Die p-adische Zahl ist ein Begriff der Zahlentheorie. TODO

Die -adischen Zahlen wurde 1897 erstmals von Kurt Hensel konzipiert und beschrieben. Die ursprüngliche Motivation war es, Potenzreihen in die Zahlentheorie einzuführen, heute gehen die Anwendungsgebiete der -adischen Zahlen jedoch weit darüber hinaus. So kann man zum Beispiel eine -adische Analysis entwickeln, um zahlentheoretische und analytische Methoden zusammenzukoppeln, wie etwa im Beweis des großen Fermatschen Satzes von Andrew Wiles. Auch werden die -adischen Zahlen in Gebieten der Quantenphysik, Kognitionswissenschaft und Informatik angewandt.

Vorkenntnisse

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Erweiterung des Zahlenbereichs

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Zahlenbereiche sind algebraische Strukturen, die von Menschen durch Abstrahierung natürlich vorkommender quantitativer Beziehungen konstruiert werden. Der erste, formal konstruierte Zahlenbereich sind die mit der Addition und Multiplikation versehenen natürlichen Zahlen  , als Nächstes werden negative Zahlen sowie Brüche eingeführt, somit werden die rationalen Zahlen   gebildet. Sie ist die kleinste algebraische Struktur, die   enthält, die u.a. bezüglich der vier Grundrechenarten abgeschlossen ist. Solche Strukturen werden in der abstrakten Algebra als Körper bezeichnet.[N 1]

Die Erweiterung der natürlichen Zahlen auf rationalen Zahlen ist nötig bezüglich der algebraischen Operationen, die Erweiterung der rationalen Zahlen auf reellen Zahlen dient hingegen zur Erfüllung topologischer Bedürfnisse. "Topologisch" bezieht sich hier darauf, der algebraische Struktur eine "Form" zu geben, d.h. Begriffe wie "Weite" oder "Länge" zu definieren, sodass man darauf basierend geometrische und analytische Überlegungen machen kann. Häufig führt man dafür eine Abstandsfunktion, auch als Metrik genannt, ein. Intuitiv kann man den "Abstand" d zweier rationalen Zahlen als der Absolutbetrag ihrer Differenz definieren:

 .

Der Abstand zweier rationalen Zahlen ist eine nichtnegative rationale Zahl, d. h. die Metrik bzw. Abstandsfunktion   der rationalen Zahlen ist eine Abbildung in die Menge aller nichtnegativen rationalen Zahlen:  , wobei die Ordnungsrelation auf   die auf dem Körper der rationalen Zahlen definierte Totalordnung ist. Diese Metrik basiert sich auf die euklidische Geometrie, daher wird sie als der euklidische Abstand bezeichnet.

Vervollständigung

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Mithilfe der Metrik auf   kann man nun vom Grenzwert sprechen, welcher ein grundliegender Begriff der Analysis ist. Er beschreibt das Verhalten einer Folge, wenn die Indizes ihrer Glieder gegen unendlich läuft. Man sagt, dass ein   der Grenzwert einer rationale Folge   ist (bzw. die Folge konvergiert gegen  ), falls der Abstand der Folgenglieder beim "Gegen-Unendlich-Werden" der Indizes kleiner werden kann als eine beliebig gegebene positive rationale Zahl, formal geschrieben:

 .

Wegen der Dreiecksungleichung ist jede rationale Folge mit einem rationalen Grenzwert eine Cauchy-Folge (d.h. wenn die Indizes gegen unendlich läuft, so liegen die Folgenglieder unendlich näher aneinander), formal geschrieben:

 .

Es gibt jedoch rationale Folgen, die die obige Bedingung erfüllen, die aber keinen rationalen Grenzwert besitzen, z. B.

 .

Das heißt also, dass der metrische Raum der rationalen Zahlen bezüglich der Abstandsbestimmung nicht vollständig ist. Es existieren also Längen, die nicht mit einer rationalen Zahl ausgedrückt werden können, darum sollen die rationalen Zahlen erweitert bzw. vervollständigt werden. Nach Georg Cantor soll jede rationale Cauchy-Folge einen Grenzwert besitzen, und die reellen Zahlen können mithilfe solcher Grenzwerte definiert werden. Offenbar gibt es für jede rationale Zahl eine Cauchy-Folge mit ihr als Grenzwert, z. B. die konstante Folge. Man kann nun eine Äquivalenzrelation   auf der Menge aller rationalen Cauchy-Folgen definieren:

 .

Die reellen Zahlen   wird also als die Menge aller Äquivalenzklassen aufgefasst. Die Grundrechenarten, Metrik und Ordnungsrelation   auf   können nun auf ganz   natürlich induziert werden. Als Wichtigstes kann man zeigen, dass alle reellen Cauchy-Folgen auch reelle Grenzwerte haben, d.h.   ist ein geordneter und vollständiger metrischer Raum.

Die Menge der reellen Zahlen   gilt als eine Vervollständigung von   mit der Betragsfunktion als Metrik. Diese entspricht dem euklidischen Abstand und daher den intuitiven, natürlichen Erkenntnissen, somit werden die reellen Zahlen ein leistungsfähiges Werkzeug zur Beschreibung der empirischen Welt. Die Menge der  -adischen Zahlen ist ebenfalls eine Vervollständigung des rationalen Zahlenraums, ihr Unterschied zu den reellen Zahlen besteht aber darin, dass die Abstandsfunktion durch eine andere, nicht intuitive Metrik ersetzt wird.

Konstruktion

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Analytische Konstruktion

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Die Betragsfunktion wird als Metrik auf den rationalen Zahlen   eingeführt, und die Äquivalenzklassen der entsprechenden Cauchy-Folgen bilden den vollständigen metrischen Raum  . Die Menge der  -adischen Zahlen ist ebenfalls ein vollständiger metrischer Raum, der aber durch die Vervollständigung von   bezüglich einer anderen Metrik gebildet wird.

Es sei   eine fest gewählte Primzahl. Ein beliebiges   kann in der Bruchform

 

geschrieben werden. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik hat jede ganze Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Wir betrachten jeweils die Vielfachheit von   in   und  , geschrieben als   und  . Die p-Bewertung von   wird definiert durch

 ,

mit der Konvention  .

Für  ,   gilt zum Beispiel

 .

Daraufhin kann man die p-adische Metrik (bzw. Abstand) und die dazu gehörige Norm (p-Betrag) definieren:

 ,
 .

Beispielsweise gelten

 .

Man kann zeigen, dass die Abbildung   alle Metrikaxiome erfüllen. Analog zu der Konstruktion von reellen Zahlen kann man auch einen geordneten metrischen Raum   der  -adischen Zahlen bilden.

Der Satz von Ostrowski besagt, dass jeder auf   definierte nichttriviale Absolutbetrag entweder zur üblichen Betragsfunktion oder zum  -adischen Betrag einer Primzahl   äquivalent ist. Es folgt, dass dies alle möglichen Vervollständigungen von   (bezüglich einer Metrik) sind.

Algebraische Konstruktion

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Hier wird zuerst der Ring   der ganzen  -adischen Zahlen definiert, und danach dessen Quotientenkörper  .

Wir betrachten nun den Restklassenring   der ganzen Zahlen modulo  .

Ein natürlicher Ringhomomorphismus   zwischen   und   ist definiert durch

 .
Bemerkung
Hier steht die unabhängige Variable   für ein Element aus  , und   auf der rechten Seite des Abbildungspfeils steht für ein Element aus  , wobei dieses   hier für das natürlich zugehörige Element von   in   steht, z.B. für   bildet   die Restklasse   auf  , also auf  . Es wird diese zweideutige Notation benutzt, um die Erklärung des Sachverhalts zu vereinfachen.

Jetzt betrachten wir die Folge   der Restklassenringe, wobei die Restklassen jeweils mit den Ringhomomorphismen   miteinander verknüpft sind:

 .

Wir definieren   als ihr projektiver Limes

 ,

d.h. jede ganze  -adische Zahl   wird definiert als die Folge

 ,   wobei  .

Es kann gezeigt werden, dass der so definierte Ring   der ganzzahligen  -adischen Zahlen isomorph ist zum Unterring   der ganzzahligen  -adischen Zahlen, wobei   topologisch definiert ist (s. o.).

Nach obiger Definition können die ganzen Zahlen   natürlich in   "eingebettet" werden, denn jede ganze Zahl kann jeweils bezüglich ihrer Restklasse in   eindeutig als eine ganze  -adische Zahl dargestellt werden.

Zum Beispiel kann man für   die zu   gehörende ganze  -adische Zahl schreiben als

 .

Im obigen Beispiel sieht man, dass die Folge ( ) für eine natürliche Zahl   gegen   selbst konvergiert. Für negative Zahlen ist die Situation jedoch komplizierter, zum Beispiel ist

 .

Da die Ringhomomorphismen   jeweils die Ringstrukturen erhalten, wird dieselbe Ringsturktur auch natürlich in den Grenzwert   erweitert. Intuitiv kann man es so verstehen, dass   die Grenze der Strukturen von   ist. Je größer das  , desto "ähnlicher" ist   zu  .

Offensichtlich ist   das Einselement von  . Eine ganze  -adische Zahl   ist genau dann invertierbar bezüglich der Multiplikation, wenn   ein invertierbares Element in   ist. Jedes nicht invertierbare Element   kann geschrieben werden als

 ,

wobei   ein invertierbares Element in   ist, und   heißt die (algebraische) Bewertung der ganzen  -adischen Zahl  . Man sieht, dass diese Definition der Bewertung äquivalent zu der obigen topologischen Definition ist. Es kann gezeigt werden, dass   ein Integritätsring mit der Charakteristik   ist. Wenn man den Quotientenkörper von   bildet, kann man außerdem zeigen, dass dieser Quotientenkörper ebenfalls topologisch äquivalent zum topologisch gebildeten   ist (mit einem geeigneten topologischen Isomorphismus, der mithilfe des äquivalent definierten  -Betrag gebildet wird).

-adische Entwicklung und Zahlensystem

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Jede  -adische Zahl   hat eine eindeutige p-adische Entwicklung der Form

 .

Hierbei steht   für die  -Bewertung   von  , und es sind  ,  . Die obige unendliche Reihe konvergiert bezüglich der Metrik   gegen  .

Es sei   eine ganze  -adische Zahl mit der Folgendarstellung   und der Entwicklung  , dann gilt

 .

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Beispiel

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Eigenschaften

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Topologische Eigenschaften

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Algebraische Eigenschaften

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Anwendungen

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Zahlentheorie

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Bei  -adischen Zahlen werden Informationen über Kongruenz in einer spezieller Weise kodiert, was sehr nützlich für Anwendungen auf die Zahlentheorie ist. Zum Beispiel haben sich Mathematiker über 300 Jahre lang daran bemüht, einen Beweis für den Großen Fermatschen Satz zu finden. Dies gelang Andrew Wiles schließlich 1994 mithilfe der  -adischen Zahlentheorie, was ein großer Durchbruch der Mathematik bedeutet.

Quantenphysik

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Als die Theorie der  -adischen Zahlen aufgestellt wurde, galten sie zunächst als ein exotischer Teil der reinen Mathematik ohne praktische Anwendungen. 1968 haben jedoch zwei Reine Mathematiker, Antonie Frans Monna und Frederik van der Blij, vorgeschlagen,  -adische Zahlen in die Physik anzuwenden.

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p-adische Systemtheorie

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Informationskodierung

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Die Folgendarstellung  -adischer Zahlen bietet eine Möglichkeit zur Kodierung von Informationen, deshalb können  -adische Zahlen zur Beschreibung zahlreicher Informationsprozessen benutzt werden. Insbesondere können Modelle, die auf  -adischen dynamischen Systemen aufgebaut sind, in Gebiete wie Kognitionswissenschaft, Psychologie und Soziologie angewandt werden.

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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