbuchs Overview and Theory.[12]
  • PYTHIA ist ein Simulationsprogramm für die Teilchenphysik und simuliert Kollisionen und dabei entstehende Teilchen.
  • SHERPA ist ein Simulationsprogramm für die Hochenergie-Teilchenphysik. Entstanden an der TU Dresden, wird es inzwischen von einer international verteilten Arbeitsgruppe um Frank Krauss entwickelt.
  • SPICE ist ein Simulationsprogramm für analoge, digitale und gemischte elektronische Schaltungen. Mit der Monte-Carlo-Simulation ist es möglich, die Auswirkungen der Streuung der Bauteilewerte innerhalb der angegebenen Toleranz zu berechnen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gleißner; W.: Risikoanalyse, Risikoquantifizierung und Risikoaggregation, in: WiSt, 9/2017, S. 4–11
  2. S. Jayraman: A Review of Monte Carlo Methods in Real Estate. 2. Mai 2013, abgerufen am 20. Mai 2017 (englisch, und Quellen darin).
  3. Klaus Bernhard Gablenz: Monte Carlo hilft bei Unsicherheiten. In: Immobilienzeitung. Ausgabe 29, 26. Juli 2007, S. 6 (svgablenz.de [PDF]).
  4. Christophe Andrieu, Nando de Freitas, Arnaud Doucet, Michael I. Jordan: An Introduction to MCMC for Machine Learning (PDF, 1,0 MB), In: Machine Learning 2003, Vol. 50, Band 1–2, S. 5–43.
  5. Lecture Notes in Structural Reliability - Engineering Risk Analysis Group; Technische Universität München
  6. N Metropolis: BEGINNING of the MONTE CARLO METHOD. Hrsg.: Los Alamos Science Special Issue. 1987, S. 125–130 (fas.org [PDF]).
  7. Douglas Hubbard: How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business. John Wiley & Sons, 2007, S. 46.
  8. Charles Grinstead, J. Laurie Snell: Introduction to Probability. American Mathematical Society, 1997, S. 10–11.
  9. H. L. Anderson: Metropolis, Monte Carlo and the MANIAC. (PDF, 829 kB) Los Alamos Science, Nr. 14, 1986, S. 96–108, 1986.
  10. Im der bibliografischen Datenbank WorldCat sind über 10000 Arbeiten verzeichnet, die dem Programm MCNP selbst oder Anwendungen des Programms gewidmet sind
  11. A General Monte Carlo N-Particle (MCNP) Transport Code: Monte Carlo Methods, Codes, & Applications Group. Abgerufen am 19. Juni 2018.
  12. X-5 Monte Carlo Team: MCNP — A General Monte Carlo N-Particle Transport Code, Version 5: Volume I: Overview and Theory. Abgerufen am 19. Juni 2018.